人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第七章 復(fù)數(shù)》單元同步練習(xí)及答案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第七章復(fù)數(shù)》單元同步練習(xí)

（7.1.1數(shù)系得擴(kuò)充和復(fù)數(shù)得概念》同步練習(xí)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=l,其中i為虛數(shù)單位，則z等于（）

A.-iB.iC.-1D.1

2.設(shè)a,i是虛數(shù)單位，則“加=0”是“復(fù)數(shù)a一歷為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

3.若集合/={i,I?,巴i』}（i是虛數(shù)單位），B=[\t-1）,則4G6等于（）

A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.0

4.已知復(fù)數(shù)z=，一（2-8）i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,方的值分別是（）

A.@1B.隹5C.土鏡，5D.土蜴1

5.以一4+2i的虛部為實(shí)部，以，^i+2i2的實(shí)部為虛部的新好數(shù)是]）

A.2-2iB.一4+佝

C.2+iD.m+/i

6.若（＞十y）i=x-l（x,yER）,則2f的值為（）

A.1B.2

C.0D.1

7.如果2=血/葉1）+（，一1”為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)0的值為（）

A.1B.0

C.-1I）.-1或1

二、填空題

8.若實(shí)數(shù)x,y滿足（l+i）x+（1—i）%=2,則燈的值是

9.若復(fù)數(shù)加一3+（——9）i20,則實(shí)數(shù)m的值為.

10.已知『仁⑵痛一2卬+（茄+小-2）i},"={-l,2,4i},若趴）N=N,則實(shí)數(shù)m的值

為?

11.設(shè)i為虛數(shù)單位，若關(guān)于x的方程V—（2+1）＞+1+況=0（勿￡11）有一實(shí)根為〃，則m

三、解答題

12.當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z=（，+廣6）i+如—藝.是:（1）實(shí)數(shù)？（幻虛數(shù)？（3）純虛

IU-V6

數(shù)？

B組能力提升

一、選擇題

1.若sin26-1+i（加cos4十1）是純虛數(shù)，貝ij&的值為（）

A.2kx-y（A-GZ）B.2An+j"（4eZ）

2.已知關(guān)于彳的方程/+（0+2i）x+2+2i=0（勿￡R）有實(shí)根〃，且/=加+小，則復(fù)數(shù)z=

（）

A.3+iB.3-i

C.-3—iD.-3+i

3.（多選題）下列命題正確的是（）

A.l+i2=0

B.若a,bRR,且則a十i）。十i

C.若/+/=0,貝l」x=y=0

D.兩個虛數(shù)不能比較大小

二、填空題

4.已知?=—4a+l+（2，+3a）i,0=2a+（，+a）i,其中a￡R,若?＞為，則a的取值集

合為.

5.在給出的下列幾個命題中，正確命題的個數(shù)為.

①若x是實(shí)數(shù)，則x可能不是更數(shù)；

②若z是虛數(shù)，則z不是實(shí)數(shù)；

③一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零；

④一1沒有平方根.

a63x+2yi

6.(一題兩空)定義運(yùn)算「ad—be,如果(x+尸)+(x+3)i—,則實(shí)數(shù)x

cd—y1

=________，y=________?

三、解答題

7.已知復(fù)數(shù)?=4—M+(m一2)i,Z2=4+2sin04-(cos〃-2)i(其中i是虛數(shù)單位，m,

4,0￡R).

(1)若?為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)加的值；

(2)若?=0，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

8.己知復(fù)數(shù)Z\=m+(4—/?)i,@=2cos?+(4+3sin")i,4，m￡R,夕Z\

=幻，求4的取值范圍.

9.已知關(guān)于加的一元二次方程序+/2質(zhì)-J燈+(x+y)i=0(x,y￡R).當(dāng)方程有實(shí)根時，

試確定點(diǎn)(X,力所形成的軌跡.

<7.1.1數(shù)系得擴(kuò)充和復(fù)數(shù)得概念》同步練習(xí)答案解析

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=l,其中i為虛數(shù)單位，則z等于()

A.—iB.iC.-1D.1

【答案】A

解析Vi2=-1,A-i2=i?(-i)=l,??.z=-i.

2.設(shè)a,i是虛數(shù)單位,則“數(shù)=0”是“復(fù)數(shù)a一歷為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

【答案】B

解析若復(fù)數(shù)a-bi為純虛數(shù)，則a=0且b#0,故助=0.而由他=0不一定能得到復(fù)數(shù)a

-bi是純虛數(shù)，故“劭=0”是“復(fù)數(shù)a-bi為純虛數(shù)”的必要不充分條件.

3.若集合力={i,i2,i3,i"}(i是虛數(shù)單位)，Q{1,-1),則力^￡等于()

A.{-1}B.{1}C.{1,-1)D.0

【答案】C

解析因?yàn)椤?-1,i3=—i,i"=l,所以/1={i,-1,—i,1},又B={1,-1},故力G8

={L-1).

4.已知復(fù)數(shù)z=4-(2—，)i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,。的值分別是()

A.?1B.^2,5

C.土啦，5D.土的1

【答案】C

fa=2,

解析令{nI/C得3=土地r，b=5.

〔一2+6=3,Y

5.以一4+2i的虛部為實(shí)部，以mi+2i?的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是］)

A.2-2iB.一4+/i

C.2+iD.小+乖i

【答案】A

解析設(shè)所求新復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b￡R),由題意知：復(fù)數(shù)一m+2i的虛部為2；復(fù)數(shù)鄧i

+2i2=/i+2X(—1)=-2+^i的實(shí)部為一2,則所求的z=2—2i.故選A.

6.若(x+y)i=x—l(x,yGR),則2-的值為()

A.；B.2

C.OD.1

【答案】D

解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件知，

x+y=O,x=l,

解得J

^—1=0,V=—l,

???x+y=O..?.2"'=2°=1.

7.如果2="(/1)+(蘇一1八為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)必的值為()

A.1B.O

C.-1D.-1或1

【答案】B

W1)=0,

解析由題意知.*.777=0.

才一1W0,

二、填空題

8.若實(shí)數(shù)x,y滿足(l+i)x+(l-i)尸2,則燈的值是.

【答案】1

解析因?yàn)閷?shí)數(shù)“滿足（1+D葉（1-i）尸2,所以x+xi+yi=2,可得kfx+y尸=20,,

所以x=y=L所以孫=1.

9.若兔數(shù)〃L3+（方一9）i20,則實(shí)數(shù)加的值為.

【答案】3

加一320,心3,

解析依題意知解得即m=3.

消一9=0,勿=—3或3,

10.已知"={2,痛一2卬+(>+/—2)i},N={-l,2,4i},若則實(shí)數(shù)m的值

為?

【答案】1或2

解析J依此

:.帚一2nr\~(，+/一2)i=—1或2%+(/+〃/—2)i=4i.

由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得

nr—2m=-l,[z?-2/?=0,

或'9

m+/7T—2=0[m+/??—2=4,

解得加=1或m=2.故實(shí)數(shù)勿的值牯1或2.

11.設(shè)i為虛數(shù)單位，若關(guān)于x的方程產(chǎn)一（2+。*+1+而=0（勿￡10有一實(shí)根為〃，則m

【答案】1

解析關(guān)于x的方程/一（2+i）z+l+加i=0（勿￡R）有一實(shí)根為〃，可得萬一（2+i）〃+l+

質(zhì)=0.

南一2〃+1=0,

所以《所以片"=1.

1/7?-77=0.

三、解答題

12.當(dāng)實(shí)數(shù),為何值時,復(fù)數(shù)封面+^^+弓普絲是：⑴實(shí)數(shù)？⑵虛數(shù)？⑶純虛

數(shù)？

iff+/?-6=0,

解⑴由'得m=2.

m+3W0,

???當(dāng)k2時，z是實(shí)數(shù).

nf+/?-6X0,腎2且得一3,

⑵由得即勿W2且nfA—3.

%+3N0,-3,

工當(dāng)腎2且它一3時，z是虛數(shù).

m+加一6#0,加且啟：一3,

(3)由</H-3^0,得-3,即m=3或m=4.

X—7/zrl-12=0,4=3或m=4,

工當(dāng)/??=3或-4時，z是純虛數(shù).

B組能力提升

一、選擇題

1.若sin2"-1+i(/cos〃+1)是純虛數(shù)，則。的值為()

A.2kM-y(AeZ)B.2k*+y(AeZ)

kjt

C.2kx±vU^Z)D-n4--(AGZ)

4乙

【答案】B

JT

e=kx+丁

sin20—1=0,4

解析由題意，得解得q(〃WZ),:.J=2"

mcos，+1工0,3n

e#2An±—

JT

+~,〃￡Z.

4

2.已知關(guān)于X的方程V+(/2i)x+2+2i=0(〃￡R)有實(shí)根〃，且z=〃+〃i,則復(fù)數(shù)z=

()

A.3+iB.3-i

C.-3-iI).-3+i

【答案】B[由題意，知〃2+(/2i)〃+2+2i=0,

即//+R〃+2+(2〃+2)i=0.

n+勿〃+2=0,

所以,

2/74-2=0,

加=3,

解得

〃=—1.

所以z=3—i.]

3.(多選題)下列命題正確的是()

A.l+i2=0

B.若a,Z?￡R,且a>b,則a+i>6+i

C.若f+「=o,則x=y=0

D.兩個虛數(shù)不能比較大小

【答案】AD［對于A,因?yàn)?2=-1,所以l+i2=0,故A正確.對于B,兩個虛數(shù)不能比

較大小，故B錯.對于C,當(dāng)kl,y=i時，3+/=0成立，故C錯.D正確.］

二、填空題

4.已知z1=—4a+1+(2-+3a)i,zz=2a-\-(a+a)i,其中a￡R,若4>Z2,則&的取值集

合為.

【答案】⑻

2a+3a=0,

解析由?>Z2,得，&2+&=0,解得a=0,

-44+1>2日，

故a的取值集合為{0}.

5.在給出的下列幾個命題中，正確命題的個數(shù)為.

①若x是實(shí)數(shù)，則尤可能不是復(fù):數(shù)；

②若z是虛數(shù)，則z不是實(shí)數(shù)；

③一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零;

④一1沒有平方根.

【答案】1

解析因?qū)崝?shù)是復(fù)數(shù)，故①錯；②正確；因復(fù)數(shù)為純虛數(shù)要求實(shí)部為零，虛部不為零，故③

錯；因一1的平方根為土i,故④借.

b3x+2yi

6.(一題兩空)定義運(yùn)算—ad—be,如果(*+y)+(才+3)i=,則實(shí)數(shù)*

d—y1

，y=

ab3x+2yi

【答案】-12［由定義運(yùn)算=ad-be得1=3x+2y+yi,

d—y

故有(x+力+(x+3)i=3x+2y+yi.

x+y=3x+2y,

因?yàn)榫﹜為實(shí)數(shù)，所以有

x+3=y,

解得x=-1,y=2.]

三、解答題

7.已知復(fù)數(shù)0=4一痛+(m—2)i,^2=A+2sin0+(cosJ—2)i(其中i是虛數(shù)單位，m,

A,8￡R).

(D若?為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)力的值；

(2)若?=&,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

［解］(1)???為為純虛數(shù),

[4—=0,

U-2W0,解得m——2.

4+2sin。,

(2)由0=詼，得《門cc

jn2^"cos夕"~2,

A=4—cos22sin0

=sin2夕一2sin。+3

=(sin。-1y+2.

V—l^sin???當(dāng)sin，=1時，ABln=2,

當(dāng)sinJ=-1時，411ax=6,

,實(shí)數(shù)A的取值范圍是⑵6].

8.己知復(fù)數(shù)Zi=m+(4—諭i,勿=2cos。+(4+3sin")i,A,〃￡R,[0,—1,z\

2

=Zz,求4的取值范圍.

[〃=2cos0,

解由z1=Z2,mWR,可得「2-c?c

—4+3sin8.

整理，得4=4sir?。-3sin夕=4(sin|^2—

jr9

V[0,—],Asin，￡[0,1],工X￡[一m，1].

9.已知關(guān)于加的一元二次方程序+M2加一)燈+(x+y)i=0(x,y￡R).當(dāng)方程有實(shí)根時，

試確定點(diǎn)(必y)所形成的軌跡.

解不妨設(shè)方程的實(shí)根為如

則m+nr\-2mi=^xy—(x+y)i.

,:x,y,m￡R,

\2m=-(x+y).②

由②，得/片一與二

乙

代入①，得映A8沁.

(X—1)2+(y—1)2=2,

???點(diǎn)(％y)的軌跡方程是(十一1)2+口―1)2=2,其軌跡是以(1,1)為圓心,乖為半徑的圓.

《7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義》同步練習(xí)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.設(shè)x=3+4i,則復(fù)數(shù)z=x一㈤一（1一i）在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

2.當(dāng)不:成1時，復(fù)數(shù)z=（3k2）+（m—l）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于［）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在復(fù)平面內(nèi)，〃為原點(diǎn)，向量應(yīng)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2"若點(diǎn)力關(guān)于直線尸一￥的對稱點(diǎn)

為B,則向量為對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.-2-1B.-2+i

C.l+2iD.-l+2i

4.已知復(fù)數(shù)z滿足Z|2-2|Z|-3=0,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）

A.1個圓B.線段

C.2個點(diǎn)D.2個圓

5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i+2i?對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i,—2+3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為48.若。為線段4夕的中點(diǎn)，則點(diǎn)。

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A4+8iB.8+2i

C.2+4iD.4+i

7.已知，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=sin丁-icos二，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

66

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.（多選題）下列命題中，正確的是（）

A.復(fù)數(shù)的模總是非負(fù)數(shù)

B,復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的所有向量組成的集合一一對應(yīng)

C.如果復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點(diǎn)也一定在第一象限

D.相等的向量對應(yīng)著相等的復(fù)數(shù)

二、填空題

9.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=（勿一3）+2，/的點(diǎn)在直線y=x上，則實(shí)數(shù)r的值為.

10.復(fù)數(shù)?=a+2i,Z2=-2+i,如果|z|v|zz|,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

11.若復(fù)數(shù)z=5cos。-4i（i為虛數(shù)單位，一兀V。＜0）在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在直線y=x

—1上，貝ljsina—.

12.已知0VaV2,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a虛部為1,貝l」|z|的取值范圍是.

13.復(fù)數(shù)z=log13+ilog3%應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第象限

三、解答題

14.已知％=2（1—i）,且|z|=l,求|z一名|的最大值.

15.設(shè)復(fù)數(shù)z=lg（M+2/?—14）4-（OT—6）i,求當(dāng)實(shí)數(shù)勿為何值時：

（Dz為實(shí)數(shù)；

（2）z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.

16.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，且滿足回=石，其實(shí)部、虛部均為整

數(shù)，記7.為虛數(shù)單位.

（I）求復(fù)數(shù)z；

（II）當(dāng)z+i為純虛數(shù)時，若z+2（z）=4+而，求實(shí)數(shù)m和〃的值.

B組能力提升

一、選擇題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,貝IJ|ZT+G|的最小值為（）

A.2B.1C.6D.y/2

2.已知復(fù)數(shù)z滿足：|z-2|=l,則+的最大值為（）

A.2B.0+1C.72-1D.3

3.已知狂數(shù)7=%+9，%wR,ye滿足卜+1|+上一1|=4,則點(diǎn)（用y）的軌跡是（）

A.線段B.圓C.雙曲線D.橢圓

4.若（年?，手），則復(fù)數(shù)（cos?+sin"）+（sin0—cos6）i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的

點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.設(shè)力、〃為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z=（cosff-tanJ）4-tanBi對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)

平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題

6.設(shè)z=log2（/—3/77—3）+i?log2（加-3）（m￡R）,若z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x—2y+l=0上，則

m的值是.

7.若復(fù)數(shù)z滿足回=1（，為虛數(shù)單位），則|z-2i|的最小值是.

8.已知復(fù)數(shù)z=x+）0,且上一2|=百，則?的最大值為.

三、解答題

10.已知Z】=-3+4i,\z\=L求IZ—Z11的最大值和最小值.

IL設(shè)全集U=C,4=設(shè)|||z|-11=1一|z|,z^C},B={z\\z\<1,z￡C},若zW力C([㈤,

求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡.

《7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義》同步練習(xí)答案解析

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.設(shè)x=3+4i,則復(fù)數(shù)2=%—|川一(1一口在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析V%=3+4i,工|x|="+42=5,

Az=3+4i-5-(l-i)=(3-5-1)4-(44-1)i

=-3+5i.

，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第二象限.

2.當(dāng)!<欣1時，復(fù)數(shù)z=(3m—2)+(加一l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于［)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z(3〃L2,加一1).

由余冰1,得3k2>0,kl<0.所以點(diǎn)Z位于第四象限.故選D.

3.在復(fù)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，向量而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2匕若點(diǎn)力關(guān)于直線尸一x的對稱點(diǎn)

為反則向量應(yīng)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.-2-iB.-2+i

C.14-2iD.-l+2i

答案B

解析??3(—1,2)關(guān)于直線尸一萬的對稱點(diǎn)以一2,1),???向量應(yīng)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.

4.已知復(fù)數(shù)z滿足|Z|2-2|Z|-3=0,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是()

A.1個圓B.線段

C.2個點(diǎn)D,2個圓

答案A

解析由題意可知（|z|-3）（|z|+l）=0,

即|z\=3或|z|=-1.

,?,|z|20,：.\z\=3.

???亞數(shù)z對應(yīng)的軌跡是1個圓.

5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i+2i?對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析???z=i+2i2=-2+i,?,?實(shí)部小于0,虛部大于0,故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i,—2+3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為48.若。為線段48的中點(diǎn)，則點(diǎn)。

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A.4+8iB.8+2i

C.2+4iD.4+i

答案C

解析由題意知點(diǎn)力的坐標(biāo)為（6,5）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-2,3）.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得線段4?

的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,4）,故點(diǎn)。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.

7.已知7.為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=sin?-icosg,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第??象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：B

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，求得復(fù)數(shù)”3爭，結(jié)合夏數(shù)的幾何意義，即可求解.

v、士如Q、,I..77r.,TV、.7v177r.方、%V3

【詳解】fflsin——=sin(^-+-)=-sin—=——,cos——=cos(^+—)=-cos-=------

66626662

即復(fù)數(shù)z=sin—-/cos—=—z?

6622

所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為（-3,左）位于第二象限.

故選：B

8.(多選題)下列命題中，正確的是()

A.復(fù)數(shù)的?？偸欠秦?fù)數(shù)

B.藥數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的所有向量組成的集合一一對應(yīng)

C.如果兔數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點(diǎn)也一定在第一象限

D.相等的向量對應(yīng)著相等的復(fù)數(shù)

答案：ABD

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,Z?￡R),

對于A,目=十廿NO,故A正確.

對于B,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為。2=(〃,力)，

且對于平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的任一向量a其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為機(jī)+用，

故復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的所有向量組成的集合一一對應(yīng)，故B正確.

對于B,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為應(yīng)=(〃/)，

且對于平面內(nèi)的任一向量￡=(m,〃)，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為加+位，

故及數(shù)集中的元素與愛平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的所有向量組成的集合中的元素是一一對應(yīng)，故

B正確.

對于C,如果復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點(diǎn)不一定在第一象限,

故C錯.

對于D,相等的向量的坐標(biāo)一定是相同的，故它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)也相等，故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，注意復(fù)數(shù)z=a+慶(。/￡/?)對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為

(。乃)，它與終點(diǎn)與起點(diǎn)的坐標(biāo)的差有關(guān)，本題屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

9.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=(〃7—3)+2gi的點(diǎn)在直線y=x上，則實(shí)數(shù)r的值為.

答案9

解析???z=(k3)+2/i表示的點(diǎn)在直線尸才上，

.,?加-3=2赤，解得加=9.

10.復(fù)數(shù)?=a+2i,Z2=-2+i,如果|z「V|z2|,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(一1,1)

22

解析因?yàn)镮?|=yja4-4,|^2|=^(-2)+1=-75.

又因IHVGI，所以4K<S，解得一lVaVL

1L若復(fù)數(shù)z=5cosa—4i(i為虛數(shù)單位，一式VaVO)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在直線y=x

―1上，則sina=.

小心4

答案一￡

解析.??亞數(shù)z=5cos。一4i在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在直線y=x—1上，；?一4=5cosa—

3

1,即cosa=--

又一n<.a<0,/.sina=—\11—cos2a=一HU-

12.已知0VaV2,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a虛部為1,貝ij|z|的取值范圍是

答案(1，乖)

解析由題意可知z=a+i.根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義，得|z|=，7不1,而0VaV2,故lV|z|

13.復(fù)數(shù)z=log13+ilog3J對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第象限

答案三

解析log13<0,log31<0,

???z=log13+ilog3)對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限.

三、解答題

14.已知?=2(1—i),且|z|=l,求|z一?I的最大值.

解如圖所示，因?yàn)閨z|=L所以z的軌跡可看作是半徑為1,圓心為(0,0)的圓，而勿對

應(yīng)坐標(biāo)系中的點(diǎn)為Z(2,-2),所以|z-zj的最大值可以看成點(diǎn)(2,-2)到圓上的點(diǎn)的最

大距離，則|z-z/mx=2/+1.

15.設(shè)復(fù)數(shù)z=lg(/^+2kl4)+?一k6)i,求當(dāng)實(shí)數(shù)勿為何值時:

(Dz為實(shí)數(shù)；

(2)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.

—/??-6=0,

解(1)由題意得

+2/?—14>0,

解得力=3("=—2舍去).

故當(dāng)加3時，z是實(shí)數(shù).

1g(必2+2/77—14)<0?

(2)由題意得

“一加一6>0,

0v/+2z?-14<1>

即

尤一加一6>0.

tif+2m~14>0?

即“m+2/ff—15<0,

z?-6>0,

/zr<-1—或勿〉—1+*xJTi,

{;?<—2或加>3.

解得一5V〃?<—1一

故當(dāng)一5-1—4記時，z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第二象限.

16.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，且滿足同=石，其實(shí)部、虛部均為整

數(shù)，記了為虛數(shù)單位.

(I)求復(fù)數(shù)z；

(II)當(dāng)z+i為純虛數(shù)時，若z+2(z-〃，=4+而，求實(shí)數(shù)m和〃的值.

m=\

答案：(I)z=l—2i或z=2—i.(H),

n=\

【分析】

(I)根據(jù)題意設(shè)復(fù)數(shù)2=。+砥a,b￡Z),再利用忖=石，解得即可；

(II)根據(jù)題意可得z=2-i,則(［而)=2-陽+i,代入整理可得實(shí)數(shù)m和〃的值.

【詳解】(I)設(shè)z=o+6(abwZ),則。2+/=5(〃乃￡2),

因?yàn)閆在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以a>0，bvo,

a=1fa=2

所以匕c或「/即z=l-2，或z=2—i.

b=-2[/?=-]

(II)當(dāng)z+i為純虛數(shù)時，由(I)知z=2—i,則(z-m)=2-m+i

由z+2(z—m)=4+山，得6—2機(jī)+i=4+〃i,

6-2/n=4[m=\

所以｛,,解得《?.

n=1[〃=1

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

B組能力提升

一、選擇題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則|z-l+J5”的最小值為()

A.2B.1C.73D.72

答案：B

【分析】

復(fù)數(shù)方程IZ|=I轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)方程f+丁=],再由復(fù)數(shù)模幾何意義得?z_1+后,|表示

(1,-百)與圓上任一點(diǎn)*,y)間距離.

【詳解】設(shè)z=x+yi(x￡RywH),由Iz|=1得f+丫2=],

又‘一1+網(wǎng)=J(iy+()，+@2表示定點(diǎn)(1,—6)與圓上任一點(diǎn)a,y)間距離.

則由幾何意義得|z-1+61mhi=T=2-1=1，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算和幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足：以一2|=1,則|z-l+i|的最大值為()

A.2B.724-1C.72-1D.3

答案：B

【分析】

復(fù)數(shù)方程|z—2|二l轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)方程（x—2『+y2=i,再由復(fù)數(shù)模定義|z-l+i|表示

（h-1）與圓上任一點(diǎn)（覆），）間距離.

【詳解】解：設(shè)z=x+yi,由|z-2|二l得圓的方程（工一2）2+尸=1,

又|z-1+*Jd）2+（y+l）2表示定點(diǎn)（1,一1）與圓上任一點(diǎn)（x,y）間足離.

則由幾何意義得|z-l+i|g=J（2-一0『+1=夜+1,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算和幾何意義，屬于中檔題.

3.已知復(fù)數(shù)z=x+）0,xeR,"R,滿足卜+1|+2一1|=4,則點(diǎn)（品y）的軌跡是（）

A.線段B.圓C.雙曲線D.橢圓

答案：D

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模長的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在某一橢圓上.

【詳解】復(fù)平面上，梵數(shù)z滿足|z+l|+|z-l|=4,則z對應(yīng)的點(diǎn)用到點(diǎn)￡（一1,0）,點(diǎn)

居（1,0）的距離和為4,叫4=4,|￡周=2<4,，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)〃在以

”，尸2為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與模長幾何意義應(yīng)用問題，也考宜了橢圓的定義應(yīng)用問

題，是基礎(chǔ)題.

則復(fù)數(shù)（cos〃+sin9）+（sin。-cos0）i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的

點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析/.cos夕+sin夕＜0,sin夕——cos。＞0.，選B.

5.設(shè)力、8為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z=（cos8—tan力）+tan所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)

平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析因力、4為銳角三角形的兩個內(nèi)角，所以力+笈>+，即力>一■一B,sinJ>cosB.cos

sin力

8—tanJ=cosB—~----;<cos5—sinA<0,又tanff>0,所以點(diǎn)(cos5—tanAtan

cosAt

在第二象限，故選B.

二、填空題

6.設(shè)z=log20—3/77—3)+i,log2(〃/—3)(〃￡R),若z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x—2_HT=0上，則

m的值是.

答案機(jī)

解析由題意知，復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y￡R)的實(shí)部x和虛部y滿足方程x—2y+l=0,

故log2(z?2—3^—3)—21ogj(zz/—3)+1=0,

z?/—3/?—3

則log.

g3)2-1,

.n?—3m-31

：,m=±y[15.

1*(z?/-3)2=2f

TH—3/z?—3>0,

777—3>0,

3呼,

乙

7.若復(fù)數(shù)z滿足目=1Q，為虛數(shù)單位)，則|z—2i|的最小值是______.

答案：1

分析：復(fù)數(shù)滿足忖=1,設(shè)z=cosO+sin/,利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式與三角函數(shù)求值即

可求出.

詳解:由復(fù)數(shù)滿足國=1,設(shè)z=8se+sin/,夕€[0,2萬],

則|z-2f|=Jcos?2+(sin6-2)?=j5-4sin6>1>當(dāng)且僅當(dāng)sin6=1時等號成立,

所以卜一組的最小值為1.

點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式及其三角函數(shù)的求解，著重考查了推理與

運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知復(fù)數(shù)z=x+M，且以一2|=6則予的最大值為.

答案：小

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z的幾何意義以及上的幾何意義，由圖象得出最大值.

X

【詳解】復(fù)數(shù)Z=x+yi且上一2|=6，復(fù)數(shù)Z的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)(2,0)為圓心,

G為半徑的圓2尸+V=3.2的幾何意義是圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率

由圖可知：(2]=—=73

Ux1

即上的最大值為.

x

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.已知復(fù)數(shù)z滿足忖=2,則|z+3—4i|的最小值是.

答案：3

【分析】

根據(jù)絕對值不等式何―b同〃+44時+例，求出|z+3-4j的最小值即可.

【詳解】???復(fù)數(shù)z滿足忖=2,

A|z+3-4z|>|3-4/|-|z|=5-2=3,

??.|z+3-4i|的最小值是3.

故答案為3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目.

三、解答題

10.已知w=-3+4i,|z|=L求Iz—z"的最大值和最小值.

解如圖，|z|=l表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以（0,0）為圓心，1為半徑的圓上，而勾在坐標(biāo)系

中的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,4）,???|z-z"可看作是點(diǎn)（一3,4）到圓上的點(diǎn)的距離.

由圖可知，點(diǎn)（一3,4）到圓心（即原點(diǎn)）的距離為7（—3）2+4?=5,故|z—zi由=5+1=6,\z

—^l|nin=5—1=4.

11.設(shè)全集U=C,A={z\I|z|—11=1—|z|,z￡C},B={z\|z|<1,z￡C},若（二面，

求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡.

解VzeC,|z|￡R,eR.

V11z|—11=1—|z|?；.1一|z|10,即|N|WL

???N={z||z|WLzee）.

又,.'Q{z||z|VI,z￡C},.,.[,.Q{z||z|21,z￡C}.

（[ZJ?,???2￡4且2￡。￡

1z|Wl,

|z|21,

由復(fù)數(shù)的模的幾何意義知，復(fù)數(shù)z在系平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的

圓.

《7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義》同步練習(xí)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.若復(fù)數(shù)z滿足z+i—3=3—i,則z等于（）

A.0B.2i

C.6D.6-2i

2.復(fù)數(shù)i+i?在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，應(yīng)，0C,磁示的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,l+5i,則應(yīng)表示的

復(fù)數(shù)為（）

A.2+8iB.-6—6i

C.4-4i1).-4+2i

4.若|z-l|=|z+l|,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.實(shí)軸上B.虛軸上

C.第一象限D(zhuǎn).第二象限

5.復(fù)數(shù)zi=2—Ji,Z2=J—2i,則zi+z2等于()

B.Mi

A.0乙乙

「55.n53-

D-2-2X

6.若z+3-2i=4+i,則z等于（）

A.1+iB.l+3i

C.-1-iD.-l-3i

7.復(fù)數(shù)z1=3+i,z2=-1—i,則zi—力等于()

A.2B.2+2i

C.4+2iD.4-2i

8.設(shè)?=2+bi,Z2=a+i,當(dāng)z+z2=0時，復(fù)數(shù)a+歷為（）

A.1+iB.2+i

C.3D.-2-i

二、填空題

9.已知復(fù)數(shù)zi=(a2-2)+U-4)i,Z2=a一(一一2)i(a￡R),且Z-Z2為純虛數(shù)，則

10.若復(fù)數(shù)?+%=3+4i,?—Z2=5—2i,則?=.

11.若|z-2|=|z+2|,則|z-l|的最小值是.

12.如果一個復(fù)數(shù)與它的模的和為5+，5i,那么這個復(fù)數(shù)是.

三、解答題

13.計(jì)算：

(l)(2-i)+(-3+5i)+(44-3i)；

(2)4-(5+12i)—i；

(3)若z-(—3+5i)=-2+6i,求復(fù)數(shù)z.

14.已知力鑿9是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且4B,C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是l+3i,-i,

2+i,求點(diǎn)〃對應(yīng)的復(fù)數(shù).

B組能力提升

一、選擇題

1.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|+|z—2i|=4,那么果+i+l|的最小值是()

A.1B.也

C.2D.小

2.復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A,8,。對應(yīng)的狂數(shù)分別為i,1,4+2i,由力〃按逆時針順序作。極為，

則I礪等于()

A.5B.A/13C.4D.正

3.設(shè)z￡C,且|z+l|一|z-i|=O,貝lj|z+i|的最小值為()

A.0B.1

C.乎D.|

4.(多選題)已知i為虛數(shù)單位，下列說法中正確的是()

A.若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=乖，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以(1,0)為圓心，/為半徑的圓上

B.若復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,則復(fù)數(shù)z=15+8i

C.復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模

D.復(fù)數(shù)?對應(yīng)的向量為應(yīng)，復(fù)數(shù)Z2對應(yīng)的向量為應(yīng)，若|zi+z2|=?一引，則應(yīng)_1_法

二、填空題

5.若復(fù)數(shù)z滿足z=|z|一3—4i,則z=.

三、解答題

6.在復(fù)平面內(nèi)，力，B,。分別對應(yīng)復(fù)數(shù)?=l+i,z=5+i,z：,=3+3i,以AB,力C為鄰邊

作一個平行四邊形力胸，求〃點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)勾及49的長.

7.集合*={z||z-l|WL^EC},N={z\\z-\-i\=\z-2\tz￡C}