2020年中考數(shù)學復習-第14章-整式的乘法與因式分解(專題復習講義)

整式的乘法與因式分解知識點1整式乘法單項式×單項式單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．單項式乘法易錯點：典例1計算：x?（﹣2x2）3=_____．【答案】﹣4x7【解析】分析：直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用單項式乘以單項式計算得出答案．標準解答：x?（﹣2x2）3=x?（﹣8x6）=﹣4x7．故答案為：﹣4x7．典例2如果單項式－22x2my3與23x4yn＋1的差是一個單項式，則這兩個單項式的積是______.【答案】－32x8y6【標準解答】由題意可得，解得m=2，n=2，則這兩個單項式的積為：－22x4y3×23x4y3=－32x8y6.故答案為－32x8y6.【點睛】本題考查了同類項和同底數(shù)冪的乘法，解此題的關鍵在于根據(jù)題意得到兩個單項式為同類項，則相應字母的指數(shù)相等，求得指數(shù)的值，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求解即可.典例3有理數(shù)a，b，滿足，=________；【答案】6【標準解答】∵|a-b-2|+（2a+2b-8）2=0，∴a-b-2=0，2a+2b-8=0，解得：a=3，b=1，則（-ab）?（-b3）?（2ab）=a2b5=×9×1=6．故答案為：6典例4如果xny4與2xym相乘的結(jié)果是2x5y7，那么mn=_____．【答案】12【解析】，∴n+1=5，m+4=7，解得：m=3，n=4，∴mn=12．故答案為：12．單項式×多項式單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加【單項式乘以多項式注意事項】1.單項式乘多項式的結(jié)果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。2.單項式分別與多項式的每一項相乘時，要注意積的各項符號。（同號相乘得正，異號相乘得負）3.不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，運算要有順序。典例1已知ab=a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）=_____．【答案】2【標準解答】（a﹣1）（b﹣1）=ab﹣a﹣b+1，當ab=a+b+1時，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案為：2．典例2若(x3＋ax2－x2)·(－8x4)的運算結(jié)果中不含x的六次項，則a的值為___．【答案】1【標準解答】解：（x3+ax2-x2）（-8x4）=，

∵運算結(jié)果中不含x6項，

∴(-8a+8)=0，∴a=1，

故答案為：1．典例3計算：2m2?(m2+n?1)=____．【答案】2m4+2m2n-2m2【標準解答】2m2?(m2+n?1)=2m4+2m2n-2m2故答案為：2m4+2m2n-2m2典例4若ab2=-6，則-ab(a2b5-ab3-b)的值為_________．【答案】246【標準解答】原式=-a3b6+a2b4+ab2=-（ab2）3+（ab2）2+ab2，當ab2=-6時，原式=-（-6）3+（-6）2-6=216+36-6=246，故答案為：246．多項式×多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．【多項式乘以多項式注意事項】多項式與多項式相乘時，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號。多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定各項的符號。典例1若x2+mx﹣n=（x+2）（x﹣5），則m=_____，n=_____．【答案】﹣310【解析】（x+2）（x﹣5）=x2-3x-10，所以m=-3，n=10.典例2已知，則______．【答案】180.【標準解答】解：，，典例3多項式的展開結(jié)果中的的一次項系數(shù)為3，常數(shù)項為2，則的值為_________.【答案】－6【解析】標準解答：（x-m）（x-n）=x2-（m+n）x+mn，由題意得，m+n=-3，mn=2，則m2n+mn2=mn（m+n）=-6，故答案為：-6．典例4（2x2﹣3x﹣1）（x+b）的計算結(jié)果不含x2項，則b的值為_____．【答案】【標準解答】解：原式＝2x3+2bx2﹣3x2﹣3bx﹣x﹣b由于不含x2項，∴2b﹣3＝0，∴b＝，故答案為：．特殊多項式相乘（考點）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2【擴展】擴展一(公式變化)：++2ab擴展二：+=2(+)-=4ab擴展三：++=-2ab-2ac-2bc典例1已知x＝y(tǒng)+95，則代數(shù)式x2﹣2xy+y2﹣25＝_____．【答案】9000【標準解答】x＝y(tǒng)+95x-y=95x2﹣2xy+y2﹣25=（x-y）2-25=952-52=（95-5）（95+5）=90×100=9000典例2若，，則．【答案】22【解析】標準解答:∵，，∴=36-14=22.故答案為：22.典例3已知，，（1）則____；（2）則___．【答案】；【解析】試題解析：將a+b=-3兩邊平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=9，

把ab=-2代入得：a2+b2-4=9，即a2+b2=13；

（a-b）2=a2+b2-2ab=13+4=17，即a-b=±．典例4若，則________________.【答案】8【標準解答】解：∵可化為，化為∴原式==32-1=8典例5若，則__________．【答案】【解析】試題解析：（m-n）2=（m+n）2-4mn，當m+n=3，mn=22，原式=32-4×2=1．∴m-n=±1故答案為±1．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【運用平方差公式注意事項】1.對因式中各項的系數(shù)、符號要仔細觀察、比較，不能誤用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能運用平方差公式．

2.公式中的字母a、b可以是一個數(shù)、一個單項式、一個多項式。所以，當這個字母表示一個負數(shù)、分式、多項式時，應加括號避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯誤．典例1設S=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216），則S+1=______．【答案】232．【標準解答】S=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)=(2﹣1)×(2+1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)=(22﹣1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)=232﹣1，故S+1=232，故答案為：232．典例2計算:若，，則的值為________.【答案】12【標準解答】解：(a+1)2﹣(b﹣1)2=(a+1+b-1)(a+1-b+1)=(a+b)(a-b+2)∵a+b=4，a﹣b=1∴原式=4×3=12.典例3計算：20182－2017×2019＝____．【答案】1【標準解答】原式，故答案為：1典例4，則______．【答案】【標準解答】已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，開方得：a+b=±10，故答案為：±10典例5計算：=_____.（結(jié)果中保留冪的形式）【答案】216﹣1．【標準解答】原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1．故答案為：216﹣1．知識點2整式除法單項式÷單項式一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.【同底數(shù)冪相除注意事項】1.因為0不能做除數(shù)，所以底數(shù)a≠0.2.運用同底數(shù)冪法則關鍵看底數(shù)是否相同，而指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù)。3.注意指數(shù)為1的情況，計算時候容易遺漏或?qū)的指數(shù)當做0.4.多個同底數(shù)冪相除時，應按順序計算。典例1=____________【答案】【標準解答】原式＝a6?a6b2÷a2b=a12b2÷a2b=a10b，故答案為：a10b.典例26a2x3·（_________）=36a4x5-24a3x4+18a2x3．【答案】6x2a2-4ax+3【解析】(36a4x5-24a3x4+18a2x3)÷6a2x3=36a4x5÷6a2x3-24a3x4÷6a2x3+18a2x3÷6a2x3=6a2x2-4ax+3，故答案為6a2x2-4ax+3.典例3（2017·上海民辦常青中學初一期中）計算：__________；【答案】.【標準解答】，===.多項式÷單項式一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.【解題思路】多項式除以單項式問題轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式問題解決）。典例1計算：（）__________．（）__________．【答案】【解析】因為，，故答案為:，.典例2已知一個三角形的面積為8x3y2－4x2y3，一條邊長為8x2y2，則這條邊上的高為___________.【答案】2x－y【解析】∵三角形的面積為8x3y2－4x2y3，一條邊長為8x2y2，∴這條邊上的高為2(8x3y2－4x2y3)÷8x2y2=16x3y2÷8x2y2－8x2y3÷8x2y2=2x－y，故答案為：2x－y.典例3已知為正整數(shù)且能被整除，則的最大值為______．【答案】890.【標準解答】由題意得為整數(shù)，且，能被整除，的最大值為890.故答案為：890典例4如果2x2y?A=6x2y2﹣4x3y2，則A=____________．【答案】3y﹣2xy．【標準解答】∵2x2y?A＝6x2y2﹣4x3y2，

∴A＝(6x2y2?4x3y2)÷2x2y＝3y?2xy.

故答案為：3y?2xy.典例5已知長方形的面積為(6a2b-4a2+2a)，寬為2a，則長方形的周長為____________?！敬鸢浮?ab+2【標準解答】∵長方形的面積為(6a2b-4a2+2a)，寬為2a，∴長方形的長為：3ab-2a+1∴長方形的周長為：2×（3ab-2a+1+2a）=2×(3ab+1)=6ab+2故本題答案為：6ab+2知識點3因式分解（難點）因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．【因式分解的定義注意事項】1.分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；2.因式分解必須是恒等變形；3.因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．因式分解的常用方法：提公因式法【提公因式法的注意事項】1）定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)。2）定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母。3）定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項中最小的一個，即字母最低次冪。4）查結(jié)果：最后檢查核實，應保證含有多項式的因式中再無公因式。典例1（2018·廊坊市期末）分解因式：－x=__________．【答案】x（x+1）（x－1）【解析】解：原式典例2分解因式：9abc-3ac2=__________．【答案】3ac（3b﹣c）【解析】標準解答：原式=3ac（3b﹣c）．故答案為：3ac（3b﹣c）．典例3（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×________.【答案】（a-b+x-y）【解析】運用公因式的概念，把多項式（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2運用提取公因式法因式分解（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.故答案為：（a-b+x-y）.典例4若x＋y＝1，xy＝-7，則x2y＋xy2＝_____________．【答案】﹣7【解析】∵x+y=1，xy=﹣7，∴x2y+xy2=xy(x+y)=-7×1=-7.典例5若m+n=3，則2m2+4mn+2n2-6的值為________．【答案】12【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．典例6若，則__________．【答案】4【解析】(a-1)2+(b-3)2=0,a=1,b=3,所以a+b=4.故答案為4.典例7在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x3+8x2+8x＝_____【答案】2x（x+2）2【標準解答】解：原式＝2x（x2+4x+4）＝2x（x+2）2，故答案為：2x（x+2）2典例8若,那么=________.【答案】0【標準解答】∵a2+a+1=0，

∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0．

故答案為：0．典例9分解因式：x2-2x+（x-2）=___________。【答案】（x+1）（x-2）【解析】標準解答：x2-2x+（x-2）=x(x-2)+(x+2)=（x+1）（x-2）故答案為：（x+1）（x-2）典例10已知則=_______．【答案】15【標準解答】∵m+n=5，mn=3，∴m2n+mn2=mn（m+n）=3×5=15．故答案為：15．公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2典例1分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3=_____．【答案】2ab（a﹣b）2．【解析】分析：先提取公因式2ab，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．標準解答：2a3b-4a2b2+2ab3，=2ab（a2-2ab+b2），=2ab（a-b）2．典例2分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．【解析】解：令x+y=a，xy=b，則（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1=（b﹣a+1）2；即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．故答案為：（y﹣1）2（x﹣1）2．典例3（2018·海門市期中）通過計算幾何圖形的面積，可表示一些代數(shù)恒等式，如圖所示，我們可以得到恒等式：______．【答案】．【標準解答】解：由面積可得：．故答案為：．典例4（2019·內(nèi)蒙古中考模擬）分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．【標準解答】解：a2﹣1+b2﹣2ab＝（a2+b2﹣2ab）﹣1＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．故答案為：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．典例5（2018·湖南中考真題）因式分解：＝___.【答案】【解析】標準解答：a2（a-b）-4（a-b）=（a-b）（a2-4）=（a-b）（a-2）（a+2），故答案為：（a-b）（a-2）（a+2）．典例6已知：，且則．【答案】14【解析】試題分析：因為，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．典例7（2019·蓬萊市期中）若m﹣2n=﹣1,則代數(shù)式m2﹣4n2+4n=____________．【答案】1【標準解答】解：,故答案為：1．典例8若a+b=4，ab=1，則a2b+ab2=________．【答案】4【標準解答】解：a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．故答案為：4.典例9多項式18xn+1-24xn的公因式是_______.【答案】6xn【解析】運用公因式的概念，找出系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母的最低指數(shù)次冪是xn，可得公因式為6xn．故答案為：6xn.典例10分解因式：_____________．【答案】【標準解答】解：==x（y﹣3）（y+3）．故答案為：x（y﹣3）（y+3）．十字相乘【十字相乘的注意事項】1）用來解決兩者之間的比例問題。2）得出的比例關系是基數(shù)的比例關系。3）總均值放中央，對角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放在對角線上。典例1分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________．【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）．【解析】分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．標準解答：2x3﹣6x2+4x=2x（x2﹣3x+2）=2x（x﹣1）（x﹣2）．故答案為：2x（x﹣1）（x﹣2）．典例2分解因式：ax2+2ax﹣3a=__________________________．【答案】a（x+3）（x﹣1）【解析】標準解答：ax2+2ax-3a=a（x2+2x-3）=a（x+3）（x-1）．故答案為：a（x+3）（x-1）典例3分解因式：=_____________________．【答案】【標準解答】因為-6×2=-12，-6+2=-4，所以x2-4x-12=（x-6）（x+2）．故答案是：.典例4（2018·山東中考模擬）分解因式：x2+4x﹣12＝______．【答案】：．【標準解答】.故答案為：.典例5（2018·江蘇中考模擬）分解因式：______．【答案】【解析】標準解答：x2-4x+3=（x-1）（x-3）．故答案為：（x-1）（x-3）．效果檢測1選擇題1．下列多項式能分解因式的是（）A．+B．﹣﹣C．﹣+2xy﹣D．﹣xy+2．下列分解因式正確的是（）A．-a+a3=-a（1+a2）B．2a-4b+2=2（a-2b）C．a(chǎn)2-4=（a-2）2D．a(chǎn)2-2a+1=（a-1）23．因式分解x2y－4y的正確結(jié)果是（）。（A）y（x2－4）（B）y（x+2）（x－2）（C）y（x+4）（x－4）（D）y（x－2）24．下列多項式能因式分解的是（）A.m2+nB．m2-m+1C．m2-2m+1D．m2-n5．下列各式中能用完全平方公式進行因式分解的是（）A．x2+x+1B．x2+2x-1C．x2-1D．x2-6x+96．下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a(chǎn)2+（﹣b）2B．5m2﹣20mnC．﹣x2﹣y2D．﹣x2+97．計算（2x3y）2的結(jié)果是（）A．4x6y2B．8x6y2C．4x5y2D．8x5y28．已知a+b=3，ab=2，計算：a2b+ab2等于（）A．5B．6C．9D．1填空題9．把多項式﹣4a分解因式為．10．若實數(shù)a滿足a2+a=1，則-2a2-2a+2015=.11．如果x2＋mx＋6＝（x－3）（x－n），那么m＋n的值為_________________．12．計算．13．分解因式：x3﹣x=．14．已知，則m＋n＝．15．因式分解：4﹣12+9a=．16．因式分=．計算題17．化簡或計算(1)、(2)、(3)、4x3÷（-2x）2(4)、(x-3)(x-2)-(x+1)2(5)、a（2a+3）-2（a+3）（a-3）18．因式分解：（1）；（2）解答題19．把下列多項式分解因式（1）9(a+b)2-25(a-b)2（2）6x(a-b)+4y(b-a)20．連一連：（1）（2）參考答案1．C2．D．3．B4．C．5．D．6．D．7．A8．B．9．a(chǎn)（a－4）10．2013.11．-3．12．-413．x（x+1）（x﹣1）．14．-3．15．a(chǎn)16．17．（1）（2）（3）x(4)(5)18．（1）；（2）．19．（1）4(4a-b)(4b-a)（2）2(a-b)(3x-2y)20．略。效果檢測2一、選擇題1、下列計算正確的是()A、3x－2x＝1B、3x+2x=5x2C、3x·2x=6xD、3x－2x=x2、如圖，陰影部分的面積是（）第2題圖A、 B、 C、 D、第2題圖3、下列計算中正確的是（）A、2x+3y=5xyB、x·x4=x4C、x8÷x2=x4D、（x2y）3=x6y34、在下列的計算中正確的是（）A、2x＋3y＝5xy；B、（a＋2）（a－2）＝a2＋4；C、a2?ab＝a3b；D、（x－3）2＝x2＋6x＋95、下列運算中結(jié)果正確的是（）A、；B、；C、；D、.6、下列說法中正確的是（）。A、不是整式；B、的次數(shù)是；C、與是同類項；D、是單項式7、ab減去等于()。A、；B、；C、；D、8、下列各式中與a－b－c的值不相等的是（）A、a－（b+c）B、a－（b－c）C、（a－b）+（－c）D、（－c）－（b－a）9、已知x2+kxy+64y2是一個完全式，則k的值是（）aabb圖1aabb圖1圖210、如下圖（1），邊長為a的大正方形中一個邊長為b的小正方形，小明將圖（1）的陰影部分拼成了一個矩形，如圖（2）。這一過程可以驗證（）(第10題圖)A、a2+b2－2ab=(a－b)2；B、a2+b2+2ab=(a+b)(第10題圖)C、2a2－3ab+b2=(2a－b)(a－b)；D、a2－b2=(a+b)(a－b)二、填空題11、（1）計算：；（2）計算：．12、單項式是關于x、y、z的五次單項式，則n；13、若，則14、當2y–x=5時，=；15、若a2＋b2＝5，ab＝2，則(a＋b)2＝。16、若4x2＋kx＋25＝(2x－5)2，那么k的值是17、計算：1232－124×122=________18、將多項式加上一個整式，使它成為