上海市金山區(qū)2024年高考數(shù)學(xué)一模試卷2（解析版）

2024年上海市金山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.若集合M={x|x2-2x<0},N={x||x|>1},則MnN=.

2.若復(fù)數(shù)z滿意2z+9=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則2=.

3.若sina=-得，且a為第四象限角，則tana的值等于—.

4.函數(shù)f（x）=c,sxsinx的最小正周期丁=.

sinxcosx

5.函數(shù)f（x）=2x+m的反函數(shù)為y=f-1（x）,且y=「i（x）的圖象過點(diǎn)Q（5,2）,那么

6.點(diǎn)（1,0）到雙曲線工_-y2=i的漸近線的距離是

2x-y<0|

7.若x,y滿意x+y<3，則2x+y的最大值為.

x》0

8.從5名學(xué)生中任選3人分別擔(dān)當(dāng)語文、數(shù)學(xué)、英語課代表，其中學(xué)生甲不能擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)課

代表，共有一種不同的選法（結(jié)果用數(shù)值表示）.

9.方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0（t為參數(shù)）所表示的圓的圓心軌跡方程是—（結(jié)果化

為一般方程）

10.若如是（2+x）n（nGN*,n22,xGR）綻開式中x2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，則

lira（―+-^-+-+^-）=.

n-8沁%

11.設(shè)數(shù)列{a?是集合{x|x=3，+3t,s<t且s,tGN}中全部的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即

ai=4,a2=10,a3=12,皿=28,a5=30,a6=36,將數(shù)列{aj中各項(xiàng)依據(jù)上小下大，左小右

大的原則排成如圖的等腰直角三角形數(shù)表，則ai5的值為—.

pI

1012

283036

12.曲線C是平面內(nèi)到直線h：x=-1和直線12：y=l的距離之積等于常數(shù)k2（k>0）的點(diǎn)

的軌跡，下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C過點(diǎn)（-1,1）；

②曲線C關(guān)于點(diǎn)（-1,1）成中心對(duì)稱；

③若點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A、B分別在直線11、12上，則|PA|+|PB|不小于2k；

④設(shè)Po為曲線C上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)P（）關(guān)于直線h：x=-1,點(diǎn)（-1,1）及直線f（x）對(duì)

稱的點(diǎn)分別為Pl、P2、P3，則四邊形PoPiP2P3的面積為定值4k2；其中，

全部正確結(jié)論的序號(hào)是—.

二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.給定空間中的直線1與平面a,則“直線1與平面a垂直”是"直線1垂直于平面a上多數(shù)

條直線”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

14.己知x、ydR,且x>y>0,貝！|（）

A.B-耳）

|xy122

C.Iog2x+log2y>OD.sinx-siny>0

15.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（）

二,,Ix"+(4a-3)x+3a,x<0一，"、“③

16.己知函數(shù)f(x)=1、(a>0,且aWl)在R上單調(diào)遞減，且

]loga(x+l)+l,x》0

關(guān)于X的方程If（x）1=2-X恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（）

D._2u

1a

三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PB、PD與

TT71

平面ABCD所成的角依次是石和arctanj，AP=2,E、F依次是PB、PC的中點(diǎn)；

（1）求異面直線EC與PD所成角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（2）求三棱錐P-AFD的體積.

18.已知AABC中，AC=1,/研，=等，設(shè)/BAC=X,記|《）二疝位;

。

（1）求函數(shù)f（X）的解析式及定義域；

（2）試寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求方程f（x）=5的解.

______6

19.已知橢圓C以原點(diǎn)為中心，左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-1,0）,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的近倍,

直線1與橢圓C交于點(diǎn)A與B,且A、B都在x軸上方，滿意NOFA+NOFB=180。；

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)對(duì)于動(dòng)直線1,是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論NOFA如何改變，直線1總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存

在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+l+b(a>0)在區(qū)間［2,3］上的最大值為4,最小值為1,記

f(x)=g(|x|),x￡R；

(1)求實(shí)數(shù)a、b的值；

(2)若不等式［f(x)+g(x)>log4-210g2k-刎隨意xGR恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍；

(3)對(duì)于定義在［p,q］上的函數(shù)m(x),設(shè)x()=p,xn=q,用隨意Xi(i=l,2,n-1)

將［p,q］劃分成n個(gè)小區(qū)間，其中Xi」<Xi<Xi+i，若存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得不等式|m(xo)

-m(xi)+|m(xi)-m(X2)+-+|m(xn-i)-m(xn)|WM恒成立，則稱函數(shù)m(x)

為在［p,q］上的有界變差函數(shù)，試證明函數(shù)f(x)是在［1,3］上的有界變差函數(shù)，并求出

M的最小值.

21.數(shù)列{bj的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)隨意正整數(shù)n,都有SF嗖)；

(1)試證明數(shù)列{、}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)假如等比數(shù)列w共有2024項(xiàng)，其首項(xiàng)與公比均為2,在數(shù)列{aj的每相鄰兩項(xiàng)電與

用+1之間插入i個(gè)(-1)%(iGN*)后，得到一個(gè)新數(shù)列{7},求數(shù)列{/}中全部項(xiàng)的和；

(3)假如存在neN*,使不等式(n+l)(bn+『)<(n+l)入<bn+iy—成立，若存在,

求實(shí)數(shù)人的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

2024年上海市金山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)

1.若集合M={X|X2-2X<0},N={X||x|>1},則McN=(1,2).

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【分析】解x2-2x<0可得集合乂=反|0<*<2},解團(tuán)>1可得集合N,由交集的定義,

分析可得答案.

【解答】解：x2-2x<0?0<x<2,則集合M={x|0<x<2}=(0,2)

x|>lox<-1或X<>1,則集合N={x|-1<X<1}=(-8,-1)u(i,+8),

則MnN=(1,2),

故答案為：(1,2)

2.若復(fù)數(shù)z滿意2z+W=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則z=1-2i.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算._

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,(a、b是實(shí)數(shù))，則值=a-bi,代入已知等式，再依據(jù)復(fù)數(shù)相等的含

義可得a、b的值，從而得到復(fù)數(shù)z的值._

【解答】解：設(shè)2=2+歷，(a、b是實(shí)數(shù))，則占a-bi,

,.?2Z+Q=3-2i,

2a+2bi+a-bi=3-2i,

/.3a=3,b=-2,

解得a=l,b=-2,

則z=l-2i

故答案為：l-2i.

3.若sina=-*,且a為第四象限角，則tana的值等于

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用.

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosa,進(jìn)而可求tana的值.

【解答】解：：sina=-2，且a為第四象限角,

■L0

cosxsinx

4.函數(shù)f(x)二的最小正周期T=n

sinxcosx

【考點(diǎn)】二階行列式與逆矩陣；兩角和與差的余弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法.

【分析】利用行列式的計(jì)算方法化簡(jiǎn)f(x)解析式，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為一

個(gè)角的余弦函數(shù)，找出3的值，即可求出最小正周期.

【解答】解：f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,

Vco=2,

/.T=H.

故答案為：n

5.函數(shù)f(x)=2x+m的反函數(shù)為y=11(x),且丫=11(x)的圖象過點(diǎn)Q(5,2),那么

m二1.

【考點(diǎn)】反函數(shù).

【分析】依據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可知：原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，利用對(duì)稱關(guān)系可

得答案.

【解答】解：f(X)=2x+m的反函數(shù)丫=11(x),

?.?函數(shù)y=f-i(x)的圖象經(jīng)過Q(5,2),原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，

Af（x）=2x+m的圖象經(jīng)過Q，（2,5）,

即4+m=5,

解得：m=l.

故答案為：1.

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì).

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

~~2~

【解答】解：雙曲線三丫2二1的一條漸近線方程為：x+2y=0,

4

2_

點(diǎn)（1,0）到雙曲線三-丫2=1的漸近線的距離是:

14yI

故答案為：點(diǎn).

If2x-y<0|

7.若x,y滿意（x+y43，則2x+y的最大值為4.

hiI

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃.

【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)

得答案.

【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.

設(shè)z=2x+y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-2x+z的截距最大，

此時(shí)z最大.

f2x-y=0|,Ifx=l|

由1，解得H,即A（1,2）,

x+尸3

代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=1X2+2=4.

即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為4.

故答案為：4.

8.從5名學(xué)生中任選3人分別擔(dān)當(dāng)語文、數(shù)學(xué)、英語課代表，其中學(xué)生甲不能擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)課

代表，共有48種不同的選法（結(jié)果用數(shù)值表示）.

【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.

【分析】依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，先支配數(shù)學(xué)課代表，再支配語文、英語課代表.

【解答】解：先從除了甲之外的4人選1人為數(shù)學(xué)課代表，再從包含甲在內(nèi)的4人中選2

人為語文、英語課代表，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，共有A41A42=48種，

故學(xué)生甲不能擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，共有48種不同的選法.

故答案為48.

9.方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0（t為參數(shù)）所表示的圓的圓心軌跡方程是x-2y=0（結(jié)

果化為一般方程）

【考點(diǎn)】軌跡方程.

【分析】把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程后得到：圓心坐標(biāo)，令x=2t,y=t,消去t即可得到y(tǒng)與x的解

析式.

【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-2t）2+（y-t）2=t2+4,圓心（2t,t）

則圓心坐標(biāo)為所以消去t可得x=2y,即x-2y=0.

故答案為:x-2y=0

10.若an是（2+x）n（nGN*,n22,xGR）綻開式中x2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，則

lim(4+…4)=2

n-8a?a?

【考點(diǎn)】數(shù)列的極限；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

【分析】（2+x）n（其中n=2,3,4,...）的綻開式，Tr+i,令r=2,可得時(shí),再利用求和公

式化簡(jiǎn)，利用數(shù)列的極限即可得出.

【解答】解：（2+x）n（其中產(chǎn)2,3,4,...）的綻開式，.聞引…朗,令r=2,可得:

n

T3=2

；.an是二項(xiàng)式（2+x）11（其中n=2,3,4,...）的綻開式中x的二項(xiàng)式系數(shù),

n(n-1)

?an二

a2

則

9七*+…均芝14(1-匆■-另號(hào)+…年思

(2--)=2.

n

故答案為：2.

11.設(shè)數(shù)列凡)是集合集合=3，+竽，s<t且s,tGN｝中全部的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即

ai=4,ai=10,aa=12,a4=28,a5=30,a6=36,將數(shù)列｛%｝中各項(xiàng)依據(jù)上小下大,左小右

大的原則排成如圖的等腰直角三角形數(shù)表，則ai5的值為324.

【考點(diǎn)】歸納推理.

【分析】假如用(t,s)表示3s+乎，則4=(0,1)=3°+31,10=(0,2)=3°+32,12=(1,2)

=31+32,....利用歸納推理即可得出.

【解答】解:假如用(3s)表示3s+乎,

則4=(0,1)=3°+31,

10=(0,2)=3°+32,

12=(1,2)=31+32,

28=(0,3)=30+33,

30=(1,3)=31+33,

36=(2,3)=32+33,....

利用歸納推理即可得：ai5=(4,5),則的5=34+35=324.

故答案為：324.

12.曲線C是平面內(nèi)到直線h：x=-1和直線12：y=l的距離之積等于常數(shù)k2(k>0)的點(diǎn)

的軌跡，下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C過點(diǎn)(-1,1)；

②曲線C關(guān)于點(diǎn)(-1,1)成中心對(duì)稱；

③若點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A、B分別在直線11、12上，則|PA|+|PB|不小于2k；

④設(shè)Po為曲線C上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)Po關(guān)于直線h：x=-1,點(diǎn)(-1,1)及直線f(x)對(duì)

稱的點(diǎn)分別為Pi、P2、P3，則四邊形PoPiP2P3的面積為定值4k2；其中，

全部正確結(jié)論的序號(hào)是②③④.

【考點(diǎn)】命題的真假推斷與應(yīng)用.

【分析】由題意曲線C是平面內(nèi)到直線h：x=-1和直線12：丫=1的距離之積等于常數(shù)卜2

(k>0)的點(diǎn)的軌跡.利用干脆法，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),及可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然

后由方程特點(diǎn)即可加以推斷.

【解答】解：由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,則利用題意及點(diǎn)到直線間的距離公式的得：|x+l||y

-11=k2,

對(duì)于①，將（-1,1）代入驗(yàn)證，此方程不過此點(diǎn)，所以①錯(cuò)；

對(duì)于②，把方程中的x被-2-x代換，y被2-y代換，方程不變，故此曲線關(guān)于（-1,1）

對(duì)稱.所以②正確；

對(duì)于③，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A,B分別在直線?。?，則|PA|N|x+l|,|PB

ly-1一

A|PA|+|PB|N20PA||PBk2k,所以③正確；

對(duì)于④，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，依據(jù)對(duì)稱性，

則四邊形P（）P1P2P3的面積=2|x+l|X2|y-l|=4|x+l||y-l|=4k2.所以④正確.

故答案為：②③④.

二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.給定空間中的直線1與平面a,貝!T直線1與平面a垂直"是"直線1垂直于平面a上多數(shù)

條直線”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的推斷.

【分析】依據(jù)充分必要條件的定義推斷即可.

【解答】解：若：直線1與平面a垂直"，則"直線1垂直于平面a上多數(shù)條直線”，是充分條

件；

若直線1垂直于平面a上多數(shù)條直線，則直線1與平面a不肯定垂直，不是必要條件，

故選：A.

14.已知x、yER,且x>y>0,貝!|（）

A.k-^->dB.|4）x-（i）y<0

Ky22_______

C.Iog2x+log2y>0D.sinx-siny>0

【考點(diǎn)】不等式比較大小.

【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)推斷A,依據(jù)特別值，推斷C,D,依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推斷B

【解答】解：因?yàn)閤>y>0,所以田書故A錯(cuò)誤，

因?yàn)檠?W*為減函數(shù)，故B正確，

因?yàn)楫?dāng)l>x>y>0時(shí)，log2x+log2y=log2xy<0,故C錯(cuò)誤，

因?yàn)楫?dāng)XF,y=q-時(shí)，sinx-siny<0,故D錯(cuò)誤，

故選：B.

15.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（）

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【分析】三視圖中長(zhǎng)對(duì)正，高對(duì)齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建

直觀圖，該幾何體為正方體內(nèi)挖去一個(gè)圓錐.

【解答】解：由題意可知，該幾何體為正方體內(nèi)挖去一個(gè)圓錐，

正方體的邊長(zhǎng)為2,圓錐的底面半徑為1,高為2,

則正方體的體積為VI=23=8,圓錐的體積為V2餐02?2=圖

則該幾何體的體積為V=8-圖,

故選A.

x2+(4a-3)x+3a,x<CO

16.已知函數(shù)f(x)(a>0,且aWl)在R上單調(diào)遞減，且

loga(x+l)+l,x>0

關(guān)于X的方程If(x)I=2-X恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是()

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；根的存在性及根的個(gè)數(shù)推斷.

【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，依據(jù)對(duì)數(shù)的圖象和性質(zhì)推斷出a的大致范圍，再依據(jù)f(x)為

減函數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個(gè)數(shù)，推出a的范圍.

【解答】解:y=loga(x+1)+1在［0,+8)遞減,則OVaVL

函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，貝IJ：

(3-4a、

—2—>0

02+(4a-3)?0+3a〉log(0+1)+1

a________

解得,

由圖象可知，在［0,+8)上，|f(x)|=2-x有且僅有一個(gè)解,

故在(-8,0)上，|f(x)|=2-x同樣有且僅有一個(gè)解，

9

當(dāng)3a>2即a>一時(shí),聯(lián)立|x?+(4a-3)x+3a|=2-x,

3

則△二(4a-2)2-4(3a-2)=0,

解得a=^或1(舍去),

當(dāng)lW3aW2時(shí)，由圖象可知，符合條件,

三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PB、PD與

TT

平面ABCD所成的角依次是石和arctar專，AP=2,E、F依次是PB、PC的中點(diǎn)；

(1)求異面直線EC與PD所成角的大??；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(2)求三棱錐P-AFD的體積.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角.

【分析】(1)分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量

局與同所成角求得異面直線EC與PD所成角的大小；

(2)干脆利用Vp.AFD=Vp.ACD-VF-ADC求解.

【解答】解：(1)分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

ITFIf

VAP=2,ZPBA=—?ZPDA=arctan—,

???AB=2,AD=4,貝!JP(0,0,2),D(0,4,0),E(1,0,1),C(2,4,0),

EC=(1,4,-1)1.|PD=(0,4,-2).

EC>PD183710

.cos<EC,PD>=

IECIIPDI而X2浜「F

3V10

異面直線EC與PD所成角的大小為arccos—-—

(2)VP_AFD=VP_ACD-VF-ACD=J義1"義4X2X2-：X-^-X4X2X1=4.

。乙。乙?J?

18.已知AABC中，AC=1,/研，=等，設(shè)NBAC=x,記|f(x)二標(biāo)?前;

____________O

(1)求函數(shù)f(X)的解析式及定義域；

(2)試寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求方程f(x)=《的解.

______6

【考點(diǎn)】平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】(1)由條件利用正弦定理、兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)

的解析式.

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求出x的值.

AD

【解答】解：(1)由正弦定理有聿-

/兀7

Isinxsin(-^--x)

—sinx)sinx=-sin(2x+—)

回0E

JT

其定義域?yàn)?0,彳)

7171JT

(2)*.*-——+2knW2x，——+2kn,k￡Z,

2I6I2

解得

19.已知橢圓C以原點(diǎn)為中心，左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(-1,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的近倍，

直線1與橢圓C交于點(diǎn)A與B,且A、B都在x軸上方，滿意NOFA+NOFB=180。；

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)對(duì)于動(dòng)直線1,是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論NOFA如何改變，直線1總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存

在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

~2~~2~

【分析】(1)由題意可知設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：%+\=l(a>b>0),2a=^?2b,即a=?b,

a'/—―-

代入求得：a2=2,b2=l,即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)刷在直線AF上.設(shè)直線AF方程：y=k(x+1),代入橢圓方程,

由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，代入由

x2y1-XJ2Xk(x[+1)+X]Xk(x2+1)

，此能證明直線1總經(jīng)過定點(diǎn)M(-2,

k(xj+l)+k(x2+l)

22

【解答】解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：巳+%=1(a>b>0),

a?b?

由題意可知：2a=|^?2b,即a=|V^b,

由c=l,則a2=b2+c2=b2+l,

代入求得：a2=2,b2=l,

(2)存在一個(gè)定點(diǎn)M(-2,0),無論/OFA如何改變，直線1總經(jīng)過此定點(diǎn)

證明：由OFA+NOFB=180。，則B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Bi在直線AF上.

設(shè)ACxi，yi),B(X2，y2).Bi(X2，72

|fy=k(x+l)I

設(shè)直線AF方程：y=k(x+1),代入122J

Yi-y

AB的方程：y-yi=—i――-9(x-xQ,

X]-x.

-

Yiy9

令y=0,得：Xi-yi*——----

X]-x.

yi=k(xi+1),y2=k(X2+I),

x-yx><k(x|+l)+xXk(x+l)2xjx+x|+x

x:2yiX1221222

yk(x|+l)+k(x2+l)x]+x2+2

ry2

-2,

20.已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+l+b(a>0)在區(qū)間［2,3］上的最大值為4,最小值為1,記

f(x)=g(|x|),x￡R；

(1)求實(shí)數(shù)a、b的值;

(2)若不等式歸位的史超匚^叱比二^對(duì)隨意xGR恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍；

(3)對(duì)于定義在［p,q］上的函數(shù)m(x),設(shè)x()=p,xn=q,用隨意Xi(i=l,2,n-1)

將［p，q］劃分成n個(gè)小區(qū)間，其中xp<xi<xi+i，若存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得不等式|m(x。)

-m(xi)+|m(xi)-m(X2)+-+|m(xn_i)-m(xn)|WM恒成立，則稱函數(shù)m(x)

為在［p,q］上的有界變差函數(shù)，試證明函數(shù)f(x)是在［1,3］上的有界變差函數(shù)，并求出

M的最小值.

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的最值及其幾何意義.

【分析】(1)由已知中g(shù)(X)在區(qū)間［2,3］的最大值為4,最小值為1,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性

及最值，我們易構(gòu)造出關(guān)于a,b的方程組，解得a,b的值；

(2)求出f(x),f(x)+g(x)》logjk-21og2k-3對(duì)隨意xGR恒成立等價(jià)于F(x)

iin=f(X)+g(X)恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍；

依據(jù)有界變差函數(shù)的定義，我們先將區(qū)間［1,3］進(jìn)行劃分，進(jìn)而推斷￡m(xi)-m(xi

1=1

-1)|WM是否恒成立，進(jìn)而得到結(jié)論.

【解答】解：(1),函數(shù)g(x)=ax2-2ax+l+b,

Va>0,對(duì)稱軸x=l,

Ag(x)在區(qū)間［2,3］上是增函數(shù)，

又：函數(shù)g(x)故在區(qū)間［2,3］上的最大值為4,最小值為1,

JaX22-2aX2+l+b=l

aX32-2aX3+l+b=4'

解得：a=l,b=0.

.*.g(x)=x2-2x+l

故實(shí)數(shù)a的值為1,b的值為0.

(2)由(1)可知g(x)=x2-2x+l,

Vf(x)=g(|x|),

.*.f(x)=x2-21xI+1,

f(x)+g(x)》log：k-21og2k-3對(duì)隨意xWR恒成立,

令F(x)=f(x)+g(x)=x2-2x+l+x2-21xI+l=i

［2x2+2,(x<0)

依據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得F(x)^n=f(1)=0

則F(x)min》(logzk)2-21og2k-3恒成立，即：(log2k)2-21。g2kljwo

令log2k=t,

則有：t2-2t-3W0,

解得：-lWtW3,

即既*'

得：^<k<8

故得實(shí)數(shù)k的范圍為由，8］.

(3)函數(shù)f(x)為［1,3］上的有界變差函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為［1,3］上的單調(diào)遞增函數(shù),且對(duì)隨意劃分T:l=X0<Xi<...<Xi<...<Xn=3

有f(1)=f(XQ)<f(xi)<...<f(xi)<...<f(xn)=f(3)

所以￡|m(xi)-m(xi-1)|=f(xi)-f(xo)+f(X2)-f(xi)<...<f(xn)-f(xn

i=l

-1)

=f(xn)-f(XQ)=f(3)-f(1)=4恒成立,

所以存在常數(shù)M,使得￡|m(xi)-m(xi-1)|WM是恒成立.

i=l

M的最小值為4,即乂向F4；

21.數(shù)列出口的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)隨意正整數(shù)n,都有Sfn(非；

(1)試證明數(shù)列｛bj是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)假如等比數(shù)列W共有2024項(xiàng)，其首項(xiàng)與公比均為2,在數(shù)列｛aj的每相鄰兩項(xiàng)組與

組+1之間插入i個(gè)(-1)%(iGN*)后，得到一個(gè)新數(shù)列｛cj,求數(shù)列｛cj中全部項(xiàng)的和；

220

(3)假如存在nGN*,使不等式(n+l)(bnk)<(n+l)入<%+1+^—成立，若存在，

14+i

求實(shí)數(shù)人的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列與函數(shù)的綜合.

【分析】(1)n=l