浙江省杭州市學軍中學2020-2021學年高一下學期期中考試-數(shù)學含答案

PAGE1-2020-2021學年浙江省杭州市學軍中學高一（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（8個單選題，每題4分；2個多選題，每題5分；共42分）1．復(fù)數(shù)z＝﹣i的虛部為（）A． B．﹣ C．i D．﹣i2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，則實數(shù)k＝（）A．﹣ B．0 C．3 D．3．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，則B的解的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．不確定4．一個圓錐的表面積為π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，則該圓錐的高為（）A．1 B． C．2 D．25．已知向量，不共線，且向量λ+與+（2λ﹣1）的方向相反，則實數(shù)λ的值為（）A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣6．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝（）A．1 B． C． D．27．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交8．已知，為單位向量，|+|＝|﹣|，記是與+方向相同的單位向量，則在+方向上的投影向量為（）A． B．﹣ C． D．9．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若|z1﹣z2|＝0，則＝ B．若z1＝，則＝z2 C．若|z1|＝|z2|，則z1?＝z2? D．若|z1|＝|z2|，則z12＝z2210．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分線交BC于點D，AD＝1，cosA＝，以下結(jié)論正確的是（）A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面積為二、填空題（6題，每題5分，共30分）11．若1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復(fù)數(shù)根，則c＝．12．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為．13．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的體積為．14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，則△ABC的面積為．15．設(shè)P為△ABC所在平面上一點，且滿足（m＞0）．若△ABP的面積為8，則△ABC的面積為．16．如圖，圓O是半徑為1的圓，OA＝，設(shè)B，C為圓上的任意2個點，則?的取值范圍是．三、解答題（4題，每題12分，共48分）17．如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．（1）求證：MN∥平面PAD；（2）設(shè)平面PBC∩平面PAD＝l，求證：l∥BC．18．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0．（1）求A；（2）若AD為BC邊上的中線，cosB＝，AD＝，求△ABC的面積．19．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點O．（1）設(shè)＝x+y，求x+y的值；（2）若＝6，求的值．20．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；（2）求f（x）的最小值；（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

參考答案一、選擇題（8個單選題，每題4分；2個多選題，每題5分；共42分）1．復(fù)數(shù)z＝﹣i的虛部為（）A． B．﹣ C．i D．﹣i解：z＝﹣i的虛部為﹣，故選：B．2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，則實數(shù)k＝（）A．﹣ B．0 C．3 D．解：∵＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）∴2﹣3＝（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）?＝0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）＝0，解得，k＝3．故選：C．3．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，則B的解的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．不確定解：因為a＝80，b＝100，A＝30°，由正弦定理得，，所以sinB＝，因為a＜b，所以B＞A，故B有兩解．故選：C．4．一個圓錐的表面積為π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，則該圓錐的高為（）A．1 B． C．2 D．2解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，∵它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，∴圓錐的母線長為3r，又∵圓錐的表面積為π，∴πr（r+3r）＝π，解得：r＝，l＝，故圓錐的高h＝＝，故選：B．5．已知向量，不共線，且向量λ+與+（2λ﹣1）的方向相反，則實數(shù)λ的值為（）A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣解：與的方向相反，且不共線，∴存在μ＜0，使，∴，解得或1（舍去）．故選：B．6．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝（）A．1 B． C． D．2解：∵復(fù)數(shù)z滿足＝i，∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z＝＝i，∴|z|＝1，故選：A．7．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交解：A．l與l1，l2可以相交，如圖：∴該選項錯誤；B．l可以和l1，l2中的一個平行，如上圖，∴該選項錯誤；C．l可以和l1，l2都相交，如下圖：，∴該選項錯誤；D．“l(fā)至少與l1，l2中的一條相交”正確，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l(xiāng)和l1，l2都平行；∴l(xiāng)1∥l2，l1和l2共面，這樣便不符合已知的l1和l2異面；∴該選項正確．故選：D．8．已知，為單位向量，|+|＝|﹣|，記是與+方向相同的單位向量，則在+方向上的投影向量為（）A． B．﹣ C． D．解：由題意可得2+2＝2﹣4+2，可得＝，則＝1+＝，設(shè)與+的夾角為α，則||?||cosα＝，有||＝＝，故＝＝．則在+方向上的投影向量為：．故選：C．9．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若|z1﹣z2|＝0，則＝ B．若z1＝，則＝z2 C．若|z1|＝|z2|，則z1?＝z2? D．若|z1|＝|z2|，則z12＝z22解：對（A），若|z1﹣z2|＝0，則z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以為真；對（B）若，則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以為真；對（C）設(shè)z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，則，，所以為真；對（D）若z1＝1，z2＝i，則|z1|＝|z2|為真，而，所以為假．故選：ABC．10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分線交BC于點D，AD＝1，cosA＝，以下結(jié)論正確的是（）A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面積為解：因為b＝ccosA，由正弦定理可得，sinB＝sinCcosA＝sin（A+C），所以sinAcosC＝0，因為sinA≠0，所以cosC＝0即C＝，∵＝cosA＝，由角平分線定理可得，＝，設(shè)AC＝x，AB＝8x，則BC＝3x，CD＝，Rt△ACD中，由勾股定理可得，，解可得x＝，即AC＝，AB＝6，∵SABC＝＝，所以S△ABD＝＝．故選：ACD．二、填空題（6題，每題5分，共30分）11．若1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復(fù)數(shù)根，則c＝3．解：因為1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復(fù)數(shù)根，所以1﹣i也是方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，所以b＝﹣2，c＝3．故答案為：3．12．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為2+．解：DC＝ABsin45°＝，BC＝ABsin45°+AD＝+1，S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，S＝S梯形ABCD＝2+．故答案為：2+13．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的體積為．解：正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，PO＝AO＝R，PO1＝4，OO1＝4﹣R，在Rt△AO1O中，AO1＝，由勾股定理R2＝2+（4﹣R）2得R＝，∴球的體積為．故答案為：．14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，則△ABC的面積為．解：∵cosA＝，A為三角形的內(nèi)角，∴sinA＝＝＝，∵sinB＝cosC，且sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC＝cosC，則cosC+sinC＝cosC，即sinC﹣cosC＝0，由得，sinC＝，cosC＝，∴sinB＝cosC＝，又a＝，由正弦定理得，則c＝＝＝，∴△ABC的面積S＝＝＝，故答案為：．15．設(shè)P為△ABC所在平面上一點，且滿足（m＞0）．若△ABP的面積為8，則△ABC的面積為14．解：由3+4＝m，可得+＝，可設(shè)＝+，則D，A，C共線，且D在線段AC上，可得＝，即有D分AC的比為4：3，即有C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的倍，故S△ABC＝S△ABP＝×8＝14．故答案為：14．16．如圖，圓O是半徑為1的圓，OA＝，設(shè)B，C為圓上的任意2個點，則?的取值范圍是．解：如圖，設(shè)D是線段BC的中點，則OD⊥BC，連接OA，OB．OC，OD，設(shè)θ為和的夾角，則?＝（﹣）?＝?﹣?＝||?||?∠BCO﹣||?||?cosθ＝﹣|?cosθ≥﹣|＝（||﹣）2﹣，∵||∈[0，2]，∴當||＝時，?有最小值為﹣，當||＝2且cosθ＝﹣1時，﹣|?cosθ有最大值為3，即?有最大值為3，故答案為：[﹣，3]．三、解答題（4題，每題12分，共48分）17．如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．（1）求證：MN∥平面PAD；（2）設(shè)平面PBC∩平面PAD＝l，求證：l∥BC．【解答】證明：（1）取PD的中點E，連接AE、NE，如圖所示：由NE∥DC，且NE＝DC，AM∥DC，且AM＝DC，所以NE∥AM，且NE＝AM，所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MN∥AE，又AE?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD；（2）因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥BC．18．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0．（1）求A；（2）若AD為BC邊上的中線，cosB＝，AD＝，求△ABC的面積．解：（1）由題意知，acosC+asinC﹣b﹣c＝0，由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，由sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）得，sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，則sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，又sinC≠0，則sinA﹣cosA＝1，化簡得，，即，又0＜A＜π，所以A＝；（2）在△ABC中，cosB＝得，sinB＝＝…則sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝…由正弦定理得，＝＝…設(shè)a＝7x、c＝5x，在△ABD中，由余弦定理得：AD2＝AB2+BD2﹣2?AB?BD?cosB，，解得x＝1，則a＝7，c＝5…所以△ABC的面積S＝＝…19．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點O．（1）設(shè)＝x+y，求x+y的值；（2）若＝6，求的值．解：（1）△ABC中，D是BC的中點，BE＝2EA，AD與CE交于點O．設(shè)＝x+y＝x+y（﹣）＝﹣x﹣y+y＝（﹣x﹣y）+y，又＝，＝，所以＝（﹣x﹣y）+y，所以﹣x﹣y+y＝1，①又＝﹣（x+y）+2y，所以﹣（x+y）+2y＝1，②由①②組成方程組解得，所以x+y＝﹣＝﹣；（2）設(shè)＝m＝m（+），＝+＝+n＝+n（﹣）＝（1﹣n）+n＝+n；所以，，所以＝＝（+），＝﹣＝﹣+，所以6?＝6×（+）?（﹣+）＝﹣+?+；又?＝6，所以0＝﹣+，所以＝3，所以＝．20．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；（2）求f（x）的最小值；（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．解：（1）若f（0）≥1，則﹣a|a|≥1，∵|a|＞0，∴﹣a＞0∴?a≤﹣1（2）當x≥a時，f（x）＝3x2﹣2ax+a2，∴，如圖所示：當x≤a時，f（x）＝x2+