高中三角函數(shù)專題練習(xí)題(及答案)

高中三角函數(shù)專題練習(xí)題（及答案）一、填空題1．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了"勾股圓方圖"，亦稱"趙爽弦圖"(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成)．類比"趙爽弦圖"，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)若，則λ-μ的值為___________2．已知函數(shù)，圓的方程為，若在圓內(nèi)部恰好包含了函數(shù)的三個極值點，則的取值范圍是______.3．三棱錐中，平面，直線與平面所成角的大小為，，，則三棱錐的外接球的表面積為________．4．已知函數(shù)若存在實數(shù)a、b、c、d滿足（其中），則的取值范圍是______.5．在中，，為的外心，且有，，若，，則________．6．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在區(qū)間上的最高點和最低點共有個，下列說法正確的是___________.①在上有且僅有個零點；②在上有且僅有個極大值點；③的取值范圍是；④在上為單遞增函數(shù).7．已知函數(shù)，：①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；②函數(shù)的最小正周期是；③把函數(shù)f(2x)圖象上所有點向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)y=圖象的對稱軸完全相同；④函數(shù)在R上的最大值為2.則以上結(jié)論正確的序號為_______________8．已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)，則的最大值是______．9．若向量滿足，則的最大值是___________.10．已知，是以為圓心，為半徑的圓周上的任意兩點，且滿足，設(shè)平面向量與的夾角為()，則平面向量在方向上的投影的取值范圍是_____.二、單選題11．在△ABC中，，F(xiàn)為△ABC的外心，則（

）A．-6 B．-8 C．-9 D．-1212．已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．13．已知函數(shù)，a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且則下列不等式一定成立的是（

）A． B．f(cosA)≤f(cosB)C．f(sinA)≥f(sinB) D．f(sinA)≥f(cosB)14．已知點P是曲線上一動點，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．已知是三角形的外心，若，且，則實數(shù)的最大值為（

）A．3 B． C． D．16．在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．17．函數(shù)，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（

）A． B． C． D．18．已知函數(shù)各項均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個命題：（1）存在不少于3項的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項公式為，則對恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對恒成立，其中真命題的序號是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）19．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．20．設(shè)函數(shù)，函數(shù)的對稱軸為，若存在滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．三、解答題21．已知函數(shù)f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期（不必寫出過程）；（2）求函數(shù)f（x）的最大值；（3）當(dāng)a＝1時，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015個零點，求k的值．22．如圖所示，在平面四邊形中，為正三角形.（1）在中，角的對邊分別為，若，求角的大小；（2）求面積的最大值.23．如圖，在中，，為內(nèi)一點，.（1）若，求；（2）若，求的面積.24．已知函數(shù)

若的最小值為-3，求m的值；當(dāng)時，若對任意都有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.25．已知函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的值域是.(1)求常數(shù),的值;(2)當(dāng)時,設(shè),判斷函數(shù)在上的單調(diào)性.26．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時的的值．27．函數(shù)（其中），若函數(shù)的圖象與軸的任意兩個相鄰交點間的距離為，且函數(shù)的圖象過點．（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)增區(qū)間：（3）求在的值域．28．已知函數(shù)(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)增區(qū)間；(3)若求函數(shù)的值域．29．已知等差數(shù)列的公差，數(shù)列滿足，集合.（1）若，，求集合；（2）若，求使得集合恰有兩個元素；（3）若集合恰有三個元素，，T是不超過5的正整數(shù)，求T的所有可能值，并寫出與之相應(yīng)的一個等差數(shù)列的通項公式及集合.30．函數(shù)（）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，則，求的值【參考答案】一、填空題1．2．3．4．5．6．②③7．②③④8．139．10．二、單選題11．A12．C13．D14．A15．D16．A17．A18．D19．C20．C三、解答題21．（1）最小正周期為π．（2）見解析（3）k＝1008．【解析】（1）由題意結(jié)合周期函數(shù)的定義直接求解即可；（2）令，t∈[1，]，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，易知，分類比較、的大小即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件得當(dāng)且僅當(dāng)sin2x＝0時，f（x）＝0，則x∈（0，π]時，f（x）有且僅有兩個零點，結(jié)合函數(shù)的周期即可得解.【詳解】（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為π．（2）∵f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1＝asin2x﹣1＝a（sin2x+1），令t，t∈[1，]，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∵即.∴，∵，，∴當(dāng)時，最大值為；當(dāng)，最大值為.（3）當(dāng)a＝1時，f（x），若f（x）＝0，則即，∴當(dāng)且僅當(dāng)sin2x＝0時，f（x）＝0，∴x∈（0，π]時，f（x）有且僅有兩個零點分別為，π，∴2015＝2×1007+1，∴k＝1008．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合問題，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.22．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦和角公式,化簡三角函數(shù)表達(dá)式,結(jié)合正弦定理即可求得角的大小;（2）在中,設(shè),由余弦定理及正弦定理用表示出.再根據(jù)三角形面積公式表示出,即可結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求得最大值.【詳解】（1）由題意可得：∴整理得∴∴∴又∴（2）在中,設(shè),由余弦定理得：,∵為正三角形,∴,在中,由正弦定理得：,∴,∴,∵,∵,∴為銳角,,,,∵∴當(dāng)時,.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡變形,正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形面積的表示方法,正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.23．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，，中由余弦定理即可求得；（2）設(shè)，利用正弦定理表示出，求得，利用面積公式即可得解.【詳解】（1）在中，，為內(nèi)一點，，，所以，中，由余弦定理得：所以中，由余弦定理得：；（2），設(shè)，在中，，在中，由正弦定理，即，，所以，的面積.【點睛】此題考查解三角形，對正余弦定理的綜合使用，涉及兩角差的正弦公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系的使用，綜合性較強(qiáng).24．（1）；（2）【解析】【分析】(1)將函數(shù)化為，設(shè)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)在給定的閉區(qū)間上的最值問題的解法求解.(2)對任意都有恒成立,等價于,然后求出函數(shù)的最值即可解決.【詳解】（1），令，設(shè)，①，則，②，則，

③，則，.（舍）綜上所述：.（2）對任意都有恒成立，等價于，，，，，，綜上所述：.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的二次“型”的最值問題，和雙參恒成立問題，屬于中檔題.25．(1),或,.(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增.函數(shù)在上單調(diào)遞減.【解析】【分析】（1）先求得,再討論和的情況,進(jìn)而求解即可；（2）由（1）,則,進(jìn)而判斷單調(diào)性即可【詳解】解:(1)當(dāng)時,,所以,①當(dāng)時,由題意可得,即,解得,；②當(dāng)時,由題意可得,即,解得,(2)由（1）當(dāng)時,,,所以,所以,令,,解得,,當(dāng)時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,同理,函數(shù)在上單調(diào)遞減【點睛】本題考查由三角函數(shù)性質(zhì)求解析式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查運算能力26．（1）；（2）.【解析】(1)函數(shù)解析式去括號后利用二倍角的正弦、余弦公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根據(jù)的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出的值域，進(jìn)而求出的最小值與最大值..【詳解】（1），因此，函數(shù)的最小正周期．（2）因為所以,，即，所以當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，.所以時，，時，.【點睛】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵,是中檔題.27．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得函數(shù)周期為，利用周期公式算出，又函數(shù)過定點，即可求出，進(jìn)而得出解析式；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性代換即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）利用換元法，設(shè)，結(jié)合在上的圖象即可求出函數(shù)在的值域【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象與軸的任意兩個相鄰交點間的距離為，所以函數(shù)的周期為，由，得，又函數(shù)的圖象過點，所以，即，而，所以，故的解析式為．（2）由的單調(diào)增區(qū)間是可得，解得故故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．（3）設(shè)，，則，由在上的圖象知，當(dāng)時，當(dāng)趨于時，函數(shù)值趨于1，故在的值域為．【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)解析式的求法，正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用換元法結(jié)合圖象解決給定范圍下的三角函數(shù)的范圍問題，意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運算能力．28．（1）（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先化簡函數(shù)f(x)的解析式，再求函數(shù)的最小正周期；（2）解不等式，即得函數(shù)的增區(qū)間；（3）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域.【詳解】（1）由題得，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）令,所以,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（3），所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的值域，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.29．（1）；（2）或；（3）或4，時，，；時，，【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出，進(jìn)而求出，再根據(jù)周期性求解；（2）由集合的元素個數(shù)，分析數(shù)列的周期，進(jìn)而可求得答案；（3）分別令，2，3，4，5進(jìn)行驗證，判斷的可能取值，并寫出與之相應(yīng)的一個等差數(shù)列的通項公式及集合【詳解】（1）等差數(shù)列的公差，，數(shù)列滿足，集合．當(dāng)，所以集合，0，．（2），數(shù)列滿足，集合恰好有兩個元素，如圖：根據(jù)三角函數(shù)線，①等差數(shù)列的終邊落在軸的正負(fù)半軸上時，集合恰好有兩個元素，此時，②終邊落在上，要使得集合恰好有兩個元素，可以使，的終邊關(guān)于軸對稱，如圖，，此時，綜上，或者．（