河北省邯鄲市永年區(qū)第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

永年二中高三學(xué)檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)量：120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定集合，再求交集.【詳解】根據(jù)題意，，所以.故選：C2.若正數(shù)x，y滿足則的最小值是（）A. B. C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.【詳解】由題設(shè)及，可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意.所以的最小值為4.故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和與差的余弦公式代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，則可得.所以，故選：A.4.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可以為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由排除D，由奇偶性排除B，由在時(shí)的單調(diào)性即可排除C，最后驗(yàn)證A符合題意即可.【詳解】對(duì)于D，函數(shù)中，，所以排除D；對(duì)于B，顯然，都為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且也是奇函數(shù)，理由如下：的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且，所以是奇函數(shù)所以，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以排除B；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，（由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷），同時(shí)單調(diào)遞增，且同時(shí)非負(fù)，所以在時(shí)也單調(diào)遞增，所以排除C；經(jīng)檢驗(yàn)A選項(xiàng)符合題意.故選：A.5.下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：確定函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0）關(guān)于x=1對(duì)稱點(diǎn)，代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可．詳解：函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0），（1，0）關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)還是（1，0），只有過(guò)此點(diǎn)．故選項(xiàng)B正確點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題．6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且f2+x=f-x，當(dāng)時(shí)，，則的值為（A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】D【解析】【分析】由題意求出函數(shù)的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且f2+x則，所以，所以函數(shù)的周期為，所以.故選：D.7.已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，對(duì)于選項(xiàng)AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，則，可得，即，故D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，可得，即，故C錯(cuò)誤，故選：B8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由得，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項(xiàng)不等式.【詳解】依題意令，則，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；又，即，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，即，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可比較函數(shù)值的大小.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.的實(shí)部為2 B.的虛部是C. D.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】AC【解析】【分析】首先由共軛復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等求得即可判斷AB，結(jié)合模的計(jì)算公式以及復(fù)數(shù)的幾何意義可依次判斷CD.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所以，，?duì)于A，所以的實(shí)部為2，所以A正確；對(duì)于B，的虛部是，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以C正確；對(duì)于D，，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列論述正確的有（）A.若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng)B.數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為38C.若隨機(jī)變量，且，則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合相關(guān)性的含義，可判定A不正確.根據(jù)百分位數(shù)的概念及求法，可判定B正確；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可判定C正確；根據(jù)數(shù)據(jù)的方差性質(zhì)的計(jì)算公式，可判定D正確；【詳解】對(duì)于A中，若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，因?yàn)?，所以組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)據(jù)排序，共8個(gè)數(shù)據(jù)，則，所以數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為38，B正確；對(duì)于C，若隨機(jī)變量，且，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，，則，C正確；對(duì)于D，樣本數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.有三個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)求導(dǎo)后判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，結(jié)合A選項(xiàng)求解的函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)的值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)利用函數(shù)平移，構(gòu)造，判斷的奇偶性，進(jìn)一步得到對(duì)稱中心；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)條件直接求出切線方程即可判斷結(jié)果；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，定義域?yàn)镽，可得，令，可得，因?yàn)?，得或，，得，即在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，即是有極大值點(diǎn)，是有極小值點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由A可知極大值為f-3極小值，，由在單調(diào)遞增和零點(diǎn)存在定理可知，在存在1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減和單調(diào)遞增，極小值f33>0，所以在恒大于0所以有一個(gè)零點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，可設(shè)，得，則為奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于對(duì)稱，將向上平移1個(gè)單位可得，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由A知，令，解得，則，，所以切線方程為和，即和，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的方法即可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，注意函數(shù)的定義域.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得，解得或，由于是單調(diào)遞增函數(shù)，所以要求的遞增區(qū)間，只需求二次函數(shù)的遞增區(qū)間即可，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得的遞增區(qū)間為，結(jié)合函數(shù)定義域可得的遞增區(qū)間為，故答案為：.13.某同學(xué)參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，在4道四選一的單選題中，有3道有思路，有1道完全沒(méi)有思路，有思路的題每道做對(duì)的概率均為，沒(méi)有思路的題只好任意猜一個(gè)答案．若從這4道題中任選2題作答，則該同學(xué)2道題都做對(duì)的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)排列組合以及概率的乘法公式，再分兩個(gè)題目都有思路和一個(gè)有思路一個(gè)沒(méi)有思路討論即可求解.【詳解】設(shè)事件A表示“兩道題全做對(duì)”，若兩個(gè)題目都有思路，則；若兩個(gè)題目中一個(gè)有思路一個(gè)沒(méi)有思路，則；故.故答案為：.14.已知定義在R上的函數(shù)滿足，則曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】利用方程組法求出函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，由點(diǎn)斜式可得切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，?lián)立可解得，所以，所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故所求的切線方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)與函數(shù)，其中.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍；【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)研究其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得其單調(diào)區(qū)間；（2）若，可得不等式恒成立，若，即，構(gòu)造函數(shù)后借助導(dǎo)函數(shù)求出其最大值即可解.小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，又已知，，令，得，即的單調(diào)減區(qū)間為，令，則，即的單調(diào)增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】由題意得gx=e若，不等式恒成立，若，即，令hx=ln當(dāng)時(shí)，，hx單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，hx單調(diào)遞減，故，故的取值范圍為.16.增強(qiáng)青少年體質(zhì)，促進(jìn)青少年健康成長(zhǎng)，是關(guān)系國(guó)家和民族未來(lái)的大事.某高中為了解本校高一年級(jí)學(xué)生體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取體育鍛煉時(shí)間在（單位：分鐘）的50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天體育鍛煉的時(shí)間作為樣本并繪制成如下的頻率分布直方圖，已知樣本中體育鍛煉時(shí)間在60,70的有5名學(xué)生.（1）求a，b的值；（2）若從樣本中體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)X表示在的人數(shù)，求X的分布列和均值.【答案】（1），（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）體育鍛煉時(shí)間在的頻率為，可求，利用面積和等于，可求；（2）樣本中體育鍛煉時(shí)間在有5名學(xué)生，在的有3名學(xué)生，可得，利用超幾何分布可求分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)轶w育鍛煉時(shí)間在的頻率為，所以，又因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】樣本中體育鍛煉時(shí)間在的有5名學(xué)生，在的有3名學(xué)生則，，，，所以X的分布列為X0123P所以.17.如圖，在三棱柱中，為底面的重心，點(diǎn)分別在棱上，且（1）求證：平面；（2）若底面，且三棱柱的各棱長(zhǎng)均相等，求平面與平面DOG的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，利用平行線比例關(guān)系，構(gòu)造輔助線，即可證明；（2）根據(jù)底面特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，根據(jù)向量公式求二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接并延長(zhǎng)，交于，延長(zhǎng)線段，交于，連接．因?yàn)闉榈酌娴闹匦?，所以，又，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．【小?wèn)2詳解】取的中點(diǎn)為，連接．因?yàn)榈酌?，且三棱柱的各棱長(zhǎng)均相等，所以直線兩兩互相垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為6，則，所以．設(shè)平面的法向量為n=x則，即，可取易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知函數(shù)fx（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,（2）若函數(shù)gx=fx【答案】（1）（2）0,【解析】【分析】（1）求出f'1、（2）轉(zhuǎn)化為y=a,y=lnxx【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，fx=lnxf'1=1-4+2=-1所以曲線y=fx在點(diǎn)1,即；【小問(wèn)2詳解】gx由gx=0得y=a,令hxh'x=1-2lnx當(dāng)時(shí)，h'x<0，hx且時(shí)，hx>0，h所以0<x<1時(shí)，h所以若函數(shù)gx則0<a所以實(shí)數(shù)的取值范圍為0,12e19.已知函數(shù).（1）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的值.（2）若，且，求的最小值；（3）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形.【答案】（1）（2）的最小值為-2（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可判斷即；（2）求出后根據(jù)可求的最小值；（3）設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，可證關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱性；.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以的定義域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，由于的圖象是連續(xù)的，故為的一個(gè)解，所以即