《數(shù)學(xué)（拓展模塊）》中職數(shù)學(xué)全套教學(xué)課件

第1章

三角公式及應(yīng)用三角公式及應(yīng)用橢圓、雙曲線、拋物線概率與統(tǒng)計(jì)全套可編輯PPT課件本章內(nèi)容

1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.2正弦型函數(shù)1.3正弦定理與余弦定理

兩角和與差的正弦公式1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式兩角和與差的余弦公式1.1.1兩角和與差的正切公式1.1.21.1.3二倍角公式1.1.41.1.1兩角和與差的余弦公式如圖1-1所示，在直角坐標(biāo)系中，以O(shè)x為始邊，分別作角α，β，角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)A，角β的終邊與單位圓相交于點(diǎn)B，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，于是向量，向量，且，

。圖1-1因?yàn)樗允剑?-1）此公式給出了任意角α，β

的正弦、余弦與角α–β

的余弦之間的關(guān)系，因此，公式（1-1）稱為兩角差的余弦公式，簡(jiǎn)記作

。又因?yàn)楣适剑?-2）此公式給出了任意角α，β

的正弦、余弦與角的余弦之間的關(guān)系，因此，公式（1-2）稱為兩角和的余弦公式，簡(jiǎn)記作。和統(tǒng)稱為兩角和與差的余弦公式，簡(jiǎn)記作。例題解析例1不查表，求，的值。

解

（1）（2）例2已知，，，，求

的值。解

因?yàn)椋?，所以又因?yàn)?，，所以?.1.2兩角和與差的正弦公式，可以實(shí)現(xiàn)正弦和余弦之間的轉(zhuǎn)化，因此即式（1-3）此公式給出了任意角α

，β的正弦、余弦與角的正弦之間的關(guān)系，因此，公式（1-3）稱為兩角和的正弦公式，簡(jiǎn)記作。將公式中的β用–β代替，可得式（1-4）此公式給出了任意角α，β

的正弦、余弦與角的正弦之間的關(guān)系，因此，公式（1-4）稱為兩角差的正弦公式，簡(jiǎn)記作。和統(tǒng)稱為兩角和與差的余弦公式，簡(jiǎn)記作。例題解析例3不查表，求，的值。解

（1）（2）例4已知，，求的值。解

因?yàn)?，所以?.1.3兩角和與差的正切公式由前面學(xué)習(xí)的公式可以推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式：當(dāng)時(shí)，分子分母同時(shí)除以，得式（1-5）此公式給出了任意角α，β

的正切與角的正切之間的關(guān)系，因此，公式（1-5）稱為兩角和的正切公式，簡(jiǎn)記作。將公式中的β用–β代替，可得式（1-6）此公式給出了任意角α，β

的正切與角的正切之間的關(guān)系，因此，公式（1-5）稱為兩角差的正切公式，簡(jiǎn)記作。和統(tǒng)稱為兩角和與差的正切公式，簡(jiǎn)記作。需要注意的是，如果兩角和與差的正切公式成立，那么對(duì)任意角α，β

，有如下要求：例題解析例5求，的值。解

（1）（2）例6求的值。解

1.1.4二倍角公式令，即可得到式（1-7）式（1-8）式（1-9）因?yàn)?，所以公式?-8）還可以變形為式（1-10）（1-7）至（1-10）統(tǒng)稱為二倍角的三角函數(shù)公式，簡(jiǎn)稱為二倍角公式。例題解析例7已知，，求，的值。解

因?yàn)椋?，所以故?已知，，求的值。解

因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以故?計(jì)算：解

1.2正弦型函數(shù)1.2.11.2.2正弦型曲線正弦型函數(shù)的概念與性質(zhì)1.2.1正弦型函數(shù)的概念與性質(zhì)在物理和工程技術(shù)的許多問題中，經(jīng)常會(huì)遇到形如的函數(shù)，這類函數(shù)被稱為正弦型函數(shù)。例如，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系就是形如的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)與正弦函數(shù)有著密切的關(guān)系。在正弦型函數(shù)中，令，則因函數(shù)是正弦函數(shù)，其定義域?yàn)镽，最小正周期為2π

，故函數(shù)的定義域?yàn)镽，且這說明函數(shù)也是周期函數(shù)，其周期。由于函數(shù)的最大值為1，最小值為–1，故的最大值為A，最小值為–A

，即正弦型函數(shù)，

的最大值為A，最小值為–A

。綜上所述正弦型函數(shù)的定義域?yàn)镽，最小正周期為2π

，最大值為A，最小值為–A。

例題解析例1求函數(shù)的周期。解

由公式（1-3）可知，

故函數(shù)的周期

。例2求函數(shù)的周期，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)取得最大值和最小值。解

函數(shù)的周期，令

，則當(dāng)

，即時(shí)，函數(shù)有最大值2。當(dāng)

，即時(shí)，函數(shù)有最大值–2。由此可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值–2。1.2.2正弦型曲線正弦型函數(shù)的圖像叫做正弦型曲線。下面用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像。首先我們知道常數(shù)3不影響這個(gè)函數(shù)的周期；其次為了求出圖像上五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可設(shè)，分別令，則能求出對(duì)應(yīng)的x的值。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。由此可見，當(dāng)u

從0

變化到2π

，即x

從變化到時(shí)，函數(shù)

完成一個(gè)周期的變化過程。上述過程可以通過列表求值反映出來。按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表求值，如表1-1所示。表1-1描點(diǎn)連線，得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，如圖1-2所示。圖1-2由此可知，要用“五點(diǎn)法”作正弦型函數(shù)的圖像，首先應(yīng)求出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即令，得；令，得；令，得；令，得；令，得。然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，就找到了五個(gè)點(diǎn)，將這五個(gè)點(diǎn)用平滑曲線連接起來，一個(gè)周期的圖像就畫出來了。對(duì)于物理學(xué)和電工學(xué)等學(xué)科中所涉及的正弦型函數(shù)（其中A，ω，φ

是常數(shù)），A稱為振幅，

稱為相位，φ

稱為初相，為周期，稱為頻率。例題解析例3用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像。解

分析函數(shù)的周期。要求五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)，分別令，就能求出對(duì)應(yīng)的x的值。按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表求值，如表1-2所示表1-2描點(diǎn)連線，得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，如圖1-3所示。圖1-3例4已知一個(gè)周期的正弦型曲線如圖1-4所示，求函數(shù)的解析式。圖1-4解

由圖1-4可知，A

=2。由于所以函數(shù)的周期為4π，故。設(shè)函數(shù)解析式為，將坐標(biāo)代入上式，得解得故函數(shù)解析式為例5如圖1-5所示單擺，小球偏離鉛垂線方向的角度為，a

作為時(shí)間的函數(shù)，滿足函數(shù)解析式。（1）最初時(shí)的值是多少？（2）單擺擺動(dòng)的頻率是多少？（3）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間單擺擺完5次完整擺動(dòng)？圖1-5解

（2）因?yàn)閱螖[擺動(dòng)的周期所以單擺擺動(dòng)的頻率（3）因?yàn)閱螖[完成1次完整的擺動(dòng)的時(shí)間就是一個(gè)周期T，即πs

，所以單擺完成5次完整的擺動(dòng)需要的時(shí)間是5πs

。（1）當(dāng)時(shí)，；1.3正弦定理與余弦定理1.3.3正、余弦定理應(yīng)用舉例1.3.2余弦定理1.3.1正弦定理1.3.1正弦定理在中，已知所對(duì)的邊長(zhǎng)為a，所對(duì)的邊長(zhǎng)為b，所對(duì)的邊長(zhǎng)為c，如圖1-8所示。下面我們研究，，，a，

b，c

之間的數(shù)量關(guān)系。圖1-8三角形可分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，因此，可以分三種情況討論。（1）若為直角三角形，，如圖1-9所示。圖1-9根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可知故又因?yàn)?，所以即因此?）若為銳角三角形，如圖1-10所示。圖1-10過點(diǎn)A作于D

，在和

中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可知?jiǎng)t即同理，可得因此，當(dāng)為銳角三角形時(shí)，等式仍然成立。（1）若為鈍角三角形，如圖1-11所示。圖1-11過點(diǎn)A作，交BC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D

，在和中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可知?jiǎng)t又因?yàn)楣始赐?，可得因此，?dāng)為鈍角三角形時(shí)，等式仍然成立。于是，可以得到這樣的定理：正弦定理（lawofsines）在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即式（1-11）一般地，把三角形的三個(gè)角，，和它們的對(duì)邊a，b

，c

叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫做解三角形。（1）已知三角形的任意兩個(gè)角和一條邊，求其他兩邊和第三角；（2）已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他兩角和第三邊。例題解析例1在中，已知，，，解三角形。解因?yàn)?，，所以由正弦定理得?在中，已知，，，解三角形。解由正弦定理得則或因?yàn)椋怨室虼擞烧叶ɡ淼美?在中，已知，，，解三角形。解由正弦定理得則或（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)時(shí)，，1.3.2余弦定理以A

為原點(diǎn)，以線段AC

所在直線為x

軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1-12所示，這時(shí)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，

，。圖1-12由平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式有兩邊平方，得同理，可得于是，我們可以得到這樣的定理：余弦定理（lawofcosines）三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的二倍，即式（1-12）由余弦定理，還可以得到以下推論式（1-13）（1）（2）余弦定理及其推論，可以解決兩類解三角形的問題已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩角已知三角形的三邊，求三個(gè)角例題解析例4在中，已知

解三角形。解由余弦定理得解得或（舍）因?yàn)樗岳?在中，已知解三角形。解由余弦定理得所以1.3.3正、余弦定理應(yīng)用舉例例題解析圖1-13例6如圖1-13所示，一艘船以15km/h的速度向東航行，船在A處看到一燈塔M在北偏東方向，行駛4h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東方向，這時(shí)船與燈塔的距離為多少？解由題意得在中，由正弦定理得即解得因此，這時(shí)船與燈塔的距離為。例7如圖1-14所示，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪AB的高，在與煙囪底部同一水平面的C，D兩處測(cè)得煙囪頂端的仰角分別為和，C，D間的距離為12m。已知測(cè)角儀器高為1.5m

，求煙囪的高。（精確到0.1m）解圖1-14由題意可知，由正弦定理得即由正弦函數(shù)定義得因此，煙囪高約為29.9m。解圖1-15在中，由余弦定理得即因此，隧道AB的長(zhǎng)度為409m。例8建筑道路需挖掘隧道，在山的兩側(cè)是隧道口A和B，如圖1-15所示。在平地上選擇適合測(cè)量的點(diǎn)C，測(cè)得AC=350m，

BC=450m，

，試計(jì)算隧道AB的長(zhǎng)度。（精確到1m）例9某公園有一塊三角形的池塘，現(xiàn)為便于游客觀賞池中景物，準(zhǔn)備修一架小橋，橋的兩端要分別架在A點(diǎn)和BC邊的中點(diǎn)D上，如圖1-16所示。已知AB=60m，BC=70m，AC=50m

，試求橋AD的長(zhǎng)度。（精確到0.01m）解圖1-16在中，由余弦定理得由于D是BC的中點(diǎn)，所以即因此，橋AD的長(zhǎng)度為42.72m。在中，由余弦定理得ThankYou!中職數(shù)學(xué)本章內(nèi)容第2章橢圓、雙曲線、拋物線1橢圓

2雙曲線

3拋物線2.1橢圓橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的性質(zhì)212.1.1橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1．橢圓的定義圖2-1如圖2-1所示，取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2

兩點(diǎn)；當(dāng)繩長(zhǎng)大于，間的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊；筆尖（即動(dòng)點(diǎn)M）順勢(shì)在圖板上移動(dòng)一周，所畫出的曲線就是一個(gè)橢圓。可以看出，橢圓上的點(diǎn)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的距離之和等于定長(zhǎng)。如圖2-2所示，以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的直線為x軸，線段的垂直平分線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy。一般地，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2

叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圖2-2設(shè)橢圓的焦距是2c(c>0)

，則兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

，。設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M

到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的距離之和為2a

(a>c)，則因所以移項(xiàng)，得兩邊分別平方，得整理，得兩邊分別平方，得整理，得由橢圓的定義可知，，即a>c

，所以。令，則上述方程變形為兩邊同時(shí)除以，得這個(gè)方程稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x

軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，的橢圓，其中。圖2-3如圖2-3所示，若橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2

在y軸上，點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的坐標(biāo)分別為，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為這個(gè)方程也稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中。例題解析例1求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1）（2）解（1）因已知橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，且36>9

，所以這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且。因所以，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

。（2）將已知橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得因8>3，所以這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且。因所以，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

。例2求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解（1）因橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為因所以（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且經(jīng)過點(diǎn)。又所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義可知即因所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。2.1.2橢圓的性質(zhì)以橢圓為例研究橢圓的幾何性質(zhì)。1．范圍橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足不等式即這說明橢圓位于直線和所圍成的矩形里，如圖2-4所示圖2-4例如，橢圓位于直線和所圍成的矩形里，如圖2-5所示。圖2-52

對(duì)稱性在橢圓中，把x換–x成，方程不變，這說明當(dāng)點(diǎn)P(x,y)

在橢圓上時(shí)，它關(guān)于y

軸的對(duì)稱點(diǎn)P’(–x,y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱;同理，把

y換成–y

，方程不變，橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱；同理，把x，y

分別換成–x，–y

，方程也不變，橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。橢圓既是分別以x

軸、y

軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，又是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。同理，令y=0

，解得，這說明點(diǎn)，

是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖2-6所示．在橢圓中，令x=0

，解得

，這說明點(diǎn)，是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn);3

頂點(diǎn)圖2-6因?yàn)閤

軸和

y軸是橢圓的對(duì)稱軸，所以橢圓與它的對(duì)稱軸有4個(gè)交點(diǎn)A1，A2，B1，B2

，這4個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。線段A1A2

，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。它們的長(zhǎng)分別等于2a，2b

，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。例如，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6。離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率，用e

表示，即因?yàn)?，所以?/p>

e越接近于1，則c越接近于a，從而越小，橢圓越扁；反之，e越接近于0，則c越接近于0，從而b越接近于a，橢圓就越接近于圓。例題解析例3求出下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用“描點(diǎn)法”畫出方程（1）的圖形。（1）（2）解（1）把已知橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得其中，因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6，短軸長(zhǎng)為2b=4

，離心率為兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，。為畫此橢圓的圖形，將橢圓方程變形為求出橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)及在第一象限范圍內(nèi)的一些點(diǎn)的坐標(biāo)，如表2-1所示：表2-1首先描點(diǎn)并用光滑的曲線順次連接這些點(diǎn)，可得橢圓在第一象限內(nèi)的圖像，然后利用橢圓的對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓，如圖2-7所示圖2-7（2）把已知橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得其中

。因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=10，短軸長(zhǎng)為2b=8

，離心率，兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，。例4求滿足下列條件的橢圓的方程（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20，離心率為，焦點(diǎn)在y軸上；（2）長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是短半軸長(zhǎng)的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)。解（1）由已知可得，則所以因橢圓的焦點(diǎn)在

y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。因長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是短半軸長(zhǎng)的2倍，所以解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，同理可得a=4，b=2

，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，故a=2。例5在我國(guó)某衛(wèi)星發(fā)射基地升空的“探測(cè)一號(hào)”赤道星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其近地點(diǎn)與地球表面相距555km，遠(yuǎn)地點(diǎn)與地球表面相距74051km。已知地球半徑為6371km，求“探測(cè)一號(hào)”星運(yùn)行軌道的近似方程。（長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)精確到1km）分析設(shè)“探測(cè)一號(hào)”星運(yùn)行的橢圓形軌道的中心為點(diǎn)O，地球的中心為點(diǎn)F，則橢圓的長(zhǎng)軸在直線OF上，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別是軌道上的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)。建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可求得橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程。以“探測(cè)一號(hào)”星運(yùn)行的橢圓形軌道的中心O為原點(diǎn)，建立如圖2-8所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，使地球中心F在x軸上，則點(diǎn)F(c,0)

是橢圓的焦點(diǎn)，橢圓與x軸的交點(diǎn)A，B分別是近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)解圖2-8設(shè)所求“探測(cè)一號(hào)”星的運(yùn)行軌道的方程為由已知得解得因故“探測(cè)一號(hào)”星運(yùn)行軌道的近似方程為

。2.2雙曲線雙曲線的性質(zhì)雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程212.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.雙曲線的定義圖2-10如圖2-10所示，取一條拉鏈，拉開一部分后將其中的一條剪去一段，然后將拉鏈的兩個(gè)端點(diǎn)分別固定在畫圖板的F1，F(xiàn)2

兩點(diǎn)，把筆尖放在點(diǎn)M處，當(dāng)拉鏈逐漸拉開或閉攏時(shí)，筆尖隨點(diǎn)M的移動(dòng)，就畫出一條曲線，如圖2-10中右邊的曲線；再把拉鏈兩端點(diǎn)的位置交換，同樣可以畫出另一支曲線，如圖2-10中左邊的曲線。由繪圖過程可以看出，雙曲線上任意一點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1

，F(xiàn)2

的距離之差的絕對(duì)值都等于剪掉的那段拉鏈的長(zhǎng)度，即雙曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的距離之差等于定長(zhǎng)。一般地，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1

，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)F1

，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程如圖2-11所示，以經(jīng)過雙曲線兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的直線為x

軸，線段

F1F2的垂直平分線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系。圖2-11設(shè)雙曲線的焦距是2c(c>0)

，則兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，。設(shè)M(x,y)

為雙曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M

到焦點(diǎn)F1和F2

的距離之差的絕對(duì)值為2a(a<c)

，則因所以化簡(jiǎn)并整理，得因a

<c，所以令，則上述方程變形為兩邊同時(shí)除以a2b2

，得這個(gè)方程稱為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x

軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，的雙曲線，其中。若坐標(biāo)系的選取不同，雙曲線的方程也不同。如圖2-12所示，若雙曲線的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2

在y

軸上，點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的坐標(biāo)分別為，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為圖2-12這個(gè)方程也稱為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中。例題解析例1求下列雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距（1）（2）解因（1）由已知雙曲線方程可知，這個(gè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且，所以，該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

，，焦距為26。（2）將已知雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得所以這個(gè)雙曲線的焦點(diǎn)在

y軸上，且

。因所以，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

，焦距為。例2求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解（1）因雙曲線的焦點(diǎn)在

x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為因所以（1）焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為，雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2

的距離的差的絕對(duì)值等于6；（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且經(jīng)過點(diǎn)。故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。（2）因雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由雙曲線的定義可知，則因所以故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。2.2.2雙曲線的性質(zhì)以雙曲線為例研究雙曲線的幾何性質(zhì)。1．范圍由雙曲線方程可知，雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式即即說明雙曲線位于不等式或所表示的平面區(qū)域內(nèi)，如圖2-13所示。圖2-13例如，雙曲線位于不等式和所表示的平面區(qū)域內(nèi)，如圖2-14所示圖2-142．對(duì)稱性類比研究橢圓對(duì)稱性的方法，容易得到：雙曲線既是分別以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，又是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形．雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。3．頂點(diǎn)在雙曲線中，令y=0

，解得，這說明點(diǎn)是雙曲線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)；同理，令x=0

，得，這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根，這說明雙曲線與y軸沒有交點(diǎn)，但我們也把點(diǎn)

畫在y軸上，如圖2-15所示。圖2-15雙曲線與

x軸的兩個(gè)交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。線段A1A2

叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a

，a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)；線段B1B2

叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于2b

，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。例如，雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

，實(shí)軸長(zhǎng)為6，虛軸長(zhǎng)為8。4．漸近線分別以和作平行于y

軸和

x

軸的平行線，四條直線圍成一個(gè)矩形，把矩形的兩條對(duì)角線所在直線方程，稱為雙曲線的漸近線，如圖2-17所示:圖2-17例如，雙曲線的漸近線為直線。當(dāng)a=b

時(shí)，雙曲線方程可寫作，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線。等軸雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)都等于2a

，漸近線方程為，它們互相垂直，且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角。5．離心率因?yàn)閏>a>0，所以e>1。與橢圓類似，雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e

表示，即因，故由此可知，e

越大，則越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，故雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。例題解析解把已知雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得例3求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程，并用“描點(diǎn)法”畫出它的圖形。其中因此，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為4，虛半軸長(zhǎng)為3，離心率

，漸近線方程為。為畫此雙曲線的圖形，將雙曲線方程變形為求出雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)及其在第一象限范圍內(nèi)的一些點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)，如表2-2所示：表2-2首先描點(diǎn)并用光滑的曲線順次連接這些點(diǎn)，可得雙曲線在第一象限內(nèi)的圖像，然后利用雙曲線的對(duì)稱性畫出整個(gè)雙曲線，如圖2-17所示圖2-17例4求滿足下列條件的雙曲線的方程解因雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（1）實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率為2，焦點(diǎn)在y軸上；（2）一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線方程為。（1）因2a=8，所以a=4

，又，所以c=8

，故因雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條漸近線方程為

，所以解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。（2）因雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為例5雙曲線型冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其中軸（即雙曲線的虛軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖2-18（a）所示，它的最小半徑為12m

，上口半徑為13m

，下口半徑為25m

，高為55m

。在如圖2-18（b）所示的平面直角坐標(biāo)系中，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（精確到1m

）圖2-18（a）（b）解

在給定的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)槔鋮s塔的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，所以a=12，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)為25，13，設(shè)點(diǎn)B，C的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，其中y1<0

，y2>0。因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以解得因冷卻塔高為55m，所以

，即解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。2.3拋物線拋物線的性質(zhì)拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程12本節(jié)內(nèi)容2.3.1拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線的定義圖2-19取一直尺固定在畫圖板上直線的位置，如圖2-19所示。把一塊三角板的一條直角邊BC緊靠在直尺的邊緣，然后用筆尖緊靠著三角板AB

邊，把細(xì)繩拉緊，同時(shí)將三角板緊靠著直尺順勢(shì)上下滑動(dòng)，于是筆尖就畫出一條拋物線。再把一條細(xì)繩（沒有伸縮性）的一端固定在三角板另一條直角邊上的點(diǎn)

E處，截取細(xì)繩的長(zhǎng)等于從點(diǎn)E到直尺邊緣的距離，并且把細(xì)繩的另一端固定在畫圖板上的點(diǎn)F處，由繪圖過程可以看出，筆尖（即動(dòng)點(diǎn)M）在移動(dòng)過程中，始終保持到定點(diǎn)F

和直尺邊緣（BC邊所在直線）的距離相等。一般地，平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l

的直線為x

軸，x

軸與l

相交于點(diǎn)K，以線段KF的垂直平分線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖2-20所示。圖2-20設(shè)焦點(diǎn)

F到準(zhǔn)線

l的距離為p(p>0)

，則，于是焦點(diǎn)F

的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為。設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)，作，垂足為N

，則點(diǎn)N

的坐標(biāo)為。由拋物線定義可知因所以化簡(jiǎn)并整理，得我們把方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x

軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為的拋物線。一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形：，，

，其中p>0

。這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程如表2-3所示。表2-3

例題解析例1求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（1）（2）解（2）將已知拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得因，所以，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為。（1）因2p=4，所以p=2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為。例2求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解因拋物線的焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，所以它的標(biāo)準(zhǔn)方程為因拋物線的準(zhǔn)線在y軸正半軸上，所以它的標(biāo)準(zhǔn)方程為（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）準(zhǔn)線方程為y=8

。（1）因，所以p=6。（2）因，所以p=16

。2.3.2拋物線的性質(zhì)以拋物線為例研究拋物線的幾何性質(zhì)。1．范圍由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線上任意點(diǎn)的橫坐標(biāo)

，這說明這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x

的值增大時(shí)，

也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸，如圖2-21所示。圖2-21拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。在拋物線中，令y=0

，則x=0

，故原點(diǎn)就是這條拋物線的頂點(diǎn)。在拋物線中，把y

換成

，方程不變，這說明這條拋物線關(guān)于x

軸對(duì)稱，故拋物線是軸對(duì)稱圖形。拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。4．離心率拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比叫做拋物線的離心率，用e

表示。由定義可知，e=1。

3．頂點(diǎn)2．對(duì)稱性例題解析例3已知拋物線上的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形。解根據(jù)已知條件，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為解得因點(diǎn)在拋物線上，所以因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。為畫此拋物線的圖形，將拋物線方程變形為

。表2-4圖2-22首先描點(diǎn)并用光滑的曲線順次連接這些點(diǎn)，可得拋物線在第一象限內(nèi)的圖像，然后利用拋物線的對(duì)稱性畫出整個(gè)拋物線，如圖2-22所示。求出拋物線在范圍內(nèi)的一些點(diǎn)的坐標(biāo)，如表2-4所示：解設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為解得例4已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)

，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。將分別代入上述方程，得因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。ThankYou!

中職數(shù)學(xué)本節(jié)內(nèi)容第三章概率與統(tǒng)計(jì)3.1排列與組合3.2二項(xiàng)式定理3.3離散型隨機(jī)變量及其分布3.4二項(xiàng)分布3.5正態(tài)分布3.1排列與組合1排列及排列數(shù)的計(jì)算2組合及組合數(shù)的計(jì)算3排列與組合的應(yīng)用舉例3.1.1排列及排列數(shù)的計(jì)算1．排列案例1

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，共有多少種不同的選法？解決這一問題，需要分成兩個(gè)步驟：第一步確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種方法。第二步

確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從余下的2名同學(xué)中選擇，有2種方法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，在3名同學(xué)中選出2名，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的順序排列的不同方法共有，如圖3-1所示：圖3-1通常將被取的對(duì)象叫做元素，于是上述問題可抽象為：

從3個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排法？所有不同的排列為“甲、乙”“甲、丙”“乙、甲”“乙、丙”“丙、甲”“丙、乙”，故共有6種排法。一般地，從n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。當(dāng)時(shí)，叫做選排列，當(dāng)時(shí)，叫做全排列。例題解析例1寫出從四個(gè)元素a，b，c，d中任取2個(gè)元素的所有排列。

分析

首先任取1個(gè)元素放在左邊，然后在剩余的元素中任取1個(gè)元素放在右邊。解

所有排列為ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc2．排列數(shù)現(xiàn)在研究計(jì)算排列數(shù)的公式。例1中，從4個(gè)元素a，b，c，d中任取2個(gè)元素的排列數(shù)為，可以看出一般地從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示。從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)去填空，一個(gè)空位填1個(gè)元素，每一種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列，所有不同的填法就是排列數(shù)。圖3-2計(jì)算可以這樣考慮：假設(shè)有排好順序的m個(gè)空位（見圖3-2)，填空可分m個(gè)步驟：第一步，從

n個(gè)不同元素中任取1個(gè)填到第1個(gè)位置，有

n種方法；依次類推……第二步，從剩余的個(gè)元素中任取1個(gè)填到第2個(gè)位置，有種方法；第三步，從剩余的

個(gè)元素中任取1個(gè)填到第3個(gè)位置，有種方法；第m步，從剩余的個(gè)元素中任取1個(gè)填到第m個(gè)位置，有種方法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，全部填滿空位的方法總數(shù)為（3-1）由此可得，n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的排列數(shù)為這里，，并且。公式（3-1）叫做排列數(shù)公式。當(dāng)m=n

時(shí)，由公式（3-1）得（3-2）這就是說，n個(gè)不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積。因此，公式（3-2）還可以寫作（3-3）一般地，正整數(shù)1到n的連乘積叫做n的階乘，用表示，即因此，當(dāng)時(shí)，公式（3-1）還可以寫作（3-4）例題解析解例2計(jì)算和。

例3小華準(zhǔn)備從6本世界名著中任選3本，分別送給甲、乙、丙3位同學(xué)每人1本，共有多少種選法？解不同選法的種數(shù)是因此，共有120種不同選法。例4用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法一由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為解法二第一類為三位數(shù)字中含0，由于百位上的數(shù)字不能為0，故只能將0放在十位或個(gè)位，有種方法；然后再從“1，2，3，4，5”五個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)數(shù)字，放到剩余的2個(gè)數(shù)位上，有種方法。由分步計(jì)數(shù)原理可知，這類三位數(shù)的個(gè)數(shù)為。因此，可以組成100個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為第二類為三位數(shù)字中不含0，從“1，2，3，4，5”五個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)數(shù)字放到3個(gè)數(shù)位上，這類三位數(shù)的個(gè)數(shù)為。3.1.2組合及組合數(shù)的計(jì)算1．組合案例2

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，共有多少種不同的選法？從3名同學(xué)中選出2名的可能選法列舉如下：“甲、乙”“甲、丙”“乙、丙”

這個(gè)問題可以理解為從3個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素，不管是怎樣的順序總認(rèn)為是一組，求一共有多少個(gè)組。一般地，從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)

個(gè)元素，組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩者都是從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素。排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)。排列與組合2．組合數(shù)一般地，從

n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從

n個(gè)不同元素中取出m

個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示。以計(jì)算為例，研究組合數(shù)的計(jì)算公式。方法一

方法二從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列，可分兩步完成：第二步，對(duì)每一組的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列。第一步，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素組成一組，有種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，即類似地，可以得到組合數(shù)的計(jì)算公式：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的組合數(shù)為（3-5）這里，，并且。公式（3-1）叫做組合數(shù)公式。由于故公式（3-5）還可以寫作（3-6）容易證明，組合數(shù)具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1（3-7）為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，當(dāng)時(shí)，通常將計(jì)算化為計(jì)算。例如，性質(zhì)2（3-8）性質(zhì)2可以反映出組合數(shù)公式中

m

和

n

之間存在的關(guān)系。例題解析例5計(jì)算：解（1）（2）（3）

例6

周上有10個(gè)點(diǎn)，以任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作圓的內(nèi)解三角形，一共可以畫多少個(gè)？解

所求三角形的個(gè)數(shù)就是從10個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的組合數(shù)，共有因此，一共可以畫120個(gè)圓的內(nèi)接三角形。3.1.3排列與組合的應(yīng)用舉例例題解析

例7平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，其中任何3個(gè)點(diǎn)不共線，以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的（1）線段有多少條？（2）有向線段有多少條？解（1）所求線段的條數(shù)就是從10個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)，共有（2）所求有向線段的條數(shù)就是從10個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的排列數(shù)，共有

例8100件產(chǎn)品中有2件次品，98件合格品，從中任意抽取3件進(jìn)行檢查，問：（1）一共有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解（1）所求不同的抽法數(shù)就是從100個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的組合數(shù)，共有（2）抽出的3件中恰好有1件是次品，可分為兩步完成：第一步，從2件次品中抽出1件；第二步，從98件合格品中抽出2件由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，恰有1件次品的不同抽取方法有（3）解法一：抽出的3件中至少有1件是次品，可分為兩類完成：第一類，抽出的3件中有1件是次品的抽法有種；第二類，抽出的3件中有2件是次品的抽法有種。由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，至少有1件次品的不同抽取方法有

解法二：從100件產(chǎn)品中任取3件的抽法種數(shù)減去3件全是合格品的抽法種數(shù)，就是抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)，即

例9如果7名同學(xué)要排成一列照集體照，有2名同學(xué)必須要相鄰，共有多少種不同的排法？解可分為兩步完成：

第一步，將這2名同學(xué)的順序排好；

第二步，將這2名同學(xué)看作一個(gè)整體，然后與剩下的5名同學(xué)一起排隊(duì)。由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排法共有

例10從6名男生和5名女生中選出3名男生和2名女生排成一行，共有多少種不同的排法？解不同的排法總數(shù)為

例11某城市的電話號(hào)碼是從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取8個(gè)數(shù)字組成（允許數(shù)字重復(fù)），但0和1不能作為電話號(hào)碼的首位數(shù)．問該城市最多可以裝多少部電話？解可分為兩步完成：

第一步，從2，3，4，5，6，7，8，9中任取1個(gè)數(shù)字放在首位；

第二步，從第2位到第8位，每個(gè)位置填入上述10個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)。由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，該城市最多可以裝電話的數(shù)量為3.2二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理我們學(xué)過下面計(jì)算

顯然，計(jì)算結(jié)果中的各項(xiàng)都是從括號(hào)里任取一個(gè)字母的乘積，因而各項(xiàng)都是4次項(xiàng)，其所含字母的形式分別為在上面的四個(gè)括號(hào)里：每個(gè)都不取b的情況有1種，即種，所以a4

的系數(shù)是恰有1個(gè)取b

的情況有種，所以a3b的系數(shù)是恰有2個(gè)取

b的情況有種，所以a2b2的系數(shù)是恰有3個(gè)取b

的情況有種，所以ab3的系數(shù)是恰有4個(gè)取

b的情況有種，所以b4的系數(shù)是因此利用上述方法，得到二項(xiàng)式定理：設(shè)a，b是任意實(shí)數(shù)，n是任意給定的正整數(shù)，則（3-9）公式（3-9）右邊的多項(xiàng)式叫做二項(xiàng)展開式，共有n+1

項(xiàng)，其中每一項(xiàng)的系數(shù)叫做該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，第m+1

項(xiàng)叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng)，記作。由公式（3-9）可以看出，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為（3-10）在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè)a=1，b=x則得到公式2．“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)由二項(xiàng)式定理可以得到上述由二項(xiàng)式系數(shù)列成的表，稱為楊輝三角。觀察楊輝三角，可以看出二項(xiàng)式系數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）每一行的兩端都是1，其余每個(gè)數(shù)都是它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和；（2）每一行中與首末兩端“等距離”的兩個(gè)數(shù)相等；（3）如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n

是偶數(shù)，那么它的展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n

是奇數(shù)，那么二項(xiàng)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且相等。例題解析解由于所以例1寫出的展開式。解例2求的二項(xiàng)展開式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)。因的二項(xiàng)展開式的第4項(xiàng)為所以展開式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，系數(shù)為。解其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為例3