2.4.1函數(shù)的奇偶性課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

4.1函數(shù)的奇偶性第二章函數(shù)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征.3.會(huì)判斷(或證明)函數(shù)的奇偶性.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

奇、偶函數(shù)的定義

函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)條件一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是A,如果對(duì)任意的x∈A,有-x∈A,且

說(shuō)明集合A是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)結(jié)論稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)圖象特征圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖象關(guān)于y軸對(duì)稱定義域特征奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱注:當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí),稱f(x)具有奇偶性.

奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)名師點(diǎn)睛1.判斷函數(shù)的奇偶性要“二看”(1)一看定義域.定義域A要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即對(duì)任意x∈A,-x∈A,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).如f(x)=x2,x∈R是偶函數(shù),但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(2)二看等式.當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),要看f(x)與f(-x)的關(guān)系:①f(-x)=f(x)?f(x)是偶函數(shù);②f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函數(shù);③f(-x)≠±f(x)?f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);④f(-x)=±f(x)?f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).2.奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的奇偶性設(shè)非零函數(shù)f(x),g(x)的定義域分別是F,G,若F=G,則有下列結(jié)論:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f[g(x)]偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)注意:上述表格中不考慮f(x)±g(x)=0.f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.思考辨析1.對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,若f(-x)+f(x)=0,則函數(shù)f(x)是否具有奇偶性?若f(-x)-f(x)=0呢?提示

由f(-x)+f(x)=0,得f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù).由f(-x)-f(x)=0,得f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù).2.(1)如果f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且函數(shù)在x=0處有定義,那么f(0)為何值?(2)若f(x)為奇函數(shù),且點(diǎn)(x,f(x))在其圖象上,則還有哪一個(gè)點(diǎn)一定在其圖象上?若f(x)為偶函數(shù)呢?提示

(1)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x).因?yàn)閒(x)在x=0處有定義,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)為奇函數(shù),則點(diǎn)(-x,-f(x))一定在其圖象上;若f(x)為偶函數(shù),則點(diǎn)(-x,f(x))一定在其圖象上.自主診斷1.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x+1,則f(-2)=

.

1解析

∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x+1,∴f(2)=-2+1=-1.又f(x)為定義在R上的奇函數(shù),∴f(-2)=-f(2)=1.2.[人教A版教材習(xí)題]已知f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),試將下圖補(bǔ)充完整.解

補(bǔ)充后圖象如圖所示.3.[人教A版教材習(xí)題](1)從偶函數(shù)的定義出發(fā),證明函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;(2)從奇函數(shù)的定義出發(fā),證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.證明

(1)充分性:若y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,設(shè)M(x0,f(x0))為圖象上任意一點(diǎn),則M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M'(-x0,f(x0))仍在該圖象上,即f(-x0)=f(x0).所以y=f(x)為偶函數(shù).必要性:若y=f(x)為偶函數(shù),設(shè)M(x0,f(x0))為f(x)圖象上任意一點(diǎn),因?yàn)閥=f(x)為偶函數(shù),所以f(x0)=f(-x0).所以圖象上另一點(diǎn)M'(-x0,f(-x0))與M關(guān)于y軸對(duì)稱,所以y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(2)充分性:若y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,設(shè)M(x0,f(x0))為其圖象上任意一點(diǎn),則M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M'(-x0,-f(x0))仍在該圖象上,所以f(-x0)=-f(x0),所以y=f(x)為奇函數(shù).必要性:若y=f(x)為奇函數(shù),設(shè)M(x0,f(x0))為其圖象上任意一點(diǎn),因?yàn)閥=f(x)為奇函數(shù),所以-f(x0)=f(-x0),所以圖象上另一點(diǎn)M'(-x0,f(-x0))與M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.知識(shí)點(diǎn)2

函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為“奇同偶異”.2.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取得最值時(shí)的自變量的值互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上取得的最值互為相反數(shù),取得最值時(shí)的自變量的值也互為相反數(shù).名師點(diǎn)睛1.奇偶性與單調(diào)性都是函數(shù)的重要性質(zhì),單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì),是研究函數(shù)值在某一區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì);而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì),是研究函數(shù)圖象在整個(gè)定義域上的對(duì)稱性.2.研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性對(duì)了解函數(shù)非常重要,如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),根據(jù)它的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì),只要把這個(gè)函數(shù)的定義域分成關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩部分,由函數(shù)在其中一部分上的圖象和性質(zhì),即可推斷出它在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì).而研究該函數(shù)其中一部分圖象的情況,就得研究其函數(shù)值的變化,這將研究其單調(diào)性,只有把這兩種性質(zhì)結(jié)合在一起才能更好地了解函數(shù)的特征.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)若f(x)為奇函數(shù)且在[a,b]上有最大值,則f(x)在[-b,-a]上有最小值.(

)(2)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且在[1,2]上單調(diào)遞增,則f(x)在[-2,-1]上也單調(diào)遞增.(

)(3)f(x)為偶函數(shù)且在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2)<f(-3).(

)√×√2.[人教B版教材習(xí)題]已知函數(shù)f(x)滿足f(-3)>f(-1),分別在下列各條件下比較f(3)與f(1)的大小:(1)f(x)是偶函數(shù);(2)f(x)是奇函數(shù).解

(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),因此f(3)=f(-3),f(1)=f(-1),從而由條件可知f(3)>f(1).(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),因此f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1),由條件可知-f(3)>-f(1),因此f(3)<f(1).3.[人教A版教材習(xí)題]已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),而且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,判斷f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減,并證明你的判斷.解

f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.證明如下:任取x1<x2<0,則-x1>-x2>0.因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(-x1)<f(-x2).因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】

判斷下列函數(shù)的奇偶性:(2)f(x)=x3-2x;解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且對(duì)任意的x∈R,有f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),故f(x)是奇函數(shù).函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函數(shù),也是偶函數(shù).(4)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).規(guī)律方法

判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法1.定義法:2.圖象法:變式訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(4)f(x)的定義域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).探究點(diǎn)二利用函數(shù)的奇偶性求解析式【例2】

已知f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解

(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數(shù),則f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.當(dāng)x=0時(shí),f(-0)=-f(0),即f(0)=0.變式探究若將本例中的“奇”改為“偶”,“x>0”改為“x≥0”,其他條件不變,求f(x)的解析式.解

當(dāng)x<0時(shí),-x>0,此時(shí)f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式為規(guī)律方法

已知當(dāng)x∈(a,b)時(shí),f(x)=φ(x),求當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí)f(x)的解析式.若f(x)為奇函數(shù),則當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí),-x∈(a,b),f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)為偶函數(shù),則當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí),-x∈(a,b),f(x)=f(-x)=φ(-x).提醒:若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,不能漏掉.探究點(diǎn)三奇偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用角度1奇偶函數(shù)的圖象性質(zhì)【例3—1】

已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示.(1)請(qǐng)補(bǔ)出函數(shù)y=f(x)完整的圖象;(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合.解

(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖,(2)據(jù)圖可知,使f(x)<0的x的取值集合為(-2,0)∪(0,2).規(guī)律方法

由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,因此根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以解決如求函數(shù)值或畫(huà)出奇偶函數(shù)圖象的問(wèn)題.變式訓(xùn)練2已知f(x)為奇函數(shù),其局部圖象如圖所示,那么(

)A.f(2)=2 B.f(2)=-2C.f(2)>-2 D.f(2)<-2C解析

由圖可知f(-2)<2,因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,則f(2)>-2.故選C.角度2利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)求解析式中的參數(shù)【例3—2】

若函數(shù)f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函數(shù),定義域?yàn)閇3a,a+2],則a+b=

.

規(guī)律方法

利用奇偶性求參數(shù)的方法(1)定義域含參數(shù):奇、偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,利用a+b=0求參數(shù).(2)解析式含參數(shù):根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比較系數(shù)即可求解.變式訓(xùn)練3函數(shù)f(x)=x3+(m2-1)x2+x為奇函數(shù),則m=

.

±1解析

根據(jù)題意f(x)=x3+(m2-1)x2+x為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),則有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],則有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.探究點(diǎn)四函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用角度1比較函數(shù)值的大小【例4-1】

已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)A解析

∵f(x)在R上是偶函數(shù),∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,且2<3<π,∴f(2)<f(3)<

f(π),∴f(-2)<f(-3)<f(π).故選A.變式探究(1)若將本例中的“單調(diào)遞增”改為“單調(diào)遞減”,其他條件不變,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系如何?(2)若將本例中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”,其他條件不變,比較這三個(gè)函數(shù)值的大小.解

(1)因?yàn)楫?dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),從而有f(-2)>f(-3)>f(π).(2)因?yàn)楹瘮?shù)為定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在R上是增函數(shù),因?yàn)?3<-2<π,所以f(-3)<f(-2)<f(π).規(guī)律方法

應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較函數(shù)值的大小時(shí),先利用函數(shù)的奇偶性將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)函數(shù)值的大小作出比較.角度2解函數(shù)不等式【例4-2】

已知定義在區(qū)間[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,2]上為奇函數(shù),且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞減.變式探究若將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”,把區(qū)間“[0,2]”改為“[-2,0]”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

因?yàn)楹瘮?shù)為區(qū)間[-2,2]上的偶函數(shù),又函數(shù)在[-2,0]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞增,不等式可化為f(|1-m|)<f(|m|),規(guī)律方法

解有關(guān)奇函數(shù)f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先將f(a)+f(b)<0變形為f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的單調(diào)性去掉“f”,化為關(guān)于a,b的不等式.另外,要特別注意函數(shù)的定義域.由于偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反,所以我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(|x|)=f(-|x|)將f(g(x))中的g(x)全部化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用單調(diào)性去掉符號(hào)“f”,使不等式得解.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)函數(shù)奇偶性的概念;(2)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系.2.方法歸納:特殊值法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見(jiàn)誤區(qū):忽略函數(shù)的定義域的對(duì)稱性,只有定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)