圓的綜合問題-2024年中考數(shù)學(xué)臨考押題（浙江專用）（全解全析）

押浙江卷第24題

(圓的綜合問題)

押題方向：圓的綜合問題

1命題探究卜

中/考/命/題/預(yù)/測(cè)

2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)

從近幾年浙江各地中考來看，圓的綜合問題

2023年紹興卷、湖州卷、、衢州卷第21題

經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題；預(yù)計(jì)2024年浙江卷還將重視

臺(tái)州卷、杭州卷、金華卷第23題圓的綜合題

圓綜合問題(圓的相關(guān)概念與定理、相似、勾股、

寧波卷、舟山、嘉興卷、麗水卷第24題

三角函數(shù)、三角形、四邊形等)的考查。

1真題顧i

中/考/真/題/在/線

1.(2023?杭州)如圖，在。。中，直徑垂直弦C。于點(diǎn)E,連接AC,AD,BC,作于點(diǎn)尸,

交線段02于點(diǎn)G(不與點(diǎn)O,2重合)，連接。尸.

(1)若BE=1,求GE的長(zhǎng).

(2)求證：BC2=BG'BO.

(3)FO=FG,猜想NC4O的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【思路點(diǎn)撥】(1)由垂徑定理可得NAEO=90°,結(jié)合可得ND4E=/FC。，根據(jù)圓周角定理

可得/DAE=/BCD,進(jìn)而可得/2C￡)=NPCD,通過證明△BCE0△GCE,可得GK=BE=1；

(2)證明△ACBs/icEB,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得8c2=BA?BE,再根據(jù)A8=2B。，BE=^BG,可證

2

BC2=BG'BO；

(3)方法一：設(shè)NZMEuNCAEna,ZFOG=ZFGO=^,可證a=90°-p,ZOCF=90-3a,通過

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SAS證明△COP會(huì)/XA。尸，進(jìn)而可得NOC/=/OAF即90°-3a=a,則NCAD=2a=45°.方法二:

延長(zhǎng)尸。交AC于點(diǎn)H,連接OC,證明是等腰直角三角形，即可解決問題.

【解析】(1)解：直徑垂直弦CD,

AZA￡D=90°,

：.ZDAE+ZD=90°,

CFLAD,

：.ZFCD+ZD=90°,

：.ZDAE=ZFCD,

由圓周角定理得ND4E=/BCQ,

：.ZBCD=ZFCD,

在△BCE和△GCE中，

，ZBCE=ZGCE

'CE=CE，

ZBEC=ZGEC

.?.△BCE冬AGCE(ASA),

；.GE=BE=1；

(2)證明：TAB是。。的直徑，

ZACB=90°,

ZACB=ZCEB=90°,

,?ZABC=ZCBE,

：./\ACB^/\CEB,

.BC=BA

"BEBC"

:.Bd=BA,BE,

由(1)知GE=BE,

：.BE=^BG,

2

\'AB^2BO,

:.BC?=BA-BE=2BO?、BG=BG,BO；

2

(3)解：ZCAD=45°,證明如下：

解法一：如圖，連接OC,

\"FO=FG,

：.ZFOG=ZFGO,

;直徑A8垂直弦CD,

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；.CE=DE,ZAED=ZAEC=90°,

AAACE^AADE(SAS),

???ZDAE=ZCAE,

設(shè)NDAE=NCAE=a,NFOG=NFGO=B，

則ZFCD=ZBCD=/DAE=a,

'：OA=OCf

：.ZOCA=ZOAC=a,

VZACB=90°,

：.ZOCF=ZACB-ZOCA-ZFCD-ZBCZ)=90°-3a,

?.?NCGE=NOG尸=0,ZGCE=a,ZCGE+ZGCE=90°,

/.p+a=90°,

???a=90°-p,

NC0G=N0AC+N0CA=a+a=2a,

???NCO/=NCOG+NGOb=2a+0=2(90°-0)+0=180°-0,

AZCOF=NAO尸，

在△COb和△AO/中，

<CO=AO

,NCOF=NAOF，

OF=OF

/.△COF^AAOF(SAS),

：.ZOCF=ZOAFf

即90°-3a=a,

/.a=22.5°,

：.ZCAD=2a=45°.

解法二：

如圖，延長(zhǎng)尸。交AC于點(diǎn)H,連接。C,

■:FO=FG,

:?/FOG=/FGO,

：.ZFOG=ZFGO=ZCGB=ZB,

:?BC〃FH,

TAB是。。的直徑，

AZACB=90°,

AZACB=ZAHO=90°,

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'：OA=OC,

:.AH=CH,

：.AF=CF,

'：CFLAD,

...AAFC是等腰直角三角形,

AZCA￡>=45°.

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)，特別是第3問，需要

大膽猜想，再逐步論證.

2.(2023?湖州)如圖，在RtaABC中，NAC3=90°,點(diǎn)。在邊AC上，以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的

半圓與斜邊相切于點(diǎn)。，交OA于點(diǎn)E,連結(jié)08.

(1)求證：BD=BC.

(2)己知OC=1,ZA=30°,求AB的長(zhǎng).

B.

CoEA

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)切線性質(zhì)得到/。。8=/。。2=90°,再根據(jù)HL證明之Rt^OCB,從

而得到結(jié)論；

(2)分別在RtZ^OBC中，利用三角函數(shù)求出BC的長(zhǎng)，和在Rt^ABC中，利用三角函數(shù)求出即可求出

的長(zhǎng).

【解析】(1)證明如圖，連結(jié)?！?,

?半圓。與A2相切于點(diǎn)

J.ODLAB,

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VZACB=90a,

：.ZODB^ZOCB^90°,

在Rt/XODB和RtAOCB中，

rOB=OB,

"OD=OC,

ARtAODB^RtAOCB(HL),

:.BD=BC；

(2)解如圖，VZA=30°,ZACB=90°,

AZABC=60°,

VRtAODB^RtAOCB,

ZCB0=ZDB0-j-ZABC=30o，

在RtZXOBC中，

OC=1,

?**BC=7_-=V3'

tan30

在RtZXABC中，

AB=.=2V3-

sinJU

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟悉相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

3.(2023?金華)如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，OA與x軸相切于點(diǎn)8,與y軸相交于點(diǎn)C,D,連結(jié)A2,過

點(diǎn)A作AH,CD于點(diǎn)"

(1)求證：四邊形為矩形.

(2)已知OA的半徑為4,OB=47＞求弦C￡)的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】⑴根據(jù)切線的性質(zhì)得到4?8軸根據(jù)垂直的定義得到/AHO=NHO8=/OBA=90。，

根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AHOB是矩形；

(2)連接AD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AH=OB=板,根據(jù)勾股定理得到DH=^AD2_AH2=

山2_(行)2=3,根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論.

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【解析】(1)證明：,；OA與x軸相切于點(diǎn)3,

軸

X".,AHXCZ),HOLOB,

：.NAHO=NH0B=N0BA=9Q°,

四邊形AHOB是矩形；

(2)解：連接4￡>,

???四邊形AHOB是矩形，

:.AH=OB=S，

'：AD=AB=4,

DH=VAD2-AH2="-47)2=3,

VAHXCD,

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，正確都作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

4.（2023?紹興）如圖，是。。的直徑，C是O。上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作O。的切線C。，交的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)。，過點(diǎn)A作AEJ_C￡）于點(diǎn)E.

（1）若NE4c=25°,求NACO的度數(shù)；

（2）若。8=2,BD=\,求CE的長(zhǎng).

E

【思路點(diǎn)撥】（1）由垂直的定義得到/AEC=90°,由三角形外角的性質(zhì)即可求出NACO的度數(shù)；

（2）由勾股定理求出C。的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理得到型代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出CE

CE0A

的長(zhǎng).

【解析】解：（1）?..AEJ_C￡）于點(diǎn)E,

ZA￡C=90°

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AZACD=ZAEC+ZEAC=900+25°=115

(2)?.?CZ)是。。的切線，

?,?半徑OCLDE,

???NOCD=90°,

VOC=OB=2,BD=\,

：.0D=0B+BD=3,

???CZ)=7OD2-OC2=正?

ZOCD=ZAEC=90°,

???OC//AE,

?.C?一DO二D,

CEOA

.娓3

??-----,

CE2

:.CE=^^-.

3

E

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由

三角形外角的性質(zhì)求出/ACD的度數(shù)，由勾股定理求出。的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理即可求出

CE的長(zhǎng).

5.（2023?臺(tái)州）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置

刻畫圓上點(diǎn)的位置.如圖，A3是OO的直徑，直線/是。。的切線，B為切點(diǎn).P,。是圓上兩點(diǎn)（不

與點(diǎn)A重合，且在直徑A8的同側(cè)），分別作射線AP,AQ交直線/于點(diǎn)C,點(diǎn)。.

（1）如圖1,當(dāng)A8=6,弧8P長(zhǎng)為IT時(shí)，求8C的長(zhǎng)；

（2）如圖2,當(dāng)?shù)系?，?前時(shí)，求區(qū)的值；

AB4CD

（3）如圖3,當(dāng)sin/BAQ。^，BC=C。時(shí)，連接8尸，PQ，直接寫出型的值.

4BP

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AAA

圖1圖2圖3

【思路點(diǎn)撥】(1)連接。尸，設(shè)NBOP的度數(shù)為小可得未冗X3?=60,即乙BOP=60°,故/

180

BAP=3O°，而直線/是OO的切線，有乙48c=90°,從而BC=~^>=2我；

V3

(2)連接BQ,過點(diǎn)C作C/_LAO于點(diǎn)孔求出cos/BAQ=螞=3,由第=前，得/BAC=/DAC,

AB4

有CF=BC,證明/八7。=/54。，即得受=3,故區(qū)=3；

CD4CD4

連接BQ,證明SAQC得里=理■①，證明△得及=_^巳②，由BC=

(3)△APQZ\,APBszXABC,

CDADBCAB

CD,將①②兩式相除得：曳=旭，故西=YM.

BPADBP4

【解析】解：(1)如圖，連接。P,

'：AB=6,而長(zhǎng)為IT,

.nHX3

??-----------------IT,

180

：.n=60,即/BOP=60°,

：.ZBAP=3Q°,

:直線/是。。的切線，

AZABC=90",

.?.2C=tan30。乂2=2我；

(2)如圖，連接BQ,過點(diǎn)C作CPLAZ)于點(diǎn)R

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A

???AB為OO直徑,

：.ZBQA=90°,

cosZBAQ=-^-=—,

AB4

??,BP=PQ，

：.ZBAC=ZDAC,

VCF±A￡>,ABLBC,

：.CF=BC,

ZBAQ^ZADB=90°,ZFCD+ZADB=90°,

：.ZFCD=ZBAQf

cosZFCD=cosZBA2=—,

.CF-3

??一一~—,

CD4

.BC_3

??-;

CD4

（3）如圖，連接BQ,

\*AB±BC,BQ±AD,

???NA5Q=90°-NQBD=NADC,

*.?ZABQ=ZAPQ,

：.ZAPQ=ZADC9

'：ZPAQ=ZDAC,

：.AAPg^AADC,

.?■里二空①，

CDAD

VZABC=90°=NAPB,ZBAC=ZPAB,

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AAPB^AABC,

.?.此^^②，

BCAB

由BC=a),將①②兩式相除得:

PQ=AB

BPAD)

,.,cosN2AQ=嶇=^5_,

AD4

?PQ_VTO

"BP~T'

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓的切線等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用.

6.(2023?衢州)如圖，在中，ZACB=90°,。為AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)08.以O(shè)C為半徑的半

圓與A8邊相切于點(diǎn)。，交AC邊于點(diǎn)E.

(1)求證：BC=BD.

(2)若OB=OA,AE=2.

①求半圓。的半徑.

②求圖中陰影部分的面積.

【思路點(diǎn)撥】(1)連結(jié)OD.由切線的性質(zhì)得出/?！?gt;2=90°,證明RtAODB^RtAOCB(HL),由

全等三角形的性質(zhì)得出BC=BD.

(2)①證出/O8O=/OBC=/A=30°,由直角三角形的性質(zhì)得出答案；

②由勾股定理求出&。=2如，/4。。=60°,由三角形面積公式和扇形的面積公式可得出答案.

【解析】(1)證明：如圖，連結(jié)。D

ZODB=90°,

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VZACB=90°,OC=OD,OB=OB,

：.RtAODB^RtAOCB(HL),

：.BC=BD.

(2)解：@'：OB^OA,

：.ZOBD=ZA,

VRtAODB^RtAOCB,

：.ZOBD=ZOBC,

：.ZOBD=ZOBC=NA,

ZOBD+ZOBC+ZA=90°,

：.ZOBD=ZOBC=ZA=30°,

在RtZ\OD4中，sin/A=?D,

OA

：.OD=^OA.

2

\"OD=OE,

：.OE=^-OA,

2

；*OE=AE=2,

半圓。的半徑為2.

②在RtZ\OZM中，OD=2,OA=4,

：AD=22

-VOA-OD=2?,

S^OAD=-|OD-AD=yx2X2V§=2百，

VZA=30°,

ZAOD=6Q°,

?'?S陰影部分=SaOOA-S扇形。OE=2a-蚓81=2好空.

3603

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定

理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

7.(2023?寧波)如圖1,銳角△ABC內(nèi)接于。0,。為的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連結(jié)

BE,CE,過C作AC的垂線交AE于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在上，連結(jié)BG,CG,若BC平分NEBG且NBCG

=ZAFC.

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AA

EE

圖1圖2

(1)求/BGC的度數(shù).

(2)①求證：AF=BC.

②若AG=DF,求tan/GBC的值.

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。恰好在8G上且0G=1時(shí)，求AC的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)同弧圓周角相等得NEBC=/EAC,然后利用直角三角形兩個(gè)銳角互余即可解決

問題；

(2)①證明△ACB等ZiBGC(ASA),即可解決問題；

②過點(diǎn)C作C7/LEG于點(diǎn)H,設(shè)AG=D尸=2無，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)即可解決問題；

(3)過點(diǎn)。作。于點(diǎn)連結(jié)0C交AE于點(diǎn)N,分別證明CASA),△COGg

/\OBM(AAS),得BM=OG=1,設(shè)03=0C=r,然后由△GONs^GBE,對(duì)應(yīng)邊成比例，求出r的

值，進(jìn)而可求AC的長(zhǎng).

【解析】(1)解：平分NEBG,

.\ZEBC=ZCBG,

■:/EBC=NEAC,

：.ZCBG=ZEAC,

\'AC±FC,

：.ZAFC+ZEAC=90°,

:/BCG=NAFC,

：.ZBCG+ZCBG=90°,

ZBGC=90°；

(2)①證明：VZBGC=90°,D為8c中點(diǎn)，

：.GD=CD,

：.NDGC=ZDCG,

:ZBCG=ZAFC,

：./DGC=ZAFC,

：.CF=CG,

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VZACF=ZBGC=90°,

/.AACF^ABGC(ASA),

：.AF=BC；

②解：如圖1,過點(diǎn)。作CH_LEG于點(diǎn)H,

設(shè)AG=DF=2x,

△ACF"ABGC,

：.AF=BC=2DG,

：.CD=DG=AG+DF=4x,

?：CF=CG,

：.HG=HF=3x,

:?DH=x,AH—5x,

CH=VCD2-DH2=V(4X)2-X2=后口

tanNGBC=tanNCAF=絲=

AH5

：.tanZGBC的值為IS；

5

(3)解：如圖2,過點(diǎn)。作OMLBE于點(diǎn)M,連結(jié)。C交AE于點(diǎn)N,

'一E

圖2

,.?OB=OC,

：.ZCBE=ZOBC=/OCB,

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???OC//BE,

?:BD=CD,NBDE=NCDN,

:?△EBD"ANCD(ASA),

:?BE=CN,

9：OC//BE,

:"GOC=/MBO,

9：ZCGO=ZOMB=90°,OC=OB,

???△COG咨LOBM(A45),

：.BM=OG=1,

OMLBE,

:?CN=BE=2BM=2,

設(shè)03=0C=r,

OC//BE,

:.AGONsAGBE,

.GO=ON

e，GBBE，

.1_r-2

??---------------,

r+l2

解得r=1WF或「=1-"17(舍去)，

22

由(2)知：AACF/△BGC,

：.AC=BG=BO+OG=r+\=^-^-.

2

.?.AC的長(zhǎng)為5+3.

2

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問

題.

8.(2023?浙江)己知，A8是半徑為1的。。的弦，。。的另一條弦滿足CD=A8,且CDLA2于點(diǎn)

第14頁共79頁

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦C。與點(diǎn)X(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)連結(jié)AD,猜想：當(dāng)弦的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由；

若不變，求出的長(zhǎng)度；

(3)如圖2,延長(zhǎng)AH至點(diǎn)F,使得HF=AH,連結(jié)CF,ZHCF的平分線CP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,

點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，連結(jié)若PD=LD,求證：MH±CP.

2

【思路點(diǎn)撥】(1)以42為圓心，大于工42長(zhǎng)為半徑畫弧，交點(diǎn)為G,連接0G,與。。交點(diǎn)為E,

2

F,與AB交點(diǎn)、為M,則。GLA2,分別以E,尸為圓心，大于1所長(zhǎng)為半徑畫弧，交點(diǎn)為N,連接ON,

2

則0N〃A2,以。為圓心，OAf長(zhǎng)為半徑畫弧與ON交點(diǎn)為尸，則OP=OM,以尸為圓心，OP長(zhǎng)為半徑，

交直線CW于。，以。，。為圓心，大于工。。長(zhǎng)為半徑畫弧，交點(diǎn)為R,連接PR,則PRLAB,PR與

2

O。交點(diǎn)為C,D,與AB交點(diǎn)、為H,即CZX點(diǎn)〃即為所求；

(2)如圖2,連結(jié)A。，連接。。并延長(zhǎng)交OO于E,連結(jié)AE,AC,過。作。凡LAB于尸，ON_LCD于

N,證明四邊形0F8N是正方形，則可證△AC8是等腰直角三角形，則/C=45°,由俞=俞，可知/

￡=ZC=45°,由。E是。。的直徑，可得NE4￡>=90°,則△AQE是等腰直角三角形，AD=DE-sm

Z￡=V2；

(3)如圖3,延長(zhǎng)C。、FP,交點(diǎn)為G,由題意知MH是△AP尸的中位線，則切;〃尸尸，MH=^PF,

2

由尸￡>=24。，可得M￡)=工尸。，證明△Ws/VPDG,則圓■=?^1=1，BPGP=2MH=PF,如圖3,

22GPPD2

作△CFG的外接圓，延長(zhǎng)CP交外接圓于點(diǎn)N,連結(jié)GN、FN,由CP是/aCF的平分線，可得/GCP

=NFCP,貝i|GN=NF,證明AGPN絲LFPNCSSS),則NGPN=/"W=90°,即PFLCP,由MH

//PF,可得MH_LCP,進(jìn)而結(jié)論得證.

【解析】(1)解：如圖1,CD、點(diǎn)H即為所求；

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(2)當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，線段AD的長(zhǎng)度不變；

如圖，連結(jié)A。，連接。。并延長(zhǎng)交0O于E,連結(jié)AE,AC,過。作OELAB于RONLCD于N,則

四邊形是矩形，

"：AB=CD,ABVCD,

：.OF=ON,

四邊形OFHN是正方形，

：.FH=NH,

：.AF+FH=CN+NH,即AH=CH,

AACH是等腰直角三角形，

AZC=45°,

VAD=AD)

.\ZE=ZC=45O,

?.?DE是00的直徑，

AZEAD=90°,

.?.NAOE=45°,

.../XADE是等腰直角三角形，

：.AE=AD,

.*.A￡>=￡)E?sinZE=V2-

線段A。是定長(zhǎng)，長(zhǎng)度不發(fā)生變化，值為加；

(3)證明：如圖3,延長(zhǎng)CO、FP,交點(diǎn)為G,

"：HF=AH,

...點(diǎn)H為Af的中點(diǎn)，

又???點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，

MH是△APF的中位線，

J.MH//PF,MH=LPF,

2

又?.?/>￡>=PM=AM,

2

：.MD=—PD,

2

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'：MH//GP,

：.NMHD=/PGD,

又：ZMDH=ZPDG,

：.AMDHs/\PDG,

.MHMD1

??-------=2--,

GPPD2

即GP=2MH=PF,

如圖3,作的外接圓，延長(zhǎng)CP交外接圓于點(diǎn)N,連結(jié)GN、FN,

j?<-'—--—

圖2G-N

「CP是NHCF的平分線，

:"GCP=/FCP,

：.GN=NF,

"：GP=PF,GN=NF,PN=PN,

:.△GPN〈/\FPN(SSS),

：.ZGPN=ZFPN=90°,

J.PFLCP,

\'MH//PF,

：.MHLCP.

證法二：過點(diǎn)尸作尸G,HF于G點(diǎn)，

由PG//DH,

：.HG：AH=PD：AD=1：2,

,:AH=HF,

：.HG-.HF=\t2,即G是HF中點(diǎn)，

：.PH=PF,

：CP平分/OCR過點(diǎn)尸作PK_LCH于點(diǎn)K,PE_LCF于點(diǎn)E,

第17頁共79頁

，/KPE=135°,PK=PE,

：./\PHK^^PFE(HL),：.ZHPF=135°,/PFG=225,

在△CPB中，由內(nèi)角和推得NCP/=90°,

C.MHLCP.

【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，正弦，正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形

的判定與性質(zhì)，中位線，直徑所對(duì)的圓周角為直角，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性

質(zhì)，角平分線等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

9.(2023?麗水)如圖，在。。中，AB是一條不過圓心O的弦，點(diǎn)C,D是窟的三等分點(diǎn)，直徑CE交

于點(diǎn)F,連結(jié)AO交CF于點(diǎn)G,連結(jié)AC,過點(diǎn)C的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

(1)求證：AD//HC；

(2)若里=2,求tan/朋G的值；

GC

(3)連結(jié)BC交于點(diǎn)N,若。。的半徑為5.

下面三個(gè)問題，依次按照易、中、難排列.請(qǐng)根據(jù)自己的認(rèn)知水平，選擇其中一道問題進(jìn)行解答.

①若。尸=5,求8C的長(zhǎng)；

2

②若求△AA?的周長(zhǎng)；

③若族?AB=88,求的面積.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意可得眾=&=宿，再由8C是O。的切線，即可求證.

(2)先證明△CAGg△9GCASA),設(shè)出CG,根據(jù)勾股定理即可求解.

(3)①根據(jù)題意，求出AG的長(zhǎng)，再由正=而=加即可求解.

②根據(jù)題意可求得正=而=而，再由勾股定理及相似三角形的性質(zhì)即可求解.

③作出輔助線，設(shè)出CG,利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)可得方程IQr+x(5-2x)=22,進(jìn)而可求

第18頁共79頁

得以四=8,再證明△CHAS/^HC,即可解答.

【解析】(1)證明：：點(diǎn)C,。是窟的三等分點(diǎn),

???AC=3=DB.

由CE是。。的直徑可得CE±AD,

是。。的切線，

J.HCLCE,

J.AD//HC.

(2)解：如圖1,連接A0,

圖1

VBD=CD，

：.ZBAD=ZCAD,

:CE±AD,

：.ZAGC=ZAGF=90°,

：./\CAG^/\FAG(ASA),

：.CG=FG,

設(shè)CG=a,則尸G=a,

..OG門

?-=9，

CG4

：?OG=2a,AO=CO—3a.

在Rtz\AOG中，AO2=AG2+OG2,

J(3〃)2=AG2+(2〃)2,

,?AG=V^a，

tanZFAG=^~

AG5

答：tan/RIG的值為適.

5

(3)解：①如圖1,VQF=1-,OC=OA=5>

第19頁共79頁

5

?CG=FG=『

?OG岑，

,AG=VOA2-OG2=平,

VCE±A￡）,

：.AD=2AG=^^-,

2

VAC=CT=DB-

??AD=CB?

.5A/7

??BC=AD=2^-

答：BC的長(zhǎng)為色旦.

2

②如圖2,連接CD,

：.AH=AF,

:NHCF=90°,

.,?AC=AH=AF=V10.

設(shè)CG=x,則FG=x,OG=5-x,

由勾股定理得AG?/。2_0G2=AC2-CG2,

即25-（5-尤）2=10-%2,

解得尤=1,

.".AG=3,AD=6,

VCD=DB?

:./DAC=NBCD,

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'：ZCDN=ZADC,

：./\CDN^/\ADC,

.NDCD

??---二,

CDAD

ZBAD=ADAC,ZABN=ZADC,

：.AANBs4ACD,

?ccAN_1313V102￡

,，CAANB=CAACDvx而-(6+W而v又=-g—7

答：zXANB的周長(zhǎng)為嶼叵江.

53

③如圖3,過點(diǎn)。作0M_LA2于點(diǎn)M,則AM=MB=^AB，

圖3

設(shè)CG=x，則FG=x,OG=5-x,OF=5-2x,

由勾股定理得AG2=AO2_OG2=25-(5-X)2,

AF2=AG2+FG2=IOX-7+7=10x,

'：AD//HC,FG=CG,

-'-AH=AF=yHF>

；?AG-^HC，

AF-AM=vHFAB=vHF-AB=4X88=22，

2244

VZAGF=ZOMF=90°,ZAFG=ZOFM,

：./\AFG^/\OFM,

?.?AFGF,

OFFM

：.AF-FM=OF-GF,

：.AF'AM^AF'(AF+FM)^AF2+AF'FM^AF2+OF'GF=22,

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可得方程10x+x(5-2x)=22,

解得％1=2,X2=5.5(舍去)，

:.CG=FG=2,

：.OG=3,

???AG=4,

.,.HC=8,AH=AF=2>/5,

S/\CHA=8,

'：AD//HC,

：.ZCAD=ZACH,

1?,AC=CD.

???NB=NCAD,

:./B=/ACH,

?：/H=/H,

:?△CHAs^BHC,

???S-HC=8XC>)2喈

答：△①/c的面積為」里.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似三角形解答.

-------------------1解題秘籍?------------

臨/考/搶/分/寶/典

1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?；

2）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角；

3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的

圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等；

4）注意圓的相關(guān)知識(shí)和相似、特殊四邊形、三角函數(shù)、全等三角形、勾股定理等結(jié)合解決相關(guān)計(jì)算問題。

-------------------1押題預(yù)測(cè)?------------

中/考/預(yù)/測(cè)/押/題

1.如圖，△ABC內(nèi)接于O。，42是O。的直徑，過點(diǎn)A的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，E是。。上一點(diǎn),

點(diǎn)C,E分別位于直徑A8異側(cè)，連接AE,BE,CE,且/ADB=NDBE.

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(1)求證：CE=CB；

(2)求證：/BAE=2/ABC；

(3)過點(diǎn)C作CFLA8,垂足為點(diǎn)尸，若S^BCF萼,求tan/A8C的值.

SAABE8

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)是。。的直徑，A。為OO的切線，得AQJ_AB,ZAEB=90°,則NAOB+

ZABD=90°,ZA￡C+ZCEB=90°,再根據(jù)NABO=NAEC得/AO8=NCEB,進(jìn)而再由NA￡)B=/

DBE得/CEB=NDBE,據(jù)此可得出結(jié)論；

(2)連接C。并延長(zhǎng)交BE于H,則NAOC=2/A8C,由(1)的結(jié)論可知CE=CB,則宸=向，由垂

徑定理得AHLBE,再根據(jù)AB是O。的直徑得/AEB=90°,由此可得A￡〃C8,則N54E=NA0C,

據(jù)此可得出結(jié)論

(3)證△ABE和△OCP相似得AE：OF=BE：CF^AB：OC=2,則AE=2O/，BE=2CF,設(shè)O。的半

徑為r,OF=x,則AE=2x,BF=OB+OF=r+x,由也些空得史上=2,由此解出了=紅，貝I]8尸=

SAABE84x87

r+x=9二，然后在Rt2\OC/中，由勾股定理求出。尸=芭&1,最后再根據(jù)銳角三角形的定義可得tan

77

ZABC的值.

【解析】(1)證明：TAB是。。的直徑，A。為。。的切線，

：.AD±AB,ZAEB=90°,

AZADB+ZABD=90°,ZAEC-^ZCEB=90°,

ZABD=ZAEC,

：.NADB=/CEB,

ZADB=ZDBE,

：?NCEB=/DBE,

：.CE=CB；

(2)證明：連接CO并延長(zhǎng)交BE于"，如下圖所示：

第23頁共79頁

D

：.NABC=NOCB,

：.ZAOC=ZABC+ZOCB=2ZABC,

由(1)的結(jié)論可知：CE=CB,

.*.CE=CB，

：.AH±BEf

TAB是。。的直徑，

AZAEB=90°,

即AELBE,

J.AE//CH,

???ZBAE=ZAOC9

：.ZBAE=2ZABC；

(3)解：TAB是OO的直徑，CF±AB,

：.ZBEA=ZCFO^90°,AB=2OC,

又,.?AE〃C”,

???/BAE=NAOC,

：.△ABEs△OCR

：.AE：OF=BE：CF=AB：OC=2,

：.AE=2OF,BE=2CF,

設(shè)。O的半徑為廠，OF=x,

貝BF=OB+OF=r+x,

/.S^BCF=-BF*CF=A(r+x)?CF,SMBE=—AE-BE=AX2x*2CF=2x*CF,

2222

??SABCF9

?------=—，

SAABE*

y(r+x)-CF

???號(hào)k號(hào)Q

第24頁共79頁

即也駕

4x8

解得：x=紅，

7

BF=r+x=r+^~=里",

77

在Rt^OCF中，。/=X=2L,OC=r,

7

由勾股定理得：。尸=匹于=宜百工，

.'.tanZABC=史=-J—=遮.

BF9rR

7

【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函

數(shù)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)是解

決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C是直線43上方的。0上一點(diǎn).點(diǎn)〃是△ABC的內(nèi)心.連結(jié)AM,BM,

CM,延長(zhǎng)CM交O。于點(diǎn)Z).

(1)若AB=10,AC=6,求BC的長(zhǎng).

(2)求NAMB的度數(shù).

(3)當(dāng)點(diǎn)C在直線A8上方的。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：DMX^AB.

【思路點(diǎn)撥】(1)由AB是。。的直徑，得/ACB=90°,而AB=10,AC=6,則BCRAB?-AC2=

8；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，所以ZMBA=^-ZCBA,則(/

222

CAB+ZCBA')=45°,即可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得135°；

(3)連結(jié)A。、BD,則乙4。8=90°,因?yàn)镃M平分/ACB,所以NACZ)=/BCZ)=工/ACB=45°,

2

則俞=俞,所以AO=B。，由勾股定理得AB=J5A。，由NZM8+NK4B=/ACQ+/MAC,得/D4M

=ZDMA,則。M=AD,所以A2=A/5￡)M,即可證明。河=返4艮

2

第25頁共79頁

【解析】(1)解：是O。的直徑，

AZACB=90°,

?：AB=1O,AC=6,

:，BC=VAB2-AC2=V102-62=8'

.?.8C的長(zhǎng)為8.

(2)解:VZACB=9Q°,

：.ZCAB+ZCBA^90°,

?點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，

平分NCAB,平分NCBA,

Z.ZMAB=—ZCAB,ZMBA^—ZCBA,

22

/.ZMAB+ZMBA=^~CZCAB+ZCBA)=45°,

2

/.ZAMB=180°-(ZMAB+ZMBA)=135°,

的度數(shù)為135°.

(3)證明：連結(jié)A。、BD,貝iJ/ADB=90°,

丁點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，ZACB=90°,

平分/ACS,

AZACD=ZBCD=^ZACB=45°,

2

***AD=BD，

：.AD=BD,

???A5=JAD2+BD2=J2AD2=近AD,

VZDAB=ZACD=45°,ZMAB=ZMACf

：.ZDAB+ZMAB=ZACD-^-ZMAC,

9

：ZDAM=ZDAB-^-ZMAB.ZDMA=ZACD-^-ZMACf

：./DAM=/DMA,

：.DM=AD,

：.AB=42DM,

J?

：.DM=y-^-AB.

2

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c

D

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、三角形的內(nèi)心的定義和性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),

正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?臨安區(qū)一模）在△ABC中，BC=10,以為直徑的交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。

交8c于點(diǎn)E.

（1）如圖1,若NABC=90°,BE：EC=2：3,求OE的長(zhǎng).

（2）如圖2,若NABC<90°,AB與O。相交于點(diǎn)E連接FD,當(dāng)點(diǎn)E與圓心。重合時(shí)，

①求證：FD=DC；

②四邊形EBC。的周長(zhǎng)有最大值嗎？請(qǐng)說明理由.

【思路點(diǎn)撥】（1）連接2。，在直角三角形BCD中，由射影定理可得。FngE.cE求出BC、CE即可

求QE；

（2）①連接。凡根據(jù)平行線的性質(zhì)推導(dǎo)出/"）￡>=NC。。，可得而=而，即可證明尸。=8；

②先求AB=2OZ）=10,設(shè)DF=y,再由⑵尸-（10-%）2=102-%2,推導(dǎo)出x=10"y2,

則四邊形EBC。的周長(zhǎng)=-看（廠5）2+25,當(dāng)y=5時(shí)，四邊形EBC。的周長(zhǎng)有最大值為25.

【解析】（1）解：連接8D,

；BE：EC=2：3,BC=10,

：.BE=4,CE=6,

是圓0的直徑，

：.ZBDC=9Q°,