五年高考三年聯(lián)考數(shù)學(xué)分章練習(xí)：圓錐曲線

第九章解析幾何第二節(jié)圓錐曲線

第二節(jié)圓錐曲線

第一部分五年高考薈萃

2009年高考題

2009年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——圓錐曲線

一、選擇題

22

1.（2009全國卷I理）設(shè)雙曲線==1（a>0,b>0）的漸近線與拋物線y=/+l相切，

a'b~

則該雙曲線的離心率等于（）

A.V3B.2C.V5D.V6

【解析】設(shè)切點(diǎn)P（x0,%）,則切線的斜率為y2七.

由題意有比=2x0又％=+1

2

解得：x0=l,:.—=2,e=Jl+（今=75.

【答案】C

丫2

2.（2009全國卷I理.）已知橢圓C:耳+y2=1的右焦點(diǎn)為尸，右準(zhǔn)線為/，點(diǎn)Aw/,線段

AF交C于點(diǎn)B,若放=3而，則I宿=（）

A.V2B.2C.V3D.3

【解析】過點(diǎn)B作5M_L/于M,并設(shè)右準(zhǔn)線/與X軸的交點(diǎn)為N,易知FN=1.山題意FA^SFB,

故IBM1=2.又由橢圓的第二定義,得|8尸|=也.2='2二|AFhV2.故選A

3233

【答案】A

22

3.（2009浙江理）過雙曲線「一斗=1（。>02>0）的右頂點(diǎn)4作斜率為-1的直線，該直

a~b~

線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為8,C.若AB=-8C,則雙曲線的離心率是（）

2

A.V2B.y/3C.75D.VW

【解析】對于A（a,0）,則直線方程為x+y-a=0,直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B,C,

小二?41?！?一4）則有

a+b）a-ba-b

前=（4^y,-4^）,而=j-四,士］,因2通=陽二4/=b?,:.e=6

a-ba-b\a+ba+b）

【答案】C

22

4.（2009浙江文）已知橢圓與=1（?！地埃?）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢

ab-

圓上，且8尸，x軸，直線交y軸于點(diǎn)P.若而=2而，則橢圓的離心率是（）

V3V211

A-B.C.—D.一

2232

【解析】對于橢圓，因?yàn)?=2而，則OA=2OF,;.4=2c,；.e=L

2

【答案】D

5.（2009北京理）點(diǎn)P在直線/:y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=于A,8兩

點(diǎn)，且IPA=148I,則稱點(diǎn)P為“，夕點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是

（）

A.直線I上的所有點(diǎn)都是“，3點(diǎn)”

B.直線/上僅有有限個(gè)點(diǎn)是““名點(diǎn)”

C.直線/上的所有點(diǎn)都不是“，夕點(diǎn)”

D.直線/上有無窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“，嫉點(diǎn)”

【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以,及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和

解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.

本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，

則B（2m-x,2”一x—2）,

???A,B^.y=x21.,

n="2

2n-x+1=(2m-x)2

消去"，整理得關(guān)于x的方程x2-（4/n-l）x+2w2-l=0（1）

?/A=(4/n-I)2-4(2加2-l)=8w2-8zn+5>0恒成立,

...方程（1）恒有實(shí)數(shù)解，，應(yīng)選A.

【答案】A

22

6.（2009山東卷理）設(shè)雙曲線0—4=1的一條漸近線與拋物線y=x?+l只有?個(gè)公共點(diǎn),

a2b2

則雙曲線的離心率為（）.

5V5/T

A.-B.5C.——D.V5

42

【解析】雙曲線=1的一條漸近線為y=^x,由方程組，消去y,得

ab~a2i

[y=X

x2—2x+l=O有唯一解，所以△=（2）2—4=0,

aa

b-cyja2+b2,,b、,rz,,,

所以一=2,e=—=-------=./1+（-）'=<5做選vuD.

aaa\a

【答案】D

【命題立意】：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念，以及直線與拋物線的位置

關(guān)系，只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技

能.

7.（2009山東卷文）設(shè)斜率為2的直線/過拋物線y2=ax（。=0）的焦點(diǎn)F,且和y軸交于點(diǎn)

4若△OAF（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4,則拋物線方程為（）.

A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x

【解析】拋物線：/=如（。00）的焦點(diǎn)下坐標(biāo)為（3,0）,則直線/的方程為）；=2。—@）,

44

它與y軸的交點(diǎn)為A（0,—巴）,所以△OAF的面積為」1區(qū)1-141=4,解得。=±8.所以拋物線

2242

方程為y2=±8x,故選B.

【答案】B

【命題立意】：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直線的點(diǎn)斜式方程和三角形面

積的計(jì)算.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，其中還隱含著分類討論的思想，因參數(shù)。的符號不定而

引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點(diǎn)位置的相應(yīng)變化有兩種情況，這里加絕對值號可以做

到合二為一.

22

8.（2009全國卷II文）雙曲線--二=1的漸近線與圓（X—3）2+/=戶&＞（））相切，

則后（

A.6

【解析［本題考查雙曲線性質(zhì)及圓的切線知識，由圓心到漸近線的距離等于r,可求「=百

【答案】A

9.（2009全國卷H文）已知直線y=k（x+2）（k〉0）與拋物線C：/=8x相交A、8兩點(diǎn),

F為C的焦點(diǎn)。若|E4|=2上理，則k=（）

【解析】本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點(diǎn)即拋物線焦點(diǎn)（2,0）,由

忻川=2歸國及第二定義知4+2=2（XB+2）聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求k=2f.

【答案】D

10.（2009安徽卷理）下列曲線中離心率為理的是

了一萬

【解析】由6=逅得二=

【答案】B

11.（2009福建卷文）若雙曲線'一段=1（?！怠＃┑碾x心率為2,則a等于（

B.y/3

【解析】由片=1可知虛軸b=&,而離心率e=￡='Y+3=2,解得或。=3,

a13々c-

參照選項(xiàng)知而應(yīng)選D.

【答案】Dj-

12.（2009安徽卷文）下列曲線中離心率為的更是（.（）

2

W_W=l±.±=1D.AB

A.24B.42c.46

【解析】依據(jù)雙曲線「—4=1的離心率e=反可判斷得.e=￡=業(yè).選B。

a"b'aa2

【答案】B

x1y2

13.（2009江西卷文）設(shè)片和瑪為雙曲線彳=1（。＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若可，居,

a'b

P（0,2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為

3c5

A.-B.2C.-D.3

22

【解析】由tan工=￡=且有3c2=4/=4（c?-/）,則e=￡=2，故選B.

62b3a

【答案】B

22

14.（2009江西卷理）過橢圓二+烏=1（?！瞪场?）的左焦點(diǎn)大作》軸的垂線交橢圓于點(diǎn)

a~b~

P,工為右焦點(diǎn)，若/耳尸入=60°,則橢圓的離心率為

AV211

A.——C.一D.-

223

【解析】因?yàn)槭ā猚,±J2）,再由/月尸工=60°有3工b2=2a,從而可得e且，故選B

aaa3

【答案】B

15.（2009天津卷文）設(shè)雙曲線餐一看=1（。＞0力〉0）的虛軸長為2,焦距為2k，則

ab~

雙曲線的漸近線方程為（）

亞1

A.y=±V2xB.y=±2xC.y=±----xD.y=±-x

【解析】由已知得到力=l,c=6,a=Jc2—〃=啦,因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故漸

近線方程為y=±'工二±事工

【答案】c

【考點(diǎn)定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和運(yùn)用。考察了同學(xué)們的運(yùn)算能力和推理

能力。

2222

16.（2009湖北卷理）已知雙曲線2-匕=1的準(zhǔn)線過橢圓上+4=1的焦點(diǎn)，則直線

224/

y=履+2與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是（）

K￡1—00,——

A.Ke-11B.U［；，+8)

2'2

V2V2也］I,也

D.KG-00,-,4-oo

272

7

2）

【解析】易得準(zhǔn)線方程是彳=±幺=±3=±1

b2

所以。2=/一〃=4一/=1即〃=3所以方程是《+￡=1

43

聯(lián)立y=H+2可得31+（4k2+16k）x+4=0由AW0可解得A.

【答案】A

22

17.（2009四川卷文、理）已知雙曲線5-4=1仍＞°）的左、右焦點(diǎn)分別是居、巳，

其一條漸近線方程為y=X,點(diǎn)P（瓜y0）在雙曲線上.則西?而=（）

A.—12B.—2C.0D.4

【解析】由漸近線方程為y=x知雙曲線是等軸雙曲線，.?.雙曲線方程是x2-y2=2,于

是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(一2,0)和(2,0),且P(6,l)或P(后,-1).不妨去P(VJ,1),則

麗=(一2-6，-1),麗=(2-百1).

.?.麗.西=(-2-V3-1)(2-V3-1)=-(2+73)(2-73)4-1=0

【答案】C

18.（2009全國卷H理）已知直線丁=A（％+2）伙〉0）與拋物線C：V=8x相交于A、B兩

點(diǎn)，/為C的焦點(diǎn)，若IE4I=2IEBI,則k=（）

1、2D.逑

A.-Da.-0---------C.一

3333

【解析】設(shè)拋物線C：/=8尤的準(zhǔn)線為/:x=-2直線

1="(》+2)仕>0)恒過定點(diǎn)「(一2,0).如圖過A、B

分別作AM_L/于M,BNJJ于N,^\FA\=2\FB\,

則1AMl=2IBNI,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn).連結(jié)。3,則1。8l=-IAFI,

2

/.IOB1=1BFI點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,故點(diǎn)5的坐標(biāo)為

(1,2揚(yáng).北二?-。=巫,故選D.

1-(-2)3

【答案】D

22

19.(2009全國卷II理)已知雙曲線C：二—2=1(?！?/>0)的右焦點(diǎn)為F,xLF且斜率

a~b-

為G的直線交。于A、B兩點(diǎn)，若而=4而，則C的離心率為()

6759

A.-B.-C.-D.一

5585

22

【解析】設(shè)雙曲線。：三一2r=1的右準(zhǔn)線為/，過A、B分別作AMU于M,BNJJ于

ah

N,8。，AM于￡>,由直線AB的斜率為6,知直線AB的傾斜角

60°NBAD=60°,IAD\^-\AB\,

2

由雙曲線的第二定義有

1—?—11一一.

\AM\-\BN1=1ADl=-(lAFI-11)=—IA81=—(1A川+1I).

e22

——1—5—?6

又A尸=4尸8—?31FB1=—IF81.1,e=—.

e25

【答案】A

20.(2009湖南卷文)拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)

【解析】由V=—8x,易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-§0)=(-2,0),故選B.

【答案】B

22

21.(2009寧夏海南卷理)雙曲線二=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()

412

A.2V3B.2C.V3D.l

2

Xy2|V3X4-0|R

【解析】雙曲線二=1的焦點(diǎn)（4,0）到漸近線y=瓜的距離為d=J---------L=2V3,

4122

【答案】A

22.（2009陜西卷文）“北>“>0”是“方程32+犯2=1”表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，，的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

【解析】將方程〃狀2+〃），2=1轉(zhuǎn)化為亍+寧=1,根據(jù)橢圓的定義，要使焦點(diǎn)在y軸上必

tnn

須滿足上>0—>0,所以

mnnm

【答案】C

22

23.（2009全國卷I文）設(shè)雙曲線*■一方=l（a>0,b>0）的漸近線與拋物線y=x?+l相

切，則該雙曲線的離心率等于（）

A.也B.2C.A/5D.V6

【解析】由題雙曲線Y一~一3v?=l（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=—hx,代入拋物線

方程整理得a--加r+a=0,因漸近線與拋物線相切，所以從一加2=0,即

c2=5a20e=Vs,故選擇C.

【答案】c

2222

24.（2009湖北卷文）已知雙曲線二-"=1的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓二+鼻=1（6>0）的焦點(diǎn)，則

224b2

b=（）

A.3B.V5C.V3D.V2

【解析】可得雙曲線的準(zhǔn)線為*=±也=±1,又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為（±6F,0）所以有

C

“-從=1.即代3故爐百.故C.

【答案】C

27.（2009天津卷理）設(shè)拋物線/=2x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M（6，0）的直線與拋物線相交

于48兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C,2用二2,則ABCF與A4CF的面積之比」以=（）

SMCF

13

又IBF1=xB4—=2=>=—=>=-V3

22

由A、8、M三點(diǎn)共線有,也一U=,也一為一即°［聲;="4,故=2,

XXXX

M-AM-BV3-XA

.?.9"口=丸山=土乂=3,故選擇A。

S.er2*A+14+15

【答案】A

28.（2009四川卷理）已知直線/1：4x-3y+6=0和直線4：x=-l，拋物線V=4x上一

動(dòng)點(diǎn)P到直線4和直線4的距離之和的最小值是（）

1137

A.2B.3C.—D.—

516

【考點(diǎn)定位】本小題考查拋物線的定義、點(diǎn)到直線的距離，綜合題。

【解析1】直線4：x=-l為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，由拋物

線的定義知，夕到人的距離等于夕到拋物線的焦點(diǎn)b(L0)的距離，故本題化為在拋物線

V=4x上找?個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)歹(1,0)和直線乙的距離之和最小，最小值為歹(1,0)到直

14-0+61

線4：4x—3y+6=0的距離，B|JJmin=——-——=2,故選擇A。

13x1-0+61

【解析2】如圖，由題意可知d==2

A/32+42

【答案】A

二、填空題

29.(2009寧夏海南卷理)設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(l,0),直線/與拋

物線C相交于48兩點(diǎn)。若的中點(diǎn)為(2,2),則直線/的方程為.

【解析】拋物線的方程為>2=4x,

4(為，必)，8(工2，%),則有玉*》,,<；

兩式相減得，才一學(xué)=4(玉一為),：.江處=」一=1

玉一々%+%

???直線1的方程為y-2=x-2,即y=x

【答案】y=x

22

30.(2009重慶卷文、理)已知橢圓7+乒=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

ac

片(-c,0),F2(C,0),若橢圓上存在一點(diǎn)P使---------=---------,則該橢圓的離心率的

sinPFtF2sinPF2Ft

取值范圍為.

【解析1】因?yàn)樵凇霸?中，由正弦定理得-----=------!—

sinPF}F2sinPF2Ft

則由已知，得一L=—J,即aP￡=cPF,

設(shè)點(diǎn)(x0,%)由焦點(diǎn)半徑公式，得PF】=a+ex0,PF2=a-ex0則a(a+綺)=c(a-ex0)

記得X。=絲二色=四二D由橢圓的幾何性質(zhì)知%0>則>—a,整理得

e(c-a)e(e+l)e(e+l)

「2+2e—1>0,解得e<-V2—1或e〈亞—1,又ee(0/)，故橢圓的離心率ee(0—1,1)

【解析2】由解析1知尸耳=—尸居由橢圓的定義知

a

c2a2

PR+PF,=2a則一PF?+PF,=2a即PF,=——由橢圓的幾何性質(zhì)知

ac+a

02

PF,<a+c,則§—<a+c,既c2+2c—/〉0,所以e?+2e—1〉0,以下同解析1.

c+a

【答案】（及_1,1）

22

31.（2009北京文、理）橢圓、~+、=1的焦點(diǎn)為6,招，點(diǎn)P在橢圓上，若IP^I=4,則

\PF21=;/耳尸鳥的大小為.

【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬

于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.

「a294=3,

:.c-yja2—b2-J9—2=V7,

.?.庶|=26,

又忸制=4,|「周+忸聞=24=6,.]/周

2

22+42-

又由余弦定理，得cosN/^P招

2x2x42

/人產(chǎn)工=120°,故應(yīng)填2,120°.

32.（2009廣東卷理）巳知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在無軸上，離心率為且，

2

且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為

同22

【解析】e=Y2,2?=12,a=6,b=3,則所求橢圓方程為二+二=1

2369

22

【答案】上+二=1

369

33.（2009四川卷文）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是

【解析】焦點(diǎn)F（1,0）,準(zhǔn)線方程x=—l,.?.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.

【答案】2

22

34.（2009湖南卷文）過雙曲線C：節(jié)x一J=1（a>0,/?>0）的一個(gè)焦點(diǎn)作圓f+y2=/的

a~b"

兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,若4408=120"（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線線C

的離心率為_:

【解析】ZA05=120°nZ/1OF=60°nZAP。=30°nc=2ae=￡=2.

a

【答案】2

35.（2009福建卷理）過拋物線/=2Px（p>0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于

A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8,則〃=

【解析】由題意可知過焦點(diǎn)的直線方程為y=x-",聯(lián)立有

2

y2px2______I2"

2

<p=>x-3px+-^-=0,又|A8|=’（1+尸）（3p）2_4x2=8=p=2。

y-x--4V4

[2

【答案】2

22

36.（2009遼寧卷理）以知F是雙曲線二—二=1的左焦點(diǎn)，4（1,4）,P是雙曲線右支上的

412

動(dòng)點(diǎn)，貝舊日+|PA|的最小值為o

【解析】注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間，且雙曲線右焦點(diǎn)為尸（4,0）,

于是由雙曲線性質(zhì)|PF|一|PF'|=2a=4

而|PA|十|P尸尸|=5

兩式相加得|PF|+|%|29,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)等號成立.

【答案】9

37.（2009寧夏海南卷文）已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線片x與拋

物線C交于48兩點(diǎn)，若尸（2,2）為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為o

【解析】設(shè)拋物線為犬=依，與y=x聯(lián)立方程組，消去y,

2

得：x~kx—0,X]+x2—k—2X2,故）2=4x.

【答案】V=4x

38.（2009湖南卷理）已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一

個(gè)內(nèi)角為60°,則雙曲線C的離心率為;

【解析】連虛軸一個(gè)端點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)及原點(diǎn)的三角形，由條件知，這個(gè)三角形的兩邊直角分

別是b,c（b是虛半軸長，c是焦半距），且一個(gè)內(nèi)角是30°,即得2=tan30°,所以c=標(biāo),

C

所以a=,離心率e=￡=

aJ22

【答案】—

2

22

39.（2009年上海卷理）已知大、居是橢圓C：二?+鼻=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P

ab

為橢圓C上一點(diǎn)，且麗J?職.若APK4的面積為9,則。=.

IPF,I+IPF21=2a

【解析】依題意，有“PKl?IPB1=18,可得4c2+36=4。2,即/—C2=9,

2

IPF,I+1PF2“A?

故有b=3o

【答案】3

三、解答題

40.（2009年廣東卷文）（本小題滿分14分）

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在X軸上，離心率為日，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為E和工,橢圓G

上一點(diǎn)到K和F2的距離之和為12.圓Q:爐+/+2H一4y-21=0伏eR）的圓心為點(diǎn)

⑴求橢圓G%方程

（2）求人\/尸2的面積

⑶問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理山.

22

解（1）設(shè)橢圓G的方程為：］+與=1（a>b〉0）半焦距為c；

a"h"

2a=12「/

a=6、，、

則《cG，解得〈廠，../2=a2_c2=36—27=9

—=—c=3/3

、a2

22

所求橢圓G的方程為：—+^=1.

369

（2）點(diǎn)4的坐標(biāo)為（—K,2）

Sv%%=，柩2、2=，66X2=66

（3）若女20,由62+。2+I2K—0-21=15+12K>0可知點(diǎn)（6,0）在圓G外，

若上<0,由（―6嚴(yán)+。2一]24一0—21=15—12KA0可知點(diǎn)（-6,0）在圓G外;

不論K為何值圓Ck都不能包圍橢圓G.

41.（2009浙江理）（本題滿分15分）

22

已知橢圓G：二+==1伍〉匕>0）的右頂點(diǎn)為A（I,O）,過c的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦

a~h'

長為1.

（I）求橢圓G的方程；

（II）設(shè)點(diǎn)P在拋物線G：y^x2+h（h&R）h,C?在點(diǎn)P處的切線與G交于點(diǎn)

M,N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求人的最小值.

解（I）由題意得，從，所求的橢圓方程為皂+爐=1,

2—=1匠14

.a

（ID不妨設(shè)例（士,弘）”（々,必），%，，/+〃），則拋物線G在點(diǎn)P處的切線斜率為

y'\x=l=2t,直線MN的方程為y=2比一/+〃，將上式代入橢圓G的方程中，得

4/+（2fx—『+力）2_4=0,即4（1+『）/一4/（一一力口+（『一力）2一4=0,因?yàn)橹本€

MN與橢圓G有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有'=16["+2（/i+2）r-/z2+4]>0,

設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是七，則七=與五=R，

設(shè)線段外的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是乙，則/=；-,由題意得》3=4，即有/+（1+/7?+1=0,

其中的42=（1+力）2—420,二//21或64—3；

當(dāng)//4一3時(shí)有/?+2<0,4—<0,因此不等式4=16[—/+2(〃+2)產(chǎn)—r+4]>()不

成立；因此當(dāng)〃=1時(shí)代入方程產(chǎn)+(1+〃?+1=0得f=一1,將〃=1,f=一1代入不

等式劣=16[-，+2(力+2)*一/+4]>0成立,因此力的最小值為1.

42.(2009浙江文)(本題滿分15分)

]7

已知拋物線C：x2=2py(p>0)上一點(diǎn)A(m,4)到其焦點(diǎn)的距離為一.

4

(I)求p與機(jī)的值；

(II)設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為fQ>0),過尸的直線交C于另一點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)

M,過點(diǎn)。作P。的垂線交。于另一點(diǎn)N.若MN是。的切線，求，的最小值.

解(I)由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：)，=-4，根據(jù)拋物線定義

2

點(diǎn)A(m,4)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即4+^=?,解得p=5

拋物線方程為：/=y,將A(加,4)代入拋物線方程，解得m=±2

(II)由題意知，過點(diǎn)PQ,J)的直線尸。斜率存在且不為o,設(shè)其為k。

,2?1*

則l：>一產(chǎn)=k(x—f),當(dāng)y=0,x==~則用I'十燈,0)。

kk

聯(lián)立方程J，一’:Mx-。，整理得：——履+以―。=0

廠二y

即：(x-0[x-()t-0]=0,解得x=，，或工=火一￡

01

???Q(Z—兀(攵一1)2),而QNJ.QP,.??直線NQ斜率為——

k

2

.-.lNQ:y-(k-t)^-hx-(k-t)],聯(lián)立方程上一(二一在一(1)]

整理得：x2+-x--(k-t)-(k-t)2=0,即：kx2+x-(k-t)[k(k-t)+\]^0

kk

[H+Z(A—+—(k—f)]=o,解得：x=_MD+l,^x=k-t

k

,^-o+l[^-0+l]\

??N(——k—，—P—)’

[k(k-t)+1]2

.K=/_________je-kt+1)2

"網(wǎng)-k(k-t)+l~t2+kt~k(t2~k2~l)

1IT

而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：k切=y'“",刑=-2k(J)-2

EkU.”743Ali(Zc~—kt+1)—2k(k—t)-2

???MN是拋物線的切線，--——=-------------,

乂/―/_])k

???整理得％2+虎+1-2產(chǎn)=0

2?2

A=r2-4(1-2Z2)>0,解得——(舍去)，或.?.總1,=—

333

43.(2009北京文)(本小題共14分)

226

已知雙曲線C:二—與=1(。>02>0)的離心率為V3,右準(zhǔn)線方程為-?

ab3

(I)求雙曲線C的方程；

(II)已知直線x-y+〃?=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)4B,且線段AB的中點(diǎn)在圓

x2+y2=5t,求m的值.

【解析】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程

的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力.

a2V3

解（I）由題意，得|’3,解得。=1,，=6，

2

???/=,2—/=2,??.所求雙曲線C的方程為尤2一二二1.

2

（II）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（*,以）,（々,>2），線段A8的中點(diǎn)為M（x。,%）,

2_Z

由《X2=—1得f—2加X—m2—2=0（判別式△>（））,

x+y+機(jī)=0

x,+x9c

x0=2~=m,y0=x0+m=2m,

?.?點(diǎn)M（Xo，yo）在圓f+y2=5上，

m2+（2m）=5,m=±1.

44.（2009北京理）（本小題共14分）

226

已知雙曲線C:二一與=1（。＞02＞0）的離心率為百，右準(zhǔn)線方程為x=—

a~b~3

（I）求雙曲線C的方程；

（II）設(shè)直線/是圓。：/+＞2=2上動(dòng)點(diǎn)尸（%,%）（/%/0）處的切線，/與雙曲線C交

于不同的兩點(diǎn)A,8,證明ZAOB的大小為定值.

【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程

的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力.

（I）由題意，得|’3,解得a=i,c=G，

[a

2

b2=c2-a2=2,/.所求雙曲線C的方程為爐一2v_=1.

2

（H）點(diǎn)P（xo，%）（xoyowO）在圓尤2+）,2=2上，

圓在點(diǎn)p（xo，%）處的切線方程為/_%=_區(qū)（*_/），

%

化簡得+=2.

y2

/2_2__=]

由彳2及+y；=2得（3x；—4J%2—4x0x+8—=0,

[x0x+y0y^2

?.?切線/與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且0＜片＜2,

.,.3年-4聲0,且3=16宕_4（3*_4）（8-2片）＞0,

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（王，月）,（々,%），

4/_8-2/

則玉+x2

OAOB

'/cosZAOB=且

OAOB=x1x2+y,y,=x,x2+—（2-%0^）（2-%0%2）,

=玉々H----+x2）+XpX1X2^

2—

=8-2x；+]l_4_8x：+玉；（8-2引

3x；—42-xj[3x；—43XQ—4

_8_2x；8-2x；_0

3x；-43x；-4

NAOB的大小為90°.

【解法2】（I）同解法1.

（II）點(diǎn)尸（公,%）（與〉0/0）在圓/+）,2=2上,

圓在點(diǎn)P（xo，y（））處的切線方程為y_y（）=_區(qū)卜_/），