2024-2025學年新教材高中數(shù)學第三章排列組合與二項式定理3.3.1二項式定理課時素養(yǎng)檢測含解析新人教B版選擇性必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測六二項式定理(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)1.(2024·全國卷Ⅲ)(1+2x2)(1+x)4的綻開式中，x3的系數(shù)為 ()A.12 B.16 C.20 D.24【解析】選A.由題意可知含x3的項為1·QUOTE·1·x3+2x2·QUOTE·13·x=12x3，所以系數(shù)為12.2.已知QUOTE的綻開式中含QUOTE的項的系數(shù)為30，則a= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.6 D.-6【解析】選D.通項為Tk+1=QUOTE(QUOTE)5-kQUOTE=(-a)kQUOTE，由QUOTE=QUOTE，得k=1，即-aQUOTE=30，所以a=-6.3.QUOTE的綻開式中全部奇數(shù)項系數(shù)之和為1024，則綻開式中各項系數(shù)的最大值是 ()A.790 B.680 C.462 D.330【解析】選C.由題意可得：2n-1=1024，解得n=11.則綻開式中各項系數(shù)的最大值是QUOTE或QUOTE，則QUOTE=QUOTE=462.4.(多選題)對于二項式QUOTE(n∈N*)，以下四種推斷正確的是 ()A.存在n∈N*，綻開式中有常數(shù)項B.對隨意n∈N*，綻開式中沒有常數(shù)項C.對隨意n∈N*，綻開式中沒有x的一次項D.存在n∈N*，綻開式中有x的一次項【解析】選AD.二項式QUOTE的綻開式的通項公式為Tk+1=QUOTEx4k-n，由通項公式可知，當n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)時，綻開式中分別存在常數(shù)項和一次項.二、填空題(每小題5分，共10分)5.已知多項式QUOTE=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，則a4=________，a5=________.

【解析】因為多項式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，a4為x1項的系數(shù)，所以依據(jù)二項式定理得a4=QUOTE12×22+13×QUOTE×2=16，a5是常數(shù)項，所以a5=13×22=4.答案：1646.在(x+y+z)6的綻開式中，全部形如xaybz2(a，b∈N)的項的系數(shù)之和是________(用數(shù)字作答).

【解析】(x+y+z)6=[(x+y)+z]6，則[(x+y)+z]6綻開式的通項為Tr+1=QUOTE(x+y)6-rzr，所以含z2的項為：QUOTE(x+y)4z2，則形如xaybz2項的系數(shù)之和即為QUOTE(x+y)4綻開式的系數(shù)之和，令x=1，y=1，則：QUOTE(x+y)4=QUOTE×24=240.答案：240三、解答題(每小題10分，共20分)7.(2024·全國Ⅰ卷改編)求QUOTE(x+y)5的綻開式中x3y3的系數(shù).【解析】(x+y)5綻開式的通項公式為Tr+1=QUOTEx5-ryr(r∈N且r≤5)，所以QUOTE與(x+y)5綻開式的乘積可表示為：xTr+1=xQUOTEx5-ryr=QUOTEx6-ryr或QUOTETr+1=QUOTEx5-ryr=QUOTEx4-ryr+2，在xTr+1=QUOTEx6-ryr中，令r=3，可得：xT4=QUOTEx3y3，該項中x3y3的系數(shù)為10，在QUOTETr+1=QUOTEx4-ryr+2中，令r=1，可得：QUOTET2=QUOTEx3y3，該項中x3y3的系數(shù)為5，所以x3y3的系數(shù)為10+5=15.8.已知QUOTE.(1)求綻開式中含x的項；(2)求綻開式中全部的有理項.【解析】(1)Tk+1=QUOTE(QUOTE)8-k·QUOTE=QUOTE·2-k·QUOTE，令4-QUOTEk=1得k=4，所以含x的項為T5=QUOTE×2-4·x=QUOTEx.(2)令4-QUOTEk∈Z，且0≤k≤8，則k=0或k=4或k=8，所以綻開式中的有理項分別為T1=x4，T5=QUOTEx，T9=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.若二項式QUOTE綻開式中的第5項是常數(shù)，則自然數(shù)n的值為 ()A.10 B.12 C.13 D.14【解析】選B.因為二項式QUOTE綻開式中的第5項是T5=QUOTE(-2)4x-4=QUOTE(-2)4QUOTE，因為第5項是常數(shù)，所以QUOTE=0，即n=12.2.假如QUOTE的綻開式中含有不等于零的常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為 ()A.3 B.5 C.6 D.10【解析】選B.因為綻開式的通項為QUOTE(3x2)n-rQUOTE=QUOTE3n-r(-2)rx2n-5r，r=0，1，2，…，n，令2n-5r=0，則n=QUOTEr，所以正整數(shù)n的最小值為5.3.設a∈Z，且0≤a<13，若512020+a能被13整除，則a= ()A.0 B.1 C.11 D.12【解析】選D.512020+a=(52-1)2020+a=522020+QUOTE×522019×(-1)+…+QUOTE×52×(-1)2019+(-1)2020+a能被13整除，只需(-1)2020+a=1+a能被13整除即可，因為0≤a<13，所以a=12.4.QUOTE(1+x)4綻開式中含x2的項的系數(shù)為 ()A.4 B.6 C.10 D.12【解析】選C.依據(jù)乘法公式，得：(1)因式1+QUOTE中的1和(1+x)4綻開式中含x2的項相乘可得含x2的項；(2)因式1+QUOTE中的QUOTE和(1+x)4綻開式中含x3的項相乘可得含x2的項.(1+x)4綻開式的通項為Tr+1=QUOTExr(r=0，1，…，4)，故QUOTE·(1+x)4綻開式中含x2的項為1·QUOTEx2+QUOTE·QUOTEx3=10x2，即含x2項的系數(shù)為10.二、填空題(每小題5分，共20分)5.已知(1+x+x2)QUOTE的綻開式中沒有常數(shù)項，n∈N*，且2≤n≤8，則n=________.

【解析】因為QUOTE的通項Tr+1=QUOTExn-rQUOTE=QUOTExn-4r，當n-4r=0，-1，-2時，不符合題意，因為2≤n≤8，所以n不能等于4，8，3，7，2，6，所以n=5.答案：56.已知QUOTE的綻開式中x3的系數(shù)為QUOTE，則常數(shù)a的值為________.

【解析】Tr+1=QUOTEa9-r·(-1)r·QUOTE，令QUOTEr-9=3，得r=8.依題意，得QUOTE(-1)8×2-4·a9-8=QUOTE，解得a=4.答案：47.設a≠0，n是大于1的自然數(shù)，QUOTE的綻開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點Ai(i，ai)(i=0，1，2)的位置如圖所示，則a=________.

【解析】由題意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4).得a0=1，a1=3，a2=4.由QUOTE的綻開式的通項公式知Tr+1=QUOTE(r=0，1，2，…，n).故QUOTE=3，QUOTE=4，解得a=3.答案：38.(x+1)4(x-1)的綻開式中x3的系數(shù)是________.

【解析】(x+1)4(x-1)的綻開式中含x3的項由以下兩部分相加得到：①(x+1)4中的二次項乘以(x-1)中的一次項x，即QUOTEx2·x=6x3；②(x+1)4中的三次項乘以(x-1)中的常數(shù)項-1，即QUOTEx3×(-1)=-4x3.所以(x+1)4·(x-1)的綻開式中x3的系數(shù)是6+(-4)=2.答案：2三、解答題(每小題10分，共30分)9.某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%.假如人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多削減多少公頃(精確到1公頃)？(糧食單產(chǎn)=總產(chǎn)量除以耕地面積，人均糧食占有量=總產(chǎn)量除以總人口數(shù))【解析】設耕地平均每年削減x公頃，又設該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃.依題意得不等式QUOTE≥QUOTE×(1+10%)，即x≤103×QUOTE因為103×QUOTE=103×QUOTE≈103×QUOTE≈4.1，所以x≤4(公頃).答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多削減4公頃.10.已知在QUOTE的綻開式中，第9項為常數(shù)項.求：(1)n的值；(2)綻開式中x5的系數(shù)；(3)含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù).【解析】二項綻開式的通項為Tk+1=QUOTE·QUOTE=(-1)kQUOTE.(1)因為第9項為常數(shù)項，即當k=8時，2n-QUOTEk=0，即2n-20=0，解得n=10.(2)令2n-QUOTEk=5，得k=QUOTE(2n-5)=6，所以x5的系數(shù)為(-1)6QUOTE=QUOTE.(3)要使2n-QUOTEk，即QUOTE為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6項，分別為綻開式的第1，3，5，7，9，11項.11.二項式QUOTE的綻開式中：(1)求常數(shù)項；(2)有幾個有理項；(3)有幾個整式項.【解析】綻開式的通項為Tr+1=(-1)rQUOT