2024年新高考數(shù)學(xué)考前中檔題試卷（五）

新高考數(shù)學(xué)考前中檔題試卷（五）

姓名：班級：

一、單選題

1.已知集合4=卜€(wěn)兇2尤2-5尤40｝,則A的子集個數(shù)為（）

A.4B.7C.8D.16

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=2+i|,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.設(shè)xeR,向量4=(尤,1),6=(1,-2),且貝!]cos(a=()

A.也B?典cTD.立

55102

4.設(shè)拋物線x2=4y的焦點為尸，過拋物線上點P作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為Q,若ZPQF=30。，

則|尸。|=（）

A.-B.逑C.6D.這

333

5.已知函數(shù)/（x）=Asin（0x+o）（A>O,0>O,兀<。<2兀）的部分圖象如圖所示，其圖象上最

高點的縱坐標(biāo)為2,且圖象經(jīng)過點貝（）

6.設(shè)為S）,等差數(shù)列｛凡｝的前“項和，己知y、S-S,成等比數(shù)列，邑=2%+2,當(dāng)6%-S”

取得最大值時，n=（）

A.6B.7C.8D.9

7.2024年春節(jié)期間，有ABC,。,石五部電影上映，小李準(zhǔn)備和另3名同學(xué)一行去隨機觀看

這五部電影中的某一部電影,則小李看A電影，且4人中恰有2人看同一部電影的概率為（）

625125

8.已知〃x)是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且/(7(x)-3x)=4,若2"=loga=c,則()

A.f[a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f{a)

C./(a)</(c)</(^)D./(c)<f(^)</(a)

二、多選題

9.下列命題中正確的是()

\_ry-ja^b

A.設(shè)。>0,/\—二a4

B.已知2a+6=l,貝—=3

yjay/a33a

111

----1----=--

加若〃貝2m+

Ci[og』811logi1-g3D.loga4=m,logo5=J]a"=40

4MJ

10.已知/'(x)=cosox+瓜in(yx(<y>0)在［0,可上是單調(diào)函數(shù)，且y=/(x)的圖象關(guān)于點

(-兀,0)對稱，貝1|()

A.若-/(七)|=4,則四一馬上=6兀

B./(X)的圖象的一條對稱軸方程為工=2兀

C.函數(shù)y=/(x)在(-兀,5兀)上無零點

D.將/(x)的圖象向左平移兀個單位長度后得到的函數(shù)為偶函數(shù)

11.如圖，在四面體尸―ABC中，AB=BC=2,BA1BC,PA=PB=PC=4,。為AC的

中點，點M是棱BC的點，則()

P

A.AC_L平面尸OB

B.四面體尸-A3C的體積為2m

C.四面體尸一ABC外接球的半徑為誣

7

D.M為BC中點，直線PC與平面所成角最大

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.某種疾病的患病率為5%,通過驗血診斷該病的誤診率(將未患病者判定為陽性的概率)

為10%,漏診率(將患病者判定為陰性的概率)為20%,每人的診斷結(jié)果互不影響，則若

某人驗血的診斷結(jié)果是陽性，則該人患病的概率為

13.若定義在R上的函數(shù)/(尤)滿足y=/(x+D是奇函數(shù)，f(4+x)=f(-x),/(2)=2,則

/(1)+/(2)+/(3)+.+/(30)=.

14.已知定義在(-3,3)上的函數(shù)尤)滿足/(x)=e2V(-^),/(D=1J'(x)為于3的導(dǎo)函數(shù)，

當(dāng)龍40,3)時，f\x)>f｛x),則不等式e"(lr)>l的解集為.

四、解答題

15.設(shè)橢圓E："=l(a>b>0)經(jīng)過點］乎］，且其左焦點坐標(biāo)為(TO).

(1)求橢圓的方程；

(2)對角線互相垂直的四邊形ABC。的四個頂點都在E上，且兩條對角線均過E的右焦點，

求HC+忸胃的最小值.

16.如圖，在正三棱杜ABC-A^iG中，。為的重心,。是棱cq上的一點，且QD//

平面44c.

Bi

1CD1

⑴證明：貢7=5；

⑵若44,=24用=12,求點。到平面BtAC的距離.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為%4=2,且點(。"+"")毛E直線x-y-2=0(〃￡N*)上.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵記"=(D"S22"T,求數(shù)列｛2｝的前n項和T?.

18.在ABC中，角A,B,。所對應(yīng)的邊分別為a,/?,c,已知tanC+B=tan^gtanC-l),

⑴求角A.

2

(2)若a=6，ABC所在平面內(nèi)有一點。滿足NBOC=17r,且8C平分NASD,求..ACD

面積的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)=e，-加-x,/'(X)為/(為)的導(dǎo)數(shù).

(1)討論了'(x)的單調(diào)性；

⑵若x=0是/(x)的極大值點，求。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】求出集合A中元素，進而求出集合A的子集個數(shù).

【詳解】由題意得，A=|xeN|0<x<|j={0,l,2},

則A的子集個數(shù)為23=8,

故選：C.

2.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式及除法運算法則結(jié)合幾何意義計算即可.

【詳解】易知i2+h石，所以i,

1?l-i+22

則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為顯然位于第一象限.

故選：A

3.D

【分析】由向量垂直得％=2,再利用向量夾角的坐標(biāo)運算求解cosa-乩。即可.

【詳解】因為a=(x,l),b=(l,—2),

又a_Lb，所以x-2=0,得到％=2,

所以，=(2,1),得到a-5=(1,3),

/\\a-b\a5F

所以C0S(4—=-ir-=—r=7==---

'/卜-4同V5x^O2

故選：D

4.A

【分析】由題意得ZPQ尸=30°,結(jié)合正切定義以及|月0|=2可得|。青，進一步即可求解.

【詳解】如圖所示：

答案第1頁，共14頁

設(shè)M為準(zhǔn)線與x軸的交點,

因為ZPQ尸=30。，且|尸耳=|尸處所以/尸/勾=30。,/。蛇=120。,

因為尸M//P。，所以NQFM=30,

而在RtVQMP中，I^|-Cos30一53，

~2

所以刊=|P@=1^LCOS30=竿+咚=g.

故選：A.

5.A

【分析】先通過圖象經(jīng)過點列方程求出④夕，進而可得“X）的解析式，再代

5兀

入了=計算即可.

6

【詳解】由已知得A=2,

所以/（%）=2sin（°尤+°）,

又圖象經(jīng)過點（O，T）,

1

/（0）=2sinp=-1sm0=

.（Tl）1

sm[§0+°J=e

又（0,-1）為單調(diào)減區(qū)間上的點，為單調(diào)增區(qū)間上的點，且在一個周期內(nèi),

5兀…

（P=--------F2kli

6

所以＜，左￡Z,

71兀

—0）+（P=---F2K71

、36

JT

兩式相減得§。=兀，所以0=3,又兀＜0＜2兀，

所以。=?,

6

所以■/'（司=2$苗（3犬+得），

所以，[-g]=2sin，H]=2sinL=2sing=6.

故選：A.

6.A

答案第2頁，共14頁

【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差d及首項外,再借助通項公式及前〃項和公式

求出6。,-5“，進而求得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，由邑=2%+2,得2%+d=2%+2,解得d=2,

由S［、S］、及成等比數(shù)列，得(2q+=q(4q+64),解得q=；d=l,

因止匕4=1+2(〃-1)=2"—1,S"=~-=n2,

則6a?-Sn=6(2〃-1)一“2=-(〃-6>+30V3。，當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時取等號，

所以〃=6.

故選：A

7.C

【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足小李看A電影，且4人中恰有兩人看同一部電

影的方案數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】依題意每位同學(xué)均有5種選擇，則四位同學(xué)一共有54種方案，

若小李看A電影，且4人中恰有兩人看同一部電影，

有兩人看A電影，則有C；A：種方案，有一人看A電影，則有C；A；種方案，

即滿足小李看A電影，且4人中恰有兩人看同一部電影一共有C；A；+C；A：種方案，

所以所求概率尸=r113A24：+。r,32A427?

5625

故選：C.

8.C

【分析】由已知/(〃可-39=4與函數(shù)/(元)單調(diào)，可得存在唯一teR,使/(。=4,則

f(x)=3x+t,由/⑺=4求解再由2。=咋為=。，根據(jù)指對函數(shù)的對稱性作出圖象比較

”,4c大小，然后根據(jù)單調(diào)遞增，比較/S),/(b)J(c)大小即可.

【詳解】由已知f(〃x)-3x)=4,令f=/(x)-3x,

又因為/(%)是定義域為R的單調(diào)函數(shù).

所以存在唯一teR,使/⑺=4,即/(x)=3x+f,

答案第3頁，共14頁

所以〃。=4/=4,解得f=l,

所以/(x)=3x+l.

如圖所示作出y=2,與yulog'的圖象，

因為它們互為反函數(shù)，則圖象關(guān)于直線'=彳對稱,

由2"=log2Z>=c>0,

在圖中作直線'=。，則與y=2，,y=x,y=log2x的交點的橫坐標(biāo)依次為a,c,b,

可得a<c<b,

又因為〃x)=3x+l是單調(diào)遞增的,

所以/(a)</(c)</0),

故選：C.

【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)依次判斷選項即可得到答案.

【詳解】對選項A,故A錯誤.

Qrja^b23a2b&3a+b&a+l

對選項B,因為2。+人=1,所以，=_=2_=3,故B正確.

3a3a3a3a

1111

=log4+log5

-------r--------Tlo=----------1--------93

對選項C,log.|logl^9log53

4MJ

=log2+log5=log10=——,故C正確.

333lg3

對選項D,因為log04=〃z,logfl5=n,

所以a2m+n=(am)2-?n=(a1O804)2-a10805=42x5=80,故D錯誤.

答案第4頁，共14頁

故選：BC.

10.ABC

【分析】利用y=〃x）在[0,可上單調(diào)，可得。兀再根據(jù)y=〃x）的圖象關(guān)于點

117r

（-兀,0）對稱，可得。=%-左，進而可得〃x）=2sin（針+彳），結(jié)合每個選項計算可判斷其正

確性.

【詳解】f（x）=cose>x+5/3sinfi;x=2（-^coscox+sincox）-2sin（啰工+弓）,

當(dāng)X￡[0,7i],可得VM+B，又y=〃x）在[。,可上單調(diào)，

666

jr7TI

所以5+工工彳，解得0<0工彳，

623

1

又y=/（x）的圖象關(guān)于點（一私。）對稱，所以-即+三7r=也，解得。=二-左，

66

11jr

當(dāng)上=0時，?=-,符合題意，所以〃x）=2sinqx+7）,

666

對于A：若|/&）-/@）|=4,則可得/（石）,/（々）分別為函數(shù)y=〃x）的極大值與極小值，

II_112TC

可得|%-々/in-5-2XX-'，故A正確；

6

42兀）=2sin（Jx27t+多=2,所以的圖象的一條對稱軸方程為》=2兀，故B正確；

00

17r

因為xe（-兀,5兀），所以0<工工+工<無，所以函數(shù)y=/（x）在（一兀,5兀）上無零點，故C正確;

66

將/（X）的圖象向左平移兀個單位長度后得到的函數(shù)為

所以/（X）的圖象向左平移兀個單位長度后得到的函數(shù)不為偶函數(shù)，故D不正確.

故選：ABC.

11.AC

【分析】利用P到A，民C的距離相等說明尸01平面A3C,然后用線面垂直的性質(zhì)和判定定

理即可驗證A；直接使用三棱錐體積計算公式即可驗證B；設(shè)出外接球半徑，列出并求解方

程即可驗證C；使用空間向量法即可驗證D.

【詳解】

答案第5頁，共14頁

z.

由已知得.AfiC是等腰直角三角形，

故斜邊AC=043=20，且ABC的外心為AC的中點0,其滿足

OA=OB=OC=-AC=yf2.

2

而P4=PB=PC=4,故P01平面ABC,且PO=:42_卜回了=幅?

由于。是AC的中點，PA=PC,

故P0LAC,而ACLO3,PQO8在平面PQB內(nèi)交于點0,故ACJ_平面尸。8,故A正

確；

我們有VP_ABC=^P0-^ABBC=^P0=,故B錯誤；

設(shè)四面體尸-"C的外接球球心為點T,外接球半徑為R,

則拒=|PO|=|陰+四=R+po|=R+物|2_研=R+JR2_2,解得R=#I,故c

正確；

以。為原點，。4。氏。尸為％v，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則A（也,0,0）,B（0,V2,0）,C（-V2,0,0）,P（0,0,V14）,設(shè)CWCB（OWrWl）,

則"卜行（1T）,后,0）,故-夜,0,E）,MP=（V2（l-r）,-V2r,V14）.

若〃=（"#,3）是平面RV0的法向量，則〃.AP=〃.MP=O.

這得至?。菀换?舊墳=及（1一9以一圓+舊.=0,從而可取"=「,2—/,我］

而CP=（也,O,JiZ）,故直線PC與平面7^11所成角的正弦值等于

_CPn_2"_?

COS/可T/nj+4一一所28,+28.

V7

答案第6頁，共14頁

1

而J15/—28，+28j+8在，=1處最大,

28ri

所以當(dāng)M與點B重合時，直線PC與平面上4M所成角最大，D錯誤.

故選：AC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于D選項將空間角與函數(shù)最值問題相結(jié)合，需對參數(shù)

計算空間角.

12.A

27

【分析】將每種事件的概率表示出來，再利用條件概率公式或全概率公式即可求解.

【詳解】設(shè)“A=陽性”,嶗=陰性”;“3=患病”，“豆=不患病”；.

由題知：某種疾病的患病率為5%,貝iJP(8)=0.05,尸(國=0.95,

通過驗血診斷該病的誤診率為10%,則P(A|歷=0.1,P(A|B)=0.9,

漏診率(將患病者判定為陰性的概率)為20%,則尸(其|8)=0.2,P(A|3)=0.8,

則診斷結(jié)果是陽性概率為：

尸(A)=P(AB)+P(AB)=尸(A|B)P(B)+(A|豆)P(B)=0.8x0.05+0.1x0.95=0.135,

則某人驗血的診斷結(jié)果是陽性，則該人患病的概率為：

尸⑷2)尸⑻08x0.05=8

1'P(A)P(A)0.13527,

Q

故答案為：—?

27

13.2

【分析】由/=/(尤+D是奇函數(shù)，可得/(X)=-/(-X+2),由f(4+x)=/(f)可得

/(尤+2)=/(T+2),進而得至ij〃x)=-〃x+2),從而得出函數(shù)的周期為4,根據(jù)條

件賦值可求得〃1)+/(2)+/?⑶+/(4)=0,從而得解.

【詳解】因為N=/(x+l)是奇函數(shù)，所以/(x+l)=—/(-x+l),

用x-1替換上式中的x,可得/(》)=—/(—+2),

在〃4+x)=/(r)中,用x-2替換x,可得〃x+2)=/(-x+2),

答案第7頁，共14頁

所以〃x)=-〃x+2),用x+2替換該式中的x,可得/(x+2)=-〃x+4),

所以/("=(尤+4),所以函數(shù)“X)的周期為4,

在/?(x+l)=_/(_x+l)中，令元=0,得/(1)=0,

在〃x)=-〃x+2)中，令x=l,得〃3)=_/?⑴=0,

在〃x+2)=-〃x+4)中,令x=0,得"4)=一"2)=-2,

所以〃1)+/(2)+〃3)+〃4)=0,

所以/⑴+/(2)+〃3)++/(30)=/(1)+/(2)=2.

故答案為：2.

【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：

(1)關(guān)于對稱：若函數(shù)Ax)關(guān)于直線x=。軸對稱，則f(x)=/(2"-x),若函數(shù)Ax)關(guān)于

點(。，方)中心對稱，則/(%)=乃-/(2a-x),反之也成立；

(2)關(guān)于周期：若/'(*+。)=-/(無)，或/'(x+a)=I，或/(x+a)=-},可知函數(shù)/(尤)

f(x)/(%)

的周期為2a.

14.(-2,0)D(2,4)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃2,由己知條件得g(尤)在(-3,3)上是偶函數(shù)，然后根據(jù)其單調(diào)

e

性從而可求解.

【詳解】令g(x)=翌，所以〃x)=e，g(x),

因為J(x)=e2"(—x),所以e*g(x)=e2*eTg(-x),化簡得g(x)=g(-x),

所以g(x)在(-3,3)上是偶函數(shù)，

因為g'(x\=f(>e：e"(x)=尸,

因為當(dāng)xe[0,3),r(x)>〃x),所以小)=廣()/(力>0,g(為在區(qū)間[0,3)上單調(diào)遞

增，

又因為g(x)為偶函數(shù)，所有g(shù)(x)在(TO)上單調(diào)遞減，

由e"(l—x)>l,得"J又因為"1)=1,所以g(i_x)=T^>?=g⑴，

答案第8頁，共14頁

—3<1—x<3

所以|l-x|>l，解得一2。<?；?c<4,

所以不等式的解集為（-2,0）7（2,4）.

故答案為：（-2,0）u（2,4）.

【點睛】通過構(gòu)造函數(shù)g（x）=4a，結(jié)合已知函數(shù)求出函數(shù)8⑺為偶函數(shù)和其單調(diào)性，從

而求解.

15.（1）—+21=1

43

【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)和橢圓所過點，利用橢圓的定義可求方程;

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示出\AC\+\BD\,利用二次函數(shù)可得答案.

【詳解】（1）因為橢圓E的左焦點坐標(biāo)為（-1,0）,

所以右焦點坐標(biāo)為（l,0）,c=l.

又橢圓E經(jīng)過點

在+二+：y/a2-c2=百.

所以2a=+'=4,b=

99

22

所以橢圓的方程為土+匕=1.

43

（2）①當(dāng)直線AC3。中有一條直線的斜率不存在時，|AC|+|BD|=7.

②當(dāng)直線AC的斜率存在且不為0時,

設(shè)直線AC的方程x="+l,A（玉,，

［二』2,得（3入4）丁+6—町

由

-6t

則%+%=3/+4'"%-3/+4'

j36/+36（3/+4）12（r2+l）

\AC\=yjl+t2-

3r+43r+4

答案第9頁，共14頁

設(shè)直線8。的方程為X=」y+1,同理得由0=12—+1）,

t113+4/

,.,,84（r+lf

所以AC+\BD\=/,\J,、，

1111（3r2+4）（3+4r）

設(shè)加=『+1,則%>1,

\AC\\BD\=y=-r-^—=—當(dāng)一2史

1+11A

貝?。?m+l）（4/?-l）__^+1+12_1?+497,

療m~\^n~2）+T

AQ

所以m=2時，|AC|+忸有最小值;.

19

【分析】（1）連CQ交A用于E,利用線面平行的性質(zhì)可得OD〃EC,再由平行推比例式

得解.

（2）以E為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4AC的法向量，再利用點到平面的向

量求法求解即得.

EO1

［詳解】（1）連接0G,延長G。交A4于E，連接CE，由。為△A4G的重心，得a=5，

由O。//平面44。,。。u平面。。］石，平面eg石c平面4耳。=C石，得OD//EC,

~CDEO1

所以函"一區(qū)一子

答案第10頁，共14頁

（2）取AB的中點為歹，連接所，由三棱柱ABC-A與G是正三棱柱，得直線￡與EG，口

兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點，直線EB「ECi，EF分別為x,%z軸建立空間坐標(biāo)系,

由441n244=12,得與(3,0,0),4(-3,0,12),(7(0,3612),￡)(0,3后8卜

則ABt=(6,0,-12),AC=(3,3A/3,0),￡>C=(0,0,4),設(shè)平面用AC的法向量〃=(x,y,z),

n-AB=6x-12z=0

則X令z=VL得"=(26,-2,班卜

n?AC=3x+36y=0

\n-DC\_____辿_________4屈

因止匕d=??

J(2A/3)2+(-2)2+(^)219

所以點O到平面B{AC的距離為拽I.

19

17.⑴。“=2"

⑵北=q+(-o”6n+l

9

【分析】（1）由的關(guān)系消去S"易得am=2°",（〃22）,檢驗”=1時滿足,得等比數(shù)

列他“},即可求得其通項；

（2）將⑴結(jié)論代入得a=（7廣（2"-,寫出T,,利用錯位相減法，即可求得

—“「J

答案第11頁，共14頁

【詳解】（1）由題意，??+1-5?-2=0,當(dāng)”=1時，出=工+2=4,

因5'=。用一2①，當(dāng)“22時，S“_\=a“-2②,

由①-②可得，an=an+1-an,即an+1=2an,

又因”=1時，/=4=2%,

故數(shù)列｛凡｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，貝lJ%=2x2"T=2".

（2）由（1）可得°“=2”,則1二（一1）”=（_］）"log；［:卜'.（2n-l）,

fit）-3'出+5x（/+（一1廣（2〃-3）出一（T3-嗚），④

由③④》=4+2可一出:出，"++川出［+（可⑵一嗚J

+（-1）"（2/1-1）

>

^Tn=-l+l+（-l）"xlxf||+（-1）"（2?-1）

乙NDJ\J

【分析】（1）由兩角和的正切公式結(jié)合題意化簡得tanA=g,即可得解;

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(2)設(shè)NABC=NC&)=x,由正弦定理把邊化成角，再用三角形面積公式得

SA。。=4sin3%cosx,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可.

【詳解】(1)由題tanC+^=tan5(括tanC-1),

即tanB+tanC=-\/5(l-tan3tanC),即tanB+tanC=-6，

1-tanBtanC

所以tan(_B+C)=~,即tan(7u—A)=—,所以tanA=V§\

又A￡(0,7l),所以A..

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(2)由題(1)知NBAC=-,又NBDC=—TT,ZABC=ZCBD=x,

~33

由△BCD中，ZBDC=-TI,