黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024--2025學(xué)年度開學(xué)初考試高二數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）1.復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出復(fù)數(shù)后，結(jié)合復(fù)數(shù)定義即可得.【詳解】，故其實(shí)部為2．故選：C.2.已知一個(gè)水平放置的用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖如圖所示，且，則其平面圖形的面積是（）A.4 B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫出平面圖形，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，即可求出平面圖形的面積.【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，所以.故選：A3.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.至少有1個(gè)白球和都是白球 B.至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球C.恰有1個(gè)白球和恰有2個(gè)白球 D.至少有1個(gè)白球和都是紅球【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和對(duì)立事件的概念分析各個(gè)選項(xiàng)的具體含義求解即可.【詳解】“至少有1個(gè)白球”和“都是白球”可以同時(shí)發(fā)生，故它們不互斥；“至少有1個(gè)白球”和“至少有1個(gè)紅球”，因?yàn)?個(gè)白球1個(gè)紅球時(shí)兩種情況同時(shí)發(fā)生，故它們不互斥；“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥，當(dāng)2個(gè)球都是紅球時(shí)它們都不發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件；“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥.因?yàn)樗鼈儽赜幸粋€(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件.故選：C.4.為了解某中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生對(duì)食堂飯菜的滿意程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取30%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知該中學(xué)學(xué)生人數(shù)和各年級(jí)學(xué)生的滿意率分別如圖1和圖2所示，則樣本容量和抽取的二年級(jí)學(xué)生中滿意的人數(shù)分別為（）A.800，360 B.600，108 C.800，108 D.600，360【答案】B【解析】【分析】由扇形圖求出三個(gè)年級(jí)的學(xué)生總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出樣本容量，求出抽取的二年級(jí)學(xué)生人數(shù)，再結(jié)合二年級(jí)學(xué)生的滿意率求解.【詳解】由扇形圖可知，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人，所以樣本容量為人，因?yàn)槌槿〉亩昙?jí)學(xué)生人數(shù)為人，所以抽取的二年級(jí)學(xué)生中滿意的人數(shù)為人.故選：B5.已知是單位向量，，若在方向上的投影向量是，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知根據(jù)投影向量的定義得出即可求解.【詳解】因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄渴?，所以，所以，又所?故選：D.6.如圖，在正四面體ABCD中．點(diǎn)E是線段AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作直線BD的平行線，交AB于點(diǎn)F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補(bǔ)角，利用余弦定理求解即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)E作直線BD的平行線，交AB于點(diǎn)F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，易得，，在中，由余弦定理得，所以異面直線EC與BD所成角的余弦值為．故選：A．7.萬(wàn)丈懸梯高可攀，白塔座落嘉陵邊．白塔作為閬中市的標(biāo)志性建筑之一．當(dāng)你登臨頂層，會(huì)欣賞到閬中AAAAA風(fēng)景的全貌．感覺人仿佛在凌空飛翔．現(xiàn)有一數(shù)學(xué)興趣小組，如圖，測(cè)量河對(duì)岸的白塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得米，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t測(cè)得的塔高為（）米．

A. B.10 C. D.30【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得由余弦定理可得的值，然后在中，由，即可得到結(jié)果.【詳解】在中，由得所以米，在中，由余弦定理可得，所以，在，可得，所以米.故選：D8.如圖，在中，M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，P是線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，，，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，利用三角形相似得到，，表達(dá)出，利用基本不等式求出最值即可.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)镸，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，所以，，故，因?yàn)椤祝裕O(shè)，則，，故，故，同理可得，，因?yàn)椤?，所以，設(shè)，則，，，故，，則因?yàn)?，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.一組樣本數(shù)據(jù)為7，12，13，17，18，20，32，則（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的極差、第百分位數(shù)和平均數(shù)的公式計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng)；【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，極差等于，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，，故分位數(shù)為20，B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，平均數(shù)等于；故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D項(xiàng)正確，故選：ACD．10.已知互不相同的兩條直線，和兩個(gè)平面，，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，且，則D.若，，且，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】對(duì)于A，若，，則或與異面，故A不正確；對(duì)于B，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，B正確；對(duì)于C，若，，且，則或與相交，故C不正確；對(duì)于D，若，，則，過(guò)作平面，使得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確是（）A.若，則將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，能得到函數(shù)的圖象B.若，則當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.若在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】AD【解析】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，則將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，則的值域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；令，，則，，又，若在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故C錯(cuò)誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，又，所以，解得，又，所以，由可得，要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故D正確．故選：AD．三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)12.已知向量，且，則__________.【答案】4【解析】【分析】先算出的坐標(biāo)，然后由向量的數(shù)量積公式列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，而，所以，解?故答案為：4.13.一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為8，內(nèi)裝水若干（如圖1，底面處于水平狀態(tài)將容器放倒（如圖2，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時(shí)水面所的平面與各棱交點(diǎn)E，F(xiàn)，，分別為所在的棱的中點(diǎn)，則圖1中水面的高度為________．【答案】6【解析】【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，在圖1中，設(shè)水面的高度為，根據(jù)圖1和圖2中水的體積相等可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則，在圖1中，設(shè)水面的高度為，則水的體積為，在圖2中，幾何體直四棱柱，因?yàn)闉榈冗吶切?，分別為棱的中點(diǎn)，所以，則水的體積為，解得.故答案為：6.14.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，的面積為，滿足，若，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由結(jié)合余弦定理和面積公式可得，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得的值，由化簡(jiǎn)得，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，從而可求出的最小值.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)椋?，即，解得或（舍去），因?yàn)?，所以，在銳角中，有，，則，所以，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，設(shè)（），則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用余弦定理和三角形的面積公式對(duì)化簡(jiǎn)變形，考查計(jì)算能力，屬于難題.四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)15.已知，，．（1）求與的夾角；（2）求與．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開已知條件，將，代入求解可得；（2）利用向量平方等于模的平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，得，即，求得，再由，可得．【小問(wèn)2詳解】；．16.2024年5月15日是第15個(gè)全國(guó)公安機(jī)關(guān)打擊和防范經(jīng)濟(jì)犯罪宣傳日，某市組織了多個(gè)小分隊(duì)走進(jìn)社區(qū)，走進(jìn)群眾，開展主題為“與民同心，為您守護(hù)”的宣傳活動(dòng)，為了讓宣傳更加全面有效，某個(gè)分隊(duì)隨機(jī)選擇了200位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：（1）請(qǐng)估計(jì)這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；（2）現(xiàn)用分層抽樣方法從年齡在區(qū)間和兩組市民中一共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）首先求出年齡在區(qū)間和中抽取的人數(shù)，再列出所有可能結(jié)果，最后由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：；【小問(wèn)2詳解】樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，年齡在區(qū)間的頻率為，則年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、、、，年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、，從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪可能結(jié)果有、、、、、、、、、、、、、、共個(gè)，其中滿足抽取的2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個(gè)，所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.17.甲?乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒(méi)有影響．（1）求甲?乙各射擊一次，至少擊中目標(biāo)一次的概率；（2）若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標(biāo)就會(huì)被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.（2）根據(jù)“第次擊中，后兩次未擊中”求得乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．【小問(wèn)1詳解】甲?乙各射擊一次，至少擊中目標(biāo)一次的概率為：.【小問(wèn)2詳解】乙恰好射擊4次后被終止射擊，則“第次擊中，后兩次未擊中”，故所求概率為：.18.在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并作答.①；②；③的面積為（如多選，則按選擇的第一個(gè)記分）問(wèn)題：在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且

.（1）求角；（2）若，求面積的最大值；（3）在（2）的條件下，若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）3（3）【解析】【分析】（1）選①：由正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到求解；選②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；選③利用三角形面積公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.（2）利用余弦定理和基本不等式即可解題；（3）由正弦定理得到，從而有求解.【小問(wèn)1詳解】若選①：由正弦定理得，則，，，．若選②：，切化弦，得到，則由正弦定理得，，即，，，若選③：，則，由正弦定理得，，.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取“＝”號(hào)，即．，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取得最大值．【小問(wèn)3詳解】由正弦定理得，則，，由于為銳角三角形，則，..19.如圖，在矩形中，，，是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著BM折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段BC上．（1）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，①證明：平面；②求二面角的余弦值；（2）設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角A'-BM-C的平面角為，求【答案】（1）①證明見解析；②（2）【解析】【分析】（1）①由題意可得，，，則平面，從而有，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；②過(guò)E作EO⊥BD于點(diǎn)O，連接，可證得為二面角的平面角，然后在中求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)做交于，所以直線與平面所成的角,即為直線與平面所成的角，過(guò)E作EO⊥BM于點(diǎn)O，連接，連接，是直線與平面所成的角，是二面角A'-BM-C平面角，設(shè)，然后表示出化簡(jiǎn)后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.【小問(wèn)1詳解】①當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，由可知，由題意知平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以因?yàn)?，平面，平面，所以平面；②過(guò)E作EO⊥BD于點(diǎn)O，連接.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)镋O⊥BD，，，平面，所以平面，因平面，所以，所以為二面角的平面角,且在四邊形ABCD中，A、O、E三點(diǎn)共線.因?yàn)樗裕?，所以，所以，所以，所以在中，，即二面角的余弦值?【小問(wèn)2詳解