新教材老高考適用2024高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)單元質(zhì)檢卷十計數(shù)原理概率隨機變量及其分布北師大版

PAGEPAGE14單元質(zhì)檢卷十計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.2024年八省新高考將實行“3+1+2”模式,即語文、數(shù)學(xué)、外語必選,物理、歷史二選一,政治、地理、化學(xué)、生物四選二,共有12種選課模式.某同學(xué)已選了物理,記事務(wù)A為“該同學(xué)選擇政治和地理”,事務(wù)B為“該同學(xué)選擇化學(xué)和地理”,則事務(wù)A與事務(wù)B()A.是互斥事務(wù),不是對立事務(wù)B.是對立事務(wù),不是互斥事務(wù)C.既是互斥事務(wù),也是對立事務(wù)D.既不是互斥事務(wù)也不是對立事務(wù)2.(2024安徽安慶模擬)杭州亞運會三個祥瑞物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”,現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”這三個圖案的卡片(卡片的形態(tài)、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片,則一張為“琮琮”,一張為“宸宸”的概率是()A.23 B.13 C.29 3.某公司研發(fā)5G項目時遇到一項技術(shù)難題,由甲、乙兩個部門分別獨立攻關(guān),已知甲部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.8,乙部門攻克該技術(shù)難題的概率為0.7,則該公司攻克這項技術(shù)難題的概率為()A.0.56 B.0.86 C.0.94 D.0.964.袋中裝有5個大小相同的球,其中有2個白球,2個黑球,1個紅球,現(xiàn)從袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有兩種不同顏色的球時即終止,用X表示終止取球時所需的取球次數(shù),則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX是()A.115 B.125 C.135 5.一試驗田某種作物一株生長果實個數(shù)x聽從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(x≤70)=0.2,從試驗田中隨機抽取10株,果實個數(shù)在(90,110]的株數(shù)記作隨機變量X,且X聽從二項分布,則X的方差為()A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.216.(2024福建福州一模)某次會議中,組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問,要求這三個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團,且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為()A.198 B.268 C.306 D.3787.(2024廣東茂名一模)某乒乓球訓(xùn)練館運用的球是A,B,C三種不同品牌標準競賽球,依據(jù)以往運用的記錄數(shù)據(jù):品牌名稱合格率購買球占比A98%0.2B99%0.6C97%0.2若這些球在盒子中是勻稱混合的,且無區(qū)分的標記,現(xiàn)從盒子中隨機地取一只球用于訓(xùn)練,則它是合格品的概率為()A.0.986 B.0.984 C.0.982 D.0.9808.設(shè)隨機變量X的分布列如下:X0123P0.1a0.30.4則方差DX=()A.0 B.1 C.2 D.39.甲罐中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球,先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事務(wù);再從乙罐中隨機取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務(wù),則下列結(jié)論中正確的是()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事務(wù)B與事務(wù)A1相互獨立D.A1,A2,A3不是兩兩互斥的事務(wù)10.從甲袋中摸出一個紅球的概率是13,從乙袋中摸出一個紅球的概率是12,從兩袋各摸出一個球,下列結(jié)論不正確的是(A.2個球都是紅球的概率為1B.2個球中恰有1個紅球的概率為1C.至少有1個紅球的概率為2D.2個球不都是紅球的概率為111.在2x-x6的A.常數(shù)項為160B.第5項的二項式系數(shù)最大C.第3項的系數(shù)最大D.全部項的系數(shù)和為6412.下列結(jié)論正確的是()A.若隨機變量X聽從兩點分布,P(X=1)=12,則EX=B.若隨機變量Y的方差DY=3,則D(2Y+1)=6C.若隨機變量ξ聽從二項分布B4,13,則P(ξ=D.若隨機變量η聽從正態(tài)分布N(1,σ2),P(η≤2)=0.82,則P(0≤η≤2)=0.64二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024天津濱海新區(qū)模擬)有三臺車床加工同一型號的零件,第一臺加工的次品率為0.06,其次、三臺加工的次品率均為0.05,加工出來的零件混放在一起.已知第一、二、三臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的0.25,0.3,0.45,任取一個零件,是次品的概率為.

14.已知(3x-1)6=a0+a1x+…+a6x6,則a1+a2+…+a6=.

15.杭州亞運會啟動志愿者招募工作,甲、乙等6人報名參與了A,B,C三個項目的志愿者工作,因工作須要,每個項目僅需1名志愿者,每人至多參與一個項目,若甲不能參與A,B項目,乙不能參與B,C項目,那么共有種不同的選拔志愿者的方法.(用數(shù)字作答)

16.(2024浙江富陽中學(xué)模擬)已知甲、乙兩所高校的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目,且每門科目是否通過相互獨立.若某考生報考甲高校,每門科目通過的概率分別為13,23,12,該考生報考乙高校,每門科目通過的概率均為12,設(shè)A為事務(wù)“該考生報考乙高校在筆試環(huán)節(jié)至少通過二門科目”,則事務(wù)A發(fā)生的概率為,設(shè)X三、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)為了謳歌中華民族實現(xiàn)宏大復(fù)興的奮斗歷程,增進學(xué)生對黨史的了解,某班級開展黨史學(xué)問競賽活動,現(xiàn)把50名學(xué)生的成果繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值并估計這50名學(xué)生的平均成果(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(2)用分層抽樣的方法從成果在[80,90),[90,100]兩組學(xué)生中抽取5人進行培訓(xùn),再從這5人中隨機抽取2人參與校級黨史學(xué)問競賽,求這2人來自不同小組的概率.18.(12分)(2024北京平谷一模)某牛奶企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和酸奶,在一地區(qū)進行了質(zhì)量滿足調(diào)查,現(xiàn)從消費者人群中隨機抽取500人次作為樣本,得到下表:滿足度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿足100120120100150120不滿足503030505080(1)從樣本中任取1個人,求這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿足的概率;(2)從該地區(qū)的老年人中抽取2人,青年人中隨機選取1人,估計這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿足的概率.19.(12分)(2024新高考Ⅰ,18)某學(xué)校組織“一帶一路”學(xué)問競賽,有A,B兩類問題.每位參與競賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學(xué)競賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)競賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.20.(12分)某公司年會實行抽獎活動,每位員工均有一次抽獎機會.活動規(guī)則如下:一只盒子里裝有大小相同的6個小球,其中3個白球,2個紅球,1個黑球,抽獎時從中依次摸出3個小球.若所得的小球同色,則獲得一等獎,獎金為300元;若所得的小球顏色互不相同,則獲得二等獎,獎金為200元;若所得的小球恰有2個同色,則獲得三等獎,獎金為100元.(1)求小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)若每個人獲獎與否互不影響,求該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率.21.(12分)在中學(xué)生綜合素養(yǎng)評價某個維度的測評中,分優(yōu)秀、合格、尚待改進三個等級進行學(xué)生互評.某校高一年級有男生500人,女生400人,為了了解性別對該維度測評結(jié)果的影響,采納分層隨機抽樣方法從高一年級抽取了45名學(xué)生的測評結(jié)果,并作出頻數(shù)統(tǒng)計表如下:表一:男生男生等級優(yōu)秀合格尚待改進頻數(shù)15x5表二:女生女生等級優(yōu)秀合格尚待改進頻數(shù)153y(1)求x,y的值;(2)從表一、表二中全部尚待改進的學(xué)生中隨機抽取3人進行交談,記其中抽取的女生人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及均值;(3)由表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下列2×2列聯(lián)表,測評結(jié)果優(yōu)秀是否與性別有關(guān).測評結(jié)果男生女生總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計45附:χ2=n(ad-P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.63522.(12分)(2024安徽合肥模擬)某調(diào)查組從一養(yǎng)魚示范村的養(yǎng)魚塘內(nèi)隨機捕撈兩次,上午進行第一次捕撈,捕撈到60條魚,共105kg,稱重后計算得出這60條魚質(zhì)量(單位:kg)的平方和為200.41,下午進行其次次捕撈,捕撈到40條魚,共66kg,稱重后計算得出這40條魚質(zhì)量(單位:kg)的平方和為117.(1)請依據(jù)以上信息,求所捕撈100條魚質(zhì)量的平均數(shù)z和方差s2;(2)依據(jù)以往閱歷,可以認為該魚塘魚質(zhì)量X聽從正態(tài)分布N(μ,δ2),用z作為μ的估計值,用s2作為δ2的估計值.隨機從該魚塘捕撈一條魚,其質(zhì)量在(1.21,3.21]的概率是多少?(3)某批發(fā)商從該村魚塘購買了1000條魚,若從該魚塘隨機捕撈,記ξ為捕撈的魚的質(zhì)量在(1.21,3.21]的條數(shù),利用(2)的結(jié)果,求ξ的數(shù)學(xué)期望.附:(1)數(shù)據(jù)t1,t2,…,tn的方差s2=1n∑i=1n(ti-t)2(2)若隨機變量X聽從正態(tài)分布N(μ,δ2),則P(μ-δ<X≤μ+δ)≈0.6826;P(μ-2δ<X≤μ+2δ)≈0.9544;P(μ-3δ<X≤μ+3δ)≈0.9974.

單元質(zhì)檢卷十計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布1.A解析事務(wù)A與事務(wù)B不能同時發(fā)生,是互斥事務(wù).該同學(xué)還可以選擇化學(xué)和政治,故事務(wù)A與事務(wù)B不是對立事務(wù).故選A.2.C解析記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為A,B,C,則樣本點分別為(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9種狀況,其中一張為“琮琮”,一張為“宸宸”的共2種狀況,所以所求的概率P=29.故選C3.C解析依據(jù)題意得,P=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94.故選C.4.A解析X的可能取值為2,3,P(X=3)=25×14+25×14=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,∴5.B解析∵x~N(90,σ2),且P(x≤70)=0.2,∴P(x>110)=0.2,∴P(90<x≤110)=0.5-0.2=0.3,∴X~B(10,0.3),X的方差為10×0.3×(1-0.3)=2.1.故選B.6.A解析分兩種狀況.若選兩個國內(nèi)媒體一個國外媒體,有C62C3若選兩個外國媒體一個國內(nèi)媒體,有C61C3依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有90+108=198種提問方式.故選A.7.B解析將A,B,C分別記為第1,第2,第3個品牌,設(shè)事務(wù)M1表示“取到的球是第i個品牌(i=1,2,3)”,事務(wù)N表示“取到的是一個合格品”,其中M1,M2,M3兩兩互斥,所以P(N)=P(M1N)+P(M2N)+P(M3N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.98×0.2+0.99×0.6+0.97×0.2=0.984,所以它是合格品的概率為0.984.故選B.8.B解析由題得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,EX=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,DX=E(X2)-(EX)2=5-4=1.故選B.9.B解析易見A1,A2,A3是兩兩互斥的事務(wù),故D不正確,P(B|A1)=511,故B正確P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922,10.D解析對于A,2個球都是紅球的概率為13×12=對于B,2個球中恰有1個紅球的概率為13×1-1對于C,至少有一個紅球包括兩個都是紅球和恰有1個紅球,結(jié)合選項A,B可知,至少有一個紅球的概率為16+12=對于D,2個球不都是紅球的對立事務(wù)為2個球都是紅球,所以2個球不都是紅球的概率為1-16=56,故選D.11.C解析二項式通項為Tr+1=C6r2x6-r(-x)r=26-r(-1)由2r-6=0,得r=3,所以常數(shù)項為23×(-1)3×C63=-160,故A綻開式共有7項,所以第4項二項式系數(shù)最大,故B錯誤;由二項式通項可得r為偶數(shù)時,系數(shù)才有可能取到最大值,當(dāng)r=2時,該項系數(shù)最大為240,故C正確;令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=(2-1)6=1,全部項的系數(shù)和為1,故D錯誤.故選C.12.D解析由條件可知,P(X=0)=1-P(X=1)=12,EX=0×12+1×12=1D(2Y+1)=4DY=12,故B錯誤;若隨機變量ξ聽從二項分布B4,13,則P(ξ=3)=C43依據(jù)對稱性可知,正態(tài)分布曲線關(guān)于x=1對稱,所以P(0≤η≤2)=1-2(1-P(η≤2))=0.64,故D正確.故選D.13.0.0525解析依題意,任取一個零件,它是次品的概率為0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.14.63解析令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a6=(3×1-1)6=64,所以a1+a2+…+a6=64-1=63.15.52解析依據(jù)題意,分4種狀況探討.①甲乙都不參與志愿活動,在剩下的4人中任選3人參與即可,有A43=24②甲參與但乙不參與志愿活動,甲只能參與C項目,在剩下的4人中任選2人參與A,B項目,有A42=12③乙參與但甲不參與志愿活動,乙只能參與A項目,在剩下的4人中任選2人參與B,C項目,有A42=12④甲乙都參與志愿活動,在剩下的4人中任選1人參與B項目,有A41=4依據(jù)分類加法計數(shù)原理,則不同的選拔志愿者的方法種數(shù)為24+12+12+4=52.16.1232解析(1)由題知,事務(wù)A所以P(A)=C3(2)由題意可得,X的值可能為0,1,2,3.P(X=0)=23P(X=1)=13P(X=2)=13P(X=3)=13即隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×19+1×718+2×718+317.解(1)依據(jù)頻率分布直方圖得(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)×10=1,解得a=0.020.平均成果為(45×0.004+55×0.006+65×0.020+75×0.030+85×0.024+95×0.016)×10=76.2.(2)來自[80,90)小組的有3人,記為a1,a2,a3,來自[90,100]小組的有2人,記為b1,b2,從5人中隨機抽取2人,樣本點為(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10個,這2人來自不同組的樣本點有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6個,所以這2人來自不同小組的概率為P=61018.解(1)設(shè)這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶滿足為事務(wù)A,總?cè)舜螢?00人,對酸奶質(zhì)量滿足的人數(shù)為100+120+150=370,所以P(A)=370500(2)由頻率估計概率,設(shè)“抽取的老年人中對鮮奶質(zhì)量滿足”為事務(wù)B,則抽取的老年人中對鮮奶質(zhì)量滿足的概率為P(B)=45,設(shè)“抽取的青年人中對鮮奶質(zhì)量滿足”為事務(wù)C,則抽取青年人中對鮮奶質(zhì)量滿足的概率為P(C)=35.故抽取這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿足的概率P=所以這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿足的概率為5612519.解(1)X=0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.2=15P(X=20)=0.8×(1-0.6)=45P(X=100)=0.8×0.6=45所以X的分布列為X020100P1812(2)若小明先回答A類問題,期望為EX.則EX=0×15+20×825+100×若小明先回答B(yǎng)類問題,Y為小明的累計得分,Y=0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4=25P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=35P(Y=100)=0.6×0.8=35EY=0×25+80×325+100×因為EX<EY,所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.20.解(1)小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的全部可能取值為100,200,300.P(X=300)=C3P(X=200)=C3P(X=100)=C32C31+C22C41C63=9+420=13所以獎金數(shù)X的概率分布列為X100200300P