4.3.2對數(shù)的運(yùn)算法則課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標(biāo)要求1.理解對數(shù)運(yùn)算法則,并能運(yùn)用運(yùn)算法則化簡、求值.2.知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).3.能運(yùn)用運(yùn)算法則和換底公式進(jìn)行一些簡單的化簡和證明.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)一對數(shù)的運(yùn)算法則條件a>0且a≠1,M>0,N>0法則(1)loga(M·N)=logaM+logaN(2)logaMN=NlogaM(N∈R)(3)loga=logaM-logaN名師點(diǎn)睛1.逆向應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算法則,可以將幾個(gè)對數(shù)式化為一個(gè)對數(shù)式,有利于化簡.2.對于每一條運(yùn)算法則,都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)都有意義時(shí),等式才成立.如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但log2(-2)與log2(-3)均不存在,不能寫成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3).3.法則(1)可以推廣到真數(shù)為無限多個(gè)正因數(shù)相乘的情況,即loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.其中Nk>0,k∈N+.過關(guān)自診用lgx,lgy,lgz表示下列各式:(1)lg(xyz);(2)lg(x2yz3);解

lg(xyz)=lg

x+lg

y+lg

z.解

lg(x2yz3)=lg

x2+lg

y+lg

z3=2lg

x+lg

y+3lg

z.知識點(diǎn)二兩種特殊的對數(shù)名稱定義常用對數(shù)將以

為底的對數(shù)叫作常用對數(shù),并且把log10N記為

自然對數(shù)將以e(e=2.71828…)為底的對數(shù)叫作自然對數(shù),并且把logeN記作

10lgNlnN過關(guān)自診計(jì)算下列各式的值:(1)lg100=

;

(3)lg2+lg5=

;

(4)elnπ=

.

2-41π知識點(diǎn)三對數(shù)換底公式名師點(diǎn)睛1.換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對數(shù)式都有意義.2.換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)改變,把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題進(jìn)行化簡、計(jì)算和證明.換底公式在實(shí)際應(yīng)用中究竟換成以什么為底,要由具體已知的條件來確定,一般換成以10為底的常用對數(shù).過關(guān)自診計(jì)算:(1)log2781;(2)log1625·log58;(3)logab·logba(a>0,b>0,且a≠1,b≠1).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【例1】

計(jì)算下列各式的值:解

原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.規(guī)律方法

對于底數(shù)相同的對數(shù)式的化簡、求值常用的方法(1)“收”,將同底的兩個(gè)對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù);(2)“拆”,將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差).對數(shù)式的化簡、求值一般是正用或逆用公式,要養(yǎng)成正用、逆用、變形應(yīng)用公式的習(xí)慣.lg

2+lg

5=1在計(jì)算對數(shù)值時(shí)會經(jīng)常用到,同時(shí)注意各部分變形要化到最簡形式.變式訓(xùn)練1計(jì)算下列各式的值:探究點(diǎn)二換底公式的應(yīng)用【例2】

計(jì)算下列各式的值:(1)log89×log2732;規(guī)律方法

1.換底公式的本質(zhì)是化異底為同底,主要用途是將一般對數(shù)化為常用對數(shù)或自然對數(shù),解決一般對數(shù)的求值問題.2.利用換底公式計(jì)算、化簡、求值的一般思路:變式訓(xùn)練2計(jì)算:(1)log23×log36×log68;(2)(log23+log43)×(log32+log274).探究點(diǎn)三有附加條件的對數(shù)求值問題解

∵6x=5y=a(a>0),∴xlg

6=lg

a,ylg

5=lg

a.解

設(shè)ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴l(xiāng)g

ax=lg

k,lg

by=lg

k,lg

cz=lg

k.∴x=logak,y=logbk,z=logck.變式探究

證明

設(shè)3x=4y=6z=m(m>0),則x=log3m,y=log4m,z=log6m.規(guī)律方法

條件求值問題的求解方法帶有附加條件的代數(shù)式求值問題,需要對已知條件和所求式子進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化,原則上是化為同底的對數(shù),以便利用對數(shù)的運(yùn)算法則.要整體把握對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用指數(shù)式與對數(shù)式的互化進(jìn)行解題.探究點(diǎn)四換底公式在實(shí)際中的應(yīng)用【例4】

分貝是計(jì)量聲音強(qiáng)度相對大小的單位.物理學(xué)家引入了聲壓級來描述聲音的大小:把一很小的聲壓P0=2×10-5帕作為參考聲壓,把所要測量的聲壓P與參考聲壓P0的比值取常用對數(shù)后乘20得到的數(shù)值稱為聲壓級.聲壓級是聽力學(xué)中最重要的參數(shù)之一,單位是分貝(dB).分貝值在60以下為無害區(qū),說明聲音環(huán)境優(yōu)良,60~110為過渡區(qū),110以上為有害區(qū).(1)試列出分貝y與聲壓P的函數(shù)關(guān)系式.(2)某地聲壓P=0.002帕,則該地為以上所說的什么區(qū)?聲音環(huán)境是否優(yōu)良?(3)假若某精彩的文藝節(jié)目引起了觀眾多次響亮的掌聲,某記者用儀器測得其中一次掌聲的音量達(dá)到了90分貝,試求此時(shí)會場內(nèi)的聲壓是多少.由已知條件知40分貝小于60分貝,所以此地為噪音無害區(qū),聲音環(huán)境優(yōu)良.所以P=104.5P0=104.5×2×10-5=2×10-0.5≈0.63(帕),即此時(shí)會場內(nèi)的聲壓約是0.63帕.規(guī)律方法

解決對數(shù)應(yīng)用題的一般步驟變式訓(xùn)練3一臺機(jī)器原價(jià)20萬元,由于磨損,該機(jī)器每年比上一年的價(jià)值降低8.75%,問經(jīng)過多少年這臺機(jī)器的價(jià)值為8萬元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解

設(shè)經(jīng)過x年,這臺機(jī)器的價(jià)值為8萬元,則8=20(1-0.087

5)x,即0.912

5x=0.4,所以約經(jīng)過10年這臺機(jī)器的價(jià)值為8萬元.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891.已知alog32=1,則2a=(

)A. B.1

C.2 D.3D解析

alog32=1=log32a,故2a=3.故選D.123456789A.1 B.4

C.5 D.7C1234567893.(多選題)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,則下列各式恒等的是(

)

BCD123456789D123456789解析

∵2lg(x-2y)=lg

x+lg

y(x>2y>0),∴l(xiāng)g(x-2y)2=lg

xy,∴(x-2y)2=xy,∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,123456789B級關(guān)鍵能力提升練5.設(shè)lg3=a,lg5=b,則log212的值為(

)

C解析

根據(jù)換底公式和對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得

1234567896.(多選題)設(shè)a,b,c都是正數(shù),且4a=6b=9c,那么(

)

AD123456789解析

由題意,設(shè)4a=6b=9c=k(k>0),則a=log4k,b=log6k,c=log9k,1234567891234567897.解下列對數(shù)方程:(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3.123456789123456789(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得

+t-3=0,即t2-3t+2=0,解得t=1或t=2.當(dāng)t=1時(shí),可得log2x=1,即x=2;當(dāng)t=2時(shí),可得log2x=2,即x=4.經(jīng)檢驗(yàn)x=2,x=4均符合題意.故原方程的解為x=2或x=4.1234567898.某工廠新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備,使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,以降低對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位:mg/L)與過濾時(shí)間t(單位:h)間的關(guān)系為P(t)=P0e-kt(P0,k均為非零常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù)),其中P0為t=0時(shí)的污染物數(shù)量.若經(jīng)過5h過濾后還剩余90%的污染物.(1)求常數(shù)k的值;(2)試計(jì)算污染物減少到30%至少需要多長時(shí)間.(精確到1h)(