2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)大題15道

2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題狂練：三角函數(shù)(15題)

一.解答題(共15小題)

_TT7T

1.(2022?尖山區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知函數(shù)f(x)=sin(2x-*-7r)+cos(2x-^~)-2sinxcosx-

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移今個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在［0,2川上的單調(diào)

遞減區(qū)間.

春?福州期末)已矢口函數(shù)

2.(2022Lf\(Ax)/=口sXiInA2Ax+V?)—1skiJXnXx1cJuskJxA.

(I)求其最小正周期；

(ID當(dāng)xE[―,三]時(shí)，求函數(shù)/(x)的值域.

36

第1頁(yè)(共28頁(yè))

IT

3.(2022?南泉模擬)已知函數(shù)f(x)=2cos(2x—y"),

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

1T

4.(2022?南樂(lè)模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(2工二1)?

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)當(dāng)x€［0，時(shí)求2x七g的范圍；

求在區(qū)間［。，］上的最大值和最小值.

(3)/(x)5

第2頁(yè)(共28頁(yè))

_-

5.（2022?南樂(lè)模擬）（x）=cog2x+2A/3sinxcosxsin^x

（1）若xe（0,it）,求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若f（e）這，且2L<e<或，求sm2e的值.

、,563

6.（2022?南京模擬）（1）已知sin8=-3,且。是第三象限角，求cos（工+8）的值；

56

11-TTJT--

（2）已知t黃na=~,tanB二一2（Q<aB<兀），求tan（a-p）及

a邛的值.

第3頁(yè)（共28頁(yè)）

7.（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）已知a,0均為銳角，sj_nCC=-^~,8S（a+&）衛(wèi).

135

（1）求cosp的值；

（2）求sin（2a+p）的值.

8.（2022秋?如皋市月考）已知sin。、cosS是方程2x2-（正-l）x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根?

（1）求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

⑵求的值;

11-tanti

tan8

（3）若■冗，2兀），求COS2B的值.

第碩（共28頁(yè)）

9.(2022?西湖區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知與戶口+cosSCt￡(0,2L

sinCl-cosCL2

(1)求tana的值；

(2)若,口(a.邛)且F￡(0，￡"＞求角'

10.(2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知a,(0,—),coSa=Acos(a+6)=2?

2513

(1)求sinB的值；

(2)求cos(a+20)的值.

第5頁(yè)(共28頁(yè))

11.(2022?房山區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))設(shè)函數(shù)/(x)=cos(2x-g)+2cos2x.

3

(I)求函數(shù)/(無(wú))的最小正周期；

(II)函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,守上的最值；

(III)求函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間.

12.(2022?湖北開(kāi)學(xué))已知函數(shù)f(x)=sin2x+W^sinxcosx+sin(x+-^~)sin(

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)若xC[0,IT],求出/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

第6頁(yè)(共28頁(yè))

13.(2022秋?牡丹江校級(jí)月考)已知函數(shù)/(無(wú))=2\f3sinxcosx-2cos2x+LxGR.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(2)將/(x)的圖象向左平移二個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)減區(qū)

4

間.

14.(2022?南京模擬)已知CQS

⑴求sin(a+；)的值;

(2)求tan2a的值.

第7頁(yè)(共28頁(yè))

15.（2022?南京模擬）函數(shù)f（x）=sin2x-芯（co/x-sin'）的圖象為C，如下結(jié)論中

正確的是

(1)圖象c關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；

x12

(2)圖象c關(guān)于點(diǎn)（"，O）對(duì)稱(chēng)；

3

函數(shù)/（X）在區(qū)間（吟，哈）內(nèi)單調(diào)遞增；

(4)由y=2sin2x的圖象向右平移今個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.

第8頁(yè)（共28頁(yè)）

2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一一大題狂練：三角函數(shù)(15題)

參考答案與試題解析

一.解答題(共15小題)

一―，、ITK

1.(2022?尖山區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知函數(shù)f(x)=sin(2x-+-^_)+cos

(1)求函數(shù)/(尤)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移W個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在［0,2司上的單調(diào)

遞減區(qū)間.

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(3x+<p)的圖象變換.

【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),

進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和對(duì)稱(chēng)軸方程.

(2)利用關(guān)系式的平移和伸縮變換，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【角牟答】(1)f(x)^ysin2x+-^-cos2x-i-^~cos2x-^-sin2x-sin.2x，

f(x)=V3cos2x-sin2x=2(^-cos2x-~sin2x)=

.JT兀、/兀、

2(cos2xcos--sin2xsin-^J=2cos

所以函數(shù)/'(x)的最小正周期為m

令2;￡哈=卜兀，依z,得函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為區(qū)=4■制kez.

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移工個(gè)單位后所得圖象的解析式為

12

TTITJT

y=2cos[2[x巧萬(wàn))-t-^]=2cas(2x-^)所以

,,/1兀、/兀、

g(x)=2cos(2X~X4J7^)=2COS(X4-T-.；

W。u

令2k冗<xf<兀+2k兀，所以一?+2k兀<x<2在十2k7，kEZ.又xe［0,2?

所以y=g(x)在［0,2m上的單調(diào)遞減區(qū)間為［0,4］,［耳L,2冗］.

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、

周期性的應(yīng)用，函數(shù)關(guān)系式的平移和伸縮變換及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題.

第9頁(yè)(共28頁(yè))

2.(2022春?福州期末)已知函數(shù)f(x)=sin?x+x/^sinxcosx-

(1)求其最小正周期；

(II)當(dāng)x￡［-y,看］時(shí)’求函數(shù)/(X)的值域.

【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù)；三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值；兩角和與差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(I)利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后求解

周期.

(II)通過(guò)x的范圍，求解下午的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解函數(shù)的最值.

【解答】解：(1)依題意函數(shù)f(x)=sin2x+75Enxc0sx，

J-XA/O111ATvOoX￡lA(wUDA

可得：f(x)-1c°s2x+^-sin2x=sin(2x-v")

ZZ0z

貝叮/^-二兀，

所以，函數(shù)/(x)的最小正周期為T(mén)T.

(II)由(I)知，因卷，則-^<2X-2<卷，

?'--iCsin-^Csin⑵-^")總

所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋劬恚?］.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角的三角函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

JT

3.(2022?南京模擬)已知函數(shù)f(X)=28S(2%—晨)-

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性；余弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)利用周期公式?直接代入求解即可;(2)利用整體代換法求單調(diào)遞

減區(qū)間即可.

【解答】解：(1)：f(x)=2cos(2x^-)，,T=(心廠2；=冗；

(2)?.?函數(shù)y=cosx的單調(diào)遞減區(qū)間為［2Kr,2荷+舊(teZ),

第10頁(yè)(共28頁(yè))

2k兀+兀，kez,

解得：k兀兀+1^匚kez,

，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［kTT；,k兀嗎L］(kE2)-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

TT

4.(2022?南京模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(2x=").

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)當(dāng)x€［o,號(hào)TT］時(shí)求五十7十T的范圍；

(3)求/(X)在區(qū)間［0,￡-］上的最大值和最小值.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的定義域和值域.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)根據(jù)周期公式型代入求解即可;

W

(2)根據(jù)函數(shù)y=2x啥，xE［0，/-］的單調(diào)性求值域即可;

(3)根據(jù)第(2)問(wèn)結(jié)論，利用整體代換法求其最值即可.

【解答】解：(1)因?yàn)閒(x)=sin(2x哈)，所以最小正周期為T(mén)制-=兀；

(2)對(duì)于函數(shù)y=2xT是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閤E［0,31，所以

62

可尸「冗7nr

2x+TeT］;

即2尤口的取值范圍是［三，三］；

666

(3)由(2)知，令Z=2X4^€［看，哈］，

對(duì)于y=sinz,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得：

當(dāng)zE哈，￡-)時(shí)，y=sinz單調(diào)遞增；

當(dāng)z€>日二)時(shí)，y=sinz單調(diào)遞減；

所以當(dāng)時(shí)，y取得最小值為y.=1；

6皿2

當(dāng)z吟時(shí)，y取得最大值為％^=1.

第11頁(yè)(共28頁(yè))

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

5.(2022?南樂(lè)模擬)已知函數(shù)f(%)=coslx+sV^sinxcosx-sin”，

(1)若在(0,TT),求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(8)=1,且工＜0＜空，求sin20的值.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)化簡(jiǎn)可得f(x)=2sin(2乂工)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；

6

(2)由(1)的結(jié)果求得sin(26再根據(jù)20=(2。二二),并結(jié)合

6566

兩角差的正弦公式，即可求解.

_

【解答】解：(1)f(x)=coX+2A/Ssinxcosxsinx~0082x4-^/3sin2x=2sin

⑵二)，

6

■JT-TTTT-ITJT

令—冗《〒+2k兀，keZ,貝兀兀，kEZt

因?yàn)樵?0,n),所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,—[空，7V).

63

(2)因?yàn)閒(6)電，所以sin(26

565

因?yàn)橐菜砸玻?§」1-＜旺，

63262

所以cos(29-t^-)=V,

一TTJT

所以sin26=sin[(2&—彘-]=

sin(,2c8丁兀)、8行兀-cos(/28c干7T)、sir兀ry_=3-乂片?41

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的綜合，熟練掌握二倍角公式，輔助角公式，兩角差的正弦

公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

6.(2022?南京模擬)(1)已知sin8=-2，且e是第三象限角，求8S(二+8)的值；

56

⑵已知tma=1gtmB=-2(O＜a＜—TT,JTB＜TT)，求tan(a-B)及

?□乙乙

a邛的值.

第12頁(yè)(共28頁(yè))

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，求出cose,再由兩角和的余弦公式，即可

得解；

(2)根據(jù)兩角和差的正切公式，分別求得tan(a-p),tan(a+0)的值，再根據(jù)a,p

的取值范圍，得a+0.

【解答】解：(1)Vs￡n0=--|,且。是第三象限角，...cos8=-三，

55

("+口、一兀A?"?axf__4、1乂/__3\3

cos十。)-cos-^cosw-sinsin^x1一=——?

666252510

(2)??飛久門(mén)。二卷tan6二-2，

□

tanC-tanB十?

tan(CL-P)

1+tan1^tan.2

4

tanQ+tanB

tan(Q+B1-tanQtanB

<Q<aB〈兀'

■*〈a*〈等,

3兀

；?a+3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)求值，熟練掌握兩角和差公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系是

解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7.(2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考)已知a,日均為銳角，sina=A,cos(a+)=2.

135

(1)求cosp的值；

(2)求sin(2a+p)的值.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosa,sin(a+0)的值，進(jìn)而利

用兩角差的余弦公式即可求解COS0的值.

第13頁(yè)(共28頁(yè))

（2）由（1）利用兩角和的正弦公式即可求解sin（2a+0）的值.

【解答】解：（1）因?yàn)閍,p均為銳角，sinQ二.，cos（a+B）=:~9

135

可得a+pe(0,II),

2

所以cosa=J]_si八CL=圣，sin(a+0)=V1-Cos(Cl)=4>

Id5

所以cos0=cos[(a+0)-a]=cos(a+0)cosa+sin(a+p)sina=—X-1￡-+A

51351365

(2)sin(2a+p)=sin[(a+0)+a]=sin(a+0)cosa+cos(a+0)sina=—X+-^X

513513

=63

65

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦公式，兩角和的正弦公式

在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2022秋?如皋市月考）已知sin。、cos。是方程2x2-（近_］）x+m=U的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

⑵求的值;

11-tano

tan9

⑶若B€（-1n,2兀），求cos2e的值.

【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系.

【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）由韋達(dá)定理和同角的平方關(guān)系，計(jì)算可得所求值；

（2）運(yùn)用同角的商數(shù)關(guān)系和韋達(dá)定理，可得所求值；

（3）求得cosB-sine的值，結(jié)合二倍角的余弦公式，計(jì)算可得所求值.

【解答】解：（1）因?yàn)閟in。、cos。是方程2x2-（、巧-l）x+ni=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由韋達(dá)定理得sin0+cos0,sin0cos0=—,

22

由（sin9+cos9）2=1）,

貝Ul+2sinScos§=l+nf=C^^）2,

所以m=-近；

2

第14頁(yè)（共28頁(yè)）

(2)gin8?GQS8=sin28cog26_sin26-cog26

i.11-tanSsin?-cos9+cos9-sin9sin9-cos0

tan0

=sin§+coseL；

(3)因?yàn)闄C(jī)所以sine+cosO=^l~,sin0cos0=

224

所以(sin0-cos0)2=1-2sin0cos0=]=^豆"二>=()2,

124i2J

因?yàn)閑Ec|■兀，2兀)，所以cose>0,sine<0,cos6-sin9,

所以cos26=cos26-sin26=(cos8+sin8)(cos8-sin8)=y-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次方程的韋達(dá)定理和同角的基本關(guān)系式、二倍角的余弦公式，考查

方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

9.(2022?西湖區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知)na+cosS=1a￡(0,2L).

sinCt-cosCL2

(1)求tana的值；

(2)若sin(a-§),且F￡(0,￡")'求角仇

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

(2)由題意利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos(a-6)1停，進(jìn)而利用兩角差

的余弦公式可求COS0的值，結(jié)合范圍FE(0,￡-),即可求解B的值.

【解答】解：(1)由已知得sina+cosa=3(sina-cosa),即sina=2cosa,

JT

因?yàn)閟in2a+cos2a=1,且(0.

所以sina=^^,3S&岑,

□5

故tana=2.

,JTTT

(2)因?yàn)?0g—^―),且B￡(0g—),

所以a-BE(一，：力

又sin(CL-P)°,

第15頁(yè)(共28頁(yè))

所以cos(a-B，

Ja

所以cos0=cos[a-(a-p)]=cosacos(a-p)+sinasin(a-p)=——，

2

jr

因?yàn)镕E(0，—))

所以

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)

求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知

a,PE(0,)cosa=-1-1cos(ci+p)=g.

2513

⑴求sinp的值；

(2)求cos(a+20)的值.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)由題意利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinCl=匡，sin(a+&)』，

513

進(jìn)而利用兩角差的正弦公式即可求解sinp的值.

(2)據(jù)(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos0=震，進(jìn)而利用兩角和的余弦公式

即可求解.

【解答】解：(1)因?yàn)閍,B均為銳角，

所以0<a+B〈Ti.

又=—,cos(a+5)=-

blo

所以sinQ二含sin(Cl+p)

所以sin0=sin[(a+0)-a]=sin(a+0)cosa-cos(a+0)sina=J^X—=X—=-^-?

13513565

(2)根據(jù)第(1)問(wèn)可知cosB="||",

所以

cos(a+2B)=cos[(a+B)+B]=cos(a+B)cosP-sin(a+B)sinP

13651365

—123

845"

第16頁(yè)(共28頁(yè))

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦公式，兩角和的余弦公式

在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2022?房山區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))設(shè)函數(shù)/(x)=cos(2關(guān)-三)+2cos2x.

3

(I)求函數(shù)/(無(wú))的最小正周期；

(II)函數(shù)/(X)在區(qū)間[0,守上的最值；

(III)求函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(I)化簡(jiǎn)可得/(x)=6sin(2x號(hào))+1,再由T=等，得解；

(II)由[0,—],可得三，里)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解;

2333

(III)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，得解.

【解答】解：(I)/(x)=cos(2x-+2cos2x=-icos2x+^i-sin2x+1+cos2x

322

=\[~3(—sin2x+^^cos2x)+l=J^sin(2x+")+1,

223

所以函數(shù)/(x)的最小正周期

(II)因?yàn)閇0,—],所以[三，i2L],

2333

當(dāng)2五/二=工，即時(shí)，f(x)取得最大值，為J&+1；

3212

當(dāng)然」二=旦，即工=三時(shí)，/(x)取得最小值，為-工，

3322

故函數(shù)/(X)在區(qū)間[0,工]上的最大值為%+1,最小值為

22

(III)42x+^-E[2k-n+^-,2kn+^~],keZ,貝1]xe[E+工，E+Z2L],kel,

3221212

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為[hrE，kn+^L],kCL.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的綜合，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換公

式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.(2022?湖北開(kāi)學(xué))已知函數(shù)

,\2r~■.,兀、■,冗\(yùn)

f(x)=sinx+2W3sinxcosx+sin(sin(x—)?

(1)求f(x)的最小正周期;

第17頁(yè)(共28頁(yè))

(2)若在[0,IT],求出/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得/(X)=

2sin(2xV)二，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解?

62

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解答】解：(1)*?*f(x)=sin2x-1-2V3sinxcosx-?-sin(x4j^")sin(x-^")

Cg5^X-W3sin2(sinx+cosx

(sinx-cosx)

=14^sE2x-/(cos'-sin：

1cos2x+^3sj_n2x-yC0S2x

=V3sin2x-cos2x+^

_/兀\1

-2sin(2x47T,

o2

???/(x)的最小正周期為等二JT.

(2)VxG[0,IT],

?人兀

,?々

6

則tW[4，牛]，

又：函數(shù)y=2sint+■春在tE[^->同二]上單調(diào)遞減，即2x--r-€E-?->

時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，

.?.當(dāng)%e[0,IT]時(shí)，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為[三，且]].

36

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，考

查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.(2022秋?牡丹江校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=2Csiiwcosx-2cos2x+l,x￡R.

(1)求函數(shù)/(無(wú))的最小正周期；

(2)將/(無(wú))的圖象向左平移工個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(無(wú))的單調(diào)減區(qū)

間.

第18頁(yè)(共28頁(yè))

【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；函數(shù)y=Asin（（nx+cp）的圖象變換.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式進(jìn)行變形，再求函數(shù)的周期即可；

（2）利用三角函數(shù)的平移規(guī)律，求得解析式，再求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可.

【解答】解：（1）依題意,f（x）sin2x-cos2x=2sin（,所以函數(shù)/（x）

6

最小正周期為m

⑵由（1）及已知得g（x）=2sin[2（x埒"）V"]=2sin⑵吟

令g+2k冗w2x=-w等+2k無(wú)，kEZ，解得喘十k冗wxwq+k兀，kEZ，

所以g（X）的單調(diào)減區(qū)間為臉冗，*+k兀]（k￡z）?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.（2022?南京模擬）已知o<a<=,cosa=—.

25

（1）求§in（a的值；

（2）求tan2a的值.

【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù)；兩角和與差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式求得sina=3,再利用兩角和的正弦公式，即

5

可求得答案.

（2）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式求得t&na=：L,再利用二倍角的正切公式求得答案.

【解答】解：（1）v0<acosa=4

?e?sinCl=V1-cos^Cl=J1-=-|~,

VDD

./兀、兀71:_3146_3+4歸

,,sin（aj=sinClcos^^r+cosQsi【i：-5X215八2-10'

（“2）、...a廠=sinQ3

tancosCl4

.cc2tana2XT24

??tan2Q=-

一“9&］一（「0

第19頁(yè)（共28頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正切公式，屬于

中檔題.

15.（2022?南京模擬）函數(shù)f（x）=sin2x-麻（co/x-si/x）的圖象為0，如下結(jié)論中

正確的是.

（1）圖象C關(guān)于直線XJT［對(duì)稱(chēng)；

（2）圖象C關(guān)于點(diǎn)（2；,0）對(duì)稱(chēng)；

3

（3）函數(shù)/（x）在區(qū)間（喉，聆）內(nèi)單調(diào)遞增；

（4）由y=2sin2x的圖象向右平移告?zhèn)€單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（3x+<p）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】結(jié)合二倍角公式與輔助角公式，化簡(jiǎn)/（x）,然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),

即可得解.

解答解因?yàn)?/p>

f(x)=sin2x-\3(cos2,x-sinx)=sin2x-43cos2x=2sin(2x^~)，

當(dāng)X唱冗時(shí)，2X（￥?。ぃ詅（等）7,即⑴正確;

當(dāng)■兀時(shí)，=兀，所以f（若-）=°'即（2）正確;

令42k兀<2x^-<^-+2k^TkEZ,則一套+k冗冗，kEZ,

取％=0,得兀/75兀即（3）正確;

由y=2sin2x的圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到

3

HP7T

y=2sin[2]=2sin(2x-~~)?即（4）不正確.

故答案為：（1）（2）（3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),熟練掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性，函數(shù)

圖象的平移法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

第20頁(yè)（共28頁(yè)）

考點(diǎn)卡片

1.三角函數(shù)的周期性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

周期性

①一般地，對(duì)于函數(shù)/（x）,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),

都有f（x+T）=f（x）,那么函數(shù)/（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)7叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)/（尤），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正

數(shù)就叫做/（x）的最小正周期.

③函數(shù)y=Asin（3x+（p）,xCR及函數(shù)y=Acos（a>x+<p）；x￡R（其中A、3、隼為常數(shù)，且

AWO,3>0）的周期7=空~.

3

【解題方法點(diǎn)撥】

1.一點(diǎn)提醒

求函數(shù)y=Asin（3x+（p）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意3的符號(hào)，只有當(dāng)3>0時(shí)，才能把3x+（p

看作一個(gè)整體，代入y=sinf的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2.兩類(lèi)點(diǎn)

y=sinx,xG[O,2it],y=cos無(wú)，x6[0,2it]的五點(diǎn)是:零點(diǎn)和極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）.

3.求周期的三種方法

①利用周期函數(shù)的定義.f（x+D=/（尤）

②利用公式：y=Asin（（ox+（p）和y=Acos（wx+cp）的最小正周期為.「2廣y=tan（3x+（p）

IWI

的最小正周期為1三丁.

③利用圖象.圖象重復(fù)的x的長(zhǎng)度.

2.正弦函數(shù)的定義域和值域

三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法

1.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見(jiàn)類(lèi)型及方法.

（1）形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin（cox+（p）+左的形式，再求最值（值

域）；

第21頁(yè)（共28頁(yè)）

(2)形如y=asin2x+6sinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最

值)；

(3)形如y=asinxcosx+b(sinx+cosx)+c的三角函數(shù)，可設(shè)t=sinx土cosx,化為關(guān)于f

的二次函數(shù)求解.

3.正弦函數(shù)的單調(diào)性

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=Asin(3尤+(p)或y=Acos(o)x+<p)(其中，3>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“a)x+(p”

為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，

防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

4.余弦函數(shù)的單調(diào)性

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=Asin(3x+(p)或y=Acos(3x+(p)(其中，3>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視"血+年”

為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，

防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

5.函數(shù)y=Asin(cox+cp)的圖象變換

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

函數(shù)y=sin尤的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(o)x+(p)(A>0,3>0)的圖象的步驟

法一法二

兩種變換的差異

先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是卬個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再

第22頁(yè)(共28頁(yè))

相位變換，平移的量是（3>。）個(gè)單位.原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)尤而

W

言的.

【解題方法點(diǎn)撥】

1.一個(gè)技巧

列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為工，利用這一結(jié)論可以較快地寫(xiě)出“五

4

點(diǎn)”的坐標(biāo).

2.兩個(gè)區(qū)別

（1）振幅A與函數(shù)y=Asin（3x+（p）+6的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M=A+6,最

小值m=-A+b,故A小.

2

（2）由/=研11*變換到y(tǒng)=Asin（（ox+（p）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：

由y=sin尤的圖象變換到〉=演缶（a）x+（p）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期

變換（伸縮變換），平移的量是卬個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的

量是_￡婦（3>0）個(gè)單位.原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加

W

減多少值，而不是依賴于0U加減多少值.

3.三點(diǎn)提醒

（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；

（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函

數(shù)；

（3）由y=Asin3龍的圖象得到y(tǒng)=Asin（3x+<p）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為,

00

而不是kpl.

6.三角函數(shù)的最值

【三角函數(shù)的最值】

三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定

義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象.在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元.化簡(jiǎn)的

原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù).

【例題解析】

例1：sin2x-sinxcosx+2cos2x=~+cos（2.x-b——）.

一2一2-----4—

第23頁(yè)（共28頁(yè)）

2

角星：sinx-sinxcosx+2cos2工=1u二'=、-匚.+2?，l+「u二?-二^-b_k(cos2x-sin2x)

22222

一3+^/~^(2r-b--)

一十---COS\ZX+).

224

故答案為：3一+近c(diǎn)os(2XF).

224

這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了

只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來(lái).化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟

練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換.

例2：函數(shù)y=sin2_x-sinx+3的最大值是.

解：令sin_x=b可得y=R-/+3,其中色[-1,1]

?.?二次函數(shù)y=/2-*3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是》=￡

...當(dāng)r=工時(shí)函數(shù)有最小值，

2

而函數(shù)的最大值為f=-1時(shí)或t=\時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)