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2025屆河北省定州市普通高中畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.2.《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題:“今有金箠,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤;斬末一尺,重二斤,問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)在有一根金箠,長(zhǎng)五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在細(xì)的一端截下一尺,重斤,問(wèn)各尺依次重多少?”按這一問(wèn)題的顆設(shè),假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列,則從粗端開(kāi)始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤3.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.4.關(guān)于函數(shù),有下述三個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的一個(gè)周期為;②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①② B.② C.②③ D.③5.在精準(zhǔn)扶貧工作中,有6名男干部、5名女干部,從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工作,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種6.設(shè)橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn),則橢圓E的離心率是()A. B. C. D.7.已知是雙曲線的左右焦點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,滿足,且當(dāng)時(shí),.若對(duì)任意,都有,則的取值范圍是().A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i10.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.11.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.12.的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若,則的取值范圍是__14.已知,那么______.15.已知,則__________.16.將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落的過(guò)程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入袋中的概率為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、,已知,,.(1)求;(2)設(shè)為中點(diǎn),求的長(zhǎng).18.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,且,.(1)求.(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)若數(shù)列為等比數(shù)列,求數(shù)列的公比的值;(2)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;②求證:.20.(12分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.21.(12分)在中國(guó),不僅是購(gòu)物,而且從共享單車到醫(yī)院掛號(hào)再到公共繳費(fèi),日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國(guó)人民大學(xué)和法國(guó)調(diào)查公司益普索合作,調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶,從中隨機(jī)抽取了60名,統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金(單位:元)如莖葉圖如示,規(guī)定:隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下(不含100元)的為“手機(jī)支付族”,其他為“非手機(jī)支付族”.(1)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù),將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶,這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望和方差;(3)某商場(chǎng)為了推廣手機(jī)支付,特推出兩種優(yōu)惠方案,方案一:手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元;方案二:手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎(jiǎng)2次,每次中獎(jiǎng)的概率同為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響,中獎(jiǎng)一次打9折,中獎(jiǎng)兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購(gòu)買某樣價(jià)值1200元的商品,請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析,選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82822.(10分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式,為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)合計(jì)男性50100女性70100合計(jì)(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結(jié)果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.2.B【解析】
依題意,金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,則,由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為,設(shè)首項(xiàng),則,公差,.故選B本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn),由拋物線的定義可知,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.4.C【解析】
①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí),,,再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域,而,當(dāng)時(shí),再求值域.【詳解】因?yàn)?,故①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以,所以在上單調(diào)遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域,易知,故當(dāng)時(shí),,故③正確.故選:C.本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.5.C【解析】
根據(jù)題意,分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù),由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,從6名男干部中選出2名男干部,有種取法,從5名女干部中選出1名女干部,有種取法,則有種不同的選法;故選:C.本題考查排列組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
連接,為的中位線,從而,且,進(jìn)而,由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,連接,橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),不妨設(shè)B在第二象限,直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)為的中位線,,且,,解得橢圓的離心率.故選:C本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】
根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長(zhǎng)為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.8.B【解析】
求出在的解析式,作出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,,,又,所以至少小于7,此時(shí),令,得,解得或,結(jié)合圖象,故.故選:B.本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.9.D【解析】
兩邊同乘-i,化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.的共軛復(fù)數(shù)為10.B【解析】
因?yàn)?,所以,故選B.11.C【解析】
根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【詳解】由題意展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為.故選:B.本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開(kāi)式中某項(xiàng)系數(shù).同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì),即可求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,所以,故的取值范圍是.故答案為:.本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍,還涉及對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
由已知利用誘導(dǎo)公式可求,進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】∵,∴,,∴.故答案為:.本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
首先利用,將其兩邊同時(shí)平方,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到,從而求得,利用誘導(dǎo)公式求得,得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,所以,故答案?該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式,倍角公式,誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題目.16.【解析】記小球落入袋中的概率,則,又小球每次遇到黑色障礙物時(shí)一直向左或者一直向右下落,小球?qū)⒙淙氪杂?,則.故本題應(yīng)填.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出,結(jié)合正弦定理求出;(2)結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及余弦定理即可求解.【詳解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴銳角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.18.(1)(2)【解析】
(1)由數(shù)列是等差數(shù)列,所以,解得,又由,解得,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)得,利用乘公比錯(cuò)位相減,即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列是等差數(shù)列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,即.本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用,此類題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型,解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ),準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵,易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí),弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù),能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.19.(1);(2)①;②詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)依題意可表示,,相減得,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比,解得答案,并由其都是正項(xiàng)數(shù)列舍根;(2)①由題意可表示,,兩式相減得,由其都是正項(xiàng)并整理可得遞推關(guān)系,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案;②由已知關(guān)系,表示并相減即可表示遞推關(guān)系,顯然當(dāng)時(shí),成立,當(dāng),時(shí),表示,由分組求和與正項(xiàng)數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解:(1)依題意可得,,兩式相減,得,所以,因?yàn)椋?,且,解?(2)①因?yàn)椋?,兩式相減,得,即.因?yàn)?,所以,?而當(dāng)時(shí),,可得,故,所以對(duì)任意的正整數(shù)都成立,所以數(shù)列是等差數(shù)列,公差為1,首項(xiàng)為1,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.②因?yàn)?,所以,兩式相減,得,即,所以對(duì)任意的正整數(shù),都有.令,而當(dāng)時(shí),顯然成立,所以當(dāng),時(shí),,所以,即,所以,得證.本題考查由前n項(xiàng)和關(guān)系求等比數(shù)列公比,求等差數(shù)列通項(xiàng)公式,還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項(xiàng)數(shù)列放縮證明不等式,屬于難題.20.(1);(2)【解析】
(1)分析可得必在橢圓上,不在橢圓上,代入即得解;(2)設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為,可得.則,,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱,所以必在橢圓上,∴不在橢圓上∴,,即.(2)設(shè)橢圓上的點(diǎn)(),設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為又∴.,,(不妨設(shè)).故當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立本題考查了直線和橢圓綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.21.(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,99%;(2),;(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表,再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論;(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,知服從二項(xiàng)分布,即,可求得其期望和方差;(3)若選方案一,則需付款元,若選方案二,設(shè)實(shí)際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,求出實(shí)際付款的期望,再比較兩個(gè)方案中的付款的金額的大小,可得出選擇的方案.【詳解】(1)由已知得出聯(lián)列表:,所以,有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān);(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)
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