一本書搞定圓錐曲線（處理標題）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯相關信息作業(yè)幫一課主編一課名師精講一本書搞定圓錐曲線目錄第一章橢圓第一定義與焦點三角形1第二章橢圓第二定義與焦半徑公式19第三章橢圓第三定義與直徑34第四章根與系數(shù)關系53第五章橢圓的切線94第六章極點與極線109第七章橢圓第四定義與射影變換129第八章二次曲線系152附錄1雙曲線的性質168附錄2拋物線的性質172參考答案174性質索引性質01:橢圓的第一定義6性質02:橢圓的焦半徑6性質03:橢圓焦點三角形的旁心軌跡8性質04:橢圓的焦點三角形8性質05:厄克特四邊形定理10性質06:橢圓第一焦半徑公式20性質07:橢圓的準線與第二定義20性質08:橢圓第二焦半徑公式22性質09:互相垂直的焦點弦23性質10:互補焦半徑24性質11:焦點弦的中垂線24性質12:一個存心思的軌跡問題25性質13:橢圓的直徑與第三定義35性質14:點差法35性質15:共軛直徑點的設法37性質16:共軛直徑的平方和37性質17:橢圓內接平行四邊形的面積37性質18:共軛直徑的線性組合38性質19:與共軛直徑相切的圓39性質20:橢圓的垂直直徑40性質21:橢圓硬解定理54性質22:直線與橢圓圓相切的充要條件55性質23:直線型的根與系數(shù)關系56性質24:圓冪定理之推廣56性質25:四點共圓的充要條件57性質26:四點共圓的推論58性質27:四點共圓的參數(shù)形式58性質28:橢圓的切線方程95性質29:一個重要的垂直96性質30:切點弦方程97性質31:橢圓切線的光學性質97性質32:兩焦點到切線的距離之積為定值99性質33:焦點在切線上的投影軌跡100性質34:蒙日圓100性質35:彭賽列小定理102性質36:一個角分線103性質37:定比點差法110性質38:定比點差法逆應用111性質39:調和性與共線性112性質40:配對關系113性質41:極線就是切點弦114性質42:調和線束116性質43:等差數(shù)列117性質44:一個美好的比例117性質45:面積比為定值120性質46:斜率轉移函數(shù)130性質47:橢圓上的交比131性質48:射影變換與其陪同函數(shù)132性質49:射影軸133性質50:帕斯卡定理134性質51:加法結合律135性質52;平行弦的參數(shù)表示136性質53:內接六邊形136性質54:加法結合律(無窮遠直線情況)137性質55:對合變換的逆命題140性質56:對合中央140性質57:對合變換142性質58:過定點問題142性質59:對合變換的復合143性質60:二次曲線的仿射分類154性質61:二次曲線的陪同矩陣與可約性155性質62:二重點與可約性155性質63:二次曲線在某點處的切線156性質64:直線與二次曲線相切的充要條件156性質65:Bezout定理158性質66:二次曲線系定理158性質67:蝴蝶定理159性質68:Cayley-Bacharach定理160性質69:帕斯卡定理161第1章橢圓第一定義與焦點三角形數(shù)海巡航圓錐曲線發(fā)展簡史一、三大幾何問題早在公元前5世紀,古希臘詭辯學派的數(shù)學家就總結出了影響后世數(shù)學2400多年的三大幾何問題:“化圓為方”問題，即用尺規(guī)作一正方形，使其與給定的圓的面積相等;“倍立方體”問題,即給定立方體的一邊,用尺規(guī)作另一正方體,使后者體積兩倍于前者;以及“三等分隨意角”問題，即用尺規(guī)三等分隨意角.這些聞名作圖問題的起因有各種說法，比如，關于“化圓為方”問題，有人提出如下一種說法.在古希臘的時候有一個學者叫安拉克薩哥拉(Anaxagoras,公元前1500年一公元前428年），他提出太陽是一個龐大的火球.從現(xiàn)在看來，它絕對符合客觀事實，但在當初，人們都相信神話中的說法,認為太陽是神靈阿巴羅的化身.于是安拉克薩哥拉被判定為褻瀆神靈,被判處死刑投到了牢獄中.在等待執(zhí)行的日子里，他依然在思量著關于宇宙和萬物的問題，固然也包括數(shù)知識題.一天晚上，他看到圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進牢房，他心中一動，想到：倘若已知一個圓的面積，那么，怎樣做出一個正方形來，才干使它的面積恰好等于這個圓的面積呢?這個問題看似容易,卻難住了安拉克薩哥拉.在古希臘,對作圖工具舉行了限制,只允許使用直尺和圓規(guī).安拉克薩哥拉向來在思量這個問題，甚至忘了自己是一個待處決的犯人.到了后來,受到好朋友伯利克里(當初出色的政治家)的營救，脫離了牢獄之苦.然而這個問題，他自己沒能夠解決，囫圇古希臘的數(shù)學家也沒能解決，成為歷史上聞名的三大幾何難題之一.在之后的兩千多年里,也有無數(shù)的數(shù)學家對此做了論證,可一直沒有得到答案.再如,關于“倍立方體”問題,有人給出的一種說法是:得洛斯地方的人遭遇瘟疫,求教于巫神,巫神告訴他們應該把現(xiàn)有的立方祭壇的體積加倍,但不改變祭壇的形狀.得洛斯人解決不了這個問題,于是就去找柏拉圖（l’lato,公元前427年一公元前347年），柏拉圖告訴他們說巫神之意并不在于要雙倍大的祭壇,而只是借此譴責希臘人不重視數(shù)學.可惜,后來柏拉圖也沒能解決“倍立方體”問題.柏拉圖是他那個時代最有知識的人，但他不是數(shù)學家，不過他熱衷于這門學科,并深信其對哲學和宇宙有重要作用,公元前4世紀時的幾乎所有重要的數(shù)學工作都是柏拉圖的朋友和學生研究出來的.實際上,這三大幾何問題是希臘人在解出了一些作圖題之后的引申，因隨意角可二等分,天然就想試試三等分.因以正方形的對角線為一邊的正方形有兩倍于前者的面積，就理所固然地提出相應的立方體問題.至于化圓為方，它是希臘人求作一定形狀的圖形與給定圖形等面積這類問題中的典型問題.此外還有求作正七邊形或更多邊數(shù)的正多邊形問題就不那么聞名了.但這也是在作出正方形、正五邊形、正六邊形之后引申出來的問題.古希臘三大幾何作圖問題,是數(shù)學史上璀璨的一筆，歷史上無數(shù)數(shù)學家為之折腰，但依然前仆后繼.這三大幾何問題催生了一大批數(shù)學發(fā)現(xiàn),圓錐曲線、數(shù)論、群論的產生都與之有關.這里值得一提的是三大幾何問題的總算歸宿:它們都被證實是不可能的問題.1837年，法國數(shù)學家旺策爾(Wantzel,1814一1848)給出了三等分隨意角及倍立方體不可用尺規(guī)作圖的證實.1882年德國數(shù)學家林德曼(Lindemann,1852一1939)證實了化圓為方用尺規(guī)作圖的不可能性.二、柏拉圖學派柏拉圖出身名門，早年有政治理想，但蘇格拉底(Socates，公元前469年一公元前399年)的命運使他相信有良心的人不能搞政治.他游歷過埃及并在意大利南部交游于畢達哥拉斯派學者之間，畢達哥拉斯學派的學者教過柏拉圖，所以柏拉圖學派受到畢達哥拉斯學派的強烈影響.公元前387年左右，柏拉圖在雅典成立柏拉圖學院，這個學院在無數(shù)方面和現(xiàn)代的大學很類似，學院有場地、房屋、林地、散步小徑、健身房、學生，并有柏拉圖及其助手講授的正式課程.柏拉圖在學院門楣上銘刻了“不習幾何者不得入內”這一警句.柏拉圖學院最聞名的學生是亞里士多德(Aristotle,公元前384年一公元前322年).在古典希臘時期(公元前510一公元前323),數(shù)學和哲學是學院里最受愛慕的學科;囫圇亞歷山大時代(公元前323一公元前31),學院依然領導著哲學界.學院維持了900年之久,直到529年,因它傳授“異端邪說”,被信奉基督教的羅馬王(Justinianus,483-565)查封.在數(shù)學上,柏拉圖派的最重要發(fā)現(xiàn)是圓錐曲線.古希臘數(shù)學家梅內克繆斯(Menaechmus,公元前375一公元前325)是柏拉圖學派中的一員,也是歐多克索斯(Eudoxus,約公元前400一約公元前347年)的學生.歐多克索斯是古希臘時代最偉大的數(shù)學家,并在囫圇古代僅次于阿基米德(Archimedes,公元前287年一公元前212年).梅內克繆斯是這樣定義圓雉曲線的:利用三種圓雉,直角的、鈍角的和銳角的圓錐,再用垂直于錐面一條母線的平面來截每個錐面，分離得到了三類圓錐曲線:“直角圓錐曲線”“銳角圓錐曲線”“鈍角圓錐曲線”,即今天之拋物線、橢圓、一支等軸雙曲線.當初,他只知道雙曲線的一支.而后,梅內克繆斯利用一條拋物線和一條雙曲線的交點去解決立方倍體問題,一條拋物線和一條雙曲線方程分離是x其交點的橫坐標即滿意x3梅內克繆斯曾當過當初亞歷山大大帝(AlexandertheGreat,公元前356一公元前323)的教師,亞歷山大問梅內克繆斯,是否可以專門為他把幾何搞得容易一些.梅內克繆斯則回答說:“在大王的國家里有老百姓走的小路，也有國王您走的大道，然而在幾何里卻惟獨一條道路.’三、阿波羅尼斯及其《圓錐曲線》何其幸哉!古希臘時期（公元前510一公元前323年）學者們數(shù)學工作的精華，幸運地在歐幾里得和阿波羅尼斯兩個人的著作中流傳至今.他們的著作《幾何原本》和《圓錐曲線》堪稱“古希臘雙壁”,這兩本書其實都可以視作對古希臘時期數(shù)學成績的一個總結.歐幾里得(Euclid,公元前330一公元前275年)和阿波羅尼斯(ApolloniusofPerga,約公元前262一公元前190年)據(jù)說都是柏拉圖學院的學生.據(jù)說，阿波羅尼斯曾在亞歷山大城與歐幾里得的門徒相處很久，阿波羅尼斯也承認在他編寫的8篇《圓錐曲線》中，前4篇就是歐幾里得寫的《圓錐曲線論》的修訂本.阿波羅尼斯處理圓錐曲線的主意與梅內克繆斯、歐幾里得、阿基米德等前人的方式不同，他不是用三個圓錐，而是一個圓錐，只要改變截面的位置就能產生三種曲線.他最先發(fā)現(xiàn)雙曲線是有心曲線,并有兩個分支.阿波羅尼斯的主要成就是建立了完美的圓錐曲線論，總結了前人在這方面的工作，再加上自己的研究成績，撰成《圓錐曲線》8卷，將圓錐曲線的性質網(wǎng)羅殆盡,以致后代學者在1800年間對圓錐曲線的性質幾乎沒有插足的余地.因此,阿波羅尼斯和歐幾里得、阿基米德合稱為“亞歷山大前期三大數(shù)學家”（亞歷山大前期約為公元前300年到公元前200年,是古希臘數(shù)學的“黃金時代”),《圓錐曲線》和《幾何原本》并稱為古希臘數(shù)學的兩大著作.《圓錐曲線》共8卷，487個命題，包括:第1卷，圓錐曲線的定義、性質;第2卷,雙曲線、漸近線的作法、性質,由此引入共軛雙曲線,求圓錐曲線的直徑及中心、軸;第3卷,圓錐曲線與其切線、直徑所成圖形的面積，極點極線的調和性，焦點的性質;第4卷,極點極線的其他性質,各種位置的圓錐曲線可能有的交點數(shù);第5卷，從特定點到圓錐曲線所能作的最長線和最短線;第6卷，全等圓錐曲線、相似圓錐曲線及圓錐曲線弓形;第7卷,有心圓錐曲線兩共軛直徑;第8卷，失傳，大概是關于怎樣定出有心圓錐曲線的共軛直徑，使其長度的某些函數(shù)具有給定的值.阿波羅尼斯的《圓錐曲線》中沒有談到準線，但是圓錐曲線為到定點(焦點)距離與到定直線(準線)的距離之比為常數(shù)的點的軌跡,歐幾里得是知道的,并由公元4世紀左右的數(shù)學家帕普斯(Pappus)在其《數(shù)學匯編》中予以論述并證實,并且闡述了離心率.圓e=橢圓e=拋物線e=雙曲線e=準線e=∞公元前146年亞歷山大被羅馬人占領，希臘學者們固然仍能繼續(xù)研究，然而已沒有他們的先輩那種氣勢雄偉、一往無前的創(chuàng)作精神，公理幾何的活力逐漸凋萎.希臘文化漸有衰退之勢,文化中央慢慢移到印度、阿拉伯等地.在阿波羅尼斯的《圓雉曲線》問世后的1800年里,囫圇數(shù)學界對圓錐曲線的研究沒有什么發(fā)展.四、圓雉曲線第一定義直到16世紀，有兩件事促使人們對圓錐曲線做進一步的研究.第一件事是，德國數(shù)學家開普勒(JohannesKepler,1571-1630)繼承了哥白尼(NikolajKopernik,1473-1543)的日心說，揭示出行星按橢圓軌道繞太陽運行，這樣圓錐曲線成為天體運動的普遍形式，彌漫了奧秘,而且開普勒本人的幾何思想異常厲害.第二件事是,意大利物理學家伽利略(GalileoGali-lei,1564一1642)得出斜拋運動的軌道是拋物線，突破了靜態(tài)圓錐曲線的觀念.人們開始感到古希臘人的證實主意太缺乏普通性，幾乎每個定理都是要想出一個異常的證實主意.于是，對圓錐曲線的處理主意開始有了變化.1579年，意大利畫家蒙蒂(GuidobaldodelMonte,1545一1607)把橢圓定義為到兩定點的距離之和為定長的點的軌跡，改變了以往“圓錐曲線是平面與圓錐的截線”的定義方式.法國數(shù)學家洛必達(1661-1704)繼承了蒙蒂對橢圓的定義,并借助迪爾卡(Descartes,1596-1650)解析幾何的思想，推導了橢圓方程，其做法與今天的教材相仿.1822年,法國數(shù)學家Dandelin(1794-1847)在一篇論文中利用舉世聞名的Dandelin雙球，直接在圓錐上作出了橢圓截面的焦點.性質精講P01橢圓的第一定義平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(要求該常數(shù)大于F1普通地,這兩個定點F1,F2叫橢圓的焦點,兩焦點的距離叫作橢圓的焦距,記作2c在平面直角坐標系中,以焦點的中點為原點,以焦點所在直線為x軸,建立直角坐標系,可以推導出橢圓的方程為x其中,b2注重,對橢圓而言,這里符號a,b,c是固定的;若焦點在y軸上y性質01橢圓上任何一個點到其焦點的距離之和是定值.P02橢圓的焦半徑橢圓上隨意一點與焦點的連線段稱為橢圓的焦半徑.性質02在橢圓中,以焦半徑為直徑的圓和以長軸為直徑的圓內切.(4)如圖,設焦半徑PF1的中點為M,長軸的中點為O,則OM為兩圓圓心距,記r即證,r2銜接PF2,銜接易知OM=從而只需證,a-即證,PF這正巧是橢圓的定義.證畢.P03橢圓焦點三角形的旁心軌跡性質03橢圓焦點三角形關于焦半徑的旁心位于過長軸端點且垂直于長軸的直線上，即在橢圓中,以A1,A2為橢圓的左、右頂點,則△PF1F2在邊P行明設圓與三邊切于B,C,D則F1由切線長定理易得F1B2按照定義可得2c+2所以n=a-c,即CP04橢圓的焦點三角形以橢圓上一點和橢圓的兩焦點為頂點的三角形稱為焦點三角形.焦點三角形具有無數(shù)優(yōu)美的性質.性質04設P為橢圓上的一點,F1,F2是橢圓的焦點,∠F1PF2=θ(1)PF1P(3)e=sin證實(1)在△PF1F2中,按照余弦定理收拾得cos即cos即P(2)由(1)可知S化簡得S又S至此得到三個焦點三角形面積公式S(3)按照正弦定理,得PF1P即sin(4)利用(1)結論,結合均值不等式,可得P即cos1sinP05厄克特四邊形定理澳大利亞數(shù)學家厄克特(M.L.Urquhart,1902-1966)提出了一個“最基本的歐氏幾何定理”,現(xiàn)在被叫作厄克特四邊形定理(Urquhart’sQuadrilateralTheorem),這個定理可以用橢圓語言舉行描述.性質05設Γ是以F1,F2為焦點的橢圓,A,B是Γ上的兩個點,且分布在長軸兩側,直線AF1與BF2交于點D,直線AF2與BF1解明先證實一個引理,在△ABC中,A,B,C所對的邊分離b這是因為b====現(xiàn)在來證實厄克特定理,如圖,設∠AF1F2=α,∠AF2當且僅當CF當且僅當1+tan當且僅當tanγ當且僅當tanγ當且僅當tany2當且僅當1+tan當且僅當BF1+B經典例題【題型01】利用橢圓定義判定軌跡形狀若定點的軌跡符合某一已知曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，則可按照定義直接求出軌跡方程.使用定義求軌跡方程時要注重變量的取值范圍.Q001.已知動點Px,y滿意x2+y+32+x2解代數(shù)式x2+y+32可以理解為點Px2+y-32可以理解為點Px2+y+3即P的軌跡是長軸長2a=10,焦距為2c=6的橢圓,又注重到其焦點在y軸上,所以Q002.下列說法準確的是_______.(將所有準確說法的序號都填上)(1)已知定點F1-1,0,F21,0,(2)已知定點F1-2,0,F22,0,(3)到定點F1-3(4)若點P到定點F1-4,0,F24,0的距離之和等于點M5,解1PF1+PF2=2(2)PF1+PF2=4=(3)到定點F1,F2距離相等的點的軌跡為(4)PF1+PF2=綜上,準確答案為(2)(4).Q003.給定圓O及圓O內一點P,動圓C過點P且與圓O相切,則圓C的圓心軌跡是()A.圓B.橢圓C.圓或橢圓D.線段解零如圖,設大圓的半徑為R,則R是定值.設動圓C與圓O相切于Q,則C所以點C的軌跡是以P,O本題答案選C.Q004、平面截圓柱得到一個封閉曲線，求證:若平面不垂直于圓柱的母線，則此封閉曲線是橢圓.解如圖,平面α與圓柱L相交.作球O1,O2內切于圓柱L,且分離與平面α相切于點F1,F2,因為平面不垂直于圓柱的母線,從而F1,F2不重合因為PF1,PF1'所以PF因為PF2,PF2'所以PF從而,PF1+于是，若平面α與圓柱L斜交的截線是以F1,F【題型02】利用橢圓定義求線段和與差的范圍橢圓的兩個焦半徑之和是定值.當題目中浮上與動焦半徑有關的線段和與差的最值問題時,可以考慮舉行轉化,然后利用兩邊之和大于第三邊或兩邊之差小于第三邊來解決.Q005.已知A2,3,F1是橢圓x216+y212=1解答設橢圓的右焦點為F2,則PA而A故PA+即PA+PF1的取值【題型03】焦點三角形與離心率在焦點三角形△PF1F2中,e此外,P越逼近短軸的端點,θ越大.當θ最大時,e=sinθ2;其他情況Q006.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦點分離是F1,F2,焦距為解答由條件知,直線y=3x+c恰是直線M因為∠M所以∠M所以∠F所以e=Q007.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦點分離是F1，F(xiàn)2,過CS在焦點三角形AF1F2中,由條件eQ008.在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC頂點A-4,0和C4x解由條件,sinAQ009.已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且解設∠PF1F2,∠PF2F數(shù)之和為sinβ故本題答案為43Q010.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點分離為解設∠F1MF2=θ,滿意條件的點M存在當且僅當由e的性質sinθ2≤e<所以e的范圍是22【題型04】焦點三角形的面積在焦點三角形△PF1F2中,設∠F1PF2=θ,則S△PF1Q011.已知P是橢圓x29+y25=1上的一點,橢圓左、右焦點分離為F1,F2,若∠F1PF解答一方面,S△另一方面,S△F,PF所以yP另一方面,S△F,PF1=r?a+所以,r=從而,P到x軸的距離為52,△P鞏固練習EX01.已知圓C:x+32+y2=4,圓D:x-32+yA.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓EX02.已知F1,F2分離是橢圓的左、右焦點,A是橢圓x24+y2=1上一動點,圓C與F1A的延伸線,F1F2A.t=2C.t<2D.t與2EX03.已知橢圓的標準方程是x2a2+y225=1a>5,它的兩焦點分離是F1,F2,且EX04.已知A,B為雙曲線E的左,右焦點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,頂角為120°,則EX05.已知橢圓x29+y25=1,P1,1為橢圓內一點,F1EX06.已知橢圓C:x29+y24=1,左右焦點分離為F1,F2,過F1的直線EX07.橢圓x29+y22=1的焦點為F1,F2,點P在橢圓上EX08.設P為橢圓x2a2+yb22=1a>b>EX09.設橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點分離是F1EX10.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦點分離EX11.已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=90°EX12.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0EX13.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:x225+y29=1的左、右焦點分別是F1,F2,PEX14.x2a2+y2b2=1a>EX15.已知P為橢圓x24+y2=1上一點,F1,F2分離是橢圓的兩個焦點.EX16.設P是橢圓x24+y23=1上的一點,△EX17.已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點分離為F1,F2,P是橢圓上非長軸頂點的一點,∠EX18.已知橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點分離為F1,F2,P是橢圓上的一點,△PF1F2的內切圓圓心為I,延伸A.eB.1C.1eD.與P第2章橢圓第二定義與焦半徑公式數(shù)海巡航解析幾何與射影幾何161?7世紀，天文、航海、力學等方面都堆積了大量數(shù)學經驗，人們在研究天文、地理的時候,提出了點的位置可由兩個“坐標”(經度和緯度)來決定的思想.1637年,法國的哲學家、數(shù)學家、物理學家、神學家笛卡爾(Descartes,1596-1650)發(fā)表了他的著作《主意論》，笛卡爾的中央思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學，把算術、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來.他設想，把任何數(shù)知識題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結到去解一個方程式，為了實現(xiàn)上述設想，笛卡爾從天文和地理的經緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對x,y的對應關系.x,y的不同數(shù)值可以決定平面上許多不同的點,這樣就可以用代數(shù)的主意研究曲線的性質.這就是解析幾何的基本思想.此外,解析幾何的創(chuàng)立中,幾乎和解析幾何同時，還有一門幾何學浮上于人們的面前.這門幾何學和畫圖有很密切的關系，它的某些概念早在古希臘時期就曾經引起一些學者的注重，歐洲文藝復興時期透視學的興起,給這門幾何學的產生和成長決定了充足的條件.這門幾何學就是射影幾何學、其實,阿波羅尼斯把二次曲線作為圓錐面截線來研究，用射影幾何的觀點看，就是把圓錐曲線認為是圓在射影變換下的象.德國天文學家開普勒最早引進了無窮遠點的概念,后來法國數(shù)學家、建造師笛沙格(Desargues,1591-1661)建立了統(tǒng)一的二次曲線理論,他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費爾馬都很推崇他的著作,費爾馬甚至認為他是圓錐曲線理論的真正奠基人.法國數(shù)學家、物理學家、哲學家、散文家帕斯卡(BlaisePascal,1623-1662)16歲時發(fā)現(xiàn)聞名的帕斯卡六邊形定理,17歲時寫成研究笛沙格射影幾何工作心得的論文《圓錐曲線論》,是自希臘阿波羅尼斯以來圓雉曲線論的最大長進.性質精講P06橢圓第一焦半徑公式橢圓上的一點與焦點的連線段稱為橢圓的焦半徑，焦半徑大小會隨著點的變化而變化，下面性質給出了焦半徑變化的邏輯.性質06設F1,F2分離為橢圓x2a2+y2bP其中,e=ca證實因為PF又點P在橢圓上,即x02a2+yP===又因為-a≤x0≤同理可得到PFP07橢圓的準線與橢圓的第二定義設F1,F2分離為橢圓x2a2+y2b2=1a>bP==即P上式中,x0--a2c可以理解為點Px0,y0到直線性質07橢圓x2a2+y2b2率e.橢圓x2a2+y2b2=1上隨意直線x=-a2c和直線x=a2c稱為橢圓x2a2+y2所以,橢圓可以視為“到定點的距離與定直線的距離之比為常數(shù)的動點的軌跡,其中常數(shù)小于1”,這就是橢圓的第二定義.P08橢圓第二焦半徑公式設F1是橢圓x2a2+y2b2=1的左焦點,K是橢圓的左準點(即左準線與長軸的交點),O是橢圓的中央,P為橢圓上隨意一點,向量F1P與F1O的夾角為θ.設PH一方面，KH另一方面，KH所以,r解得,r這就是橢圓的第二焦半徑公式.性質08設F是橢圓x2a2+y2b2=1的焦點,O是橢圓的中央,PFO的夾角為θ,那么r=P09橢圓的焦點弦橢圓過焦點的弦,簡稱焦點弦.設AB是經過橢圓x2a2+y2b2=1焦點F的焦點弦,那么FA.FB與FO的輻角互補（如下左圖）.設AB與長軸的夾角為θ,于是,FA和FB一個長度若為b2a1-ecosAB在橢圓的焦點弦中,過橢圓的焦點且垂直于橢圓長軸的弦(如上右圖中的AB),稱為橢圓的通徑.在焦點弦的弦長公式中,令θ=90°,得到通徑的長度為性質09在橢圓中,兩條互相垂直的焦點弦,其倒數(shù)和是定值.證實設焦點弦AB⊥CD,AB的傾斜角為θ,則CD于是,AB=于是,CD=于是,1是定值.性質10在橢圓中,設AB是過焦點F的焦點弦AB,則1AF+1證實設AB是經過橢圓x2a2+y2設AB與長軸的夾角為θ,設AF=于是,1AF+1BF性質11在橢圓中,焦點弦中垂線與長軸的交點與該焦點的距離與焦點弦長度之比為e2行明設C為焦點弦AB的中點,R在長軸上,CR垂直平分AB,設AB所在直線的傾斜角為θ,則AB==RF===性質12設F1,F2分離是橢圓C:x2a2+y2b2=1的左、右焦點,點P橢圓C上異于長軸端點的一點.直線PF1與橢圓交于異于P的另一點M,直線PF2與橢圓交于異于P的另一點N.直線解明如圖,設PF1=x,AN=對△PF1N及割線Mw解得m同理n從而m===因為1x+1y=因為1z+1w=所以,xy所以,m+從而A位于以F1,F2為焦點的新橢圓上,新橢圓的長軸長為2a?1+3e23+經典例題【題型05】橢圓第一焦半徑公式Q012.橢圓M:x2a2+y2b2=1PF1?PF2最大值取值范圍為2c2,解答設Px0,y0P所以PF1?PF則2c同除以a2,可得2所以33≤e≤2Q013.橢圓x24+y23=1的左、右焦點分離為F1B+F解合由條件,xA+1+xF===【題型06】橢圓的準線Q014.已知橢圓x29+y25=1,P1,1為橢圓內一點,F1解答如圖,從點M向直線x=-92作垂線,垂足為M1,則MF1M2=≥本題答案為11.Q015.在平面直角坐標系中,若方程mx2+y2+解合顯然m>0,m即x2而x2+y+12可以理解為點x,x-2y+312+22上述距離之比為橢圓的離心率，即e因為e<1,所以Q016.求證:以橢圓焦點弦為直徑的圓必與對應準線相離.解答如圖,設過焦點F1的焦點弦PQ的中點為M,設F1對應的準線是l1,由P,M,Q向l1作垂線,P上式中,PF1+QF12是圓的半徑,M【題型07】橢圓第二焦半徑公式Q017.設橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F,過點F(1)求橢圓C的離心率;(2)倘若AB=154,求橢圓C解(1)由條件得,b2a1-ecos60°=(2)由條件2b2a1-e2cos2θ=154,即3,b2=5Q018.已知M,N是橢圓x22+y動點,直線MF1與直線NF2平行,直線MF2與直線(1)若MF1-NF2=62(2)求證:PF1+解答(1)設直線MF1的傾斜角為θA從而,12解得,cosθ=63,從而直線MF(2)直線MF1與直線NF2平行,即,NF即,PF同理可得,PF于是,P======即PF1+Q019.已知橢圓x23+y22=1的左右焦點分離為F1,F2，過F1的直線交橢圓于B,D兩點，過F(1)設P點的坐標為x0,y0,(2)求四邊形ABCD的面積的最小值.解答(1)由條件知,P位于以F1F2為直徑的圓上,從而x(2)因為四邊形ABCD的對角線互相垂直,所以其面積為對角線乘積的一半,即SABCD=又因為AC和BD是互相垂直的焦點弦,故1AC+1BD從而,53即,AC?故,SABCD=12?Q020.設F1是橢圓x2a2+y2b2=1的焦點,于點A,B,C點,求證:解答可設F1A與F1O的夾角為FFF于是,1即1F1A鞏固練習EX19.設橢圓x24+y23=1的左、右焦點分離為F1,F2,點A,BEX20.如圖,設拋物線y2=4x的焦點為F,不經過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,}中點A,B在拋物線上,點C在y軸上A.BF-1AF-1B.EX21.設F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,O為坐A.334B.938EX22.傾斜角為60°的直線l經過拋物線y2=2pxp>0的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,AEX23.已知F是橢圓C的一個焦點,B是短軸的一個端點,線段BF的延伸線交C于點D,且BF=2FD,則EX24.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1的離心率為22,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1,F2為頂點的三角形的周長為42+1.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設P為該雙曲線上異于頂點的任一點,(1)求橢圓和雙曲線的標準方程;(2)證實直線PF1和PF(3)是否存在常數(shù)λ,使得AB+CD=λAB?CD恒成立?若存在,求第3章橢圓第三定義與直徑數(shù)海巡航歐拉和《無窮分析引論》歐拉(Euler,1707-1783),無論怎么嘲笑他在數(shù)學上的功業(yè)都不為過.歐拉于1745年發(fā)表了《無窮分析引論》，這部書是被譽為“七部影響世界數(shù)學歷史發(fā)展”的奇書.高斯(Gauss,1777-1855)說,學習歐拉的著作,乃是認識數(shù)學最好的工具.拉普拉斯說,讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師.《無窮分析引論》一反古希臘以來的傳統(tǒng)，否決把幾何學作為數(shù)學的基礎，并以純粹的形式研究函數(shù),從而將微積分從幾何中解放出來,將它建立在算術和代數(shù)之上,為基于實數(shù)系統(tǒng)的分析學嚴密化開辟了準確的道路.《無窮分析引論》上冊主要研究函數(shù),下冊主要研究曲線的理論，并涉及高次平面曲線、曲面理論，參數(shù)化主意，曲面與曲面的交線等問題.《無窮分析引論》中的數(shù)學符號被采用至今，例如天然對數(shù)e,圓周率π,虛數(shù)單位i,函數(shù)符號f,復數(shù)變量z,都已成為我們今天使用的標準數(shù)學符號.直到今天,學有余力的高中生、大學生，參讀《無窮分析引論》，仍可以獲益無窮.性質精講P13橢圓的直徑與第三定義對圓而言，直徑所對的圓周角為直角，所以圓上的隨意一點與直徑兩端點連線的斜率之積為定值-1(只要斜率存在).那么對于橢圓有類似的性質嗎?答案是絕對的、經過橢圓中央的弦稱為橢圓的直徑.橢圓直徑的長度不是固定的，其所對的“橢圓周角”也不是90°,但是,橢圓的直徑卻有無數(shù)性質.性質13設AB為橢圓x2a2+y2b2=1的隨意一條直徑,動點Pk解明設Pacosk===-反過來講，圓可以視作對兩定點的視角為直角的動點軌跡，即與兩定點連線的斜率之積為-1的動點軌跡是圓(有兩個或四個例外點).與之類似,橢圓也可以這樣定義:與兩定點連線的斜率之積為常數(shù)的動點軌跡是橢圓,其中常數(shù)是不為-1的負數(shù).這又稱為橢圓的第三定義.注重,在第三定義中,動點的軌跡是橢圓去掉兩個或四個例外點.P14點差法在平面幾何中,有一個聞名的“垂徑定理”,它表明圓心和弦中點的連線垂直于弦.即圓心和弦中點的連線與弦的斜率之積為-1(只要斜率存在),在橢圓中也有類似的結論.性質14設AB為橢圓x2a2+y2b2=1的一條不通過中央的弦,O是橢圓中央kAB,kOM都存在,行明主意一:作B關于O的對稱點,記為P,則OM是△APB的中位線,且PB徑,于是kAB主意二:設Ax1x兩式相減得,x使用平方差公式得,x即，b即,k上述主意二被稱為“點差法”,點差法及其結論kAB?kOM=-b2a2是圓的垂徑定理的類比,在解決橢圓弦中點問題中有較多用處.正因如此,以后文中,也把線段OM稱為弦P15橢圓的共軛直徑按照上面的研究,kAB?kOH=-b2a2,所以保持弦AB的斜率不變,其中點M與橢圓中央0連線的斜率也將不變,從而中點將位于通過原點的一條直線上,即:一族平行弦的中點軌跡恰是橢圓的一條直徑.這樣,設AB是橢圓的一條直徑,則與之平行或重合的所有弦的中點的軌跡是橢圓另一條直徑CD,則CD稱為AB的共軛直徑.設AB,Aacosk收拾得,cos從而,α即參數(shù)α,β相差參數(shù)相差90°,斜率之積為定值-b2a性質15設AB,CD為橢圓的一對共軛直徑AC它們滿意:x性質16在橢圓x2a2+y2AB證實設AacosOA則AB2+性質17橢圓x2a2+y2b2=證實先推薦一個重要結論:設Ax1,yS這是因為:直線AO的方程為y1所以,點B到直線AO的距離d為d=所以S△此外，該結論還可以按照如下恒等式證實:因為,x1所以,x==所以,x1y2-x所以,S△下面證實本性質.如圖，設平行四邊形的相鄰兩頂點為A,B,面積最大即為△AOB面積最大.設S=≤當S△AOB取最大值12ab,即α,β相差90°時，則平行四邊形面積的最大值為2ab性質18設AC,BD是橢圓x2a2+y2b2=1的兩條共軛直徑，O是原點，點T滿意解明設Ax1,y1,λλ因為x故λ2性質19設AB,CD是橢圓x2a2+y2b2=1的兩條共軛直徑,T在橢圓上,且圓T證實只需證實T到直線OD的距離d為定值.如圖,設OT=λOAOA+ODOD,d=====△AOD的面積恒為12ab,且OA2+OD2P20橢圓的垂直直徑性質20設AB,CD是橢圓x2a(1)1AB(2)2ab(3)a2證實設OC=r1,OC設OA=r2,OA則Cr1cosα在橢圓上,代入橢圓方程,得rr所以1r因為AB⊥CD,所以α與β相差從而,cos2于是1r從而,1AB經典例題【題型08】點差法結論的應用橢圓上一點與直徑兩端點的連線之積、弦中點和中央連線為-b2a2，也即e2另外,值得一提的是,斜率之積等于e2-1Q021.設橢圓的中央在原點,且它的一個焦點為7,0,直線y=x-1截橢圓所得弦中點的解由條件知,弦中點為23,-1又按照條件,得a2所以,a2所以,e=Q022.直線l過點M2,1且截橢圓x28+y26=1解答由條件,12?kl=-又l經過點2,所以l的方程為3xQ023.已知P是橢圓x2a2+y2b2率之積為-14(2)由條件,e2-1=-1Q024.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率e=32,A,B分離是橢圓的左、右頂點，點P解由條件知,tanα所以,tanαtanβ是方程x2-x-即,直線PA的斜率為1±Q025.已知橢圓x2a2+y2b2=1的上下頂點分離為A,B,點P是橢圓上異于頂點的隨意一點,直線AP,BP解答設AP:從而xN于是OM?又因為A,B是直徑,所以從而OM?Q026.過點-3,0的直線與橢圓x24+y23=1交于解答設AB的中點為Mx,y,從而即,yx收拾得,xx又注重到,x>-所以AB中點的軌跡方程是xxQ027.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓x24+y22=1,過坐標原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中點P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,銜接AC,并延伸交橢圓于點B,設直線意k>0,都有解答設Px0,y0從而,kPA于是,kPA又因為AP是直徑,所以kPB于是kPB?kAP=【題型09】點差法與對稱問題Q028.已知直線y=kx+m的斜率不為零,求證:橢圓xkx+m對稱的充要條件是解橢圓x2a2+y2b2直線y=kx+m是某條斜率為-直線y=kx+m經過某條斜率為注重到斜率為-1k的弦的中點軌跡是直線y所以,只要直線y=kx+m與直線直線y=kx+m與直線y=從而，m于是，mQ029.設A,B是橢圓x2a2+y2b2=1上兩個不同的點稱.直線AB的中垂線記作l.求證:l縱截距的取值范圍是-c2取值范圍是-c解答設l的方程為y=kx+m,從而橢圓上存在關于lm于是,m2<a2-設l的方程為y=kx-x0,從而橢圓上存在關于k從而,x0于是,x02<a2Q030.一條直線與雙曲線交于A,B兩點,與這條雙曲線的漸近線交于C,DAC=解答由題意知，這條直線不經過原點，否則其與漸近線的交點惟獨一個點.當這條直線平行于坐標軸時，結論顯然成立.當這條直線不平行坐標軸時,設AB,CD的中點分離是Mkk其中O是雙曲線的中央,e是雙曲線的離心率.所以koN即AB,CD即AC=Q031.設直線l:y=kx+mk,m∈Z與橢圓x216+y212=1交于不同的兩點A,B,與雙曲線x24-y解答AC+BD=0當且僅當弦AB、若k≠0且mkk其中e1是橢圓的離心率,e2因為e1≠e2,所以上述兩式是不可能的.故,k和(1)k=0,m≠0,此時(2)k≠0,m=0,此時(3)k=0,m=綜上所述,共有9條直線滿意條件.【題型10】橢圓共軛直徑Q032.在平面直角坐標系xOy中,點A,B是橢圓x24+y22=1的兩個動點,且直線OA,OB的斜率之積為-12,解由直線OA,OB的斜率之積為-12,故OA,OB所在的直徑是一對共軛直徑OP==即,a從而，cos于是,15化簡得,xP因為a2=4,b即P的軌跡方程是x2Q033.設AC,BD為橢圓的一對共軛直徑,P為橢圓上隨意一點,求證解設AacosSS△S于是,S△Q034.已知動直線l與橢圓C:x23+y22=1交于積S△OPQ=62,其中(1)證實:x12+x22(2)橢圓C上是否存在三點D,ES若存在,判斷△DEG的形狀;若不存在,請說明理由S可以得出,sinα即可設,α=則x1同理,y1(2)設Da按照(1)中結論，可得γ三個等式相加,得0=因為k1,k2,即橢圓C上不存在三點D,E,G,Q035.設AC,BD為橢圓的一對共軛直徑,M為線段AB的中點,射線OM交橢圓于點POP解答設OP=λOP于是解得λ=2,即OP=【題型11】橢圓的垂直直徑Q036.設M,N是橢圓C:4x2+y2=1上兩動點,且OM⊥ON,其中解答要證直線MN恒與一個定圓相切，只需證O到直線MN的距離d為定值.注重到△ONM記OM=r1,ON由d?得d=從而,1d因為橢圓兩條互相垂直的直徑平方倒數(shù)和為定值,從而1r12+1r22為定值,即d為定值.Q037.在平面直角坐標系xOy中,射線OA,OB,于點A,B,C,求證:解設ArC點Ar1cosθ,r從而,r1于是，1同理。11從而，1=cos=sin于是,O到直線PQ的距離為r1r2鞏固練習EX25.已知A2,0,O為坐標原點,動點P(1)求動點P的軌跡方程;(2)過點A且不垂直于坐標軸的直線l交P的軌跡于不同的兩點M,N,線段MN的垂直平分線與x軸交于點D,線段MN的中點為II,求DHMNEX26.橢圓C:x24+y23=1的左、右頂點分離為A1,A2,點P在C上且A.12,C.12,EX27.已知A1,A2分離是橢圓C:x2a2+y2b2=1的左、右頂點,點P為橢圓C上一點(與A1,A2不重合A.14B.C.32D.EX28.已知橢圓x220+y216=1的一個頂點為B0,4，直線l交橢圓與M,N兩點.EX29.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1與x軸交于A1,A2兩點,P是橢圓C上異于A1,A2的隨意一點,若直線PA1交直線x=mm>a于點EX30.設A1,A2為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右頂點,與y軸平行的直線交橢圓于EX31.已知橢圓C的離心率為12,且中央在原點,焦點在x軸上,P2,(1)求橢圓C的方程;(2)求∠F1PF2的角平分線所在直線PT的方程,其中(3)橢圓C上是否存在不同的兩點M,N,它們關于直線PT對稱?若存在,哀求出直線MN的方程;EX32.已知A,B是橢圓C:2x2+3y2=9上兩點,點M的坐標為1,0.當EX33.已知橢圓x24+y23=1上存在兩點關于直線y=EX34.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b(1)OP2+(2)△OPQ面積的取值范圍EX35.在平面直角坐標系xOy中,已知Rx0,y0是橢圓C:x224+y212=1上的任一點,(1)若直線OP,OQ的斜率均存在,并記為k1,k2,(2)試問OP2+OQ2是否為定值?若是,求出該值;EX36.設AC,BD為橢圓的一對共軛直徑,P為橢圓上一點,過P作BD,AC的平行線,分離交AC,BD于EX37.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32,直線y=1EX38.在平面直角坐標系xOy中,A,B是橢圓x2a2+y2b2=1上的兩點,且OA,OB所在直徑為橢圓的共軛直徑,點C滿意OC=5OA,直線EX39.設A,B為橢圓x22+y2=1上滿意△AOB的面積為64的隨意兩點,E為線段AB的中點，射線OE交橢圓于點PEX40.設直線l:y=kx+m交橢圓x24+y22=1于P,Q兩點,T為弦PQ的中點,M-1,0N1,第4章根與系數(shù)關系數(shù)海巡航代數(shù)方程指多項式方程,是代數(shù)學中最基本的研究對象之一.其普通形式為:a在19世紀以前,解方程向來是代數(shù)學的一個中央問題.二次方程的求解問題歷史久遠,在巴比倫泥板中就載有二次方程的問題，古希臘人也解出了某些二次方程，而一元二次方程的普通解法是9世紀阿拉伯數(shù)學家花拉子米(AI-Khwarizmi,780-850)建立的.對于三次方程以古以來也有無數(shù)研究，在巴比倫泥板中就有相當多三次方程的問題.阿基米德也曾研究過方程x3+a=cx2的幾何解法.11世紀波斯數(shù)學家奧馬?海亞姆(OmarKhay-yam,1048(?)-1131(?))創(chuàng)立了用圓錐曲線解三次方程的幾何主意.他的工作可以看作是代數(shù)和幾何相結合的最早嘗試.但是三次、四次方程的普通解法(即求根公式),卻直到15世紀末還沒有被發(fā)現(xiàn).直到16世紀上半葉,三次方程的普通解法才由意大利數(shù)學家費羅(1465一1526)、塔爾塔利亞(Tartaglia,1500-1557)和卡爾達諾(Cardano,1501-1576)等研究出來,三次方程的求根公式最早在16世紀末到17世紀上半葉,數(shù)學家們還在探討如何判定方程的正根、負根和復根的個數(shù)時,卡爾達諾就指出一個實系數(shù)方程的復根是成對浮上的,牛頓在他的《廣義算術》中證實了這一事實.研究代數(shù)方程的根與系數(shù)之間的關系,也是這一時期代數(shù)學的重要課題.韋達和牛頓也都在他們的著作中分離講述了方程根與系數(shù)之間的關系，現(xiàn)在稱為韋達定理。這些工作在18世紀發(fā)展為關于根的對稱函數(shù)的研究.18世紀以后,數(shù)學家們的注重力開始轉向尋求五次以上方程的根的解法.經過兩個多世紀的努力,在歐拉、拉格朗日(Lagrange,1736-1813)、魯菲尼(Ruffini,1756-1822)等人工作的基礎上,在19世紀上半葉,阿貝爾(Abel,1802→1829)和伽羅瓦(Galois,1811一1832)幾乎同時證實了五次以上的方程不能用公式求解.他們的工作開創(chuàng)了用群論的主意來研究代數(shù)方程對代數(shù)方程理論的研究,使數(shù)學家們引進了在近世代數(shù)中具有重要意義的新概念,這些新概念很快就被發(fā)展為有廣泛應用的代數(shù)理論.性質精講P21橢圓硬解定理處理直線和橢圓位置關系的相關問題時，通常將直線的方程與橢圓舉行聯(lián)立，然后利用根與系數(shù)的關系來解決.這時,步驟和主意往往大同小異,而又比較繁雜.所以這里給大家總結下解題時常常需要的結果記住后,可以大大節(jié)約計算時光.這些結果被稱為“橢圓硬解定理”性質21直線y=kx+m與橢圓x2a2+a(1)Δ=4(3)x1x(5)y1y證實將直線y=kx+m帶入橢圓方程x2aa由韋達定理可知x又因為y1=yyxΔ=性質22已知直線Ax+By+C=0(1)當A2a(2)當A2a2+B(3)當A2a2異常地,直線y=kx+m與橢圓x2a2+y2b2(1)當B=0時,容易(2)當B≠0時,y=-AΔ=4a2主意二:設橢圓上一點PacosAa即Aa即A2a2P22橢圓的雙切線問題解析幾何中,有8大類基礎問題和6大類額外問題.其中,8大類基礎問題包括:(1)中點,(2)弦長,(3)面積,(4)垂直,(5)共線,(7)定點,(2)定值;6大類額外問題包括:(1)斜率型根與系數(shù)關系,(2)共圓問題,(3)多次韋達定理,(4)設點,(5)二次曲線的參數(shù)化,(6)幾何轉化.除了“設點”及“幾何轉化”外,其余12類問題,均會涉及根與系數(shù)的關系.性質23設Px0,y0是橢圓x2a2+y2b2=1外一點a證實由前面的性質知,直線y=kx+y0-k當且僅當a2當且僅當a2-xP23四點共圓問題橢圓上的四點共圓問題，有很柔美的結論.性質24設m,n是兩條固定的直線,Γ是一個固定的橢圓.P是不在橢圓上的一個動點,過P作平行于m的直線與橢圓交于M1,M2,過P作平行于那么PM1?證實設橢圓的方程為x2a2+y2b2=1,P的坐標為x=x0+tcos帶入橢圓方程為x收拾得?cos設上述關于t的方程的兩個根為t1,PA據(jù)此,在本題中,設m的傾斜角為α,n的傾斜角為βP上式和Px0,性質25設A,B,C,D是橢圓上的四個點，且直線AB與直線CD不平行，那么AB,異常地,AB與CD,AC與BD,AD與BC通設橢圓的方程為x2a2+y2b2=1,AB與CD交于點于是PA注重到α,β∈[0,于是AB,CD當且僅當α當且僅當sin當且僅當PA當且僅當A,B,性質26設P是橢圓x2a2+y2b2=1上的定點.橢圓上的兩個動點A,B使直線1由前面可知,直線PA,PB的斜率互為相反數(shù),故直線PP,AB處的斜率也互為相反數(shù),其中PP是橢圓在性質27設Aiacosti,bsintii=1,2,行明按照前面的研究，這四點共圓當且僅當A1A2,A3AAA故當且僅當a當且僅當cos當且僅當2=當且僅當sin當且僅當sin當且僅當t經典例題【題型12】中點與弦長中點問題及相關的對稱問題,使用點差法可以迅速解決,所以這里僅有一個弦長的題.對于點Ax1,y1,Bx2,AB===于是得到公式AB=1+k2Q040.已知橢圓G:x24+y2=1,過點m,0作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A,B兩點.將證實設直線l的方程為y=kx-km,注重到直線l與圓所以,km1所以,1+所以,k2于是,AB======≤=故AB的最大值為2,此時m2+3=2【題型13】面積計算△ABC的面積時,常使用三個主意(1)S△ABC=1(2)S△ABC=12?d?BC,其中d是(3)以坐標軸為三角形的底.計算四邊形面積時,有兩個思路:(1)可以將四邊形拆成兩個三角形(怎么拆決定計算的復雜度).(2)四邊形的面積等于對角線之積乘以對角線夾角正弦值的一半.異常地,對角線互相垂直的四邊形，其面積等于對角線之積的一半.與求弦長的最值類似,求面積最值時,也往往使用均值不等式.Q041.在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓x2(1)直線y=kx+3與橢圓交于A,B兩點,(2)直線y=x+m與橢圓交于C,D兩點,證實(1)按照題意及橢圓硬解定理得060S====≤=等號成立時,32=9k2(2)按照題意及橢圓硬解定理得S====≤=等號成立時,m2=13-mQ042.已知橢圓C:x23+y2=1,設直線l與橢圓C交于A,B兩點,坐標原點O到直線l解答當直線l的斜率不存在時,△AOB面積的面積為3當直線l的斜率存在時,設直線l的方程是y=kx+m,因為原點O到直線32,所以m1+k2S======≤=當3+3k2=1+9k2,即Q043.如圖，點P0,-1是橢圓x24+y2=1的短軸端點，過P作兩條互相垂直的直線l1,l2,設l1與圓x2+y233設直線DP:y=kx-1,AB:y=-1kx-1S=====≤=等號成立時,13k2=4+3k2,從而k=±Q044.設橢圓中央在坐標原點,A2,0,B0,1是它的兩個頂點,直線y=kxk>0與AB(1)若ED=6DF,求k(2)求四邊形AEBF面積的最大值.解答(1)因為ED=所以OF=又因為OA、OB所以752λ2+1-λ2于是得D的坐標為67,47,從而k=23或(2)主意一:將四邊形的面積拆成兩個三角形面積之和，并且對三角形采用合適的底.S==≤=主意二:將橢圓按照如下變換:x=x'y=易知,當E'F'為垂直于A四邊形A'E'B'F'的面積最大,此時SA'主意三:過O作平行于AB的直徑A'B',設AB與EF的夾角為S==所以當EF為A'B'的共軛直徑時，四邊形A從而四邊形AEBF面積的最大值是22Q045.已知點P2,1,不過原點O的直線l與橢圓x24+y23=被直線OP平分、求△ABP的面積最大時直線l的方程解因為線段AB被直線OP平分,所以kAB?kOP=-設AB的方程為y=-32x+m,橢圓的長軸長為2S===設fm則f'm=4-mm所以當m=1-7時，此時,直線l的方程為3x【題型14】垂直與共線解析幾何中,線線垂直問題和三點共線問題,都可以使用向量的主意解決.另外,對于垂直問題，可能以比較隱晦的形式浮上，Q046.如圖,橢圓2x23+2y2=1的一個焦點是F,點O為坐標原點.設過點F的直線l交橢圓于A,B兩點.若以AB解答以AB為直徑的圓經過原點O,當且僅當OA⊥當且僅當OA容易驗證當l的斜率不存在時，不滿意題意.當l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kxx===解得k=±所以,直線l的方程為y=±Q047.已知m>1,直線l:x-my-m22=0,橢圓C:x2m2+y2=1,F1,F2分離為橢圓(1)若原點O在以線段GH為直徑的圓內,求實數(shù)m的取值范圍.(2)若原點O滿意OG2+OH2>GH2解答(1)原點O在以線段GH為直徑的圓內,當且僅當OG?OH<0且OG與注重到OG=所以,當且僅當OA?OB<OA==mm=所以,m2<4,又題目條件要求m>1,故m(2)OG2+OH2>GH2當且僅當OG?OH>0且OG與注重到OG=所以，當且僅當OA?OB>0且OA與注重到OA?又注重到判別式大于零,即m2+m2所以m的取值范圍是2,Q048.已知曲線C:x28+y24=1與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M,N,直線解答A,G,N當且僅當xG由條件知B0,-2，故直線BM的方程為從而得G3xMyM+帶入xc-334x而xM從而上式成立.【題型15】斜率Q049.已知橢圓x22+y2=1的焦點為F1和F2,點P在直線l:x+y=2且不在x上.直線PFl(1)設直線PF1和PF2的斜線分離為k1(2)問直線l上是否存在點P,使得直線OA、OB、OC、OD的斜率滿意kOA+kOB+koc+koD解(1)設Px0,y0(2)因為k======-=-=-所以k1+k2=又注重到1k所以k2=-2或所以P0,2或Q050.作斜率為13的直線l與橢圓C:x236+y24=1交于A,B兩點(1)證實:直線PA、直線PB及x軸圍成一個等腰三角形;(2)若∠APB=60°,求解答(1)因為kAB+kpp=0(kPP所以kPA所以直線PA、直線PB及x軸圍成一個等腰三角形.(2)由∠APB=60°,結合上一問可知,直線PA、直線PB的方程3與橢圓方程聯(lián)立,解得x于是,PA=從而,S△Q051.已知點A2,1,B3,0,橢圓C:x26+y23=1,過點B的直線與C相交于解答設Dx過點B的直線DE的方程為y=由y=kx-3kx22k2+1x所以x1則kAD化簡,得kAD代入韋達定理，化簡，得kAD其實,直線AD,AB,【題型16】定點直線過定點問題在第七章“橢圓上的對合變換”中有專門講解.這里舉三個圓過定點的例子.第一個例子與橢圓的直徑有關,第二個例子其實是第五章的一個性質,第三個例子中,MN的極點其實是PQ的中點,再結合例子二可知,以PQ為直徑的圓與MN相切于點F.Q052.已知A1-2,0,A22,0和橢圓E:x24+y2=1.點M,N是橢圓E上兩個關于x軸對稱的點(異于點A解答設A1M,A2N的斜率分離是k1,k則A1M和A2N的方程分離從而C0于是OC?注重到A1A2是橢圓的直徑，所以于是OC?OD從而以線段CD為直徑的圓過定點0,±b,即Q053.設動直線l:y=kx+m與橢圓E:x24+y23=1有且惟獨一個公共點P,且與直線解答設橢圓的半長軸長為a,半短軸長為b.又設Px于是直線PQ的方程為xx從而得,Qa2c,b2PM===欲使上式對隨意x0,y0b解得x1=c,y1=0,Q054.已知橢圓方程E:x29+y28=1,右頂點為A,設F1,0,過F的直線l交E于M,N點,直線MA,NA分離與直線解答橢圓的半長軸長為a,半短軸長為b.設AM和AN的方程分離是y=于是得Pa設PQ與x軸的交點為S.那么SP?另一方面,設MN的方程為y=kxk======于是,SP?所以，以PQ為直徑的圓過定點a2本題中,a2=9,b2=8,即以PQQ055.已知點B1,B2是橢圓x2a2+y2b2=1的上、下頂點,P是橢圓上的一個動點,直線B1P和B2P解答設點Px0,y0,直線OP與直線MN則按照△B1PB2∽△MPN,知S且S的坐標為s,y0x0設圓Q是以Qs±sha,0為圓心下面證實以MN為直徑的圓恒與圓Q相切.這只需證實SQ注重到SQ====±從而,以MN為直徑的圓與以Qs±sba,0為圓心,【題型17】定值Q056.經過定點P3,0的直線l與橢圓x24+y23=1交于A,B兩點解答記橢圓的半長軸長為a,半短軸長為b,記P為Px0,y0,Q為u,v.設MA====u=u所以欲使MA?MB2故只要x0,y0不是原點,總存在Qu,v本題中,x0,y0即Q6724,0滿意【題型18】直線的參數(shù)方程經過點x0,y0且傾斜角為θ的直線,其上的隨意一點x其中,t表示點x,y到x0Q057.設橢圓x24+y23=1和點P1,1,橢圓的一條過點P的弦被解答設該弦所在直線的傾斜角為θ,那么直線上的隨意一點可設為x帶入橢圓方程為31+t3設上述關于t的方程的兩個解為t1,t2l所以-4解得tan于是，該弦所在的直線方程為x+y-2=Q058.已知A,B是橢圓x22+y2=1上的兩點,并且點15,13時,求直線解合設直線AB的傾斜角為θ,那么直線上的隨意一點可設為x帶入橢圓方程得,-2收拾得,cos設上述關于t的方程的兩個解為t1,t2t所以4解得tanθ的取值范圍是-所以，直線AB斜率的取值范圍是-1Q059.已知橢圓x2+2y2=mm>0,以橢圓內一點M2,1為中點作弦AB,設線段AB的中垂線與橢圓相交于C,D兩點.是否存在這樣的m,使得A解答A,B,C,D在同一個圓上,只要而注重到kAB從而kAB永遠滿意kxn故僅需滿意M在橢圓內即可,即22故當m>6時,A,Q080.設點Px0,y0不在橢圓x2a2+y2b2點A,B,與直線x0xa2+y0(4)設直線l的方程為x=代入直線方程得x解得:PC代入橢圓方程得x從而cos于是，1于是,2PCQ061.已知橢圓E:x2a點,直線l:y=-x+3與橢圓E(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;(2)設O是坐標原點,直線l'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,交于點P.證實:存在常數(shù)λ使得PT2=λPA?PB,(2.1)(1)易得x26+y23=1,(2)設Px0,3-x0在得l'的參數(shù)方程為代人橢圓E中,得x0收拾得2t設兩根為tA,tB,而PT2PAPB所以,PT2即存在滿意題意的λ值,λ=Q062.已知點A1,32,設E,F是橢圓x24+y23=1上的兩個動點,倘若直線AE解答因為kAE所以kEF+kAA=0,其中kAA而kAA所以kEF=1【題型19】直線型根與系數(shù)關系直線型根與系數(shù)關系,在第五章的切線中有專門的講解,這里僅舉兩個例子.Q063.已知圓G:x-22+y2=r2是橢圓x216(1)求圓G的半徑r;(2)過點M0,1作圓G的兩條切線交橢圓于E,F兩點,證實:直線EF與圓G相切.18(1)G是△ABC的內心,所以∠BAG=∠CAG,所以點B,C(2)過點M0,1的直線y=kx+12即32k該方程的兩個根就是直線ME和MF的斜率k1故k1此外,聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓x216+y2=1從而k從而直線EF的方程為y即y=圓心2,0到y(tǒng)=34Q064.如圖,P是拋物線y2=2x上的動點P的橫坐標大于2),點B、C在y軸上解設Px0,y0,則由題意知x0>2.過P的直線yk收拾得x直線PB,PC的斜率恰好是上述關于k的方程的兩個根S===≥于是△PBC面積的最小值為【題型20】二次曲線上的有理點對于二次曲線,總是可以使用韋達定理將二次曲線參數(shù)化,因此若二次曲線上有一個有理點,則必有無窮多個有理點,且它們均可以通過參數(shù)方程給出.三次曲線需要使用維爾斯特拉斯函數(shù)舉行參數(shù)化.1922年,數(shù)學家莫代爾提出了莫代爾定理(Mordell’stheorem),指明了三次曲線上有理點的結構,這個定理后來成為密碼學中的一個基本定理.1929年,西格爾(Siegel)證實了在光潔的三次及高次曲線上至多存在有限多個整數(shù)點.1983年,法爾廷斯(Faltings)證實了光潔的四次及更高次曲線上惟獨有限個有理點.Q065.求曲線x2+y2=解設-1,0曲線x2+y2x收拾得k該方程的另一個根為x=1曲線x2+x另k=mn,得到a其中,s,m,Q066.求曲線x2+xy+y2=1的一個參數(shù)方程，并據(jù)此寫出三個不相似的三角形，其中每個三角形均解答設-1,0曲線x2+xy+y2x收拾得k該方程的另一個根為x=1曲線x2+x令k=12,1所以得到三個三角形:它們的邊長分離為3,5,7;7,【題型21】彭賽列問題彭賽列閉合定理(Poncelet’sclosuretheorem)是幾何中一個絕妙的定理，它是由法國工程師、數(shù)學家彭賽列(Jean-VictorPoncele,1788-1867)發(fā)現(xiàn)的,法國人高傲地稱之為“偉大的彭賽列閉合定理”.該定理的內容為:倘若一個n邊形既是二次曲線Γ1的內接多邊形,又是二次曲線Γ2的外切多邊形,那么這個n邊形必是