一本書搞定圓錐曲線（處理標(biāo)題）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯相關(guān)信息作業(yè)幫一課主編一課名師精講一本書搞定圓錐曲線目錄第一章橢圓第一定義與焦點(diǎn)三角形1第二章橢圓第二定義與焦半徑公式19第三章橢圓第三定義與直徑34第四章根與系數(shù)關(guān)系53第五章橢圓的切線94第六章極點(diǎn)與極線109第七章橢圓第四定義與射影變換129第八章二次曲線系152附錄1雙曲線的性質(zhì)168附錄2拋物線的性質(zhì)172參考答案174性質(zhì)索引性質(zhì)01:橢圓的第一定義6性質(zhì)02:橢圓的焦半徑6性質(zhì)03:橢圓焦點(diǎn)三角形的旁心軌跡8性質(zhì)04:橢圓的焦點(diǎn)三角形8性質(zhì)05:厄克特四邊形定理10性質(zhì)06:橢圓第一焦半徑公式20性質(zhì)07:橢圓的準(zhǔn)線與第二定義20性質(zhì)08:橢圓第二焦半徑公式22性質(zhì)09:互相垂直的焦點(diǎn)弦23性質(zhì)10:互補(bǔ)焦半徑24性質(zhì)11:焦點(diǎn)弦的中垂線24性質(zhì)12:一個(gè)存心思的軌跡問題25性質(zhì)13:橢圓的直徑與第三定義35性質(zhì)14:點(diǎn)差法35性質(zhì)15:共軛直徑點(diǎn)的設(shè)法37性質(zhì)16:共軛直徑的平方和37性質(zhì)17:橢圓內(nèi)接平行四邊形的面積37性質(zhì)18:共軛直徑的線性組合38性質(zhì)19:與共軛直徑相切的圓39性質(zhì)20:橢圓的垂直直徑40性質(zhì)21:橢圓硬解定理54性質(zhì)22:直線與橢圓圓相切的充要條件55性質(zhì)23:直線型的根與系數(shù)關(guān)系56性質(zhì)24:圓冪定理之推廣56性質(zhì)25:四點(diǎn)共圓的充要條件57性質(zhì)26:四點(diǎn)共圓的推論58性質(zhì)27:四點(diǎn)共圓的參數(shù)形式58性質(zhì)28:橢圓的切線方程95性質(zhì)29:一個(gè)重要的垂直96性質(zhì)30:切點(diǎn)弦方程97性質(zhì)31:橢圓切線的光學(xué)性質(zhì)97性質(zhì)32:兩焦點(diǎn)到切線的距離之積為定值99性質(zhì)33:焦點(diǎn)在切線上的投影軌跡100性質(zhì)34:蒙日?qǐng)A100性質(zhì)35:彭賽列小定理102性質(zhì)36:一個(gè)角分線103性質(zhì)37:定比點(diǎn)差法110性質(zhì)38:定比點(diǎn)差法逆應(yīng)用111性質(zhì)39:調(diào)和性與共線性112性質(zhì)40:配對(duì)關(guān)系113性質(zhì)41:極線就是切點(diǎn)弦114性質(zhì)42:調(diào)和線束116性質(zhì)43:等差數(shù)列117性質(zhì)44:一個(gè)美好的比例117性質(zhì)45:面積比為定值120性質(zhì)46:斜率轉(zhuǎn)移函數(shù)130性質(zhì)47:橢圓上的交比131性質(zhì)48:射影變換與其陪同函數(shù)132性質(zhì)49:射影軸133性質(zhì)50:帕斯卡定理134性質(zhì)51:加法結(jié)合律135性質(zhì)52;平行弦的參數(shù)表示136性質(zhì)53:內(nèi)接六邊形136性質(zhì)54:加法結(jié)合律(無窮遠(yuǎn)直線情況)137性質(zhì)55:對(duì)合變換的逆命題140性質(zhì)56:對(duì)合中央140性質(zhì)57:對(duì)合變換142性質(zhì)58:過定點(diǎn)問題142性質(zhì)59:對(duì)合變換的復(fù)合143性質(zhì)60:二次曲線的仿射分類154性質(zhì)61:二次曲線的陪同矩陣與可約性155性質(zhì)62:二重點(diǎn)與可約性155性質(zhì)63:二次曲線在某點(diǎn)處的切線156性質(zhì)64:直線與二次曲線相切的充要條件156性質(zhì)65:Bezout定理158性質(zhì)66:二次曲線系定理158性質(zhì)67:蝴蝶定理159性質(zhì)68:Cayley-Bacharach定理160性質(zhì)69:帕斯卡定理161第1章橢圓第一定義與焦點(diǎn)三角形數(shù)海巡航圓錐曲線發(fā)展簡史一、三大幾何問題早在公元前5世紀(jì),古希臘詭辯學(xué)派的數(shù)學(xué)家就總結(jié)出了影響后世數(shù)學(xué)2400多年的三大幾何問題:“化圓為方”問題，即用尺規(guī)作一正方形，使其與給定的圓的面積相等;“倍立方體”問題,即給定立方體的一邊,用尺規(guī)作另一正方體,使后者體積兩倍于前者;以及“三等分隨意角”問題，即用尺規(guī)三等分隨意角.這些聞名作圖問題的起因有各種說法，比如，關(guān)于“化圓為方”問題，有人提出如下一種說法.在古希臘的時(shí)候有一個(gè)學(xué)者叫安拉克薩哥拉(Anaxagoras,公元前1500年一公元前428年），他提出太陽是一個(gè)龐大的火球.從現(xiàn)在看來，它絕對(duì)符合客觀事實(shí)，但在當(dāng)初，人們都相信神話中的說法,認(rèn)為太陽是神靈阿巴羅的化身.于是安拉克薩哥拉被判定為褻瀆神靈,被判處死刑投到了牢獄中.在等待執(zhí)行的日子里，他依然在思量著關(guān)于宇宙和萬物的問題，固然也包括數(shù)知識(shí)題.一天晚上，他看到圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進(jìn)牢房，他心中一動(dòng)，想到：倘若已知一個(gè)圓的面積，那么，怎樣做出一個(gè)正方形來，才干使它的面積恰好等于這個(gè)圓的面積呢?這個(gè)問題看似容易,卻難住了安拉克薩哥拉.在古希臘,對(duì)作圖工具舉行了限制,只允許使用直尺和圓規(guī).安拉克薩哥拉向來在思量這個(gè)問題，甚至忘了自己是一個(gè)待處決的犯人.到了后來,受到好朋友伯利克里(當(dāng)初出色的政治家)的營救，脫離了牢獄之苦.然而這個(gè)問題，他自己沒能夠解決，囫圇古希臘的數(shù)學(xué)家也沒能解決，成為歷史上聞名的三大幾何難題之一.在之后的兩千多年里,也有無數(shù)的數(shù)學(xué)家對(duì)此做了論證,可一直沒有得到答案.再如,關(guān)于“倍立方體”問題,有人給出的一種說法是:得洛斯地方的人遭遇瘟疫,求教于巫神,巫神告訴他們應(yīng)該把現(xiàn)有的立方祭壇的體積加倍,但不改變祭壇的形狀.得洛斯人解決不了這個(gè)問題,于是就去找柏拉圖（l’lato,公元前427年一公元前347年），柏拉圖告訴他們說巫神之意并不在于要雙倍大的祭壇,而只是借此譴責(zé)希臘人不重視數(shù)學(xué).可惜,后來柏拉圖也沒能解決“倍立方體”問題.柏拉圖是他那個(gè)時(shí)代最有知識(shí)的人，但他不是數(shù)學(xué)家，不過他熱衷于這門學(xué)科,并深信其對(duì)哲學(xué)和宇宙有重要作用,公元前4世紀(jì)時(shí)的幾乎所有重要的數(shù)學(xué)工作都是柏拉圖的朋友和學(xué)生研究出來的.實(shí)際上,這三大幾何問題是希臘人在解出了一些作圖題之后的引申，因隨意角可二等分,天然就想試試三等分.因以正方形的對(duì)角線為一邊的正方形有兩倍于前者的面積，就理所固然地提出相應(yīng)的立方體問題.至于化圓為方，它是希臘人求作一定形狀的圖形與給定圖形等面積這類問題中的典型問題.此外還有求作正七邊形或更多邊數(shù)的正多邊形問題就不那么聞名了.但這也是在作出正方形、正五邊形、正六邊形之后引申出來的問題.古希臘三大幾何作圖問題,是數(shù)學(xué)史上璀璨的一筆，歷史上無數(shù)數(shù)學(xué)家為之折腰，但依然前仆后繼.這三大幾何問題催生了一大批數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),圓錐曲線、數(shù)論、群論的產(chǎn)生都與之有關(guān).這里值得一提的是三大幾何問題的總算歸宿:它們都被證實(shí)是不可能的問題.1837年，法國數(shù)學(xué)家旺策爾(Wantzel,1814一1848)給出了三等分隨意角及倍立方體不可用尺規(guī)作圖的證實(shí).1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼(Lindemann,1852一1939)證實(shí)了化圓為方用尺規(guī)作圖的不可能性.二、柏拉圖學(xué)派柏拉圖出身名門，早年有政治理想，但蘇格拉底(Socates，公元前469年一公元前399年)的命運(yùn)使他相信有良心的人不能搞政治.他游歷過埃及并在意大利南部交游于畢達(dá)哥拉斯派學(xué)者之間，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者教過柏拉圖，所以柏拉圖學(xué)派受到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的強(qiáng)烈影響.公元前387年左右，柏拉圖在雅典成立柏拉圖學(xué)院，這個(gè)學(xué)院在無數(shù)方面和現(xiàn)代的大學(xué)很類似，學(xué)院有場(chǎng)地、房屋、林地、散步小徑、健身房、學(xué)生，并有柏拉圖及其助手講授的正式課程.柏拉圖在學(xué)院門楣上銘刻了“不習(xí)幾何者不得入內(nèi)”這一警句.柏拉圖學(xué)院最聞名的學(xué)生是亞里士多德(Aristotle,公元前384年一公元前322年).在古典希臘時(shí)期(公元前510一公元前323),數(shù)學(xué)和哲學(xué)是學(xué)院里最受愛慕的學(xué)科;囫圇亞歷山大時(shí)代(公元前323一公元前31),學(xué)院依然領(lǐng)導(dǎo)著哲學(xué)界.學(xué)院維持了900年之久,直到529年,因它傳授“異端邪說”,被信奉基督教的羅馬王(Justinianus,483-565)查封.在數(shù)學(xué)上,柏拉圖派的最重要發(fā)現(xiàn)是圓錐曲線.古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus,公元前375一公元前325)是柏拉圖學(xué)派中的一員,也是歐多克索斯(Eudoxus,約公元前400一約公元前347年)的學(xué)生.歐多克索斯是古希臘時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家,并在囫圇古代僅次于阿基米德(Archimedes,公元前287年一公元前212年).梅內(nèi)克繆斯是這樣定義圓雉曲線的:利用三種圓雉,直角的、鈍角的和銳角的圓錐,再用垂直于錐面一條母線的平面來截每個(gè)錐面，分離得到了三類圓錐曲線:“直角圓錐曲線”“銳角圓錐曲線”“鈍角圓錐曲線”,即今天之拋物線、橢圓、一支等軸雙曲線.當(dāng)初,他只知道雙曲線的一支.而后,梅內(nèi)克繆斯利用一條拋物線和一條雙曲線的交點(diǎn)去解決立方倍體問題,一條拋物線和一條雙曲線方程分離是x其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即滿意x3梅內(nèi)克繆斯曾當(dāng)過當(dāng)初亞歷山大大帝(AlexandertheGreat,公元前356一公元前323)的教師,亞歷山大問梅內(nèi)克繆斯,是否可以專門為他把幾何搞得容易一些.梅內(nèi)克繆斯則回答說:“在大王的國家里有老百姓走的小路，也有國王您走的大道，然而在幾何里卻惟獨(dú)一條道路.’三、阿波羅尼斯及其《圓錐曲線》何其幸哉!古希臘時(shí)期（公元前510一公元前323年）學(xué)者們數(shù)學(xué)工作的精華，幸運(yùn)地在歐幾里得和阿波羅尼斯兩個(gè)人的著作中流傳至今.他們的著作《幾何原本》和《圓錐曲線》堪稱“古希臘雙壁”,這兩本書其實(shí)都可以視作對(duì)古希臘時(shí)期數(shù)學(xué)成績的一個(gè)總結(jié).歐幾里得(Euclid,公元前330一公元前275年)和阿波羅尼斯(ApolloniusofPerga,約公元前262一公元前190年)據(jù)說都是柏拉圖學(xué)院的學(xué)生.據(jù)說，阿波羅尼斯曾在亞歷山大城與歐幾里得的門徒相處很久，阿波羅尼斯也承認(rèn)在他編寫的8篇《圓錐曲線》中，前4篇就是歐幾里得寫的《圓錐曲線論》的修訂本.阿波羅尼斯處理圓錐曲線的主意與梅內(nèi)克繆斯、歐幾里得、阿基米德等前人的方式不同，他不是用三個(gè)圓錐，而是一個(gè)圓錐，只要改變截面的位置就能產(chǎn)生三種曲線.他最先發(fā)現(xiàn)雙曲線是有心曲線,并有兩個(gè)分支.阿波羅尼斯的主要成就是建立了完美的圓錐曲線論，總結(jié)了前人在這方面的工作，再加上自己的研究成績，撰成《圓錐曲線》8卷，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,以致后代學(xué)者在1800年間對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)幾乎沒有插足的余地.因此,阿波羅尼斯和歐幾里得、阿基米德合稱為“亞歷山大前期三大數(shù)學(xué)家”（亞歷山大前期約為公元前300年到公元前200年,是古希臘數(shù)學(xué)的“黃金時(shí)代”),《圓錐曲線》和《幾何原本》并稱為古希臘數(shù)學(xué)的兩大著作.《圓錐曲線》共8卷，487個(gè)命題，包括:第1卷，圓錐曲線的定義、性質(zhì);第2卷,雙曲線、漸近線的作法、性質(zhì),由此引入共軛雙曲線,求圓錐曲線的直徑及中心、軸;第3卷,圓錐曲線與其切線、直徑所成圖形的面積，極點(diǎn)極線的調(diào)和性，焦點(diǎn)的性質(zhì);第4卷,極點(diǎn)極線的其他性質(zhì),各種位置的圓錐曲線可能有的交點(diǎn)數(shù);第5卷，從特定點(diǎn)到圓錐曲線所能作的最長線和最短線;第6卷，全等圓錐曲線、相似圓錐曲線及圓錐曲線弓形;第7卷,有心圓錐曲線兩共軛直徑;第8卷，失傳，大概是關(guān)于怎樣定出有心圓錐曲線的共軛直徑，使其長度的某些函數(shù)具有給定的值.阿波羅尼斯的《圓錐曲線》中沒有談到準(zhǔn)線，但是圓錐曲線為到定點(diǎn)(焦點(diǎn))距離與到定直線(準(zhǔn)線)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,歐幾里得是知道的,并由公元4世紀(jì)左右的數(shù)學(xué)家帕普斯(Pappus)在其《數(shù)學(xué)匯編》中予以論述并證實(shí),并且闡述了離心率.圓e=橢圓e=拋物線e=雙曲線e=準(zhǔn)線e=∞公元前146年亞歷山大被羅馬人占領(lǐng)，希臘學(xué)者們固然仍能繼續(xù)研究，然而已沒有他們的先輩那種氣勢(shì)雄偉、一往無前的創(chuàng)作精神，公理幾何的活力逐漸凋萎.希臘文化漸有衰退之勢(shì),文化中央慢慢移到印度、阿拉伯等地.在阿波羅尼斯的《圓雉曲線》問世后的1800年里,囫圇數(shù)學(xué)界對(duì)圓錐曲線的研究沒有什么發(fā)展.四、圓雉曲線第一定義直到16世紀(jì)，有兩件事促使人們對(duì)圓錐曲線做進(jìn)一步的研究.第一件事是，德國數(shù)學(xué)家開普勒(JohannesKepler,1571-1630)繼承了哥白尼(NikolajKopernik,1473-1543)的日心說，揭示出行星按橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，這樣圓錐曲線成為天體運(yùn)動(dòng)的普遍形式，彌漫了奧秘,而且開普勒本人的幾何思想異常厲害.第二件事是,意大利物理學(xué)家伽利略(GalileoGali-lei,1564一1642)得出斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線，突破了靜態(tài)圓錐曲線的觀念.人們開始感到古希臘人的證實(shí)主意太缺乏普通性，幾乎每個(gè)定理都是要想出一個(gè)異常的證實(shí)主意.于是，對(duì)圓錐曲線的處理主意開始有了變化.1579年，意大利畫家蒙蒂(GuidobaldodelMonte,1545一1607)把橢圓定義為到兩定點(diǎn)的距離之和為定長的點(diǎn)的軌跡，改變了以往“圓錐曲線是平面與圓錐的截線”的定義方式.法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(1661-1704)繼承了蒙蒂對(duì)橢圓的定義,并借助迪爾卡(Descartes,1596-1650)解析幾何的思想，推導(dǎo)了橢圓方程，其做法與今天的教材相仿.1822年,法國數(shù)學(xué)家Dandelin(1794-1847)在一篇論文中利用舉世聞名的Dandelin雙球，直接在圓錐上作出了橢圓截面的焦點(diǎn).性質(zhì)精講P01橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(要求該常數(shù)大于F1普通地,這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距,記作2c在平面直角坐標(biāo)系中,以焦點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn),以焦點(diǎn)所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,可以推導(dǎo)出橢圓的方程為x其中,b2注重,對(duì)橢圓而言,這里符號(hào)a,b,c是固定的;若焦點(diǎn)在y軸上y性質(zhì)01橢圓上任何一個(gè)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離之和是定值.P02橢圓的焦半徑橢圓上隨意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線段稱為橢圓的焦半徑.性質(zhì)02在橢圓中,以焦半徑為直徑的圓和以長軸為直徑的圓內(nèi)切.(4)如圖,設(shè)焦半徑PF1的中點(diǎn)為M,長軸的中點(diǎn)為O,則OM為兩圓圓心距,記r即證,r2銜接PF2,銜接易知OM=從而只需證,a-即證,PF這正巧是橢圓的定義.證畢.P03橢圓焦點(diǎn)三角形的旁心軌跡性質(zhì)03橢圓焦點(diǎn)三角形關(guān)于焦半徑的旁心位于過長軸端點(diǎn)且垂直于長軸的直線上，即在橢圓中,以A1,A2為橢圓的左、右頂點(diǎn),則△PF1F2在邊P行明設(shè)圓與三邊切于B,C,D則F1由切線長定理易得F1B2按照定義可得2c+2所以n=a-c,即CP04橢圓的焦點(diǎn)三角形以橢圓上一點(diǎn)和橢圓的兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.焦點(diǎn)三角形具有無數(shù)優(yōu)美的性質(zhì).性質(zhì)04設(shè)P為橢圓上的一點(diǎn),F1,F2是橢圓的焦點(diǎn),∠F1PF2=θ(1)PF1P(3)e=sin證實(shí)(1)在△PF1F2中,按照余弦定理收拾得cos即cos即P(2)由(1)可知S化簡得S又S至此得到三個(gè)焦點(diǎn)三角形面積公式S(3)按照正弦定理,得PF1P即sin(4)利用(1)結(jié)論,結(jié)合均值不等式,可得P即cos1sinP05厄克特四邊形定理澳大利亞數(shù)學(xué)家厄克特(M.L.Urquhart,1902-1966)提出了一個(gè)“最基本的歐氏幾何定理”,現(xiàn)在被叫作厄克特四邊形定理(Urquhart’sQuadrilateralTheorem),這個(gè)定理可以用橢圓語言舉行描述.性質(zhì)05設(shè)Γ是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,A,B是Γ上的兩個(gè)點(diǎn),且分布在長軸兩側(cè),直線AF1與BF2交于點(diǎn)D,直線AF2與BF1解明先證實(shí)一個(gè)引理,在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分離b這是因?yàn)閎====現(xiàn)在來證實(shí)厄克特定理,如圖,設(shè)∠AF1F2=α,∠AF2當(dāng)且僅當(dāng)CF當(dāng)且僅當(dāng)1+tan當(dāng)且僅當(dāng)tanγ當(dāng)且僅當(dāng)tanγ當(dāng)且僅當(dāng)tany2當(dāng)且僅當(dāng)1+tan當(dāng)且僅當(dāng)BF1+B經(jīng)典例題【題型01】利用橢圓定義判定軌跡形狀若定點(diǎn)的軌跡符合某一已知曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，則可按照定義直接求出軌跡方程.使用定義求軌跡方程時(shí)要注重變量的取值范圍.Q001.已知?jiǎng)狱c(diǎn)Px,y滿意x2+y+32+x2解代數(shù)式x2+y+32可以理解為點(diǎn)Px2+y-32可以理解為點(diǎn)Px2+y+3即P的軌跡是長軸長2a=10,焦距為2c=6的橢圓,又注重到其焦點(diǎn)在y軸上,所以Q002.下列說法準(zhǔn)確的是_______.(將所有準(zhǔn)確說法的序號(hào)都填上)(1)已知定點(diǎn)F1-1,0,F21,0,(2)已知定點(diǎn)F1-2,0,F22,0,(3)到定點(diǎn)F1-3(4)若點(diǎn)P到定點(diǎn)F1-4,0,F24,0的距離之和等于點(diǎn)M5,解1PF1+PF2=2(2)PF1+PF2=4=(3)到定點(diǎn)F1,F2距離相等的點(diǎn)的軌跡為(4)PF1+PF2=綜上,準(zhǔn)確答案為(2)(4).Q003.給定圓O及圓O內(nèi)一點(diǎn)P,動(dòng)圓C過點(diǎn)P且與圓O相切,則圓C的圓心軌跡是()A.圓B.橢圓C.圓或橢圓D.線段解零如圖,設(shè)大圓的半徑為R,則R是定值.設(shè)動(dòng)圓C與圓O相切于Q,則C所以點(diǎn)C的軌跡是以P,O本題答案選C.Q004、平面截圓柱得到一個(gè)封閉曲線，求證:若平面不垂直于圓柱的母線，則此封閉曲線是橢圓.解如圖,平面α與圓柱L相交.作球O1,O2內(nèi)切于圓柱L,且分離與平面α相切于點(diǎn)F1,F2,因?yàn)槠矫娌淮怪庇趫A柱的母線,從而F1,F2不重合因?yàn)镻F1,PF1'所以PF因?yàn)镻F2,PF2'所以PF從而,PF1+于是，若平面α與圓柱L斜交的截線是以F1,F【題型02】利用橢圓定義求線段和與差的范圍橢圓的兩個(gè)焦半徑之和是定值.當(dāng)題目中浮上與動(dòng)焦半徑有關(guān)的線段和與差的最值問題時(shí),可以考慮舉行轉(zhuǎn)化,然后利用兩邊之和大于第三邊或兩邊之差小于第三邊來解決.Q005.已知A2,3,F1是橢圓x216+y212=1解答設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,則PA而A故PA+即PA+PF1的取值【題型03】焦點(diǎn)三角形與離心率在焦點(diǎn)三角形△PF1F2中,e此外,P越逼近短軸的端點(diǎn),θ越大.當(dāng)θ最大時(shí),e=sinθ2;其他情況Q006.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦點(diǎn)分離是F1,F2,焦距為解答由條件知,直線y=3x+c恰是直線M因?yàn)椤螹所以∠M所以∠F所以e=Q007.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦點(diǎn)分離是F1，F(xiàn)2,過CS在焦點(diǎn)三角形AF1F2中,由條件eQ008.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC頂點(diǎn)A-4,0和C4x解由條件,sinAQ009.已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且解設(shè)∠PF1F2,∠PF2F數(shù)之和為sinβ故本題答案為43Q010.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分離為解設(shè)∠F1MF2=θ,滿意條件的點(diǎn)M存在當(dāng)且僅當(dāng)由e的性質(zhì)sinθ2≤e<所以e的范圍是22【題型04】焦點(diǎn)三角形的面積在焦點(diǎn)三角形△PF1F2中,設(shè)∠F1PF2=θ,則S△PF1Q011.已知P是橢圓x29+y25=1上的一點(diǎn),橢圓左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2,若∠F1PF解答一方面,S△另一方面,S△F,PF所以yP另一方面,S△F,PF1=r?a+所以,r=從而,P到x軸的距離為52,△P鞏固練習(xí)EX01.已知圓C:x+32+y2=4,圓D:x-32+yA.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓EX02.已知F1,F2分離是橢圓的左、右焦點(diǎn),A是橢圓x24+y2=1上一動(dòng)點(diǎn),圓C與F1A的延伸線,F1F2A.t=2C.t<2D.t與2EX03.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2a2+y225=1a>5,它的兩焦點(diǎn)分離是F1,F2,且EX04.已知A,B為雙曲線E的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,頂角為120°,則EX05.已知橢圓x29+y25=1,P1,1為橢圓內(nèi)一點(diǎn),F1EX06.已知橢圓C:x29+y24=1,左右焦點(diǎn)分離為F1,F2,過F1的直線EX07.橢圓x29+y22=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上EX08.設(shè)P為橢圓x2a2+yb22=1a>b>EX09.設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分離是F1EX10.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦點(diǎn)分離EX11.已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且∠F1PF2=90°EX12.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0EX13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x225+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,PEX14.x2a2+y2b2=1a>EX15.已知P為橢圓x24+y2=1上一點(diǎn),F1,F2分離是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).EX16.設(shè)P是橢圓x24+y23=1上的一點(diǎn),△EX17.已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2,P是橢圓上非長軸頂點(diǎn)的一點(diǎn),∠EX18.已知橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2,P是橢圓上的一點(diǎn),△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I,延伸A.eB.1C.1eD.與P第2章橢圓第二定義與焦半徑公式數(shù)海巡航解析幾何與射影幾何161?7世紀(jì)，天文、航海、力學(xué)等方面都堆積了大量數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，人們?cè)谘芯刻煳?、地理的時(shí)候,提出了點(diǎn)的位置可由兩個(gè)“坐標(biāo)”(經(jīng)度和緯度)來決定的思想.1637年,法國的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、神學(xué)家笛卡爾(Descartes,1596-1650)發(fā)表了他的著作《主意論》，笛卡爾的中央思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來.他設(shè)想，把任何數(shù)知識(shí)題化為一個(gè)代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式，為了實(shí)現(xiàn)上述設(shè)想，笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)x,y的對(duì)應(yīng)關(guān)系.x,y的不同數(shù)值可以決定平面上許多不同的點(diǎn),這樣就可以用代數(shù)的主意研究曲線的性質(zhì).這就是解析幾何的基本思想.此外,解析幾何的創(chuàng)立中,幾乎和解析幾何同時(shí)，還有一門幾何學(xué)浮上于人們的面前.這門幾何學(xué)和畫圖有很密切的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時(shí)期就曾經(jīng)引起一些學(xué)者的注重，歐洲文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的興起,給這門幾何學(xué)的產(chǎn)生和成長決定了充足的條件.這門幾何學(xué)就是射影幾何學(xué)、其實(shí),阿波羅尼斯把二次曲線作為圓錐面截線來研究，用射影幾何的觀點(diǎn)看，就是把圓錐曲線認(rèn)為是圓在射影變換下的象.德國天文學(xué)家開普勒最早引進(jìn)了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念,后來法國數(shù)學(xué)家、建造師笛沙格(Desargues,1591-1661)建立了統(tǒng)一的二次曲線理論,他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費(fèi)爾馬都很推崇他的著作,費(fèi)爾馬甚至認(rèn)為他是圓錐曲線理論的真正奠基人.法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家、散文家帕斯卡(BlaisePascal,1623-1662)16歲時(shí)發(fā)現(xiàn)聞名的帕斯卡六邊形定理,17歲時(shí)寫成研究笛沙格射影幾何工作心得的論文《圓錐曲線論》,是自希臘阿波羅尼斯以來圓雉曲線論的最大長進(jìn).性質(zhì)精講P06橢圓第一焦半徑公式橢圓上的一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線段稱為橢圓的焦半徑，焦半徑大小會(huì)隨著點(diǎn)的變化而變化，下面性質(zhì)給出了焦半徑變化的邏輯.性質(zhì)06設(shè)F1,F2分離為橢圓x2a2+y2bP其中,e=ca證實(shí)因?yàn)镻F又點(diǎn)P在橢圓上,即x02a2+yP===又因?yàn)?a≤x0≤同理可得到PFP07橢圓的準(zhǔn)線與橢圓的第二定義設(shè)F1,F2分離為橢圓x2a2+y2b2=1a>bP==即P上式中,x0--a2c可以理解為點(diǎn)Px0,y0到直線性質(zhì)07橢圓x2a2+y2b2率e.橢圓x2a2+y2b2=1上隨意直線x=-a2c和直線x=a2c稱為橢圓x2a2+y2所以,橢圓可以視為“到定點(diǎn)的距離與定直線的距離之比為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡,其中常數(shù)小于1”,這就是橢圓的第二定義.P08橢圓第二焦半徑公式設(shè)F1是橢圓x2a2+y2b2=1的左焦點(diǎn),K是橢圓的左準(zhǔn)點(diǎn)(即左準(zhǔn)線與長軸的交點(diǎn)),O是橢圓的中央,P為橢圓上隨意一點(diǎn),向量F1P與F1O的夾角為θ.設(shè)PH一方面，KH另一方面，KH所以,r解得,r這就是橢圓的第二焦半徑公式.性質(zhì)08設(shè)F是橢圓x2a2+y2b2=1的焦點(diǎn),O是橢圓的中央,PFO的夾角為θ,那么r=P09橢圓的焦點(diǎn)弦橢圓過焦點(diǎn)的弦,簡稱焦點(diǎn)弦.設(shè)AB是經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1焦點(diǎn)F的焦點(diǎn)弦,那么FA.FB與FO的輻角互補(bǔ)（如下左圖）.設(shè)AB與長軸的夾角為θ,于是,FA和FB一個(gè)長度若為b2a1-ecosAB在橢圓的焦點(diǎn)弦中,過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于橢圓長軸的弦(如上右圖中的AB),稱為橢圓的通徑.在焦點(diǎn)弦的弦長公式中,令θ=90°,得到通徑的長度為性質(zhì)09在橢圓中,兩條互相垂直的焦點(diǎn)弦,其倒數(shù)和是定值.證實(shí)設(shè)焦點(diǎn)弦AB⊥CD,AB的傾斜角為θ,則CD于是,AB=于是,CD=于是,1是定值.性質(zhì)10在橢圓中,設(shè)AB是過焦點(diǎn)F的焦點(diǎn)弦AB,則1AF+1證實(shí)設(shè)AB是經(jīng)過橢圓x2a2+y2設(shè)AB與長軸的夾角為θ,設(shè)AF=于是,1AF+1BF性質(zhì)11在橢圓中,焦點(diǎn)弦中垂線與長軸的交點(diǎn)與該焦點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)弦長度之比為e2行明設(shè)C為焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn),R在長軸上,CR垂直平分AB,設(shè)AB所在直線的傾斜角為θ,則AB==RF===性質(zhì)12設(shè)F1,F2分離是橢圓C:x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn).直線PF1與橢圓交于異于P的另一點(diǎn)M,直線PF2與橢圓交于異于P的另一點(diǎn)N.直線解明如圖,設(shè)PF1=x,AN=對(duì)△PF1N及割線Mw解得m同理n從而m===因?yàn)?x+1y=因?yàn)?z+1w=所以,xy所以,m+從而A位于以F1,F2為焦點(diǎn)的新橢圓上,新橢圓的長軸長為2a?1+3e23+經(jīng)典例題【題型05】橢圓第一焦半徑公式Q012.橢圓M:x2a2+y2b2=1PF1?PF2最大值取值范圍為2c2,解答設(shè)Px0,y0P所以PF1?PF則2c同除以a2,可得2所以33≤e≤2Q013.橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分離為F1B+F解合由條件,xA+1+xF===【題型06】橢圓的準(zhǔn)線Q014.已知橢圓x29+y25=1,P1,1為橢圓內(nèi)一點(diǎn),F1解答如圖,從點(diǎn)M向直線x=-92作垂線,垂足為M1,則MF1M2=≥本題答案為11.Q015.在平面直角坐標(biāo)系中,若方程mx2+y2+解合顯然m>0,m即x2而x2+y+12可以理解為點(diǎn)x,x-2y+312+22上述距離之比為橢圓的離心率，即e因?yàn)閑<1,所以Q016.求證:以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.解答如圖,設(shè)過焦點(diǎn)F1的焦點(diǎn)弦PQ的中點(diǎn)為M,設(shè)F1對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線是l1,由P,M,Q向l1作垂線,P上式中,PF1+QF12是圓的半徑,M【題型07】橢圓第二焦半徑公式Q017.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F(1)求橢圓C的離心率;(2)倘若AB=154,求橢圓C解(1)由條件得,b2a1-ecos60°=(2)由條件2b2a1-e2cos2θ=154,即3,b2=5Q018.已知M,N是橢圓x22+y動(dòng)點(diǎn),直線MF1與直線NF2平行,直線MF2與直線(1)若MF1-NF2=62(2)求證:PF1+解答(1)設(shè)直線MF1的傾斜角為θA從而,12解得,cosθ=63,從而直線MF(2)直線MF1與直線NF2平行,即,NF即,PF同理可得,PF于是,P======即PF1+Q019.已知橢圓x23+y22=1的左右焦點(diǎn)分離為F1,F2，過F1的直線交橢圓于B,D兩點(diǎn)，過F(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x0,y0,(2)求四邊形ABCD的面積的最小值.解答(1)由條件知,P位于以F1F2為直徑的圓上,從而x(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD的對(duì)角線互相垂直,所以其面積為對(duì)角線乘積的一半,即SABCD=又因?yàn)锳C和BD是互相垂直的焦點(diǎn)弦,故1AC+1BD從而,53即,AC?故,SABCD=12?Q020.設(shè)F1是橢圓x2a2+y2b2=1的焦點(diǎn),于點(diǎn)A,B,C點(diǎn),求證:解答可設(shè)F1A與F1O的夾角為FFF于是,1即1F1A鞏固練習(xí)EX19.設(shè)橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2,點(diǎn)A,BEX20.如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,}中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上A.BF-1AF-1B.EX21.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐A.334B.938EX22.傾斜角為60°的直線l經(jīng)過拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),AEX23.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),B是短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段BF的延伸線交C于點(diǎn)D,且BF=2FD,則EX24.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1的離心率為22,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1,F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為42+1.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)證實(shí)直線PF1和PF(3)是否存在常數(shù)λ,使得AB+CD=λAB?CD恒成立?若存在,求第3章橢圓第三定義與直徑數(shù)海巡航歐拉和《無窮分析引論》歐拉(Euler,1707-1783),無論怎么嘲笑他在數(shù)學(xué)上的功業(yè)都不為過.歐拉于1745年發(fā)表了《無窮分析引論》，這部書是被譽(yù)為“七部影響世界數(shù)學(xué)歷史發(fā)展”的奇書.高斯(Gauss,1777-1855)說,學(xué)習(xí)歐拉的著作,乃是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)最好的工具.拉普拉斯說,讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師.《無窮分析引論》一反古希臘以來的傳統(tǒng)，否決把幾何學(xué)作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，并以純粹的形式研究函數(shù),從而將微積分從幾何中解放出來,將它建立在算術(shù)和代數(shù)之上,為基于實(shí)數(shù)系統(tǒng)的分析學(xué)嚴(yán)密化開辟了準(zhǔn)確的道路.《無窮分析引論》上冊(cè)主要研究函數(shù),下冊(cè)主要研究曲線的理論，并涉及高次平面曲線、曲面理論，參數(shù)化主意，曲面與曲面的交線等問題.《無窮分析引論》中的數(shù)學(xué)符號(hào)被采用至今，例如天然對(duì)數(shù)e,圓周率π,虛數(shù)單位i,函數(shù)符號(hào)f,復(fù)數(shù)變量z,都已成為我們今天使用的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)符號(hào).直到今天,學(xué)有余力的高中生、大學(xué)生，參讀《無窮分析引論》，仍可以獲益無窮.性質(zhì)精講P13橢圓的直徑與第三定義對(duì)圓而言，直徑所對(duì)的圓周角為直角，所以圓上的隨意一點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)連線的斜率之積為定值-1(只要斜率存在).那么對(duì)于橢圓有類似的性質(zhì)嗎?答案是絕對(duì)的、經(jīng)過橢圓中央的弦稱為橢圓的直徑.橢圓直徑的長度不是固定的，其所對(duì)的“橢圓周角”也不是90°,但是,橢圓的直徑卻有無數(shù)性質(zhì).性質(zhì)13設(shè)AB為橢圓x2a2+y2b2=1的隨意一條直徑,動(dòng)點(diǎn)Pk解明設(shè)Pacosk===-反過來講，圓可以視作對(duì)兩定點(diǎn)的視角為直角的動(dòng)點(diǎn)軌跡，即與兩定點(diǎn)連線的斜率之積為-1的動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓(有兩個(gè)或四個(gè)例外點(diǎn)).與之類似,橢圓也可以這樣定義:與兩定點(diǎn)連線的斜率之積為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓,其中常數(shù)是不為-1的負(fù)數(shù).這又稱為橢圓的第三定義.注重,在第三定義中,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓去掉兩個(gè)或四個(gè)例外點(diǎn).P14點(diǎn)差法在平面幾何中,有一個(gè)聞名的“垂徑定理”,它表明圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦.即圓心和弦中點(diǎn)的連線與弦的斜率之積為-1(只要斜率存在),在橢圓中也有類似的結(jié)論.性質(zhì)14設(shè)AB為橢圓x2a2+y2b2=1的一條不通過中央的弦,O是橢圓中央kAB,kOM都存在,行明主意一:作B關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn),記為P,則OM是△APB的中位線,且PB徑,于是kAB主意二:設(shè)Ax1x兩式相減得,x使用平方差公式得,x即，b即,k上述主意二被稱為“點(diǎn)差法”,點(diǎn)差法及其結(jié)論kAB?kOM=-b2a2是圓的垂徑定理的類比,在解決橢圓弦中點(diǎn)問題中有較多用處.正因如此,以后文中,也把線段OM稱為弦P15橢圓的共軛直徑按照上面的研究,kAB?kOH=-b2a2,所以保持弦AB的斜率不變,其中點(diǎn)M與橢圓中央0連線的斜率也將不變,從而中點(diǎn)將位于通過原點(diǎn)的一條直線上,即:一族平行弦的中點(diǎn)軌跡恰是橢圓的一條直徑.這樣,設(shè)AB是橢圓的一條直徑,則與之平行或重合的所有弦的中點(diǎn)的軌跡是橢圓另一條直徑CD,則CD稱為AB的共軛直徑.設(shè)AB,Aacosk收拾得,cos從而,α即參數(shù)α,β相差參數(shù)相差90°,斜率之積為定值-b2a性質(zhì)15設(shè)AB,CD為橢圓的一對(duì)共軛直徑AC它們滿意:x性質(zhì)16在橢圓x2a2+y2AB證實(shí)設(shè)AacosOA則AB2+性質(zhì)17橢圓x2a2+y2b2=證實(shí)先推薦一個(gè)重要結(jié)論:設(shè)Ax1,yS這是因?yàn)?直線AO的方程為y1所以,點(diǎn)B到直線AO的距離d為d=所以S△此外，該結(jié)論還可以按照如下恒等式證實(shí):因?yàn)?x1所以,x==所以,x1y2-x所以,S△下面證實(shí)本性質(zhì).如圖，設(shè)平行四邊形的相鄰兩頂點(diǎn)為A,B,面積最大即為△AOB面積最大.設(shè)S=≤當(dāng)S△AOB取最大值12ab,即α,β相差90°時(shí)，則平行四邊形面積的最大值為2ab性質(zhì)18設(shè)AC,BD是橢圓x2a2+y2b2=1的兩條共軛直徑，O是原點(diǎn)，點(diǎn)T滿意解明設(shè)Ax1,y1,λλ因?yàn)閤故λ2性質(zhì)19設(shè)AB,CD是橢圓x2a2+y2b2=1的兩條共軛直徑,T在橢圓上,且圓T證實(shí)只需證實(shí)T到直線OD的距離d為定值.如圖,設(shè)OT=λOAOA+ODOD,d=====△AOD的面積恒為12ab,且OA2+OD2P20橢圓的垂直直徑性質(zhì)20設(shè)AB,CD是橢圓x2a(1)1AB(2)2ab(3)a2證實(shí)設(shè)OC=r1,OC設(shè)OA=r2,OA則Cr1cosα在橢圓上,代入橢圓方程,得rr所以1r因?yàn)锳B⊥CD,所以α與β相差從而,cos2于是1r從而,1AB經(jīng)典例題【題型08】點(diǎn)差法結(jié)論的應(yīng)用橢圓上一點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)的連線之積、弦中點(diǎn)和中央連線為-b2a2，也即e2另外,值得一提的是,斜率之積等于e2-1Q021.設(shè)橢圓的中央在原點(diǎn),且它的一個(gè)焦點(diǎn)為7,0,直線y=x-1截橢圓所得弦中點(diǎn)的解由條件知,弦中點(diǎn)為23,-1又按照條件,得a2所以,a2所以,e=Q022.直線l過點(diǎn)M2,1且截橢圓x28+y26=1解答由條件,12?kl=-又l經(jīng)過點(diǎn)2,所以l的方程為3xQ023.已知P是橢圓x2a2+y2b2率之積為-14(2)由條件,e2-1=-1Q024.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率e=32,A,B分離是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P解由條件知,tanα所以,tanαtanβ是方程x2-x-即,直線PA的斜率為1±Q025.已知橢圓x2a2+y2b2=1的上下頂點(diǎn)分離為A,B,點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的隨意一點(diǎn),直線AP,BP解答設(shè)AP:從而xN于是OM?又因?yàn)锳,B是直徑,所以從而OM?Q026.過點(diǎn)-3,0的直線與橢圓x24+y23=1交于解答設(shè)AB的中點(diǎn)為Mx,y,從而即,yx收拾得,xx又注重到,x>-所以AB中點(diǎn)的軌跡方程是xxQ027.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓x24+y22=1,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中點(diǎn)P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,銜接AC,并延伸交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線意k>0,都有解答設(shè)Px0,y0從而,kPA于是,kPA又因?yàn)锳P是直徑,所以kPB于是kPB?kAP=【題型09】點(diǎn)差法與對(duì)稱問題Q028.已知直線y=kx+m的斜率不為零,求證:橢圓xkx+m對(duì)稱的充要條件是解橢圓x2a2+y2b2直線y=kx+m是某條斜率為-直線y=kx+m經(jīng)過某條斜率為注重到斜率為-1k的弦的中點(diǎn)軌跡是直線y所以,只要直線y=kx+m與直線直線y=kx+m與直線y=從而，m于是，mQ029.設(shè)A,B是橢圓x2a2+y2b2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)稱.直線AB的中垂線記作l.求證:l縱截距的取值范圍是-c2取值范圍是-c解答設(shè)l的方程為y=kx+m,從而橢圓上存在關(guān)于lm于是,m2<a2-設(shè)l的方程為y=kx-x0,從而橢圓上存在關(guān)于k從而,x0于是,x02<a2Q030.一條直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),與這條雙曲線的漸近線交于C,DAC=解答由題意知，這條直線不經(jīng)過原點(diǎn)，否則其與漸近線的交點(diǎn)惟獨(dú)一個(gè)點(diǎn).當(dāng)這條直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)這條直線不平行坐標(biāo)軸時(shí),設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分離是Mkk其中O是雙曲線的中央,e是雙曲線的離心率.所以koN即AB,CD即AC=Q031.設(shè)直線l:y=kx+mk,m∈Z與橢圓x216+y212=1交于不同的兩點(diǎn)A,B,與雙曲線x24-y解答AC+BD=0當(dāng)且僅當(dāng)弦AB、若k≠0且mkk其中e1是橢圓的離心率,e2因?yàn)閑1≠e2,所以上述兩式是不可能的.故,k和(1)k=0,m≠0,此時(shí)(2)k≠0,m=0,此時(shí)(3)k=0,m=綜上所述,共有9條直線滿意條件.【題型10】橢圓共軛直徑Q032.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B是橢圓x24+y22=1的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線OA,OB的斜率之積為-12,解由直線OA,OB的斜率之積為-12,故OA,OB所在的直徑是一對(duì)共軛直徑OP==即,a從而，cos于是,15化簡得,xP因?yàn)閍2=4,b即P的軌跡方程是x2Q033.設(shè)AC,BD為橢圓的一對(duì)共軛直徑,P為橢圓上隨意一點(diǎn),求證解設(shè)AacosSS△S于是,S△Q034.已知?jiǎng)又本€l與橢圓C:x23+y22=1交于積S△OPQ=62,其中(1)證實(shí):x12+x22(2)橢圓C上是否存在三點(diǎn)D,ES若存在,判斷△DEG的形狀;若不存在,請(qǐng)說明理由S可以得出,sinα即可設(shè),α=則x1同理,y1(2)設(shè)Da按照(1)中結(jié)論，可得γ三個(gè)等式相加,得0=因?yàn)閗1,k2,即橢圓C上不存在三點(diǎn)D,E,G,Q035.設(shè)AC,BD為橢圓的一對(duì)共軛直徑,M為線段AB的中點(diǎn),射線OM交橢圓于點(diǎn)POP解答設(shè)OP=λOP于是解得λ=2,即OP=【題型11】橢圓的垂直直徑Q036.設(shè)M,N是橢圓C:4x2+y2=1上兩動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,其中解答要證直線MN恒與一個(gè)定圓相切，只需證O到直線MN的距離d為定值.注重到△ONM記OM=r1,ON由d?得d=從而,1d因?yàn)闄E圓兩條互相垂直的直徑平方倒數(shù)和為定值,從而1r12+1r22為定值,即d為定值.Q037.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA,OB,于點(diǎn)A,B,C,求證:解設(shè)ArC點(diǎn)Ar1cosθ,r從而,r1于是，1同理。11從而，1=cos=sin于是,O到直線PQ的距離為r1r2鞏固練習(xí)EX25.已知A2,0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(2)過點(diǎn)A且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M,N,線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)D,線段MN的中點(diǎn)為II,求DHMNEX26.橢圓C:x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)分離為A1,A2,點(diǎn)P在C上且A.12,C.12,EX27.已知A1,A2分離是橢圓C:x2a2+y2b2=1的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)(與A1,A2不重合A.14B.C.32D.EX28.已知橢圓x220+y216=1的一個(gè)頂點(diǎn)為B0,4，直線l交橢圓與M,N兩點(diǎn).EX29.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1與x軸交于A1,A2兩點(diǎn),P是橢圓C上異于A1,A2的隨意一點(diǎn),若直線PA1交直線x=mm>a于點(diǎn)EX30.設(shè)A1,A2為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右頂點(diǎn),與y軸平行的直線交橢圓于EX31.已知橢圓C的離心率為12,且中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,P2,(1)求橢圓C的方程;(2)求∠F1PF2的角平分線所在直線PT的方程,其中(3)橢圓C上是否存在不同的兩點(diǎn)M,N,它們關(guān)于直線PT對(duì)稱?若存在,哀求出直線MN的方程;EX32.已知A,B是橢圓C:2x2+3y2=9上兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,0.當(dāng)EX33.已知橢圓x24+y23=1上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=EX34.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b(1)OP2+(2)△OPQ面積的取值范圍EX35.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知Rx0,y0是橢圓C:x224+y212=1上的任一點(diǎn),(1)若直線OP,OQ的斜率均存在,并記為k1,k2,(2)試問OP2+OQ2是否為定值?若是,求出該值;EX36.設(shè)AC,BD為橢圓的一對(duì)共軛直徑,P為橢圓上一點(diǎn),過P作BD,AC的平行線,分離交AC,BD于EX37.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32,直線y=1EX38.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B是橢圓x2a2+y2b2=1上的兩點(diǎn),且OA,OB所在直徑為橢圓的共軛直徑,點(diǎn)C滿意OC=5OA,直線EX39.設(shè)A,B為橢圓x22+y2=1上滿意△AOB的面積為64的隨意兩點(diǎn),E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓于點(diǎn)PEX40.設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓x24+y22=1于P,Q兩點(diǎn),T為弦PQ的中點(diǎn),M-1,0N1,第4章根與系數(shù)關(guān)系數(shù)海巡航代數(shù)方程指多項(xiàng)式方程,是代數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象之一.其普通形式為:a在19世紀(jì)以前,解方程向來是代數(shù)學(xué)的一個(gè)中央問題.二次方程的求解問題歷史久遠(yuǎn),在巴比倫泥板中就載有二次方程的問題，古希臘人也解出了某些二次方程，而一元二次方程的普通解法是9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米(AI-Khwarizmi,780-850)建立的.對(duì)于三次方程以古以來也有無數(shù)研究，在巴比倫泥板中就有相當(dāng)多三次方程的問題.阿基米德也曾研究過方程x3+a=cx2的幾何解法.11世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家奧馬?海亞姆(OmarKhay-yam,1048(?)-1131(?))創(chuàng)立了用圓錐曲線解三次方程的幾何主意.他的工作可以看作是代數(shù)和幾何相結(jié)合的最早嘗試.但是三次、四次方程的普通解法(即求根公式),卻直到15世紀(jì)末還沒有被發(fā)現(xiàn).直到16世紀(jì)上半葉,三次方程的普通解法才由意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅(1465一1526)、塔爾塔利亞(Tartaglia,1500-1557)和卡爾達(dá)諾(Cardano,1501-1576)等研究出來,三次方程的求根公式最早在16世紀(jì)末到17世紀(jì)上半葉,數(shù)學(xué)家們還在探討如何判定方程的正根、負(fù)根和復(fù)根的個(gè)數(shù)時(shí),卡爾達(dá)諾就指出一個(gè)實(shí)系數(shù)方程的復(fù)根是成對(duì)浮上的,牛頓在他的《廣義算術(shù)》中證實(shí)了這一事實(shí).研究代數(shù)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系,也是這一時(shí)期代數(shù)學(xué)的重要課題.韋達(dá)和牛頓也都在他們的著作中分離講述了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，現(xiàn)在稱為韋達(dá)定理。這些工作在18世紀(jì)發(fā)展為關(guān)于根的對(duì)稱函數(shù)的研究.18世紀(jì)以后,數(shù)學(xué)家們的注重力開始轉(zhuǎn)向?qū)で笪宕我陨戏匠痰母慕夥?經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)的努力,在歐拉、拉格朗日(Lagrange,1736-1813)、魯菲尼(Ruffini,1756-1822)等人工作的基礎(chǔ)上,在19世紀(jì)上半葉,阿貝爾(Abel,1802→1829)和伽羅瓦(Galois,1811一1832)幾乎同時(shí)證實(shí)了五次以上的方程不能用公式求解.他們的工作開創(chuàng)了用群論的主意來研究代數(shù)方程對(duì)代數(shù)方程理論的研究,使數(shù)學(xué)家們引進(jìn)了在近世代數(shù)中具有重要意義的新概念,這些新概念很快就被發(fā)展為有廣泛應(yīng)用的代數(shù)理論.性質(zhì)精講P21橢圓硬解定理處理直線和橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題時(shí)，通常將直線的方程與橢圓舉行聯(lián)立，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系來解決.這時(shí),步驟和主意往往大同小異,而又比較繁雜.所以這里給大家總結(jié)下解題時(shí)常常需要的結(jié)果記住后,可以大大節(jié)約計(jì)算時(shí)光.這些結(jié)果被稱為“橢圓硬解定理”性質(zhì)21直線y=kx+m與橢圓x2a2+a(1)Δ=4(3)x1x(5)y1y證實(shí)將直線y=kx+m帶入橢圓方程x2aa由韋達(dá)定理可知x又因?yàn)閥1=yyxΔ=性質(zhì)22已知直線Ax+By+C=0(1)當(dāng)A2a(2)當(dāng)A2a2+B(3)當(dāng)A2a2異常地,直線y=kx+m與橢圓x2a2+y2b2(1)當(dāng)B=0時(shí),容易(2)當(dāng)B≠0時(shí),y=-AΔ=4a2主意二:設(shè)橢圓上一點(diǎn)PacosAa即Aa即A2a2P22橢圓的雙切線問題解析幾何中,有8大類基礎(chǔ)問題和6大類額外問題.其中,8大類基礎(chǔ)問題包括:(1)中點(diǎn),(2)弦長,(3)面積,(4)垂直,(5)共線,(7)定點(diǎn),(2)定值;6大類額外問題包括:(1)斜率型根與系數(shù)關(guān)系,(2)共圓問題,(3)多次韋達(dá)定理,(4)設(shè)點(diǎn),(5)二次曲線的參數(shù)化,(6)幾何轉(zhuǎn)化.除了“設(shè)點(diǎn)”及“幾何轉(zhuǎn)化”外,其余12類問題,均會(huì)涉及根與系數(shù)的關(guān)系.性質(zhì)23設(shè)Px0,y0是橢圓x2a2+y2b2=1外一點(diǎn)a證實(shí)由前面的性質(zhì)知,直線y=kx+y0-k當(dāng)且僅當(dāng)a2當(dāng)且僅當(dāng)a2-xP23四點(diǎn)共圓問題橢圓上的四點(diǎn)共圓問題，有很柔美的結(jié)論.性質(zhì)24設(shè)m,n是兩條固定的直線,Γ是一個(gè)固定的橢圓.P是不在橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過P作平行于m的直線與橢圓交于M1,M2,過P作平行于那么PM1?證實(shí)設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1,P的坐標(biāo)為x=x0+tcos帶入橢圓方程為x收拾得?cos設(shè)上述關(guān)于t的方程的兩個(gè)根為t1,PA據(jù)此,在本題中,設(shè)m的傾斜角為α,n的傾斜角為βP上式和Px0,性質(zhì)25設(shè)A,B,C,D是橢圓上的四個(gè)點(diǎn)，且直線AB與直線CD不平行，那么AB,異常地,AB與CD,AC與BD,AD與BC通設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1,AB與CD交于點(diǎn)于是PA注重到α,β∈[0,于是AB,CD當(dāng)且僅當(dāng)α當(dāng)且僅當(dāng)sin當(dāng)且僅當(dāng)PA當(dāng)且僅當(dāng)A,B,性質(zhì)26設(shè)P是橢圓x2a2+y2b2=1上的定點(diǎn).橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B使直線1由前面可知,直線PA,PB的斜率互為相反數(shù),故直線PP,AB處的斜率也互為相反數(shù),其中PP是橢圓在性質(zhì)27設(shè)Aiacosti,bsintii=1,2,行明按照前面的研究，這四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)A1A2,A3AAA故當(dāng)且僅當(dāng)a當(dāng)且僅當(dāng)cos當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)且僅當(dāng)sin當(dāng)且僅當(dāng)sin當(dāng)且僅當(dāng)t經(jīng)典例題【題型12】中點(diǎn)與弦長中點(diǎn)問題及相關(guān)的對(duì)稱問題,使用點(diǎn)差法可以迅速解決,所以這里僅有一個(gè)弦長的題.對(duì)于點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,AB===于是得到公式AB=1+k2Q040.已知橢圓G:x24+y2=1,過點(diǎn)m,0作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A,B兩點(diǎn).將證實(shí)設(shè)直線l的方程為y=kx-km,注重到直線l與圓所以,km1所以,1+所以,k2于是,AB======≤=故AB的最大值為2,此時(shí)m2+3=2【題型13】面積計(jì)算△ABC的面積時(shí),常使用三個(gè)主意(1)S△ABC=1(2)S△ABC=12?d?BC,其中d是(3)以坐標(biāo)軸為三角形的底.計(jì)算四邊形面積時(shí),有兩個(gè)思路:(1)可以將四邊形拆成兩個(gè)三角形(怎么拆決定計(jì)算的復(fù)雜度).(2)四邊形的面積等于對(duì)角線之積乘以對(duì)角線夾角正弦值的一半.異常地,對(duì)角線互相垂直的四邊形，其面積等于對(duì)角線之積的一半.與求弦長的最值類似,求面積最值時(shí),也往往使用均值不等式.Q041.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓x2(1)直線y=kx+3與橢圓交于A,B兩點(diǎn),(2)直線y=x+m與橢圓交于C,D兩點(diǎn),證實(shí)(1)按照題意及橢圓硬解定理得060S====≤=等號(hào)成立時(shí),32=9k2(2)按照題意及橢圓硬解定理得S====≤=等號(hào)成立時(shí),m2=13-mQ042.已知橢圓C:x23+y2=1,設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l解答當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),△AOB面積的面積為3當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程是y=kx+m,因?yàn)樵c(diǎn)O到直線32,所以m1+k2S======≤=當(dāng)3+3k2=1+9k2,即Q043.如圖，點(diǎn)P0,-1是橢圓x24+y2=1的短軸端點(diǎn)，過P作兩條互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與圓x2+y233設(shè)直線DP:y=kx-1,AB:y=-1kx-1S=====≤=等號(hào)成立時(shí),13k2=4+3k2,從而k=±Q044.設(shè)橢圓中央在坐標(biāo)原點(diǎn),A2,0,B0,1是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kxk>0與AB(1)若ED=6DF,求k(2)求四邊形AEBF面積的最大值.解答(1)因?yàn)镋D=所以O(shè)F=又因?yàn)镺A、OB所以752λ2+1-λ2于是得D的坐標(biāo)為67,47,從而k=23或(2)主意一:將四邊形的面積拆成兩個(gè)三角形面積之和，并且對(duì)三角形采用合適的底.S==≤=主意二:將橢圓按照如下變換:x=x'y=易知,當(dāng)E'F'為垂直于A四邊形A'E'B'F'的面積最大,此時(shí)SA'主意三:過O作平行于AB的直徑A'B',設(shè)AB與EF的夾角為S==所以當(dāng)EF為A'B'的共軛直徑時(shí)，四邊形A從而四邊形AEBF面積的最大值是22Q045.已知點(diǎn)P2,1,不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓x24+y23=被直線OP平分、求△ABP的面積最大時(shí)直線l的方程解因?yàn)榫€段AB被直線OP平分,所以kAB?kOP=-設(shè)AB的方程為y=-32x+m,橢圓的長軸長為2S===設(shè)fm則f'm=4-mm所以當(dāng)m=1-7時(shí)，此時(shí),直線l的方程為3x【題型14】垂直與共線解析幾何中,線線垂直問題和三點(diǎn)共線問題,都可以使用向量的主意解決.另外,對(duì)于垂直問題，可能以比較隱晦的形式浮上，Q046.如圖,橢圓2x23+2y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)是F,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).若以AB解答以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,當(dāng)且僅當(dāng)OA⊥當(dāng)且僅當(dāng)OA容易驗(yàn)證當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，不滿意題意.當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kxx===解得k=±所以,直線l的方程為y=±Q047.已知m>1,直線l:x-my-m22=0,橢圓C:x2m2+y2=1,F1,F2分離為橢圓(1)若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)若原點(diǎn)O滿意OG2+OH2>GH2解答(1)原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),當(dāng)且僅當(dāng)OG?OH<0且OG與注重到OG=所以,當(dāng)且僅當(dāng)OA?OB<OA==mm=所以,m2<4,又題目條件要求m>1,故m(2)OG2+OH2>GH2當(dāng)且僅當(dāng)OG?OH>0且OG與注重到OG=所以，當(dāng)且僅當(dāng)OA?OB>0且OA與注重到OA?又注重到判別式大于零,即m2+m2所以m的取值范圍是2,Q048.已知曲線C:x28+y24=1與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線解答A,G,N當(dāng)且僅當(dāng)xG由條件知B0,-2，故直線BM的方程為從而得G3xMyM+帶入xc-334x而xM從而上式成立.【題型15】斜率Q049.已知橢圓x22+y2=1的焦點(diǎn)為F1和F2,點(diǎn)P在直線l:x+y=2且不在x上.直線PFl(1)設(shè)直線PF1和PF2的斜線分離為k1(2)問直線l上是否存在點(diǎn)P,使得直線OA、OB、OC、OD的斜率滿意kOA+kOB+koc+koD解(1)設(shè)Px0,y0(2)因?yàn)閗======-=-=-所以k1+k2=又注重到1k所以k2=-2或所以P0,2或Q050.作斜率為13的直線l與橢圓C:x236+y24=1交于A,B兩點(diǎn)(1)證實(shí):直線PA、直線PB及x軸圍成一個(gè)等腰三角形;(2)若∠APB=60°,求解答(1)因?yàn)閗AB+kpp=0(kPP所以kPA所以直線PA、直線PB及x軸圍成一個(gè)等腰三角形.(2)由∠APB=60°,結(jié)合上一問可知,直線PA、直線PB的方程3與橢圓方程聯(lián)立,解得x于是,PA=從而,S△Q051.已知點(diǎn)A2,1,B3,0,橢圓C:x26+y23=1,過點(diǎn)B的直線與C相交于解答設(shè)Dx過點(diǎn)B的直線DE的方程為y=由y=kx-3kx22k2+1x所以x1則kAD化簡,得kAD代入韋達(dá)定理，化簡，得kAD其實(shí),直線AD,AB,【題型16】定點(diǎn)直線過定點(diǎn)問題在第七章“橢圓上的對(duì)合變換”中有專門講解.這里舉三個(gè)圓過定點(diǎn)的例子.第一個(gè)例子與橢圓的直徑有關(guān),第二個(gè)例子其實(shí)是第五章的一個(gè)性質(zhì),第三個(gè)例子中,MN的極點(diǎn)其實(shí)是PQ的中點(diǎn),再結(jié)合例子二可知,以PQ為直徑的圓與MN相切于點(diǎn)F.Q052.已知A1-2,0,A22,0和橢圓E:x24+y2=1.點(diǎn)M,N是橢圓E上兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)(異于點(diǎn)A解答設(shè)A1M,A2N的斜率分離是k1,k則A1M和A2N的方程分離從而C0于是OC?注重到A1A2是橢圓的直徑，所以于是OC?OD從而以線段CD為直徑的圓過定點(diǎn)0,±b,即Q053.設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E:x24+y23=1有且惟獨(dú)一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線解答設(shè)橢圓的半長軸長為a,半短軸長為b.又設(shè)Px于是直線PQ的方程為xx從而得,Qa2c,b2PM===欲使上式對(duì)隨意x0,y0b解得x1=c,y1=0,Q054.已知橢圓方程E:x29+y28=1,右頂點(diǎn)為A,設(shè)F1,0,過F的直線l交E于M,N點(diǎn),直線MA,NA分離與直線解答橢圓的半長軸長為a,半短軸長為b.設(shè)AM和AN的方程分離是y=于是得Pa設(shè)PQ與x軸的交點(diǎn)為S.那么SP?另一方面,設(shè)MN的方程為y=kxk======于是,SP?所以，以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)a2本題中,a2=9,b2=8,即以PQQ055.已知點(diǎn)B1,B2是橢圓x2a2+y2b2=1的上、下頂點(diǎn),P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線B1P和B2P解答設(shè)點(diǎn)Px0,y0,直線OP與直線MN則按照△B1PB2∽△MPN,知S且S的坐標(biāo)為s,y0x0設(shè)圓Q是以Qs±sha,0為圓心下面證實(shí)以MN為直徑的圓恒與圓Q相切.這只需證實(shí)SQ注重到SQ====±從而,以MN為直徑的圓與以Qs±sba,0為圓心,【題型17】定值Q056.經(jīng)過定點(diǎn)P3,0的直線l與橢圓x24+y23=1交于A,B兩點(diǎn)解答記橢圓的半長軸長為a,半短軸長為b,記P為Px0,y0,Q為u,v.設(shè)MA====u=u所以欲使MA?MB2故只要x0,y0不是原點(diǎn),總存在Qu,v本題中,x0,y0即Q6724,0滿意【題型18】直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)x0,y0且傾斜角為θ的直線,其上的隨意一點(diǎn)x其中,t表示點(diǎn)x,y到x0Q057.設(shè)橢圓x24+y23=1和點(diǎn)P1,1,橢圓的一條過點(diǎn)P的弦被解答設(shè)該弦所在直線的傾斜角為θ,那么直線上的隨意一點(diǎn)可設(shè)為x帶入橢圓方程為31+t3設(shè)上述關(guān)于t的方程的兩個(gè)解為t1,t2l所以-4解得tan于是，該弦所在的直線方程為x+y-2=Q058.已知A,B是橢圓x22+y2=1上的兩點(diǎn),并且點(diǎn)15,13時(shí),求直線解合設(shè)直線AB的傾斜角為θ,那么直線上的隨意一點(diǎn)可設(shè)為x帶入橢圓方程得,-2收拾得,cos設(shè)上述關(guān)于t的方程的兩個(gè)解為t1,t2t所以4解得tanθ的取值范圍是-所以，直線AB斜率的取值范圍是-1Q059.已知橢圓x2+2y2=mm>0,以橢圓內(nèi)一點(diǎn)M2,1為中點(diǎn)作弦AB,設(shè)線段AB的中垂線與橢圓相交于C,D兩點(diǎn).是否存在這樣的m,使得A解答A,B,C,D在同一個(gè)圓上,只要而注重到kAB從而kAB永遠(yuǎn)滿意kxn故僅需滿意M在橢圓內(nèi)即可,即22故當(dāng)m>6時(shí),A,Q080.設(shè)點(diǎn)Px0,y0不在橢圓x2a2+y2b2點(diǎn)A,B,與直線x0xa2+y0(4)設(shè)直線l的方程為x=代入直線方程得x解得:PC代入橢圓方程得x從而cos于是，1于是,2PCQ061.已知橢圓E:x2a點(diǎn),直線l:y=-x+3與橢圓E(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,交于點(diǎn)P.證實(shí):存在常數(shù)λ使得PT2=λPA?PB,(2.1)(1)易得x26+y23=1,(2)設(shè)Px0,3-x0在得l'的參數(shù)方程為代人橢圓E中,得x0收拾得2t設(shè)兩根為tA,tB,而PT2PAPB所以,PT2即存在滿意題意的λ值,λ=Q062.已知點(diǎn)A1,32,設(shè)E,F是橢圓x24+y23=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),倘若直線AE解答因?yàn)閗AE所以kEF+kAA=0,其中kAA而kAA所以kEF=1【題型19】直線型根與系數(shù)關(guān)系直線型根與系數(shù)關(guān)系,在第五章的切線中有專門的講解,這里僅舉兩個(gè)例子.Q063.已知圓G:x-22+y2=r2是橢圓x216(1)求圓G的半徑r;(2)過點(diǎn)M0,1作圓G的兩條切線交橢圓于E,F兩點(diǎn),證實(shí):直線EF與圓G相切.18(1)G是△ABC的內(nèi)心,所以∠BAG=∠CAG,所以點(diǎn)B,C(2)過點(diǎn)M0,1的直線y=kx+12即32k該方程的兩個(gè)根就是直線ME和MF的斜率k1故k1此外,聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓x216+y2=1從而k從而直線EF的方程為y即y=圓心2,0到y(tǒng)=34Q064.如圖,P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于2),點(diǎn)B、C在y軸上解設(shè)Px0,y0,則由題意知x0>2.過P的直線yk收拾得x直線PB,PC的斜率恰好是上述關(guān)于k的方程的兩個(gè)根S===≥于是△PBC面積的最小值為【題型20】二次曲線上的有理點(diǎn)對(duì)于二次曲線,總是可以使用韋達(dá)定理將二次曲線參數(shù)化,因此若二次曲線上有一個(gè)有理點(diǎn),則必有無窮多個(gè)有理點(diǎn),且它們均可以通過參數(shù)方程給出.三次曲線需要使用維爾斯特拉斯函數(shù)舉行參數(shù)化.1922年,數(shù)學(xué)家莫代爾提出了莫代爾定理(Mordell’stheorem),指明了三次曲線上有理點(diǎn)的結(jié)構(gòu),這個(gè)定理后來成為密碼學(xué)中的一個(gè)基本定理.1929年,西格爾(Siegel)證實(shí)了在光潔的三次及高次曲線上至多存在有限多個(gè)整數(shù)點(diǎn).1983年,法爾廷斯(Faltings)證實(shí)了光潔的四次及更高次曲線上惟獨(dú)有限個(gè)有理點(diǎn).Q065.求曲線x2+y2=解設(shè)-1,0曲線x2+y2x收拾得k該方程的另一個(gè)根為x=1曲線x2+x另k=mn,得到a其中,s,m,Q066.求曲線x2+xy+y2=1的一個(gè)參數(shù)方程，并據(jù)此寫出三個(gè)不相似的三角形，其中每個(gè)三角形均解答設(shè)-1,0曲線x2+xy+y2x收拾得k該方程的另一個(gè)根為x=1曲線x2+x令k=12,1所以得到三個(gè)三角形:它們的邊長分離為3,5,7;7,【題型21】彭賽列問題彭賽列閉合定理(Poncelet’sclosuretheorem)是幾何中一個(gè)絕妙的定理，它是由法國工程師、數(shù)學(xué)家彭賽列(Jean-VictorPoncele,1788-1867)發(fā)現(xiàn)的,法國人高傲地稱之為“偉大的彭賽列閉合定理”.該定理的內(nèi)容為:倘若一個(gè)n邊形既是二次曲線Γ1的內(nèi)接多邊形,又是二次曲線Γ2的外切多邊形,那么這個(gè)n邊形必是