2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題06 圓中的相關(guān)證明及計算（講練）（原卷版）

專題06圓中的相關(guān)證明及計算目錄TOC\o"1-3"\n\p""\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一圓的基本性質(zhì)證明與計算題型01圓中的角度和線段計算問題題型02垂徑定理的實際應(yīng)用題型03與圓有關(guān)的弧長、扇形面積計算題型04求弓形面積或不規(guī)則圖形面積題型05正多邊形與圓的相關(guān)計算【核心提煉·查漏補缺】【好題必刷·強化落實】考點二與圓有關(guān)的位置關(guān)系題型01與圓有關(guān)的位置關(guān)系題型02切線的判定題型03三角形內(nèi)切圓、外接圓的相關(guān)計算題型04四點共圓題型05相交弦定理題型06切割線定理題型07割線定理題型08圓與相似綜合題型09圓與三角函數(shù)綜合【好題必刷·強化落實】

考點要求命題預(yù)測圓的基本性質(zhì)證明與計算中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系一直都是必考的考點，難度從基礎(chǔ)到綜合都有通常選擇填空題會出圓的基本性質(zhì)，如弧長、弦長、半徑、圓周角等的關(guān)系,基本都是基礎(chǔ)應(yīng)用，難度不大,個別會出選擇題的壓軸題，難度稍大.簡答題部分，一般會把切線的問題和相似三角形、銳角三角函數(shù)等結(jié)合考察，這是一般都是中等難度的問題.還有一些城市會把圓的基本性質(zhì)等與其他動點問題綜合考察,此時一般都是壓軸題，難度很大，這時候就需要考生綜合思考的點比較多.與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點一圓的基本性質(zhì)證明與計算題型01圓中的角度和線段計算問題圓的基礎(chǔ)定理:垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的內(nèi)容和?？碱}型要熟悉，也要結(jié)合幾何圖形各自的特征，綜合應(yīng)用起來解決相關(guān)問題.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①AB過圓心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【總結(jié)】垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理.常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt2）有弦中點，連中點和圓心，得垂直平分.【利用圓周角定理解題思路】1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進行角的轉(zhuǎn)化.2）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?3）當(dāng)已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角．4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等．1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，2．（2023·湖南·中考真題）如圖，點A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點D，連接，則的長度為．3．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

4．（2023·湖北·中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則．

題型02垂徑定理的實際應(yīng)用1．（2023·山東東營·中考真題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，是的直徑，弦于點E，寸，寸，則直徑長為寸．2．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為cm（玻璃瓶厚度忽略不計）．3．（2023·湖南·中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，）

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）題型03與圓有關(guān)的弧長、扇形面積計算設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長公式l=nπR180（扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h，圓錐的底面半徑rr1）利用弧長公式計算弧長時，應(yīng)先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果．在弧長公式l=nπR2）在利用扇形面積公式求面積時，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S3）扇形面積公式S扇形=14）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量．5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長，即2πr=nπR1806）求弧長或扇形的面積問題常結(jié)合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側(cè)面展開即為扇形，而這個扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個概念．1．（2023·江蘇·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（

）．

A． B． C． D．2．（2023·湖南·中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側(cè)面展開圖中的長為（

）

A． B． C． D．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，扇形的半徑為2，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長．（結(jié)果保留）

4．（2023·山東濟南·中考真題）如圖，正五邊形的邊長為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．

題型04求弓形面積或不規(guī)則圖形面積【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：1．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川成都·中考真題）為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準(zhǔn)備在一個場館進行川劇演出．該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時觀看演出．（取3.14，取1.73）

3．（2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，正方形ABCD的邊長是4，分別以點A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留）.

4．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點，并與兩腰，分別相交于，兩點，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．5．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，在等腰直角中，，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．題型05正多邊形與圓的相關(guān)計算正多邊形的常用公式邊長an=2Rn?周長Pn=n?an外角/中心角度數(shù)360°面積Sn=12an?rn?對角線條數(shù)n(n?3)邊心距rn=Rn?cos180內(nèi)角和（n-2）×180°.內(nèi)角度數(shù)（nn邊形的邊數(shù)（內(nèi)角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an【解題思路】正多邊形與圓的計算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算．1．（2022·山東青島·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點M在上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2022·吉林·中考真題）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為度．（寫出一個即可）3．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)為．圓的對稱性內(nèi)容補充圓的軸對稱性經(jīng)過圓心任意畫一條直線，并沿此直線圓對折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸.①圓的旋轉(zhuǎn)不變性是其他中心對稱圖形所沒有的性質(zhì).②圓的對稱軸不是直徑，而是直徑所在的直線.③圓是一個特殊的對稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對稱性推出.圓的中心對稱性將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等.【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的弦相等，所對的圓心角、圓周角也都相等．運用這些相等關(guān)系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．1）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化.2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來轉(zhuǎn)化.3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對角互補.2)圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角.正多邊形常見邊心距與邊長的比值圖形OA:AB:OB內(nèi)切圓與外接圓半徑的比等邊三角形1:3:1:2正方形1:1:1:正六邊形3:1:23:2【備注】正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.一、單選題1．（2023·遼寧大連·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023·青海西寧·二模）一個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)求得該幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，為四邊形的內(nèi)切圓，，，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．4．（2023·貴州黔東南·二模）如圖，在平行四邊形中，，以為直徑的恰好經(jīng)過點，交于點，當(dāng)點為的中點時，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．平分 B．C． D．的長為5．（2023·江蘇蘇州·一模）已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為，則它的周長為．6．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，延長正五邊形各邊，使得，若，則的度數(shù)為．

7．（2023·浙江杭州·三模）如圖，與分別相切于點A，B，，，則．

8．（2023·北京西城·一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞.如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為，地面入口寬為，求該門洞的半徑9．（2023·浙江舟山·二模）如圖，和是兩個完全重合的直角三角板，，斜邊長為三角板繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點落在邊上時，則點所轉(zhuǎn)過的路徑長為．

10．（2023·河南周口·二模）如圖所示的是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖，其中點與點重合，點與點重合，則圖中陰影部分的面積為．11．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）某數(shù)學(xué)小組在一個半徑為2的圓形場地上做探究實踐活動．

（1）如圖1，小組將圓形場地分為12等份．機器人從一個點到另外一個點均是直線行走．①機器人從點走到點的路程為；②機器人從點到點走了兩條不同的路線．路線1：；路線2：，路線1的長記為，路線2的長記為，則；（填“>”“<”或“=”）（2）如圖2，機器人從出發(fā)，沿與半徑夾角為的方向行走，走到場地邊緣后，再沿與夾角為的方向折向行走至，…按照這樣的方式，機器人走到時第一次超過，且，則．12．（2023·山東菏澤·二模）如圖1，為的圓心，、為上的兩點，且，連接并延長，與的延長線相交于點．(1)求證：；(2)如圖2，連接、、，與、分別交于點、．若的直徑為10，，請求出的值．13．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知在中，，點是內(nèi)心，連接，且，現(xiàn)將以B為圓心順時針旋轉(zhuǎn)到邊與邊所在直線重合，點落在點處，將以為圓心逆時針旋轉(zhuǎn)到邊與邊所在直線重合，點落在點處．

(1)求證：和所在的直線；(2)求線段的長度；(3)在⊙中，求以為圓心角的扇形與以為圓心角的扇形和以為圓心角的扇形面積之比是多少？14．（2023·河北邯鄲·二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個大圓和六個全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點（如點P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．

(1)________°(2)若，的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心M與l的最大距離為________；②當(dāng)圓心H到l的距離等于時，求的長；③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，的長為定值，并求出這個定值．15．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）【發(fā)現(xiàn)問題】

“速疊杯”是深受學(xué)生喜愛的一項運動，杯子的疊放方式如圖1所示：每層都是杯口朝下排成一行，自下向上逐層遞減一個杯子，直至頂層只有一個杯子．愛思考的小麗發(fā)現(xiàn)疊放所需杯子的總數(shù)隨著第一層（最底層）杯子的個數(shù)變化而變化．【提出問題】疊放所需杯子的總數(shù)y與第一層杯子的個數(shù)x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？【分析問題】小麗結(jié)合實際操作和計算得到下表所示的數(shù)據(jù)：第一層杯子的個數(shù)杯子的總數(shù)然后在平面直角坐標(biāo)系中，描出上面表格中各對數(shù)值所對應(yīng)的點，得到圖2，小麗根據(jù)圖2中點的分布情況，猜想其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分；為了驗證自己的猜想，小麗從“形”的角度出發(fā)，將要計算總數(shù)的杯子用黑色圓表示（如圖3），再借助“補”的思想，補充相同數(shù)量的白色圓，使每層圓的數(shù)量相同，進而求出與的關(guān)系式．【解決問題】（1）直接寫出與的關(guān)系式；（2）現(xiàn)有個杯子，按【發(fā)現(xiàn)問題】中的方式疊放，求第一層杯子的個數(shù)；（3）杯子的側(cè)面展開圖如圖4所示，，分別為上、下底面圓的半徑，所對的圓心角，．將這樣足夠數(shù)量的杯子按【發(fā)現(xiàn)問題】中的方式疊放，但受桌面長度限制，第一層擺放杯子的總長度不超過，求杯子疊放達到的最大高度和此時杯子的總數(shù)．（提示：杯子下底面圓周長與AB的長度相等）考點二與圓有關(guān)的位置關(guān)系題型01與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點和圓的位置關(guān)系已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，則：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點在圓外點在圓的外部d>r點P在圓外點在圓上點在圓周上d=r點P在圓上點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d<r點P在圓內(nèi)【說明】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系．2.直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點個數(shù)性質(zhì)及判定相離沒有公共點d>r直線l與⊙O相離相切有唯一公共點d=r直線l與⊙O相切相交有兩個公共點d<r直線l與⊙O相交【小技巧】判斷點與圓之間的位置關(guān)系，將該點的圓心距與半徑作比較即可．3.圓和圓之間的位置關(guān)系設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點個數(shù)性質(zhì)及判定外離無d>R+r?外切1個切點d=R+r?相交兩個交點R?r<d<R+r?內(nèi)切1個切點d=R?r?內(nèi)含無0≤d<R?r?兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.1.由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進行分類討論，否則比較容易漏解．2.經(jīng)過一個點作圓,圓心的位置具有任意性；經(jīng)過兩個點作圓,圓心的位置就有了規(guī)律性,即圓心位于兩點連線的垂直平分線上.3.直線和圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的公共點的個數(shù)來研究；也可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來研究，這兩個角度的論述其實是等價的.4.圓與圓之間的有些位置關(guān)系有兩種情況，做題時要分類討論，防止漏解：①兩圓沒有交點：外離或內(nèi)含；②兩圓有一個交點：外切或內(nèi)切；③兩圓有兩個交點：兩圓心在公共弦同側(cè)或異側(cè)．1．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知長方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點與圓A的位置關(guān)系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi) B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi) D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外2．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知平面內(nèi)有和點，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，等圓和相交于A，B兩點，經(jīng)過的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．4．（2023·四川德陽·中考真題）已知的半徑為，的半徑為，圓心距，如果在上存在一點，使得，則的取值范圍是．5．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，點P（）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax＋By＋C＝0的距離可用公式來計算．例如：求點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因為直線y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）求點M（0，3）到直線的距離；（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為n，求n的值；若不相交，說明理由．題型02切線的判定性質(zhì)圓的切線垂直于過切點的半徑．（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經(jīng)過切點與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點時，通常作的輔助線是連接切點與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進行有關(guān)的計算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時，1）若已知直線與圓的公共點時，把圓心和這個公共點連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點沒有明確，可過圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”．1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）如圖，是的直徑，與交于點F，弦平分，點E在上，連接、，________．求證：________．

從①與相切；②中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，將題目補充完整（填寫序號），并完成證明過程．（2）在（1）的前提下，若，，求陰影部分的面積．2．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點O為的中點，連接交于點E，與相切于點D．(1)求證：是的切線；(2)延長交于點G，連接交于點F，若，求的長．3．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖1，點為等邊的重心，點為邊的中點，連接并延長至點，使得，連接，，，

(1)求證：四邊形為菱形．(2)如圖2，以點為圓心，為半徑作①判斷直線與的位置關(guān)系，并予以證明．②點為劣弧上一動點（與點、點不重合），連接并延長交于點，連接并延長交于點，求證：為定值．題型03三角形內(nèi)切圓、外接圓的相關(guān)計算常見結(jié)論1）三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=2S2）特殊的直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=a+b?c【解題思路】解三角形的內(nèi)切圓問題，通常分別連接．內(nèi)切圓的圓心與切點、圓心與三角形的頂點來構(gòu)造直角三角形，以便利用直角三角形的知識進行求解．1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長為21，則的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．32．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2022·山東淄博·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（

）A．6 B．7 C．8 D．94．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是的外心，在不添加其他字母的情況下，則除外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來．5．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，點是的內(nèi)心，的延長線與邊相交于點，與的外接圓相交于點．(1)求證：；(2)求證：；(3)求證：；(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）題型04四點共圓判定方法圖形證明過程若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓（圓的定義）.適用范圍：題目出現(xiàn)共端點，等線段時，可利用圓的定義構(gòu)造輔助圓.到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上（圓的定義）若一個四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的四個點共圓.反證法若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個點共圓.反證法同側(cè)共邊三角形且公共邊所對角相等的四個頂點共圓.反證法共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓.適用范圍：雙直角三角形共斜邊模型.連接AO、OD根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得AO=BO=CO=DO∴點A、B、C、D四點共圓在⊙O中，若弦AB、CD相交于點P,且AP?DP=BP?CP，則A,B,C,D四點共圓（相交弦定理的逆定理）在△APB和△CPD中AP?DP=BP?CP∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2則A、B、C、D四點共圓在⊙O中，若AB、CD兩線段延長后相交于點P,且AP?BP=DP?CP，則A,B,C,D四點共圓（割線定理）在△APC和△DPB中AP?BP=CP?DP∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°∴∠1+∠2=180°則A、B、C、D四點共圓若四邊形兩組對邊乘積的和等于對角線的乘積，則四邊形的四個頂點共圓(托勒密定理的逆定理).1．（2022·四川遂寧·中考真題）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點B，連接EC、GA，交于點O，GA與BC交于點P，連接OD、OB，則下列結(jié)論一定正確的是（

）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD=45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④2．（2021·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點，，，點在線段上從點至點運動，連接，以為邊作等邊三角形，點和點分別位于兩側(cè)，下列結(jié)論：①；②；③；④點運動的路程是，其中正確結(jié)論的序號為（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④3．（2023·湖北恩施·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．

(1)如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當(dāng)為等邊三角形時，求點，的坐標(biāo)；(3)若拋物線經(jīng)過點，，，且，求正整數(shù)m，n的值．4．（2023·山東日照·中考真題）在探究“四點共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：如圖1，中，（）．點D是邊上的一動點（點D不與B，C重合），將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點共圓；(2)如圖2，當(dāng)時，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；(3)已知，點M是邊的中點，此時是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點M距離的最小值．5．（2022·貴州遵義·中考真題）探究與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．提出問題：如圖1，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（依據(jù)2）點，，，四點在同一個圓上(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關(guān)于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．題型05相交弦定理相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.已知圖形結(jié)論證明過程【基礎(chǔ)】在⊙O中，弦AB、CD相交于點PAP?DP=BP?CP在△APB和△CPD中∠1=∠2（同弧所對圓周角相等）∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴APCP=BPDP則AP【進階】在⊙O中，OP所在直線與⊙O交于M、N兩點，r為⊙O的半徑BP?CP=MP?NP=(r-OP)(r+OP)=同上1．（2017·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點B的切線BP與CD的延長線交于點P，連接OC，CB．（1）求證：AE?EB=CE?ED；（2）若⊙O的半徑為3，OE=2BE，，求tan∠OBC的值及DP的長．2．（2022·湖南長沙·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，相交于點E，點F在邊上，連接．

(1)求證：；(2)當(dāng)時，則___________；___________；___________．（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）(3)①記四邊形，的面積依次為，若滿足，試判斷，的形狀，并說明理由．②當(dāng)，時，試用含m，n，p的式子表示．題型06切割線定理切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.已知圖形結(jié)論證明過程如圖，線段ADC是⊙O的一條割線，AB是⊙O的一條切線，切點為點BAB2=AD?∵∠1=∠2（弦切角定理模型），∠A=∠A∴△ABD∽△ACB∴ABAC=ADAB則AB1．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點D，過點C作的切線，交的延長線于點E．

(1)求證：；(2)若，，求的半徑．2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點，延長至點C，連接，．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，求的半徑．3．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點，．

(1)填空：的度數(shù)是_________，的長為_________；(2)求的面積；(3)如圖2，，垂足為．是上一點，．延長，與，的延長線分別交于點，求的值．題型07割線定理割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.已知圖形結(jié)論證明過程【基礎(chǔ)】在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，且點P在圓外AP?BP=CP?DP連接AC、BD通過已知條件證明△APC∽△DPB∴APDP=CPBP則AP（請嘗試連接AD，BC自行證明）【進階】若從圓外一點P引圓的兩條割線PAB和PMN，且割線PMN經(jīng)過圓心，r為⊙O的半徑AP?BP=MP?NP=(OP-r)(OP+r)=OP2同上1．（2022·湖南·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是直徑，點是的中點，延長交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．題型08圓與相似綜合相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．2）兩個三角形相似的判定定理：①三邊成比例的兩個三角形相似；②兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③兩角分別相等的兩個三角形相似．④斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似.判定兩個三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法．有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例．1．（2023·浙江·中考真題）小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁第5題后，進行變式、探究與思考：如圖1，的直徑垂直弦AB于點E，且，．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長．(2)探究拓展：如圖2，連接，點G是上一動點，連接，延長交的延長線于點F．①當(dāng)點G是的中點時，求證：；②設(shè)，，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；③如圖3，連接，當(dāng)為等腰三角形時，請計算的長．2．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，是的直徑，點是圓上的一點，于點，交于點，連接，若平分，過點作于點，交于點，延長，交于點．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，求的值．3．（2023·山東·中考真題）如圖，為的直徑，C是圓上一點，D是的中點，弦，垂足為點F．

(1)求證：；(2)P是上一點，，求；(3)在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時，求的長．4．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．題型09圓與三角函數(shù)綜合在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對的邊鄰邊1．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在中，，，．若的半徑為4，點在上，點在上，連接，求線段的最小值；（2）如圖②所示，五邊形是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點處，點處是該市的一個交通樞紐．已知：，，．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實際需求，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個半徑為的圓型環(huán)道；過圓心，作，垂足為，與交于點．連接，點在上，連接．其中，線段、及是要修的三條道路，要在所修道路、之和最短的情況下，使所修道路最短，試求此時環(huán)道的圓心到的距離的長．

2．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點H．點A在MC上，點B在NC上，．

(1)求證：．(2)求證：．(3)