2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類討論思想經(jīng)典考題講練

分類討論思想經(jīng)典考題講練

解題要點(diǎn)剖析

當(dāng)所研究的對象具有某種不確定性，難以用統(tǒng)一的方法進(jìn)行研究時(shí)，需要分不同情況進(jìn)行討論，簡單地說，分類討論就是“化

整為零，逐個(gè)擊破”.分類討論問題往往是綜合性比較強(qiáng)的問題，也是創(chuàng)新型問題之一.我們經(jīng)常會遇到“不知如何下手”或“結(jié)論不完整,

有漏解”的情況.本文以近幾年中考壓軸小題為載體，主要探究以下三種分類討論類型：結(jié)論不確定型、圖形位置不確定型和無圖幾

何題.希望大家在賞析中體會分類討論思想，在實(shí)踐中應(yīng)用分類討論的方法思考問題.

經(jīng)典考題解析

例1如圖10-1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=kx(k>0)分別交反比例函數(shù).y

=孑口y=［在第一象限的圖象于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)B作BDJ_x軸，垂足為點(diǎn)D,交y=［的圖象于

點(diǎn)C,連接A。若八ABC是等腰三角形，則k的值是

分析因?yàn)榈妊切伟薃BC沒有指明哪條邊是腰，哪條邊是底，所以需要分三種情況討論：AB是底，BC是底和AC是底.

聯(lián)立方程組，求出直線與雙曲線的交點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及等腰三角形兩腰相等建立方程，即可求出k的值.

,?,點(diǎn)B是y=kx和y=糊交點(diǎn)，令kx=，解得:x=%y=3限

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為3的.

??,點(diǎn)人是丫=心和.y=［的交點(diǎn)，令心=3解得:x=^=,y=y［k.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為仁，皿)

?.,BD_Lx軸，

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為靠縱坐標(biāo)為|=當(dāng).

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為隰*).

若^ABC是等腰三角形:

⑴當(dāng)AB=BC時(shí)，則JC?+(3小包)2=3Vfc-當(dāng)解得:k=浮

⑵當(dāng)AC=BC時(shí)，則+(合用*=3a-當(dāng)

解得：女吟;

(3)當(dāng)AB=AC時(shí)，由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得：點(diǎn)A的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)B和點(diǎn)C縱坐標(biāo)之和的一半，即迎='嬖，故k=

0,矛盾,舍去.

綜上可得：上=學(xué)或上=￥.

小結(jié)本題綜合考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論思想方法

等知識.求解的關(guān)鍵是先聯(lián)立方程組求出直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后把等腰三角形分三種情況討論，最后建立關(guān)于k的方程并求出

k的值.

A

例2如圖10-2所示NAOB=45。,點(diǎn)M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)，若/

X

使點(diǎn)P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的取值范圍是—./

M/

分析假如點(diǎn)M,N位置確定，尋找使點(diǎn)P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P的方法是“兩圓一線”、“兩/

OB

圓”指的是分別以點(diǎn)M、N為圓心，以MN的長為半徑畫圓，與射線OB有幾個(gè)不同的交點(diǎn)就意味著有幾個(gè)符圖10_2

合條件的點(diǎn)P；“一線”指的是線段MN的垂直平分線與射線OB的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.因?yàn)橐蠓蠗l件的

點(diǎn)P只有三個(gè)，故只需保證“兩圓”與射線OB的交點(diǎn)只有2個(gè)；又因?yàn)镸N是射線OA上的運(yùn)動(dòng)的定長線段，故可以考慮讓點(diǎn)M從

點(diǎn)。出發(fā)，慢慢地向前移動(dòng)，觀察并思考“兩圓”與射線OB的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

分三種情況討論：

①如圖10-3所示，當(dāng)M與O重合時(shí),以M為圓心,以4為半徑的。M與射線OB交于點(diǎn)P】；；以N為圓心，以4為半徑的。N與

射線OB交于點(diǎn)，Pz；；線段MN的中垂線交射線OB于點(diǎn).P3,故當(dāng)久=0時(shí)，點(diǎn)P恰好有三個(gè).

②如圖10-4所示，以N為圓心，以4為半徑畫圓，當(dāng)ON與射線OB相切時(shí)，切點(diǎn)為Pi；以M為圓心，以4為半徑的。M與

射線OB交于P2；線段MN的中垂線與射線OB交于P3.故此時(shí)點(diǎn)P恰好有三個(gè).

?/ZAOB=45°,

/.△NOPt是等腰直角三角形NPt=0Pl=4.

ON=4V2x=ON-MN=4V2-4.

③如圖10-5所示以M為圓心，以4為半徑畫。M;以N為圓心，以4為半徑畫。N.設(shè)。Mi恰好經(jīng)過點(diǎn)OQM?恰好與射線OB相

切.

當(dāng)點(diǎn)M和Mi重合時(shí),即。M恰好經(jīng)過點(diǎn)O時(shí),此時(shí)x=4,OMi與射線OB只有一個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)O除外）.此時(shí)ON】=8,ON1與射

線OB無交點(diǎn)，線段MiNi的中垂線與射線OB有一個(gè)交點(diǎn)，故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)；

當(dāng)點(diǎn)M和M2重合時(shí)，即。M恰好與射線OB相切，此時(shí)久=4V2,OW2=4V2+4,ON2與射線OB無交點(diǎn)，線段M2N2的中

垂線與射線OB有一個(gè)交點(diǎn)，故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)；

當(dāng)4Vx<4四時(shí)，即點(diǎn)M在線段MiM2之間運(yùn)動(dòng)，OM與射線0B有兩個(gè)交點(diǎn)，ON與射線OB無交點(diǎn)，線段MN的中垂

線與射線0B有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足條件的點(diǎn)P恰好有三個(gè).

綜上所述，若使點(diǎn)P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，貝Ux=0或工=4&-4或4〈久V4或.

解答0或4立一4或4c久<4V2.

小結(jié)本題以動(dòng)點(diǎn)問題為載體，綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、“兩圓一線”找

等腰三角形以及分類討論思想等知識.求解的關(guān)鍵是讓點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，觀察。M和。N與射線0B的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化，在整

個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)現(xiàn)三種滿足題意的情況：點(diǎn)M和點(diǎn)O重合，ON與射線OB相切，OM與射線OB有兩個(gè)交點(diǎn)，ON與射線O

B無交點(diǎn).

例3如圖10-6所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸.y軸于A,B兩

點(diǎn),已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離是___;

(2)設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA,PC,若LCPA=NABOTHm的值是—.

圖10-6

分析當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，易求m的值，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；最后根據(jù)RtAAOB的等面積法求

出點(diǎn)。至U直線AB的距離；因?yàn)楸绢}沒有告訴m的范圍，故需要分m>0和m<0(由題可知m=0不需考慮)，當(dāng)m>0時(shí)，易知Z.CPA

=ZABO=45°,故可以構(gòu)造“一線三等角”模型，在y軸負(fù)半軸上取(0D=0C,易知△PCDCO&APB,然后借助相似三角形的性質(zhì)即

可建立關(guān)于m的方程，最后求出m的值；當(dāng)m<。時(shí),NCPA=NABO不可能成立.

⑴當(dāng)x=2時(shí),y=-2+m=0,即m=2.

所以直線AB的解析式為y=-x+2,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2).

所以O(shè)B=OA=2,AB=2V2.

設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d.

2

由S0AB=l0A=lAB-4得4=2魚d,則d=V2.

⑵由y=-x+m可得A、B的坐標(biāo)分另U為(m,0),(0,m).所以O(shè)A=OB,故NOBA=NOAB=4

5°.

當(dāng)m<0時(shí)，如圖10-7所示,NAPC>NAPO>NOBA=45。,這與NCPA=NABO矛盾故不

合題意.

當(dāng)m>0時(shí)，如圖10-8所示，作OD=OC=2,連接CD故NPDC=45。，

因?yàn)镹CPA=NABO=45。，

所以NBPA+NOPC=NBAP+NBPA=135。,即/OPC=NBAPjil!UPCD^AAPB.

所以9=霽，艮警=注解得m=12.

ABPBy/2m-m

2

綜上可得:m=12.解答⑴V2;(2)12.

10-8

小結(jié)本題綜合考查了一次函數(shù)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、構(gòu)造“一線轉(zhuǎn)角”模型、相似三角形的判定和

性質(zhì)、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想方法等方法.本題的難點(diǎn)在于第⑵問，首先根據(jù)數(shù)形結(jié)合排除X)的情況；當(dāng)m>0時(shí)，求解的

\EW風(fēng)⑷

困難點(diǎn)在于如何使用NCPA-ABO,當(dāng)題目給出相等的角，需求邊長(線段OB的長，即m的嚼匕鯉需要借助冕后改韁立

方程模型求解，考慮到NCPA=NABO=45。，故可以構(gòu)造“一線三等角”模型找到包含PB的相似三保病

AB

圖10-9圖10-10

例4在三角形紙片ABC中,NA=90。,NC=30。,AC=30cm,將該紙片沿過點(diǎn)B的直線

折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD（圖10-9）,剪去△CDE后得到雙層

ABDE（圖10-10）,再沿著過八BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面

圖形中有一個(gè)是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長為—cm.

分析沿著過△BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開，有三種情況：沿著過點(diǎn)D的直線剪，沿著過點(diǎn)B的直線剪和沿著過點(diǎn)

E的直線剪.因?yàn)檎归_后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，展開得到的平行四邊形一定是菱形.沿著過點(diǎn)B

的直線將雙層三角形剪開，得到的是一個(gè)“箏形”（兩組鄰邊相等的四邊形），不是平行四邊形，故不符合題意；沿著過點(diǎn)D的直線D

F將雙層三角形剪開，當(dāng)DF=BF時(shí)，可以得到一個(gè)平行四邊形；沿著過點(diǎn)E的直線EG將雙層三角形剪開，當(dāng)ED=EG時(shí)，可以得

到一個(gè)平行四邊形.

NA=9（T,NC=3（r,AC=30,，AB=10V3,ZABC=60°.

VAADB^AEDB,

2LABD=乙EBD=^ABC=30°,BE=AB=10V3.

DE=10,BD=20.

如圖10-11,平行四邊形的邊是DF,BF.由NE=9（P,NEDF=3（r,DE=10濯DF=BF=萼

故平行四邊形的周長=竿；

如圖10-12,平行四邊形的邊是DE,EG,且DE=EG=10,故平行四邊形的周長=40.

綜上所述：平行四邊形的周長為40或竿.

解答40或等.

小結(jié)本題綜合考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、

全等三角形的性質(zhì)以及分類討論思想方法等知識.求解的關(guān)鍵是：得到一個(gè)展開的平行四邊形，本質(zhì)上就是得到一個(gè)展開的菱形，根

據(jù)菱形的四條邊相等可知，沿著過△BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開，必須得到一個(gè)等腰三角形才符合題意.

例5（沈陽）如圖10-13所示，在RtAABC中，乙4=90°,AB=AC,BC=20/DE是AABC的中位線，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn),BM=3,

點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DN,ME,相交于點(diǎn)O.若△OMN是直角三角形，則DO的長是—.

分析因?yàn)椤鱋MN是直角三角形，但沒有指明哪個(gè)角是直角，故需要分類討論，考慮到NOMN不可能是直角，故需要分

乙0NM=90。和AMON=90。.要求線段OD的長，需要借助相似三角形的判定和性質(zhì)來求，故首先需要構(gòu)造和△DOE相似的三角彩

當(dāng)40NM=90。時(shí),如圖10-14所示作EF±BC于點(diǎn)F,易知DN||EF.

四邊形DEFN是平行四邊形.

VZEFN=90°,A四邊形DEFN是矩形.

VDE是^ABC的中位線,DEBC,DE=^BC=10.

???EF=DN,DE=FN=10.

VAB=AC,ZA=90°,

JB=M=45I.BN=DN=EF=FC=W=5.

,:BM=3,MN=BN-BM=2.

pn

；訴OD10_OD

???DOExsNOM,.ONi2-5-OD'

OD=空（或者利用△DOE~AFEM）.

6

當(dāng)乙MON=90。時(shí)，如圖10-15作EF1BC于F,易知EM=VEF2+FM2=13.v

圖10-15

OD10OD

DOE?EFM,—

EF13

50

???OD

13,

綜上可得：OD="或OD=

解答親照.

小結(jié)本題綜合考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、

相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論思想方法等知識.求解的關(guān)鍵是：考慮到△DOE是直角三角形，故通過作垂線或識別“8字形”

基本圖形可以構(gòu)造和△DOE相似的三角形△EFM或ANOM,最后借助相似三角形的性質(zhì)建立方程模型即可求解.

例6如圖10-16所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8點(diǎn)P在矩形AB-CD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上.滿足△PBES/\DBC苕AAPD

是等腰三角形，則PE的長為—.

分析由八PBEs/\DBC,可得NPBE=NDBC,進(jìn)而可知點(diǎn)P在BD上，然后再根據(jù)△APD是等腰

三角形，故分DP=DA、AP=DP兩種情況進(jìn)行討論即可得.

四邊形ABCD是矩形，二ZBAD=ZC=90°,CD=AB=6....BD=V62+82=10.

APBE^ADBC,，NPBE=/DBC..,.點(diǎn)P在BD上.

①如圖10-16,當(dāng)DP=DA=8時(shí),BP=2.

VAPBE^ADBC,APE:CD=PB:DB=2:10.

PE:6=2:10..1.PE=1.2.

②如圖10-17,當(dāng)AP=DP時(shí),易知點(diǎn)P為BD中點(diǎn)

APBE^ADBC,，PE:CD=PB:DB=1:2.

PE:6=1:2,/.PE=3.

綜上所述.PE的長為1.2或3.

解答1.2或3.

小結(jié)本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及分類討論和數(shù)形結(jié)合思想等方法.

求解的關(guān)鍵是先根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，確定出點(diǎn)P在線段BD±,然后針對等腰三角形△APD進(jìn)行分類討論，并結(jié)合數(shù)形結(jié)

合思想進(jìn)行求解.

例7在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為（-1⑵,（2,1）,若拋物線y=ax2-x+2（a0）與線段MN有兩個(gè)不

同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）.

A.aW-1或；<a<|

。.?！叮刍颉！担菘?20-1或（12：

分析題目沒有說明a的符號，故需要分a>0和a<0兩種情況討論：

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的對稱軸為x=?0.如圖10-18,當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)N時(shí)，即當(dāng)x=2時(shí),4a=1,所以a=土.又因?yàn)閽佄锞€與

線段有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故拋物線的開口應(yīng)該變小，所以

MNa24

又易知直線MN的解析式為y=一？+|,如圖10-19,令ax2-x+2=-|%+所以△>0,解得（a</所以：4a<去

②當(dāng)a<0時(shí)，如圖10-20,拋物線的對稱軸為x=/<0,與y軸交點(diǎn)為（0,2）.

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，即當(dāng)x=-l時(shí),a+3=2,所以a=-l.

觀察圖象可知:a±L

綜上可知，［Va<5或a±l,故選A.

解答A.

小結(jié)本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),二次函數(shù)中a,b,c只拋物線的作用，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

（用判別式判斷根或交點(diǎn)的情況）,以及分類討論、數(shù)形結(jié)合思想等知識.求解的關(guān)鍵是先對拋物線開口方向進(jìn)行討論，對于每一種

情況，借助數(shù)形結(jié)合思想求出拋物線與直線存在交點(diǎn)時(shí)的臨界情況，即求出a的邊界值，最后再根據(jù)拋物線開口大小進(jìn)而確定a的

取值范圍.

_DE

例8如圖10-21所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,點(diǎn)E在CD上.DE=1,點(diǎn)F是邊AB上一

動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊作RtAEFP.若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上,且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，則A

F取值范圍是—.B

圖10-21

分析因?yàn)椤鱁FP是以EF為斜邊的直角三角形，所以可以借助輔助圓的思想來分析問題，即作出以EF為直徑的

00,觀察。O與矩形ABCD交點(diǎn)的情況，則。。與矩形ABCD的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)P.

①當(dāng)F與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖10-22所示，此時(shí)點(diǎn)P有兩個(gè)，一個(gè)與D重合，另一個(gè)交點(diǎn)在邊AB上.

②當(dāng)00與AD相切時(shí)，如圖10-23所示，此時(shí)EF_LAB.因?yàn)锳D=2,DE=1.所以AF=1廁OO與AD邊的切點(diǎn)為P,交點(diǎn)P只有一個(gè).

③當(dāng)。O與BC相切時(shí),如圖10-24所示，連接OP,此時(shí)存在3個(gè)交點(diǎn)P,則OPLBC.設(shè)AF=x，則.BF=P1C=4-x,EP1=x-l.

1Y—1

???OP//EC.OE=OF,：.OG==半

.:OF=OP=OG+GP=^+4-X=^.

在RtAOGF中，由勾股定理得:OF2=OG2+GF2,BP

（,=（/+/，解得久罟

.?.當(dāng)1<4F<三時(shí),如圖10-25所示，符合條件的直角三角形恰好有兩個(gè).

④當(dāng)F與B重合時(shí),如圖10-26所示，同①的方法，符合條件的直角三角形恰好有兩個(gè).

綜上所述,AF=0或4或1<4F<￡.

解答AF=0或AF=4或1<AF

小結(jié)本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、圓的切線的性質(zhì)、構(gòu)造輔助圓、三角形中位線定理、圓的性質(zhì)（直徑所對的

圓周角是直角）、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想等知識.求解的關(guān)鍵是構(gòu)造以EF為直徑的。O,讓點(diǎn)F從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,觀察動(dòng)圓O

與矩形ABCD的交點(diǎn)情況，畫出相應(yīng)的臨界情況，求出對應(yīng)的邊界值，最后通過數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.

全真模擬訓(xùn)練

1.如圖10-27是一張長方形紙片ABCD,已知AB=8,AD=7,E為AB上一點(diǎn)，AE=5,現(xiàn)要剪下一張等腰

三角形紙片（（A4EP）,使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是—.

2.當(dāng)a<x<a+l時(shí)，函數(shù)y=必-2x+1的最小值為1,則a的值為（