新高考數(shù)學一輪復習講與練第18講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖與空間幾何體的表面積和體積（講）（解析版）

第01講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖與空間幾何體的表面積和體積本講為高考命題熱點，其中幾何體的結(jié)構(gòu)特征三視圖直觀圖在前幾年常以選擇題固定出現(xiàn)，5分分值，結(jié)合幾何體的體積與表面積，難度較小，但是對于單選題或填空題的壓軸題，偶爾會出現(xiàn)外接球內(nèi)切球問題，有一定難度，考察學生邏輯推理能力與運算求解能力，空間想象能力.考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)考點二直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?考點三三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)畫出的三視圖要長對正，高平齊，寬相等.考點四空間幾何體的表面積與體積1.多面體的表(側(cè))面積多面體的各個面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3考點五方法技巧1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖二者為全等的等腰三角形.(3)水平放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖二者為全等的等腰梯形.(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖二者為全等的矩形.2.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實、不見為虛”.在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線.3.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.4.正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長為a，球的半徑為R(1)若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.5.長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).6.正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長).高頻考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】（1）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3答案A解析①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.（2）以下四個命題中，真命題為()A.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B.底面是矩形的平行六面體是長方體C.直四棱柱是直平行六面體D.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點答案D解析A中等腰三角形的腰不一定是側(cè)棱，A是假命題，B中，側(cè)棱與底面矩形不一定垂直，B是假命題，C中，直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，C不正確，根據(jù)棱臺的定義，選項D是真命題.（3）若四面體的三對相對棱分別相等，則稱之為等腰四面體，若四面體的一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，則稱之為直角四面體，以長方體ABCD－A1B1C1D1的頂點為四面體的頂點，可以得到等腰四面體、直角四面體的個數(shù)分別為()A.2，8 B.4，12C.2，12 D.12，8答案A解析因為矩形的對角線相等，所以長方體的六個面的對角線構(gòu)成2個等腰四面體.因為長方體的每個頂點出發(fā)的三條棱都是兩兩垂直的，所以長方體中有8個直角四面體.【方法技巧】1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例.2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.高頻考點二空間幾何體與三視圖【例2】(1)(2020·全國Ⅱ卷)如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應的點為M，在俯視圖中對應的點為N，則該端點在側(cè)視圖中對應的點為()A.EB.FC.GD.H(2)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在側(cè)視圖上的對應點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A.2eq\r(17) B.2eq\r(5)C.3 D.2答案(1)A(2)B解析(1)根據(jù)三視圖可得直觀圖如圖所示，圖中的點U在正視圖中對應的點為M，在俯視圖中對應的點為N，所以該端點在側(cè)視圖中對應的點為E.(2)由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為MN＝eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).【方法技巧】1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認.二要熟悉常見幾何體的三視圖.2.由三視圖還原到直觀圖要抓住關(guān)鍵幾點：(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.(4)要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖形成原理.【跟蹤訓練】1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點，過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為()答案C解析如圖①所示，過點A，E，C1的截面為AEC1F，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項C中的圖形.2.(2022·邯鄲檢測)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱長為()A.2eq\r(2) B.2eq\r(5)C.2eq\r(6) D.4eq\r(2)答案C解析由三視圖知，該幾何圖是如圖②所示的四棱錐A－BCC1B1.易知AC1為最長棱，因此AC1＝eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6).高頻考點三空間幾何體的直觀圖【例3】已知等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________.答案eq\f(\r(2),2)解析如圖(1)和(2)的實際圖形和直觀圖所示.圖(1)圖(2)因為OE＝eq\r(（\r(2)）2－1)＝1，由斜二測畫法可知O′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，D′C′＝1，A′B′＝3，則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).【方法技巧】1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.【變式訓練】1.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法)是一個底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是()A.2＋eq\r(2) B.1＋eq\r(2)C.4＋2eq\r(2) D.8＋4eq\r(2)答案D解析由已知直觀圖根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形，如圖所示.由于O′D′＝2，D′C′＝2，∴OD＝4，DC＝2，過D′作D′H⊥A′B′，易知A′H＝2sin45°＝eq\r(2).∴AB＝A′B′＝2A′H＋DC＝2eq\r(2)＋2.故平面圖形的面積S＝eq\f(DC＋AB,2)·AD＝4(eq\r(2)＋2).2.(2020·全國Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)答案C解析如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長BC＝a，側(cè)面等腰三角形底邊上的高PM＝h，則正四棱錐的高PO＝eq\r(h2－\f(a2,4))，∴以PO的長為邊長的正方形面積為h2－eq\f(a2,4)，一個側(cè)面三角形面積為eq\f(1,2)ah，∴h2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ah，∴4h2－2ah－a2＝0.則a＝(eq\r(5)－1)h，∴eq\f(h,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4).高頻考點四空間幾何體的表面積與側(cè)面積【例4】（1）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A.12eq\r(2)π B.12πC.8eq\r(2)π D.10π答案B解析由題意知，圓柱的軸截面是一個面積為8的正方形，則圓柱的高與底面直徑均為2eq\r(2).設(shè)圓柱的底面半徑為r，則2r＝2eq\r(2)，得r＝eq\r(2).所以圓柱的表面積S圓柱＝2πr2＋2πrh＝2π(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝4π＋8π＝12π.（2）(2020·北京卷)某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為()A.6＋eq\r(3) B.6＋2eq\r(3)C.12＋eq\r(3) D.12＋2eq\r(3)答案D解析由三視圖知該幾何體為正棱柱，且底面是邊長為2的正三角形，高為2，則表面積為S＝2S底＋S側(cè)＝2×eq\f(\r(3),4)×22＋3×22＝2eq\r(3)＋12.故選D.【方法技巧】空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.高頻考點五空間幾何體的體積【例5】(1)祖暅是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A.158 B.162C.182 D.324(2)(2019·天津卷)已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________.答案(1)B(2)eq\f(π,4)解析(1)由三視圖可知，該柱體是一個直五棱柱，如圖，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27.因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.(2)由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半，圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對角線的一半.因為四棱錐的底面正方形的邊長為eq\r(2)，所以底面正方形對角線長為2，所以圓柱的底面半徑為eq\f(1,2).又因為四棱錐的側(cè)棱長均為eq\r(5)，所以四棱錐的高為eq\r(（\r(5)）2－12)＝2，所以圓柱的高為1.所以圓柱的體積V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(π,4).【方法技巧】1.求規(guī)則幾何體的體積，主要利用“直接法”代入體積公式計算.第(2)題求解的關(guān)鍵在于兩點：(1)圓柱的高恰為圓錐高的一半；(2)圓柱的底面圓的直徑恰是四棱錐底面正方形對角線的一半.2.若已知三視圖求體積，應注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進而利用公式求解.高頻考點六不規(guī)則幾何體的體積【例6】如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________.答案eq\f(\r(2),3)解析如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH.則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.依題意，三棱錐E－ADG的高EG＝eq\f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.則AG＝eq\r(AE2－EG2)＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).取AD的中點M，則MG＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面體＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).【方法技巧】1.求不規(guī)則幾何體的體積：當一個幾何體的形狀不規(guī)則時，常通過分割或者補形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算.2.本題利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱(也可分割成四棱錐).另外，經(jīng)?？紤]把棱錐補成棱柱，把臺體補成錐體，把三棱錐補成四棱錐，把三棱柱補成四棱柱，把不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體，補一個同樣的幾何體等.【變式訓練】(2020·浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(7,3) B.eq\f(14,3)C.3 D.6答案A解析由三視圖可知，該幾何體是由一個三棱柱和一個三棱錐組成的組合體，它們的公共面是等腰直角三角形，如圖所示.由三視圖知，三棱柱ABC－A′B′C′的高為2，三棱錐P－A′B′C′的高為1，又S△ABC＝eq\f(1,2)×2×1＝1，所以該幾何體體積V＝V三棱錐P－A′B′C′＋V棱柱ABC－A′B′C′＝eq\f(1,3)×1×1＋1×2＝eq\f(7,3)(cm3).高頻考點七多面體與球的切、接問題【例7】(2022·長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________.答案eq\f(9,2)π解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.由2R＝3，即R＝eq\f(3,2).故球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.【遷移】本例中若將“直三棱柱”改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑