人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《解一元二次方程（第1課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

解一元二次方程（第1課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．會(huì)用直接開平方法解一元二次方程．2．理解直接開平方的實(shí)質(zhì)是通過“降次”，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程．教學(xué)重點(diǎn)能通過開平方，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．教學(xué)難點(diǎn)熟練運(yùn)用直接開平方法解一元二次方程．教學(xué)過程知識(shí)回顧1．如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，a有兩個(gè)平方根，即x的值有兩個(gè)，分別為_________；當(dāng)a為0時(shí)，a的平方根為±0＝0，即x的值有兩個(gè)，均為_________；當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，a沒有平方根，即x的值不存在．2．若一個(gè)數(shù)的平方等于9，則這個(gè)數(shù)是______；若一個(gè)數(shù)的平方等于7，則這個(gè)數(shù)是________．【答案】1．02．±3新課導(dǎo)入【問題】一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析，列出方程．【分析】設(shè)其中一個(gè)盒子的棱長(zhǎng)為xdm，則這個(gè)盒子的表面積為6x2dm2．根據(jù)一桶油漆可刷的面積，列出方程：10×6x2＝1500．【設(shè)計(jì)意圖】列出一元二次方程，為后面新課講解作鋪墊．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】怎樣利用學(xué)過的知識(shí)，解方程10×6x2＝1500？【師生活動(dòng)】教師先引導(dǎo)學(xué)生判斷這個(gè)方程是一元二次方程，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)各是多少，再根據(jù)平方根的意義解方程．【答案】解：整理，得x2＝25．根據(jù)平方根的意義，得x＝±5，即x1＝5，x2＝－5．【追問】盒子的棱長(zhǎng)是多少？【答案】因?yàn)槔忾L(zhǎng)不能是負(fù)值，所以盒子的棱長(zhǎng)為5dm．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過解特殊形式的一元二次方程，初步意識(shí)到解一元二次方程的基本思路是降次．另外通過追問，提醒學(xué)生注意，用方程解決實(shí)際問題時(shí)，要考慮所得結(jié)果是否符合實(shí)際意義．【問題】解下列方程，并歸納出這類方程的解的特點(diǎn)．（1）x2－1＝0；（2）x2＝0；（3）x2＋1＝0．【師生活動(dòng)】學(xué)生口答解方程的過程，并能歸納出這類方程的一般形式x2＝p，根據(jù)p的取值范圍得到方程的解的三種情況，教師板書．【答案】解：（1）x2＝1，x＝±1，所以x1＝1，x2＝－1．（2）x1＝x2＝0．（3）x2＝－1，沒有一個(gè)數(shù)的平方為負(fù)數(shù)，方程無解．方程解的特點(diǎn)：對(duì)于方程x2＝p，（1）當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1＝－，x2＝；（2）當(dāng)p＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝0；（3）當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x2≥0，所以方程無實(shí)數(shù)根．【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)平方根的意義解一元二次方程x2＝p，并根據(jù)p的取值討論出方程的解的三種情況，為后面配方法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．【新知】利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法．直接開平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依據(jù)是平方根的意義．【思考】對(duì)照前面歸納的解方程x2＝p的過程，你認(rèn)為應(yīng)怎樣解方程(x＋3)2＝5？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，并給出解法．教師可引導(dǎo)學(xué)生將解方程的過程敘述為：對(duì)方程(x＋3)2＝5兩邊開平方，將它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程進(jìn)行求解．【分析】根據(jù)歸納的結(jié)果，可以由方程x2＝25得x＝±5．由此想到：由方程(x＋3)2＝5得x＋3＝±．即x＋3＝，或x＋3＝－．所以，方程(x＋3)2＝5的兩個(gè)根為x1＝－3＋，x2＝－3－．【歸納】上面的分析中，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)方程結(jié)構(gòu)的特征，為后續(xù)新課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．【新知】解一元二次方程的基本思想是“降次”，通過“降次”把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程．直接開平方法的實(shí)質(zhì)就是把一個(gè)一元二次方程通過“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．二、典例精講【例1】用直接開平方法解下列方程．（1）x2－81＝0； （2）4x2－64＝0．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立解決此題，教師提問．【答案】解：（1）移項(xiàng)得x2＝81，根據(jù)平方根的定義得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9．（2）移項(xiàng)得4x2＝64，于是x2＝16，所以x＝±4，即x1＝4，x2＝－4．【設(shè)計(jì)意圖】鞏固學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握，考查學(xué)生是否能夠熟練運(yùn)用直接開平方法解簡(jiǎn)單的一元二次方程．【歸納】用直接開平方法解一元二次方程時(shí)，首先將方程化成左邊是含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，然后根據(jù)平方根的定義求解．【例2】用直接開平方法解下列方程：（1）(2y－3)2＝16； （2）9(x＋1)2＝25．【師生活動(dòng)】小組合作交流解答本題，教師巡視糾錯(cuò)．【答案】解：（1）根據(jù)平方根的定義，得2y－3＝±4，所以y1＝，y2＝－．（2）兩邊同除以9，得(x＋1)2＝，根據(jù)平方根的定義，得x＋1＝±，所以x1＝，x2＝－．【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)解形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)的一元二次方程的掌握程度，進(jìn)一步鞏固對(duì)直接開平方法解一元二次方程的應(yīng)用．【歸納】解形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)的關(guān)于x的一元二次方程時(shí)，運(yùn)用整體思想，把mx＋n看作一個(gè)整體，直接開平方降次，得mx＋n＝±