2022-2023學年北京市匯文中學教育集團八年級（上）期中數學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市匯文中學教育集團八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿分16分）1．（2分）斐波那契螺旋線也稱為“黃金螺旋線”，是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案．下列斐波那契螺旋線圖案中屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1 C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2） D．（a+2）2＝a2+4a+43．（2分）已知三角形的三邊長分別為3，4，x，且x為整數，則x的最大值為（）A．8 B．7 C．5 D．64．（2分）如圖，河谷大橋橋梁的斜拉鋼索是三角形的結構，主要是（）A．節(jié)省材料，節(jié)約成本 B．保持對稱 C．利用三角形的穩(wěn)定性 D．美觀漂亮5．（2分）下列運算結果為a6的是（）A．a3?a2 B．a9﹣a3 C．（a2）3 D．a18÷a36．（2分）如圖，點C在∠AOB的邊OA上，用尺規(guī)作出了CP∥OB，作圖痕跡中，是（）A．以點C為圓心、OD的長為半徑的弧 B．以點C為圓心、DM的長為半徑的弧 C．以點E為圓心、DM的長為半徑的弧 D．以點E為圓心、OD的長為半徑的弧7．（2分）如圖，點O是△ABC的兩個外角平分線的交點，下列結論：①點O在∠A的平分線上；②點O到△ABC的三邊的距離相等；③OB＝OC．以上結論正確的有（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③8．（2分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，MN是邊BC上一條運動的線段（點M不與點B重合，點N不與點C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于點D，NE⊥BC交AC于點E，在MN從左至右的運動過程中，△BMD和△CNE的面積之和（）A．保持不變 B．先變小后變大 C．先變大后變小 D．一直變大二、填空題（每小題2分，共16分）9．（2分）如果等腰三角形一邊長為3，另一邊長為10，那么它的周長是．10．（2分）已知一正多邊形的每個外角是36°，則該正多邊形是邊形．11．（2分）如圖所示的網格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點上，則表示△ABC重心的點是．12．（2分）有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構成，各部分的面積數據如圖所示，右邊場地為長方形，長為2（a+b），則寬為．13．（2分）借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數的角，這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動，C點固定，OC＝CD＝DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE＝75°，則∠COD＝°．14．（2分）當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角時，就能拼成一個既不留空隙，又不相互重疊的平面圖形，我們稱之為鑲嵌．用一種或幾種正多邊形鑲嵌平面有多種方案，如：6個正三角形，記作（3，3，3，3，3，3）；3個正三角形和兩個正方形，記作（3，3，3，4，4）；請你寫出一種同時使用正三角形和正六邊形的鑲嵌方案．15．（2分）如圖，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD＝17，E，P分別是AC，AD上的動點，則CP+EP的最小值等于．16．（2分）新年聯(lián)歡，某公司為員工準備了A、B兩種禮物，A禮物單價a元、重m千克，B禮物單價（a+1）元，重（m﹣1）千克，為了增加趣味性，公司把禮物隨機組合裝在盲盒里，每個盲盒里均放兩樣，隨機發(fā)放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，則兩個盲盒的總價錢相差元，通過稱重其他盲盒，大家發(fā)現(xiàn)：稱重情況重量大于小林的盲盒的與小林的盲盒一樣重重量介于小林和小李之間的與小李的盲盒一樣重重量小于小李的盲盒的盲盒個數05094若這些禮物共花費2018元，則a＝元．三、解答題（共68分，其中17-18題每題8分，19-20題每題5分，21題6分，22-23題每題5分，24-25題每題6分，26-27題每題7分）17．（8分）因式分解：（1）3x2+6x+3；（2）a3﹣9a．18．（8分）計算：（1）a3?a+（﹣a2）3÷a2；（2）[（m+n）（m﹣n）+（﹣n）2]÷2m．19．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代數式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．20．（5分）如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求證：BC＝DE．21．（6分）下面是小明同學設計的“已知底邊及底邊上的中線作等腰三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，線段a和線段b．求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，BC邊上的中線為b．作法：如圖2，①作射線BM，并在射線BM上截取BC＝a；②作線段BC的垂直平分線PQ，PQ交BC于D；③以D為圓心，b為半徑作弧，交PQ于A；④連接AB和AC．則△ABC為所求作的圖形．根據上述作圖過程，回答問題：（1）用直尺和圓規(guī)，補全圖2中的圖形；（2）完成下面的證明：證明：由作圖可知BC＝a，AD＝b．∵PQ為線段BC的垂直平分線，點A在PQ上，∴AB＝AC（）（填依據）．又∵線段BC的垂直平分線PQ交BC于D，∴＝．∴AD為BC邊上的中線，且AD＝b．22．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的長．23．（5分）課本上介紹了求多邊形的內角和的方法是過n邊形的一個頂點作對角線，把n邊形分成（n﹣2）個三角形，把求多邊形的問題轉化成三角形內角和的問題．從而得到n邊形的內角和等于（n﹣2）?180°，現(xiàn)在再提供兩種添輔助線的方案，請你選擇其中一種，再次證明n邊形內角和定理．方案一方案二如圖，P為n邊形A1A2……An內一點，連接PA1，PA2，……，PAn，那么n邊形被分成了個三角形，由此推理n邊形的內角和定理．如圖，P為n邊形A1A2……An邊A1A2上的任意一點，連接PA3，PA4，……，PAn，那么n邊形被分成了個三角形，由此推理n邊形的內角和定理．證明：證明：24．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（2，3），B（1，0），C（1，2），（1）在圖中作出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，其中A1的坐標為；（2）如果要使以B、C、D為頂點的三角形與△ABC全等（A、D不重合），寫出所有符合條件的點D坐標．25．（6分）小明在學習有關整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關于x的多項式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以當x﹣1取任意一對互為相反數的數時，多項式x2﹣2x+3的值是相等的，例如，當x﹣1＝±l，即x＝2或0時，x2﹣2x+3的值均為3；當x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1時，x2﹣2x+3的值均為6．于是小明給出一個定義：對于關于x的多項式，若當x﹣t取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于x＝1對稱．例如x2﹣2x+3關于x＝1對稱．請結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：（I）多項式x2﹣6x+10關于x＝對稱；（2）若關于x的多項式x2+2bx+3關于x＝4對稱，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2+4x+4）關于x＝對稱．26．（7分）在△ABC中，D是BC的中點，且∠BAD≠90°，將線段AB沿AD所在直線翻折，得到線段AB'，作CE∥AB交直線AB'于點E．（1）如圖，若AB＞AC，①依題意補全圖形；②用等式表示線段AB，AE，CE之間的數量關系，并證明；（2）若AB＜AC，上述結論是否仍然成立？若成立，簡述理由；若不成立，直接用等式表示線段AB，AE，CE之間新的數量關系（不需證明）．27．（7分）在平面直角坐標系xOy中，直線l為一、三象限角平分線，點P關于y軸的對稱點稱為P的一次反射點，記作P1；P1關于直線l的對稱點稱為點P的二次反射點，記作P2．例如，點（﹣2，5）的一次反射點為（2，5），二次反射點為（5，2）．根據定義，回答下列問題：（1）點（3，4）的一次反射點為，二次反射點為；（2）當點A在第三象限時，點M（﹣4，1），N（3，﹣1），Q（﹣1，﹣5）中可以是點A的二次反射點的是；（3）若點A在第二象限，點A1，A2分別是點A的一次、二次反射點，∠A1OA2＝50°，求射線OA與x軸所夾銳角的度數；（4）若點A在y軸左側，點A1，A2分別是點A的一次、二次反射點，△AA1A2是等腰直角三角形，請直接寫出點A在平面直角坐標系xOy中的位置．

2022-2023學年北京市匯文中學教育集團八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿分16分）1．（2分）斐波那契螺旋線也稱為“黃金螺旋線”，是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案．下列斐波那契螺旋線圖案中屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1 C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2） D．（a+2）2＝a2+4a+4【分析】利用因式分解的定義，將多項式和的形式化為積的形式，即可得到結果．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；B、不是積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；C、是因式分解，故本選項符合題意；D、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】此題考查了因式分解的意義，熟練掌握因式分解的定義是解本題的關鍵．3．（2分）已知三角形的三邊長分別為3，4，x，且x為整數，則x的最大值為（）A．8 B．7 C．5 D．6【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，求出x的取值范圍，進而得到x的最大值．【解答】解：∵4﹣3＝1，4+3＝7，∴1＜x＜7，∵x為整數，∴x的最大值為6．故選：D．【點評】此題主要考查了三角形的三邊的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）三角形的兩邊差小于第三邊．4．（2分）如圖，河谷大橋橋梁的斜拉鋼索是三角形的結構，主要是（）A．節(jié)省材料，節(jié)約成本 B．保持對稱 C．利用三角形的穩(wěn)定性 D．美觀漂亮【分析】橋梁的斜拉鋼索是三角形的結構，故主要是利用了三角形的穩(wěn)定性．【解答】解：橋梁的斜拉鋼索是三角形的結構，這樣做的數學依據是三角形的穩(wěn)定性．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關鍵是熟記三角形的穩(wěn)定性．5．（2分）下列運算結果為a6的是（）A．a3?a2 B．a9﹣a3 C．（a2）3 D．a18÷a3【分析】分別根據同底數冪的乘法法則，合并同類項法則，冪的乘方運算法則以及同底數冪的除法法則逐一判斷即可．【解答】解：A．a3?a2＝a5，故本選項不合題意；B．a9與﹣a3不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；C．（a2）3＝a6，故本選項符合題意；D．a18÷a3＝a15，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了合并同類項，同底數冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．6．（2分）如圖，點C在∠AOB的邊OA上，用尺規(guī)作出了CP∥OB，作圖痕跡中，是（）A．以點C為圓心、OD的長為半徑的弧 B．以點C為圓心、DM的長為半徑的弧 C．以點E為圓心、DM的長為半徑的弧 D．以點E為圓心、OD的長為半徑的弧【分析】根據平行線的判定，作一個角等于已知角的方法即可判斷．【解答】解：由作圖可知作圖步驟為：①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧DM，分別交OA，OB于M，D．②以點C為圓心，以OM為半徑畫弧EN，交OA于E．③以點E為圓心，以DM為半徑畫弧FG，交弧EN于N．④過點N作射線CP．根據同位角相等兩直線平行，可得CP∥OB．故選：C．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，平行線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7．（2分）如圖，點O是△ABC的兩個外角平分線的交點，下列結論：①點O在∠A的平分線上；②點O到△ABC的三邊的距離相等；③OB＝OC．以上結論正確的有（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【分析】過O點作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如圖，根據角平分線的性質得到OD＝OE，OE＝OF，則OD＝OF，于是根據角平分線的性質定理的逆定理可對①進行判斷；同時可對②進行判斷；由于不能確定∠ABC＝∠ACB，則不能確定∠OBE＝∠OCE，則可對③進行判斷．【解答】解：過O點作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如圖，∵BO平分∠DBC，OD⊥BD，OE⊥BC，∴OD＝OE，同理可得OE＝OF，∴OD＝OF，∴點O在∠A的平分線上，所以①正確；OD＝OE＝OF，所以②正確；∵不能確定∠ABC＝∠ACB，∴不能確定∠OBE＝∠OCE，∴不能確定OB＝OC，所以③錯誤．故選：B．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了角平分線的性質定理的逆定理．8．（2分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，MN是邊BC上一條運動的線段（點M不與點B重合，點N不與點C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于點D，NE⊥BC交AC于點E，在MN從左至右的運動過程中，△BMD和△CNE的面積之和（）A．保持不變 B．先變小后變大 C．先變大后變小 D．一直變大【分析】妨設BC＝2a，∠B＝∠C＝α，BM＝m，則CN＝a﹣m，根據二次函數即可解決問題．【解答】解：不妨設BC＝2a，∠B＝∠C＝α，BM＝m，則CN＝a﹣m，則有S陰＝?m?mtanα+（a﹣m）?（a﹣m）tanα＝tanα（m2+a2﹣2am+m2）＝tanα（2m2﹣2am+a2），∴S陰的值先變小后變大，故選：B．【點評】此題考查等腰三角形的性質，關鍵根據二次函數的性質得出面積改變規(guī)律．二、填空題（每小題2分，共16分）9．（2分）如果等腰三角形一邊長為3，另一邊長為10，那么它的周長是23．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為10和3，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：分兩種情況：當腰為3時，3+3＜10，所以不能構成三角形；當腰為10時，3+10＞10，所以能構成三角形，周長是：3+10+10＝23．故答案為：23．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．10．（2分）已知一正多邊形的每個外角是36°，則該正多邊形是十邊形．【分析】多邊形的外角和等于360°，因為所給多邊形的每個外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解．【解答】解：設所求正n邊形是n邊形，則36°n＝360°，解得n＝10．故正多邊形是十邊形．故答案為：十．【點評】本題考查根據多邊形的外角和求多邊形的邊數，解答時要會根據公式進行正確運算、變形和數據處理．11．（2分）如圖所示的網格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點上，則表示△ABC重心的點是點D．【分析】利用三角形重心的定義進行判斷．【解答】解：根據圖形，點D為AB和BC邊上的中線的交點，所以點D為△ABC重心．故答案為點D．【點評】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；三角形的重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．12．（2分）有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構成，各部分的面積數據如圖所示，右邊場地為長方形，長為2（a+b），則寬為．【分析】求出左邊場地的面積為a2+b2+2ab，由題意可求右邊場地的寬＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b），按此計算便可．【解答】解：左邊場地面積＝a2+b2+2ab，∵左邊場地的面積與右邊場地的面積相等，∴寬＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝（a+b）＝，故答案為：．【點評】本題考查整式的除法；熟練掌握整式的除法運算法則，準確計算是解題的關鍵．13．（2分）借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數的角，這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動，C點固定，OC＝CD＝DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE＝75°，則∠COD＝25°．【分析】由等腰三角形的性質分別求出∠COD，∠DEC的度數，由外角的性質可求解．【解答】解：設∠COD＝x，∵OC＝CD＝DE，∴∠COD＝∠CDO＝x，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠COD+∠CDO＝2x，∴∠DEC＝2x，∵∠BDE＝∠DEC+∠COD＝3x，∴3x＝75°，∴x＝25°，故答案為：25．【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．14．（2分）當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角時，就能拼成一個既不留空隙，又不相互重疊的平面圖形，我們稱之為鑲嵌．用一種或幾種正多邊形鑲嵌平面有多種方案，如：6個正三角形，記作（3，3，3，3，3，3）；3個正三角形和兩個正方形，記作（3，3，3，4，4）；請你寫出一種同時使用正三角形和正六邊形的鑲嵌方案（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．【分析】一種正多邊形組成鑲嵌，看一個內角度數為360°的約數即可；兩種正多邊形能否組成鑲嵌，要看同一頂點處的幾個角之和能否為360°，找到這樣的正多邊形或組合即可．【解答】解：正三角形的一個內角度數為60°，正六邊形的一個內角度數為120°，那么4個正三角形，一個正六邊形能組成鑲嵌，記做（3，3，3，3，6），故答案為：（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．【點評】此題考查了平面鑲嵌，用到的知識點為：一種正多邊形能鑲嵌平面，這個正多邊形的一個內角的度數是360°的約數；兩種或兩種以上的正多邊形能組成鑲嵌，同一頂點處的幾個角之和為360°．15．（2分）如圖，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD＝17，E，P分別是AC，AD上的動點，則CP+EP的最小值等于17．【分析】作BE⊥AC于E，交AD于P，根據等邊三角形的性質得到AD⊥BC，求得點B，C關于AD為對稱，得到BP＝CP，根據垂線段最短得出CP+EP＝BP+EP＝BE＝AD，即可得到結論．【解答】解：BE⊥AC于E，交AD于P，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點B，C關于AD為對稱，∴BP＝CP，根據垂線段最短得出：CP+EP＝BP+EP＝BE，即此時CP+EP的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BE，∴BE＝AD＝17，即CP+EP的最小值為17，故答案為：17．【點評】本題考查了等邊三角形的性質和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質是本題的關鍵．16．（2分）新年聯(lián)歡，某公司為員工準備了A、B兩種禮物，A禮物單價a元、重m千克，B禮物單價（a+1）元，重（m﹣1）千克，為了增加趣味性，公司把禮物隨機組合裝在盲盒里，每個盲盒里均放兩樣，隨機發(fā)放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，則兩個盲盒的總價錢相差1元，通過稱重其他盲盒，大家發(fā)現(xiàn)：稱重情況重量大于小林的盲盒的與小林的盲盒一樣重重量介于小林和小李之間的與小李的盲盒一樣重重量小于小李的盲盒的盲盒個數05094若這些禮物共花費2018元，則a＝50元．【分析】根據小林的盲盒比小李的盲盒重1千克可判斷兩個盲盒的總價錢相差1元，再根據重量小于小李的盲盒的為4盒可以得出結論：小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，小林的盲盒中為2件A禮物，然后再根據表格中的數據列一元一次方程求解即可．，【解答】解：∵A禮物重m千克，B禮物重（m﹣1）千克，∴A禮物比B禮物重1千克，∵每個盲盒里均放兩樣，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，∴小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，小林的盲盒中為2件A禮物；或小李的盲盒中為2件B禮物，小林的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物；∴不管以上哪種情況，兩個盲盒的禮物總價格都相差a+1﹣a＝1（元），由表格中數據可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，不可能為2件B禮物，∴小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，小林的盲盒中為2件A禮物，∴重量小于小李的盲盒為2件B禮物，∵與小林的盲盒一樣重盲盒有5盒，與小李的盲盒一樣重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，∴2件B禮物的有4盒，1件A禮物和1件B禮物有10盒，2件A禮物有6盒，∴2×4（a+1）+10×a+10（a+1）+2×6a＝2018，解得a＝50，故答案為：1，50．【點評】本題主要考查數據的收集與整理，能根據一直數據準確判斷小李與小林的盲盒中的禮物時解答此題的關鍵．三、解答題（共68分，其中17-18題每題8分，19-20題每題5分，21題6分，22-23題每題5分，24-25題每題6分，26-27題每題7分）17．（8分）因式分解：（1）3x2+6x+3；（2）a3﹣9a．【分析】（1）先提公因式，再用公式法因式分解即可；（2）先提公因式，再用公式法因式分解即可．【解答】解：（1）3x2+6x+3＝3（x2+2x+1）＝3（x+1）2；（2）a3﹣9a＝a（a2﹣9）＝a（a﹣3）（a+3）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．18．（8分）計算：（1）a3?a+（﹣a2）3÷a2；（2）[（m+n）（m﹣n）+（﹣n）2]÷2m．【分析】（1）根據同底數冪的乘除法，冪的乘方和積的乘方即可得出答案；（2）根據平方差公式和整式的除法計算即可．【解答】解：（1）a3?a+（﹣a2）3÷a2＝a4+（﹣a6）÷a2＝a4﹣a4＝0；（2）[（m+n）（m﹣n）+（﹣n）2]÷2m＝（m2﹣n2+n2）÷2m＝m2÷2m＝m．【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握同底數冪的乘除法，冪的乘方和積的乘方，平方差公式是解題的關鍵．19．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代數式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．【分析】根據多項式乘多項式進行化簡，然后整體代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，當x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1時，原式＝1+2＝3．【點評】本題考查了多項式乘多項式，解決本題的關鍵是掌握多項式乘多項式．20．（5分）如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求證：BC＝DE．【分析】要證明BC＝DE，只要證明三角形ABC和ADE全等即可．兩三角形中已知的條件有AB＝AD，AC＝AE，只要再得出兩對應邊的夾角相等即可．我們發(fā)現(xiàn)∠ABC和∠DAE都是由一個相等的角加上∠DAC，因此∠ABC＝∠DAE，這樣就構成了兩三角形全等的條件（SAS），兩三角形就全等了．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC．即：∠BAC＝∠DAE．在△ABC與又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC＝DE．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定，利用全等三角形來得出簡單的線段相等是解此類題的常用方法．21．（6分）下面是小明同學設計的“已知底邊及底邊上的中線作等腰三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，線段a和線段b．求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，BC邊上的中線為b．作法：如圖2，①作射線BM，并在射線BM上截取BC＝a；②作線段BC的垂直平分線PQ，PQ交BC于D；③以D為圓心，b為半徑作弧，交PQ于A；④連接AB和AC．則△ABC為所求作的圖形．根據上述作圖過程，回答問題：（1）用直尺和圓規(guī)，補全圖2中的圖形；（2）完成下面的證明：證明：由作圖可知BC＝a，AD＝b．∵PQ為線段BC的垂直平分線，點A在PQ上，∴AB＝AC（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等）（填依據）．又∵線段BC的垂直平分線PQ交BC于D，∴BD＝DC．∴AD為BC邊上的中線，且AD＝b．【分析】（1）根據要求作出圖形即可；（2）利用線段的承載著平分線的性質，等腰三角形的性質解決問題即可．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：由作圖可知BC＝a，AD＝b．∵PQ為線段BC的垂直平分線，點A在PQ上，∴AB＝AC（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等），又∵線段BC的垂直平分線PQ交BC于D，∴BD＝DC，∴AD為BC邊上的中線，且AD＝b．故答案為：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等，BD，DC．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．22．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的長．【分析】在Rt△ABC中利用∠C＝90°，∠A＝30°易求∠ABC＝60°，再利用角平分線性質可求∠ABD＝∠DBC＝30°，從而可得∠ABD＝∠A，進而可求BD，在Rt△BDC中，利用30°的角所對的邊等于斜邊的一半可求CD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠A，∴BD＝AD＝10，又∵∠DBC＝30°，∴DC＝BD＝5．即DC的長是5．【點評】本題考查了含有30°角的直角三角形、角平分線的性質．解題的關鍵是得出BD＝AD＝10．23．（5分）課本上介紹了求多邊形的內角和的方法是過n邊形的一個頂點作對角線，把n邊形分成（n﹣2）個三角形，把求多邊形的問題轉化成三角形內角和的問題．從而得到n邊形的內角和等于（n﹣2）?180°，現(xiàn)在再提供兩種添輔助線的方案，請你選擇其中一種，再次證明n邊形內角和定理．方案一方案二如圖，P為n邊形A1A2……An內一點，連接PA1，PA2，……，PAn，那么n邊形被分成了n個三角形，由此推理n邊形的內角和定理．如圖，P為n邊形A1A2……An邊A1A2上的任意一點，連接PA3，PA4，……，PAn，那么n邊形被分成了（n﹣1）個三角形，由此推理n邊形的內角和定理．證明：證明：【分析】在n邊形內任取一點O，并把O與各頂點連接起來，共構成n個三角形，這n個三角形的角和為n?180°，再減去以點O為頂點的一個周角，就可以得到n邊形的內角和為（n﹣2）?180°；連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n﹣1）個三角形．【解答】證明：方法①在n邊形內任取一點O，并把O與各頂點連接起來，共構成n個三角形，這n個三角形的角和為n?180°，再減去以點O為頂點的一個周角，就可以得到n邊形的內角和為（n﹣2）?180°．故答案為：n；方法②在n邊形的任意一邊上任取一點P，連接P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n﹣1）個三角形，這（n﹣1）個三角形的內角和等于（n﹣1）?180°，以P為公共頂點的（n﹣1）個角的和是180°，所以n邊形的內角和是（n﹣1）?180°﹣180°＝（n﹣2）?180°．故答案為：（n﹣1）．【點評】本題考查了多邊形的內角和定理的證明，解題關鍵是將多邊形的內角和問題轉化為三角形中解決．24．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（2，3），B（1，0），C（1，2），（1）在圖中作出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，其中A1的坐標為（2，﹣3）；（2）如果要使以B、C、D為頂點的三角形與△ABC全等（A、D不重合），寫出所有符合條件的點D坐標．【分析】（1）根據軸對稱的性質即可作出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，進而可以得A1的坐標；（2）根據網格利用全等三角形的判定即可寫出所有符合條件的點D坐標．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；A1的坐標為（2，﹣3）；故答案為：（2，﹣3）；（2）所有符合條件的點D坐標為：（0，3）或（0，﹣1）或（2，﹣1）．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，勾股定理，全等三角形的判定，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質．25．（6分）小明在學習有關整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關于x的多項式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以當x﹣1取任意一對互為相反數的數時，多項式x2﹣2x+3的值是相等的，例如，當x﹣1＝±l，即x＝2或0時，x2﹣2x+3的值均為3；當x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1時，x2﹣2x+3的值均為6．于是小明給出一個定義：對于關于x的多項式，若當x﹣t取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于x＝1對稱．例如x2﹣2x+3關于x＝1對稱．請結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：（I）多項式x2﹣6x+10關于x＝3對稱；（2）若關于x的多項式x2+2bx+3關于x＝4對稱，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2+4x+4）關于x＝﹣3對稱．【分析】（1）對多項式進行配方，根據新定義判斷即可；（2）求出x2+2bx+3的對稱軸，令對稱軸x＝4即可；（3）對多項式進行配方，根據新定義判定即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，則多項式關于x＝3對稱．故答案為：3；（2）∵x2+2bx+3＝（x+b）2+3﹣b2，∴關于x的多項式x2+2bx+3關于x＝﹣b對稱，∴﹣b＝4，∴b＝﹣4；（3）原式＝（x+4）2（x+2）2＝[（x+4）（x+2）]2＝（x2+6x+8）2＝[（x+3）2﹣1]2，∴關于x＝﹣3對稱．故答案為：﹣3．【點評】本題考查了配方法的應用，能夠對多項式進行配方，根據新定義判斷出對稱軸是解題的關鍵．26．（7分）在△ABC中，D是BC的中點，且∠BAD≠90°，將線段AB沿AD所在直線翻折，得到線段AB'，作CE∥AB交直線AB'于點E．（1）如圖，若AB＞AC，①依題意補全圖形；②用等式表示線段AB，AE，CE之間的數量關系，并證明；（2）若AB＜AC，上述結論是否仍然成立？若成立，簡述理由；若不成立，直接用等式表示線段AB，AE，CE之間新的數量關系（不需證明）．【分析】（1）①依照題意補全圖形；②由“ASA”可證△BDF≌△CDE，可得CE＝BF，DF＝ED，由“AAS”可證△ADG≌△ADH，可得DG＝DH，AG＝AH，由HL可證Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF＝EH，可得結論；（2）分兩種情況討論，由“ASA”可證△BDF≌△CDE，可得CE＝BF，DF＝ED，由“AAS”可證△ADG≌△ADH，可得DG＝DH，AG＝AH，由HL可證Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF＝EH，可得結論．【解答】解：（1）①補全圖形如圖所示：②AB＝AE+CE，理由如下：如圖，連接ED，并延長交