2023-2024學(xué)年北京市海淀外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市海淀外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每題3分，共24分）1．（3分）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，用三角板作△ABC的邊AB上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．3．（3分）現(xiàn)有兩根長度分別這3cm和6cm的木棒，若要釘成一個三角形木棒，則第三根木棒長可以為（）A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm4．（3分）三角形的下列線中，能將三角形分成面積相等的兩部分的是（）A．中線 B．角平分線 C．高線 D．垂直平分線5．（3分）如圖所示，已知△ABC的五個元素，右側(cè)甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙6．（3分）點(diǎn)A（﹣3，2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）7．（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，沿EF折疊，使點(diǎn)A在BC邊上的點(diǎn)D位置．且ED⊥BC．則∠EFD＝（）A．45° B．50° C．40° D．55°8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C（4，4），點(diǎn)B、A分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，∠ACB＝90°，則OA+OB等于（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空題（每題3分，共24分）9．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為．10．（3分）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則該三角形的周長是．11．（3分）如圖，△ABC中，D、E分別是BC，AD的中點(diǎn)，△ABC的面積是20，則陰影部分的面積是．12．（3分）如圖，在一個三角形的紙片（△ABC）中，∠C＝90°，則圖中∠1+∠2的度數(shù)為°．13．（3分）如圖，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，則DE＝cm．14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，EF為AC的中垂線，若EC＝7，則BE的長為．15．（3分）如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是．16．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，6），點(diǎn)B是x軸上的一個動點(diǎn)．以AB為邊向右側(cè)作等邊三角形ABC，連接OC，在運(yùn)動過程中，OC的最小值為．三、解答題（共52分）17．（5分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上的點(diǎn)．尺規(guī)作圖：過點(diǎn)D作DE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E．（保留作圖痕跡）18．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠DAE＝40°，AD是BC邊上的高線，AE平分∠BAC，求∠ACB的度數(shù)．19．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，﹣2）、B（2，﹣4）、C（4，﹣1）．（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出B1的坐標(biāo)；（2）在x軸上畫一點(diǎn)P，使PA+PC最小．20．（5分）如圖：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC邊上的高．求證：AB+BD＝DC．21．（6分）如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，若BE＝CF．求證：AD平分∠BAC．請你補(bǔ)全下述證明過程：證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△DBE和Rt△DCF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF．（）∴DE＝DF．∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC．∴AD平分∠BAC．（）22．（6分）如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)，E，B在一條直線上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，CD∥AB，求證：CD＝AB．23．（6分）如圖，在△ABC與△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AB，AB＝DE．（1）求證：BC＝DB；（2）若BD＝8cm，求AC的長．24．（6分）如圖1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)E，（1）過點(diǎn)E作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，求證：△BDE為等腰三角形；（2）若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判斷BF、CD、DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．25．（8分）如圖1所示，已知點(diǎn)P（3，﹣3），有以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的直角的兩邊分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M、N．（1）試說明PM＝PN；（2）若點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，n），請直接寫出m與n之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2所示，過點(diǎn)P作線段AB，交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，使得點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，且OA＝OB，繞著頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)直角∠MPN，使得一邊交x軸正半軸于點(diǎn)M，另一邊交y軸正半軸于點(diǎn)N，此時，PM和PN是否還相等，請說明理由；（4）在（3）條件下，請直接寫出S△PBN﹣S△PAM的值．26．（3分）科技館為某機(jī)器人編制了一個程序，如果機(jī)器人在平地上按照圖中所示的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（）A．12米 B．16米 C．18米 D．20米27．（3分）在桌球運(yùn)動中，正面擊球時球碰到球桌邊緣會發(fā)生反彈，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，動點(diǎn)P從（0，2）出發(fā)，沿如圖所示方向運(yùn)動，每當(dāng)碰到長方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當(dāng)點(diǎn)P第2023次碰到長方形的邊時，點(diǎn)P2023的坐標(biāo)為．28．（8分）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個涂成黑色，使整個涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形．在下面每個網(wǎng)格中畫出一種符合要求的圖形（畫出三種即可）．29．（6分）新定義：如圖1和圖2中，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，如果或，稱點(diǎn)P是線段AB的友好點(diǎn)．（1）如圖3，Rt△DEF中，∠E＝90°，∠D＝30°，問：點(diǎn)F是否是線段DE的友好點(diǎn)？請說明理由；（2）如圖4，Rt△DEF中，∠DEF＝90°，F(xiàn)是線段DE的友好點(diǎn)（DF＞DE），F(xiàn)H是Rt△DEF的角平分線，求證：點(diǎn)H是線段DE上的友好點(diǎn)．

2023-2024學(xué)年北京市海淀外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題（每題3分，共24分）1．（3分）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A，B，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，熟知軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖，用三角板作△ABC的邊AB上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：A，C，D都不是△ABC的邊AB上的高，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．3．（3分）現(xiàn)有兩根長度分別這3cm和6cm的木棒，若要釘成一個三角形木棒，則第三根木棒長可以為（）A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的范圍，判斷即可．【解答】解：設(shè)第三根木棒長為xcm，則6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，∴四個選項(xiàng)中，第三根木棒長可以為5cm，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．4．（3分）三角形的下列線中，能將三角形分成面積相等的兩部分的是（）A．中線 B．角平分線 C．高線 D．垂直平分線【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可求解．【解答】解：三角形的中線把三角形分成等底同高的兩個三角形，∴三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的面積，三角形的中線，高線，角平分線，垂直平分線，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可判定求解．5．（3分）如圖所示，已知△ABC的五個元素，右側(cè)甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理即可進(jìn)行解答．【解答】解：圖甲不符合三角形全等的判定定理，即圖甲和△ABC不全等；圖乙符合SAS定理，即圖乙和△ABC全等；圖丙符合AAS定理，即圖丙和△ABC全等；故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形全等的判定定理，解題的關(guān)鍵是在熟練掌握三角形全等的判定定理．6．（3分）點(diǎn)A（﹣3，2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）【分析】利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，﹣y），進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣3，2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，∴A′點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣3，﹣2）．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確把握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，沿EF折疊，使點(diǎn)A在BC邊上的點(diǎn)D位置．且ED⊥BC．則∠EFD＝（）A．45° B．50° C．40° D．55°【分析】由翻折的性質(zhì)可知∠AFE＝∠EFD，在Rt△EDC中，由三角形內(nèi)角和求解即可．【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知；∠AFE＝∠EFD．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．∵ED⊥BC，∴△EDC為直角三角形，∴∠FDB＝30°，∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，∴∠EFD＝45°．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查是翻折的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)解答．8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C（4，4），點(diǎn)B、A分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，∠ACB＝90°，則OA+OB等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】過C作CM⊥y軸于M，CN⊥x軸于N，證△ACM≌△BCN，推出AM＝BN，即可解決問題．【解答】解：過C作CM⊥y軸于M，CN⊥x軸于N，則∠CMA＝∠CNB＝90°，∵C（5，5），∴CN＝CM＝5，∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°，∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠MCN，∴∠ACM＝∠BCN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（ASA），∴AM＝BN，∴OA+OB＝OA+0N+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝8．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和判定，四邊形的內(nèi)角和定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共24分）9．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為7．【分析】本題根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則有（n﹣2）×180°＝900°，解得：n＝7，∴這個多邊形的邊數(shù)為7．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等量關(guān)系列出方程從而解決問題．10．（3分）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則該三角形的周長是12．【分析】根據(jù)2和5可分別作等腰三角形的腰，結(jié)合三邊關(guān)系定理，分別討論求解．【解答】解：當(dāng)2為腰時，三邊為2，2，5，由三角形三邊關(guān)系定理可知，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)5為腰時，三邊為5，5，2，符合三角形三邊關(guān)系定理，周長為：5+5+2＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，△ABC中，D、E分別是BC，AD的中點(diǎn)，△ABC的面積是20，則陰影部分的面積是5．【分析】根據(jù)三角形的中線將三角形面積分為相等的兩部分可知，S△ABC＝2S△ADC，S△ADC＝2S△AEC，根據(jù)△ABC的面積是20解答即可．【解答】解：∵△ABC中，D、E分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴AD是△ABC的中線，CE是△ADC的中線，∴S△ABC＝2S△ADC，S△ADC＝2S△AEC，∴S△ABC＝4S△AEC，∵△ABC的面積是20，∴△AEC的面積為5，即陰影部分的面積是5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積和中線的性質(zhì)：三角形的中線將三角形分為相等的兩部分，知道中線將三角形面積分為相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，在一個三角形的紙片（△ABC）中，∠C＝90°，則圖中∠1+∠2的度數(shù)為270°．【分析】由三角形的內(nèi)角和定理求解∠A+∠B＝90°，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案為：270．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理與四邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記三角形的內(nèi)角和與四邊形的內(nèi)角和是解本題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，則DE＝3cm．【分析】全等得到BC＝BD，AB＝BE，即可得解．【解答】解：∵△ABD≌△EBC，∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝6cm，∴DE＝BD﹣BE＝3cm；故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等，是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，EF為AC的中垂線，若EC＝7，則BE的長為3．【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得AE＝EC＝7，最后計(jì)算BE＝AB﹣AE即可．【解答】解：∵EF為AC的中垂線，∴AE＝EC＝7，∵AB＝10，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣7＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查中垂線的性質(zhì)，較簡單，熟記性質(zhì)是關(guān)鍵．15．（3分）如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．【分析】由圖可得，固定窗鉤BC即，是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【解答】解：一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．故應(yīng)填：三角形的穩(wěn)定性．【點(diǎn)評】本題考查三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題．16．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，6），點(diǎn)B是x軸上的一個動點(diǎn)．以AB為邊向右側(cè)作等邊三角形ABC，連接OC，在運(yùn)動過程中，OC的最小值為3．【分析】以O(shè)A為邊向左側(cè)作等邊△AOE，連接BE，先證出△ABE≌△ACO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE＝OC，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BE⊥x軸，BE的值最小，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【解答】解：如圖，以O(shè)A為邊向左側(cè)作等邊△AOE，連接BE，∴OA＝EA＝OE，∠OAE＝∠AOE＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC﹣∠OAB＝60°﹣∠OAB＝∠OAE﹣∠OAB，即∠OAC＝∠EAB，在△ABE和△ACO中，，∴△ABE≌△ACO（SAS），∴BE＝OC，由垂線段最短可知，當(dāng)BE⊥x軸，BE的值最小，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，6），∴OA＝6，∴OE＝6，又∵∠AOE＝60°，∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，則在Rt△BOE中，，所以在運(yùn)動過程中，OC的最小值為3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、垂線段最短、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．三、解答題（共52分）17．（5分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上的點(diǎn)．尺規(guī)作圖：過點(diǎn)D作DE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E．（保留作圖痕跡）【分析】以D為頂點(diǎn)，DA為一邊，作∠ADE＝∠B，DE即為所求．【解答】解：以D為頂點(diǎn)，DA為一邊，作∠ADE＝∠B，如圖：DE即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖方法．18．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠DAE＝40°，AD是BC邊上的高線，AE平分∠BAC，求∠ACB的度數(shù)．【分析】由AD⊥BC，可得出∠ADB＝90°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可求出∠BAD的度，將其代入∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE中，可求出∠BAE的度數(shù)，由AE平分∠BAC，利用角平分線的定義，可求出∠BAC的度數(shù)，再在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出∠ACB的度數(shù)．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝60°﹣40°＝20°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×20°＝40°．在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、垂線以及角平分線的定義，牢記“三角形內(nèi)角和是180°”是解題的關(guān)鍵．19．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，﹣2）、B（2，﹣4）、C（4，﹣1）．（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出B1的坐標(biāo)；（2）在x軸上畫一點(diǎn)P，使PA+PC最?。痉治觥浚?）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）直接利用軸對稱求最短路線的方法得出P點(diǎn)位置．【解答】解：（1）如圖所示，∵B（2，﹣4）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B1（﹣2，﹣4），C（4，﹣1）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)C1（﹣4，﹣1），∴連接AC1，AB1，B1C1，∴△AB1C1，即為所求，B1（﹣2，﹣4）；（2）如圖所示，找點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)D，連接CD交x軸于點(diǎn)P，∴PA＝PD，∴PA+PC＝PD+PC，即點(diǎn)D，P，C三點(diǎn)共線，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評】此題考查了作圖—軸對稱，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短．20．（5分）如圖：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC邊上的高．求證：AB+BD＝DC．【分析】先在線段DC上取一點(diǎn)E，使DE＝DB，連接AE，利用∠B＝2∠C，求證△ACE是等腰三角形，然后利用等量代換即可求證結(jié)論．【解答】證明：在線段DC上取一點(diǎn)E，使DE＝DB，連接AE，∵AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠C＝2∠C﹣∠C＝∠C，∴AE＝CE，∴CE＝AE＝AB，∴DC＝DE+CE＝AB+BD，∴AB+BD＝DC．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是在線段DC上取一點(diǎn)E，使DE＝DB，連接AE，這也是此題的突破點(diǎn)．21．（6分）如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，若BE＝CF．求證：AD平分∠BAC．請你補(bǔ)全下述證明過程：證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△DBE和Rt△DCF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF．（HL）∴DE＝DF．∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC．∴AD平分∠BAC．（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上）【分析】由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△DBE≌Rt△DCF，得DE＝DF，再根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上”證明AD平分∠BAC，于是得到問題的答案．【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BED＝∠CFD＝90°在Rt△DBE和Rt△DCF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝DF，∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上）．故答案為：BE，CF，HL，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上等知識，證明Rt△DBE≌Rt△DCF是解題的關(guān)鍵．22．（6分）如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)，E，B在一條直線上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，CD∥AB，求證：CD＝AB．【分析】證明△CFD≌△BEA即可作答．【解答】證明：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，∴CF＝BE，又∵∠CFD＝∠BEA，∴△CFD≌△BEA（AAS），∴CD＝AB．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．23．（6分）如圖，在△ABC與△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AB，AB＝DE．（1）求證：BC＝DB；（2）若BD＝8cm，求AC的長．【分析】（1）由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根據(jù)AAS判斷△ABC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到BD＝BC；（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，得到AC＝BE，由E是BC的中點(diǎn)，得到BE＝．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴BD＝BC；（2）∵△ABC≌△EDB，∴AC＝BE，∵E是BC的中點(diǎn)，BD＝8cm，∴BE＝cm．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目，找準(zhǔn)全等的三角形是解決本題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)E，（1）過點(diǎn)E作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，求證：△BDE為等腰三角形；（2）若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判斷BF、CD、DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由角平分線和平行線的性質(zhì)可得到∠BDE＝∠DEB，可證得結(jié)論；（2）延長CD到M，使得CM＝BD，連接AM，過點(diǎn)A作AN⊥CM于點(diǎn)N，則△ABD≌△ACM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AD＝AM，∠ADB＝∠AMC，利用全等三角形的判定定理AAS可證出△ADF≌△ADN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DF＝DN＝MN，再結(jié)合BD＝CM即可找出BF＝CD+DF．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝∠ABE，∴BD＝ED，∴△DBE為等腰三角形；（2）解：在圖2中，延長CD到M，使得CM＝BD，連接AM，過點(diǎn)A作AN⊥CM于點(diǎn)N，∵BE平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACM＝∠ABD．在△ABD和△ACM中，，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴AD＝AM，∠ADB＝∠AMC，∴∠AMD＝∠ADM，∴∠ADF＝ADN．∵AN⊥DM，∴DN＝MN．在△ADF和△ADN中，，∴△ADF≌△ADN（AAS），∴DF＝DN＝MN．∵BD＝CM，∴BF＝BC﹣DF＝CM﹣MN＝CN＝CD+DN＝CD+DF．即BF＝CD+DF．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（8分）如圖1所示，已知點(diǎn)P（3，﹣3），有以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的直角的兩邊分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M、N．（1）試說明PM＝PN；（2）若點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，n），請直接寫出m與n之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2所示，過點(diǎn)P作線段AB，交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，使得點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，且OA＝OB，繞著頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)直角∠MPN，使得一邊交x軸正半軸于點(diǎn)M，另一邊交y軸正半軸于點(diǎn)N，此時，PM和PN是否還相等，請說明理由；（4）在（3）條件下，請直接寫出S△PBN﹣S△PAM的值．【分析】（1）過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，PH⊥y軸于點(diǎn)H，證明△PGM≌△PHN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)△PGM≌△PHN得到GM＝HN，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可；（3）連接OP，證明△PON≌△PAM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；（4）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S△PAM＝S△PON，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，PH⊥y軸于點(diǎn)H，則四邊形OHPG為矩形，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣3），∴PG＝PH＝3，∴矩形OHPG為正方形，∴∠GPH＝90°，∵∠MPN＝∠GPH＝90°，∴∠GPM＝∠HPN，在△PGM和△PHN中，，∴△PGM≌△PHN（ASA），∴PM＝PN；（2）解：∵△PGM≌△PHN，∴GM＝HN，即3﹣m＝﹣3﹣n，整理得：m﹣n＝6；（3）解：PM＝PN，理由如下：如圖2，連接OP，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，P為AB的中點(diǎn)，∴OP⊥AB，∠BOP＝∠POA＝45°，OP＝AB＝PA，∴∠PON＝∠PAM＝135°，∵∠OPA＝∠MPN＝90°，∴∠OPN＝∠APM，在△PON和△PAM中，，∴△PON≌△PAM（ASA），∴PM＝PN；（4）解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣3），∴OP＝＝3＝BP，∴S△OPB＝×3×3＝9，∵△PON≌△PAM，∴S△PBN﹣S△PAM＝S△PBN﹣S△PON＝S△OPB＝9．【點(diǎn)評】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26．（3分）科技館為某機(jī)器人編制了一個程序，如果機(jī)器人在平地上按照圖中所示的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（）A．12米 B．16米 C．18米 D．20米【分析】先判斷出機(jī)器人所走過的路線是正多邊形，然后用多邊形的外角和除以每一個外角的度數(shù)求出多