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等腰三角形的判定定理浙教版八年級上學習目標1.會闡述、推證等腰三角形的判定定理.
2.掌握等邊三角形的判定定理等腰三角形的性質(zhì):2.等腰三角形的兩個底角相等.(在同一個三角形中,等邊對等角)1.等腰三角形的兩腰相等.3.等腰三角形三線合一頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高回顧舊知如圖所示,量出AC的長,就可算出河的寬度AB,你知道為什么嗎?ABC30O60OD學完本節(jié)課內(nèi)容就可以知道原因了等腰三角形判定定理1:如果一個三角形的兩條邊相等,那么可判定這個三角形是等腰三角形.你還知道其他判定方法嗎?在紙上任意畫線段BC,分別以點B和點C為頂點,以BC為一邊,在BC的同側(cè)畫兩個相等的角,兩角的另一邊相交于點A.量一量,線段AB與AC相等嗎?其他同學的結(jié)果與你的相同嗎?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?相等如果一個三角形有兩個角相等,那么這個三角形是等腰三角形用幾何語言表示為:
在△ABC中,∵∠B=∠C(已知)
∴AC=AB.()在一個三角形中,等角對等邊等腰三角形的判定定理2:簡單地說,在同一個三角形中,等角對等邊.ABC如果一個三角形有兩個角相等,那么這個三角形是等腰三角形.簡單地說,在同一個三角形中,等角對等邊.如圖,下列推理正確嗎?12ABCBDCA12∵∠1=∠2∴BD=DC(等角對等邊)∵∠1=∠2∴DC=BC(等角對等邊)錯,因為都不是在同一個三角形中.D已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C求證:△ABC是等腰三角形證明:如圖,作△ABC的角平分線AD在△ABD和△ACD中,∵∠1=∠2(角平分線的定義)∠B=∠C(已知)
AD=AD(公共邊)∴△ABD≌△ACD(AAS)∴AB=AC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴△ABC是等腰三角形ABCD12一次數(shù)學實踐活動的內(nèi)容是測量河寬,如圖,即測量A,B之間的距離.同學們想出了許多方法,其中小聰?shù)姆椒ㄊ?從點A出發(fā),沿著與直線AB成60°角的AC方向前進至C,在C處測得∠C=30°.量出AC的長,它就是河的寬度AB(即A,B之間的距離).這個方法正確嗎?請說明理由.解:這一方法正確.理由如下:∵∠CAD=∠B+∠C(三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∴∠B=∠CAD-∠C=60°-30°=30°∴∠B=∠C∴AB=AC(在同一個三角形中,等角對等邊)如圖,上午8時,一艘船從A處出發(fā)以15海里/時的速度向正北方向航行,9時45分到達B處.從A處測得燈塔C在北偏西26°方向,從B處測得燈塔C在北偏西52°方向,求B處到燈塔C的距離.ABCE北26°52°解:∵∠A=26°∠C=52°-26°=26°
∴∠A=∠C
∴△ABC是一個等腰三角形
∴AB=BC
AB=15×1.75=25.85海里名稱圖形概念性質(zhì)與邊角關(guān)系判定
等腰三角形ABC有兩邊相等的三角形是等腰三角形2.等邊對等角3.三線合一4.是軸對稱圖形2.等角對等邊1.兩邊相等1.兩腰相等等邊三角形的判定定理1:三個角都相等的三角形是等邊三角形證明:∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC∴△ABC是等邊三角形ABC等邊三角形的判定定理2:有一個角是60°的三角形是等邊三角形證明:(1)假如頂角是60度,那么下面兩個角之和為120度,又因為是等腰三角形,所以兩個角相等,等于120÷2=60度,所以三個角相等,所以是等邊三角形.
(2)假如60度角是一個底角,因為是等腰三角形,所以另外一個底角也是60度,那么頂角等于180-60-60=60度.所以三個角相等,所以是等邊三角形.
1.如圖,將一等邊三角形剪去一個角后,∠1+∠2=______度.【解析】如圖,∵等邊三角形
∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-120°=240°.
故答案為240.2402.在菱形ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,且E、F分別為BC、CD的中點,則∠EAF等于______度.【解析】連接AC
由題意可知,△ABC是等邊三角形,AE平分∠BAC,所以∠EAC=30°;
同理可得,∠FAC=30°,所以∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°601.如圖,兩根鋼繩一端固定在地面兩個鐵勾上,另一端固定在電線桿上(電線桿垂直于地面),已知兩根鋼繩的長度相等,則兩個鐵柱到電線桿底部的距離即BO與CO相等嗎?為什么?解:BO與CO相等.
理由:∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
∵AO⊥BC,
∴BO=CO,
因此兩個鐵柱到電線桿底部的距離即BO與CO相等.
2.如圖,已知OC是∠AOB的平分線,DC∥OB,那么△DOC一定是______三角形(填按邊分類的所屬類型).解:∵DC∥OB,
∴∠DCO=∠BOC,
又OC是∠AOB的平分線,
∴∠DOC=∠BOC=∠DCO,
∴△DOC一定是等腰三角形.
故答案為:等腰.等腰3.如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC交AC于E,若DE=7,AE=5,求AC的長.解:∵由CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
又∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠BCD,即∠ECD=∠EDC,
∴△ECD是等腰三角形,
∴CE=DE,
又∵AE=5,DE=7,
∴AC=AE+EC=5+7=12;
答:AC的長是12.4.下列命題是假命題的是(
)
(A)有兩個內(nèi)角是70與40的三角形是等腰三角形
(B)一個外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形
(C)有兩個內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形
(D)有兩個頂點不同的外角相等的三角形是等腰三角形CmA.∵三角形中,2個內(nèi)角是70°與40°,
∴第三個內(nèi)角為180°-(70°+40°)=70°,
∴三角形中有兩個角相等,都為70°,
則此三角形為等腰三角形,本選項不合題意;
B.一個外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形,理由如下:
如圖所示:AD為△ABC外角∠EAC的平分線,∴∠EAD=∠DAC,又AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,即三角形ABC為等腰三角形,本選項不合題意;C.有2個內(nèi)角不等的三角形不一定是等腰三角形,也可以為等腰三角形,
例如:在△ABC中,∠A=∠C=50°,∠B=80°,
其中∠A≠∠B,但是∠A=∠C,可得出BA=BC,
此時三角形ABC為等腰三角形,本選項符合題意;D.有2個不同頂點的外角相等的三角形是等腰三角形,理由為:
已知:∠ABD與∠ACE為△ABC的外角,且∠ABD=∠ACE,
求證:△ABC為等腰三角形,
證明:∵∠ABD+∠ABC=180°,∠ACE+∠ACB=180°,
且∠ABD=∠ACE,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,即△ABC為等腰三角形,本選項不合題意.5.已知,如圖,AB與CD相交于點O,AC∥BD,且AO=OC.
求證:OB=OD.證明:∵AC∥BD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵AO=OC,
∴△AOC是等腰三角形,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠4,
∴△DOB是等腰三角形,
∴OB=OD.△ABC中,D、
E分別是AC、AB上的一點,BD與CE交于點O,給出下列四個條件:①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO③BE=CD④OB=OC
(1)上述四個條件,哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形(用序號
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