2024-2025學(xué)年陜西省西安市西安中學(xué)高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題(二模)數(shù)學(xué)試題(文+理)試題含解析_第1頁(yè)
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2024-2025學(xué)年陜西省西安市西安中學(xué)高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題(二模)數(shù)學(xué)試題(文+理)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.相傳黃帝時(shí)代,在制定樂(lè)律時(shí),用“三分損益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音調(diào).如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計(jì)算過(guò)程,若輸入的的值為1,輸出的的值為()A. B. C. D.2.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則其共軛復(fù)數(shù)()A. B. C. D.3.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A. B. C. D.4.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.5.閱讀名著,品味人生,是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)中國(guó)四大名著:《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》,其中每天閱讀一種,每種至少閱讀一次,則每周不同的閱讀計(jì)劃共有()A.120種 B.240種 C.480種 D.600種6.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.847.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若、M是線段AB的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.甲在微信群中發(fā)了一個(gè)6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.511.在聲學(xué)中,聲強(qiáng)級(jí)(單位:)由公式給出,其中為聲強(qiáng)(單位:).,,那么()A. B. C. D.12.設(shè),,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和,并將兩弧各五等分,分點(diǎn)依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點(diǎn)出發(fā),沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為_(kāi)_______.參考數(shù)據(jù):;;)14.已知橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為,且,則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.15.若,則=______,=______.16.已知二面角α﹣l﹣β為60°,在其內(nèi)部取點(diǎn)A,在半平面α,β內(nèi)分別取點(diǎn)B,C.若點(diǎn)A到棱l的距離為1,則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況,某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生,收集了他們參加公益勞動(dòng)時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機(jī)抽取一人,抽到的男生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在的概率:(2)從參加公益勞動(dòng)時(shí)間的學(xué)生中抽取3人進(jìn)行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當(dāng)時(shí),高中生和初中生相比,那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng).(直接寫出結(jié)果)18.(12分)如圖,在矩形中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),分別將沿折起,沿折起,使得重合于點(diǎn),連結(jié).(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知橢圓的焦距為2,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為的左焦點(diǎn),點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn),(ⅰ)證明:平分線段(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));(ⅱ)當(dāng)取最小值時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.21.(12分)已知,函數(shù).(1)若,求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,求的值.22.(10分)已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

根據(jù)循環(huán)語(yǔ)句,輸入,執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】輸入,由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖,可得:第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,滿足判斷條件;輸出結(jié)果.故選:本題考查了循環(huán)語(yǔ)句的程序框圖,求輸出的結(jié)果,解答此類題目時(shí)結(jié)合循環(huán)的條件進(jìn)行計(jì)算,需要注意跳出循環(huán)的判定語(yǔ)句,本題較為基礎(chǔ).2.B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出,然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由,所以其共軛復(fù)數(shù).故選:B.本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,難度較易.3.B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解:因?yàn)?,由等差?shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項(xiàng)和,則.故選:.本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用,如.4.C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問(wèn)問(wèn)題求并集而不是交集.5.B【解析】

首先將五天進(jìn)行分組,再對(duì)名著進(jìn)行分配,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】將周一至周五分為組,每組至少天,共有:種分組方法;將四大名著安排到組中,每組種名著,共有:種分配方法;由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有:種本題正確選項(xiàng):本題考查排列組合中的分組分配問(wèn)題,涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問(wèn)題.6.D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7.B【解析】

先分別判斷命題真假,再由復(fù)合命題的真假性,即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當(dāng),或時(shí),則不成立.則,,均為假.故選:B本題考查復(fù)合命題的真假性,判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

根據(jù)題意,求得的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知,點(diǎn)為中點(diǎn),為中點(diǎn),故可得,故可得;代入橢圓方程可得,解得,不妨取,故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,易知點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,所以離心率為,故選:D.本題考查橢圓離心率的求解,難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo),屬中檔題.9.B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來(lái),再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個(gè),其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個(gè),故所求概率為,故選:B.本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.10.A【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】

由得,分別算出和的值,從而得到的值.【詳解】∵,∴,∴,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,∴,∴,故選:D.本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系,將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi),結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因?yàn)椋矣烧T導(dǎo)公式可得,所以最短距離為,故答案為:.本題考查了空間幾何體中最短距離的求法,注意將空間幾何體展開(kāi)至同一平面內(nèi)求解的方法,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.14.【解析】

先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實(shí)半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【詳解】解:因?yàn)闄E圓,則焦點(diǎn)為,又因?yàn)闄E圓與雙曲線(,)有相同的焦點(diǎn),橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為:,實(shí)半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問(wèn)題.15.10【解析】

①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解;②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則,結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題:,則;②由①可得:.故答案為:①1,②0此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算,涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.16.【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱點(diǎn)M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對(duì)稱性三角形ADC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)長(zhǎng)度最短,結(jié)合對(duì)稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱點(diǎn)M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對(duì)稱性三角形ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)M,B,C,N共線時(shí),周長(zhǎng)最小為MN設(shè)平面ADE交l于,O,連接OD,OE,顯然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根據(jù)余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案為:.此題考查求空間三角形邊長(zhǎng)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對(duì)稱關(guān)系,結(jié)合解三角形知識(shí)求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)詳見(jiàn)解析(3)初中生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)【解析】

(1)由圖表直接利用隨機(jī)事件的概率公式求解;(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率,則分布列可求;(3)由圖表直接判斷結(jié)果.【詳解】(1)100名學(xué)生中共有男生48名,其中共有20人參加公益勞動(dòng)時(shí)間在,設(shè)男生中隨機(jī)抽取一人,抽到的男生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在的事件為,那么;(2)的所有可能取值為0,1,2,3.∴;;;.∴隨機(jī)變量的分布列為:(3)由圖表可知,初中生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng).本小題主要考查古典概型的計(jì)算,考查超幾何分布的分布列的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.18.(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)根據(jù),,可得平面,故而平面平面.(Ⅱ)過(guò)作于,則可證平面,故為所求角,在中利用余弦定理計(jì)算,再計(jì)算.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)?,,,平面,平面所以平面,又平面,所以平面平面;(Ⅱ)過(guò)作于,則由平面,且平面知,所以平面,從而是直線與平面所成角.因?yàn)?,,,所以,從?本題考查了面面垂直的判定,考查直線與平面所成角的計(jì)算,屬于中檔題.19.(1)(2)(ⅰ)見(jiàn)解析(ⅱ)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】

(1)由題意得,再由的關(guān)系求出,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)(i)設(shè),的中點(diǎn)為,,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程中,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,即可得證;(ii)利用兩點(diǎn)間的距離公式及弦長(zhǎng)公式將表示出來(lái),由換元法的對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,可得取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系,從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解:(1)由題意得,,所以,所以橢圓方程為(2)設(shè),的中點(diǎn)為,(?。┳C明:由,可設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,得,所以,所以,則直線的斜率為,因?yàn)?,所以,所以三點(diǎn)共線,所以平分線段;(ii)由兩點(diǎn)間的距離公式得由弦長(zhǎng)公式得所以,令,則,由在上遞增,可得,即時(shí),取得最小值4,所以當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為此題考那可是橢圓方程和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查弦長(zhǎng)公式,屬于較難題.20.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對(duì)應(yīng)的的值為.【解析】

(1)當(dāng)時(shí),求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,利用導(dǎo)函數(shù),可得的范圍,再表達(dá),構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】(1)函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域:,當(dāng)時(shí),,所以:,時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(2)由條件得:,,由條件得有兩根:,,滿足,△,可得:或;由,可得:

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