集合的概念與關(guān)系講義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

集合的概念與關(guān)系模塊一集合的概念與表示知識(shí)梳理一．集合的概念(1)元素與集合：我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合.集合通常用大寫字母表示.集合的元素通常用小寫字母表示.二．集合與元素的關(guān)系如果a是集合A的元素，記作，讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素，記作，讀作“a不屬于A”.三．集合中元素的特點(diǎn)(1)確定性：集合的元素必須是確定的.(2)互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不相同的.(3)無序性：集合中的元素可以任意排列.四．常用數(shù)集及其記法所有非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N;所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N+或N*；所有整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；所有有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；所有實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R.五．集合的表示(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來（相鄰元素之間用逗號(hào)分隔），放在大括號(hào)內(nèi)，依此表示集合的方法稱為列舉法，如，等.使用說明①用列舉法表示集合時(shí)，一般不考慮元素的順序.②如果一個(gè)集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示.③無限集有時(shí)也可用列舉法表示.(2)描述法：一般地，如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)，而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)為集合A的一個(gè)特征性質(zhì)，此時(shí)集合A可以表示為，這種表示集合的方法稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱描述法.使用說明①有些情況下，描述法中豎線“|”及其左邊元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示為{三角形}.②集合中所有在另一集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x∈I|p(x)}.六．集合的分類一般地，含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集.我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作.例如，集合就是空集.題型精練考點(diǎn)一集合的含義【例1】下列對(duì)象中不能構(gòu)成一個(gè)集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【變式1-1】下列給出的對(duì)象能構(gòu)成集合的有（

）①某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②的所有近似值；③某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績較好的所有學(xué)生；④不等式的所有正整數(shù)解A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)二元素與集合關(guān)系的判斷【例2】下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．6 B．5 C．4 D．3【變式2-1】已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．2或 D．4考點(diǎn)三：集合的確定性、互異性、無序性【例3】若，則的值是（

）A．0 B．1 C． D．【變式3-1】由，，3組成的一個(gè)集合A，若A中元素個(gè)數(shù)不是2，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2考點(diǎn)四：集合的表示：描述法【例4】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合．【變式4-1】試用描述法表示下列集合.(1)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(2)由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合；(3)二次函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)組成的集合.考點(diǎn)五：集合的表示：列舉法【例5】用列舉法表示下列集合：(1)(2)．【變式5-1】用列舉法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)；(2)；(3)．(4)．(5)由＋（a，b∈R）所確定的實(shí)數(shù)組成的集合.【變式5-2】集合可用列舉法表示為．考點(diǎn)六：集合的綜合問題【例6】設(shè)集合，那么集合滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【變式6-1】數(shù)集，，，若，，則（

）A． B．C． D．A，，都有可能【變式6-2】已知集合(1)若是空集，求的取值范圍；(2)若中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合.模塊二子集、全集、補(bǔ)集知識(shí)梳理一．子集1、一般地如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，那么集合A為集合B的子集．，記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）．2、規(guī)定：空集是任何集合的子集，即．3、子集的性質(zhì)：（1）任何一個(gè)子集都是它本身的子集，即．（2）若，且，則．二．韋恩圖韋恩（Venn）圖：為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為韋恩圖．A是B的子集，可用下圖表示：BBA三．真子集1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集，記作（或），讀作：A真包含于B（或B真包含A）．2、真子集的性質(zhì)（1）空集是任何非空集合的子集．（2）若AB，BC，則AC．四．集合的相等與子集的關(guān)系1、如果A?B且B?A，則A=B．2、如果A=B，則A?B且B?A．五．有限集合的子集個(gè)數(shù)若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的所有子集的個(gè)數(shù)為2n，真子集個(gè)數(shù)為2n－1，非空子集個(gè)數(shù)2n－1，非空真子集個(gè)數(shù)為2n－2．六．補(bǔ)集1、全集：在研究集合與集合之間的關(guān)系時(shí)，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個(gè)給定的集合為全集，全集通常用表示．2、如果集合A是全集的一個(gè)子集，則由中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在中的補(bǔ)集，記作CUA．3、用Venn圖表示（陰影部分）如圖所示：UUA題型精練考點(diǎn)一：集合的包含關(guān)系判斷【例1】若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-1】下列命題中，正確的個(gè)數(shù)有（

）①；②；③著名的運(yùn)動(dòng)健兒能構(gòu)成集合；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．5考點(diǎn)二：集合的相等【例2】已知，，若集合，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【變式2-1】下列集合中表示同一集合的是（

）A．整數(shù)，整數(shù)集B．，C．，D．，【變式2-2】已知，其中，則（

）A．0 B．或 C． D．考點(diǎn)三：空集的定義、性質(zhì)及運(yùn)算【例3】若集合，則實(shí)數(shù)a的值的集合為．【變式3-1】設(shè)集合，只有一個(gè)子集，則滿足要求的實(shí)數(shù)．【變式3-2】下列集合：①；②；③；④；⑤．表示空集的有考點(diǎn)四：子集與真子集的個(gè)數(shù)問題【例4】已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè)【變式4-1】已知集合，則的非空子集的個(gè)數(shù)是．【變式4-2】已知集合，則集合的子集有.【變式4-3】（2024·高一·福建泉州·階段練習(xí)）已知集合.(1)寫出集合M的子集、真子集;(2)求集合N的子集數(shù)、真子集數(shù)和非空真子集數(shù);(3)猜想:含n個(gè)元素的集合的所有子集的個(gè)數(shù)是多少?真子集的個(gè)數(shù)及非空真子集的個(gè)數(shù)呢?考點(diǎn)五：補(bǔ)集及其運(yùn)算【例5】設(shè)全集，，則CUA=.【變式5-1】已知是非空集合，定義運(yùn)算且，若，，則，CR(M-N)=考點(diǎn)六：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題【例6】（多選題）若集合，且，則實(shí)數(shù)的取值為（

）A． B． C．0 D．2【變式6-1】設(shè)集合(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；(2)若，求的值組成的集合．【變式6-2】已知集合.(1)若只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)的值，并用列舉法表示集合；(2)若至少有兩個(gè)子集，試