專題2 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【十大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

專題19.2一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【十大題型】 【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數(shù)的概念辨析】 1【題型2待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】 3【題型3一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】 6【題型4一次函數(shù)解析式與三角形面積問(wèn)題】 7【題型5根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)解析式】 11【題型6判斷一次函數(shù)的圖象】 15【題型7判斷一次函數(shù)的增減性或經(jīng)過(guò)的象限】 18【題型8根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的范圍】 20【題型9根據(jù)一次函數(shù)的增減性求自變量的變化情況】 21【題型10根據(jù)一次函數(shù)的增減性比較函數(shù)值大小】 23【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念】一般地，若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系可以表示成（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b=0時(shí)（即）（k為常數(shù)，k0），稱y是x的正比例函數(shù)?！绢}型1一次函數(shù)的概念辨析】【例1】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)但不是正比例函數(shù)的是（

）A．y=?x2 B．y=?2x C．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念解答即可．【詳解】解：A．是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；B．不是一次函數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；C．是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)，故選項(xiàng)符合題意；D．不是一次函數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念：若兩個(gè)變量x和y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）；一般地，兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系式可以表示成形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)．【變式1-1】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若函數(shù)y=a?2xa?1+4A．?2 B．±2 C．2 D．0【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的定義可知，k、b為常數(shù)，k≠0，自變量的次數(shù)為1，即可求解．【詳解】解：∵y=a?2xa∴a?1=1，且∴a=2，且∴a=±2且a≠2，∴a=?2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）在下列函數(shù)中，x是自變量，y是因變量，則一次函數(shù)有，正比例函數(shù)有．（將代號(hào)填上即可）①y=3x+1；②y=x2+2x；③y=5x【答案】①③④③【分析】根據(jù)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義，即可一一判定．【詳解】解：①y=3②y=x③y=5x是正比例函數(shù)，因?yàn)檎壤瘮?shù)一定是一次函數(shù)，所以還是一次函數(shù)；④y=1?4x是一次函數(shù)；⑤y=1故答案為：①③④，③．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義，熟知正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┮阎瘮?shù)y=k?2(1)若該函數(shù)是一次函數(shù)，求k的取值范圍．(2)若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求k的值．【答案】(1)k≠2(2)k=?2【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義，即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的定義，即可進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：∵函數(shù)y=k?2∴k?2≠0，解得：k≠2；（2）解：∵函數(shù)y=k?2∴k?2≠0k解得：k=?2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般形如y=kx+b的是一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，k≠0），其中x是自變量，y是因變量．形如y=kx的是正比例函數(shù)k≠0，其中x是自變量，y是因變量．【知識(shí)點(diǎn)2正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定】確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法?！绢}型2待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式】【例2】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知y與x+3成正比例，且當(dāng)x=1時(shí)，y=?8．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)(m，2)在（1）中函數(shù)的圖象上，求【答案】(1)y=?2x?6(2)?4【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）把點(diǎn)Mm,2【詳解】（1）解：根據(jù)題意：設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+3把x=1，y=?8代入得：?8=k1+3解得：k=?2．則y與x函數(shù)關(guān)系式為y=?2x+3即y與x之間的函數(shù)解析式為y=?2x?6；（2）解：把點(diǎn)Mm,2代入y=?2x?6得：2=?2m?6，解得m=?4．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式、一次函數(shù)圖象與函數(shù)關(guān)系式；其中熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求參數(shù)的值，是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(6,?4)與(12,4)．(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；(2)直接寫(xiě)出這個(gè)一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)(9,0)，(0,?12)【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，然后把經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求解得到k、b的值即可得解；（2）根據(jù)一次函數(shù)的解析式即可求出圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)為y=kx+b，∵一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(6,?4)與(12,4)，∴6k+b=?412k+b=4解得k=4∴所求的解析式為y=4（2）令x=0，則y=?12，令y=0，則43x?12=0，解得∴這個(gè)一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(9,0)，(0,?12)．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法之一，需要熟練掌握．【變式2-2】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校考期中）若y?2與2x+3成正比例，且當(dāng)x=1時(shí)，y=12．(1)求y與x的函數(shù)解析式．(2)求當(dāng)y=4時(shí)，x的值．【答案】(1)y=4x+8(2)x【分析】（1）設(shè)y?2=k2x+3，把x=1，y=12代入可得k=2（2）把y=4代入函數(shù)解析式求解x即可．【詳解】（1）解：設(shè)y?2=k2x+3把x=1，y=12代入得12?2=5k，解得k=2，所以y?2=22x+3所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4x+8；（2）當(dāng)y=4時(shí)，4x+8=4，解答x=?1．【點(diǎn)睛】本題考查的是成正比例的含義，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，求解函數(shù)自變量的值，理解成正比例的含義是解本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中有A?1,4，B?3,2，(1)求過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式；(2)判斷A，B，C三點(diǎn)是否在同一條直線上？并說(shuō)明理由．【答案】(1)y=x+5(2)A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）將點(diǎn)C坐標(biāo)代入（1）中解析式中，判定是否符合函數(shù)解析式即可作出判斷．【詳解】（1）解：設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b，則?k+b=4?3k+b=2，解得k=1∴直線AB的函數(shù)解析式為y=x+5（2）解：A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，理由：當(dāng)x=0時(shí)，y=5，∴點(diǎn)C0,5在直線AB即A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、判定點(diǎn)是否在直線上，熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答的關(guān)鍵．【題型3一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】【例3】（2023春·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)校考期中）如果點(diǎn)P2,k在直線y=?2x+2上，那么點(diǎn)P到x軸的距離為（

A．?2 B．2 C．?4 D．4【答案】B【分析】把點(diǎn)P2,k代入直線y=?2x+2求出k，即可點(diǎn)P到x【詳解】解：把點(diǎn)P2,k代入直線y=?2x+2k=?2×2+2=?2，∴點(diǎn)P到x軸的距離為|?2|=2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）下面哪個(gè)點(diǎn)在函數(shù)y=?3x+4的圖象上（

）A．5,13 B．?1,1 C．3,0 D．1,1【答案】D【分析】將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，進(jìn)行求解后判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)x=5時(shí)，y=?3×5+4=?11，故5,13不在函數(shù)圖象上；B、當(dāng)x=?1時(shí)，y=?3×?1+4=7，故C、當(dāng)x=3時(shí)，y=?3×3+4=?5，故3,0不在函數(shù)圖象上；D、當(dāng)x=1時(shí)，y=?3×1+4=1，故1,1在函數(shù)圖象上；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征．熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P(a?2,b)在一次函數(shù)y=3x?2的圖像上，則10?3a+b=．【答案】2【分析】將點(diǎn)P(a?2,b)代入一次函數(shù)y=3x?2中即可得出結(jié)果．【詳解】∵點(diǎn)P(a?2,b)在一次函數(shù)y=3x?2的圖象上，∴b=解得3a?b=810?3a+b=10?8=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．熟練掌握整體代入是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮淮魏瘮?shù)y=kx+k圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）A．1,0 B．0,1 C．1,1 D．?1,0【答案】D【分析】當(dāng)x=?1時(shí)，y=0，由此解答即可．【詳解】解：y=kx+k=kx+1當(dāng)x=?1時(shí)，y=0，∴一次函數(shù)y=kx+k圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,0．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是理解一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足一次函數(shù)的解析式，滿足一次函數(shù)解析式的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖象上．【題型4一次函數(shù)解析式與三角形面積問(wèn)題】【例4】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)解析式是（）A．y＝x+1 B．y=13x+1 C．y＝3x﹣3 D．y＝【答案】D【分析】首先根據(jù)條件l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，再利用待定系數(shù)法把D，E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得到答案．【詳解】解：設(shè)D（1，0），∵線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，∴OD＝BE＝1，∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）．∴E（5，4）設(shè)直線l的函數(shù)解析式是y＝kx+b，∵圖象過(guò)D（1，0），E（5，4），∴k+b=05k+b=4解得：k=1∴直線l的函數(shù)解析式是y＝x﹣1．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出E點(diǎn)坐標(biāo)．【變式4-1】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，2、點(diǎn)(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；(2)求這個(gè)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．【答案】(1)y=?2x+4(2)4【分析】（1）利用待定系數(shù)法，求一次函數(shù)解析式即可；（2）先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再求出三角形的面積即可．【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)1，2，k+b=2?k+b=6解得k=?2b=4∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=?2x+4；（2）解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把y=0代入得?2x+4=0，解得：x=2，把x=0代入得：y=4，∴A2,0，B∴S△AOB【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．【變式4-2】（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?3,5和B(1)求出該一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若直線AB與x軸交于點(diǎn)C，求△AOC的面積．【答案】(1)y=?x+2(2)5【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求解．【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，∵圖象經(jīng)過(guò)A?3,5，B∴5=?3k+b2=b解得：k=?1，b=2

∴一次函數(shù)解析式為y=?x+2；（2）當(dāng)y=0時(shí)，0=?x+2，∴x=2，∴C2,0∴S△AOC答：△AOC的面積為5．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）把8個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形按如圖所示擺放在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l將這8個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則該直線的函數(shù)表達(dá)式是（

）A．y=910x B．y=109x【答案】A【分析】設(shè)直線l和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，過(guò)A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標(biāo)即可得到該直線l的解析式．【詳解】解：如圖，設(shè)直線l和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，過(guò)A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線l將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，∴S△AOB而OB＝3，∴12ABAB＝103∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（103設(shè)直線方程為y＝kx，則3＝103k∴k＝910∴直線l解析式為y＝910x故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了面積相等問(wèn)題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，此題難度較大，解題的關(guān)鍵是作AB⊥y軸，作AC⊥x軸，根據(jù)題意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面積公式求出AB的長(zhǎng)．【題型5根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)解析式】【例5】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)佛山市華英學(xué)校?？计谥校┰谀骋浑A段，某商品的銷售量與銷售價(jià)之間存在如表關(guān)系：銷售價(jià)/元90100110120130140銷售量/件908070605040設(shè)該商品的銷售價(jià)為x元，銷售量為y件，估計(jì)：當(dāng)x=115時(shí)，y的值為（

）A．85 B．75 C．65 D．55【答案】C【分析】該商品的銷售價(jià)每增加10元，銷售量就減少10件，所以可以分析出銷售量y與銷售價(jià)x符合一次函數(shù)關(guān)系，再設(shè)出函數(shù)解析式，代入表格中的數(shù)據(jù)求出解析式，再把x＝115代入求y的值即可．【詳解】解：由圖表可以看出y與x符合一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝kx＋b（k≠0），把x＝90，y＝90和x＝100，y＝80代入得，90k+b=90100k+b=80，解得：k=?1則y＝?x＋180，當(dāng)x＝115時(shí)，y＝?115＋180＝65．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，根據(jù)題目中的條件分析函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵的一步，并且要熟練掌握待定系數(shù)法求解析式．【變式5-1】（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┢囉杀本偼嗑?20千米的天津，它的平均速度是30千米/時(shí)，則汽車距天津的路程S（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍是（）A．S=120?30t0≤t≤4 B．C．S=120?30tt>0 D．【答案】A【分析】根據(jù)汽車距天津的距離＝總路程?已行駛路程列函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)總路程判斷出t的取值范圍即可．【詳解】解：∵汽車行駛的路程為：30t，∴汽車距天津的路程S（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為：S=120?30t，∵120÷30=4，∴自變量t的取值范圍是0≤t≤4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列一次函數(shù)關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是理解剩余路程的等量關(guān)系．【變式5-2】（2023春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）甲、乙兩地相距120km，現(xiàn)有一列火車從乙地出發(fā)，以80km/h的速度向甲地行駛．設(shè)x（h）表示火車行駛的時(shí)間，y（km）表示火車與甲地的距離．（1）寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式，并判斷y是否為x的一次函數(shù)；（2）當(dāng)x=0.5時(shí)，求y的值．【答案】（1）y=120?80x0<x≤1.5，y是x的一次函數(shù)；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，首先計(jì)算得出y與x之間的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，將x=0.5代入到一次函數(shù)并計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，火車與乙地的距離表示為：80x（km）∵甲、乙兩地相距120km∴火車與甲地的距離表示為：120?80x（km），即y=120?80x；當(dāng)火車到達(dá)甲地時(shí)，即80x=120∴x=1.5，即火車行駛1.5h到達(dá)甲地∴y=120?80xy是x的一次函數(shù)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得：y=120?80x=120?80×0.5=80．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．【變式5-3】（2023春·云南文山·八年級(jí)期末）藝術(shù)節(jié)前夕，為了增添節(jié)日氣氛，某校決定采購(gòu)大小兩種型號(hào)的氣球裝扮活動(dòng)場(chǎng)地，計(jì)劃購(gòu)買4盒大氣球，x盒小氣球（x>4）．A、B兩個(gè)商場(chǎng)中，兩種型號(hào)的氣球原價(jià)一樣，都是大氣球50元/盒，小氣球10元/盒，但給出了不同的優(yōu)惠方案：A商場(chǎng)：買一盒大氣球，送一盒小氣球；B商場(chǎng)：一律九折優(yōu)惠；（1）分別寫(xiě)出在兩個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買時(shí)需要的花費(fèi)y（元）與x（盒）之間的關(guān)系式；（2）如果學(xué)校最終決定購(gòu)買10盒小氣球，那么選擇在哪個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買比較合算？【答案】（1）A：y=10x+160，B：y=9x+180；（2）A商場(chǎng)更合算【分析】（1）利用購(gòu)買大氣球盒數(shù)×單價(jià)+小氣球去掉贈(zèng)送的還需購(gòu)買的盒數(shù)×單價(jià)列函數(shù)關(guān)系得出A商場(chǎng)花費(fèi)，用購(gòu)買大氣球盒數(shù)×單價(jià)+小氣球購(gòu)買的盒數(shù)×單價(jià)之和九折列函數(shù)關(guān)系得出B商場(chǎng)花費(fèi)即可；（2）先求A、B兩商場(chǎng)花費(fèi)函數(shù)的值，比較大小即可．【詳解】解：（1）A：y=50×4+10（B：y=（（2）當(dāng)x=10時(shí)，A：10×10+160=260元，B：9×10+180=270元，∵260＜∴選擇在A商場(chǎng)購(gòu)買比較合算．【點(diǎn)睛】本題考查列函數(shù)解析式，函數(shù)值，比較大小，掌握列函數(shù)解析式的方法，求函數(shù)值的注意事項(xiàng)是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】1、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)=kx自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)圖象形狀過(guò)原點(diǎn)的一條直線k的取值k>0k<0示意圖位置經(jīng)過(guò)一、三象限經(jīng)過(guò)二、四象限趨勢(shì)從左向右上升從左向右下降函數(shù)增減性y隨x的增大而增大，即：當(dāng)x1>y隨x的增大而減小即：當(dāng)x1>2、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)=kx+b自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)圖象形狀過(guò)0，b和?bk、b的取值k>0k<0b>0b<0b>0b<0示意圖位置經(jīng)過(guò)一、二、三象限經(jīng)過(guò)一、三、四象限經(jīng)過(guò)一、二、四象限經(jīng)過(guò)二、三、四象限趨勢(shì)從左向右上升從左向右下降函數(shù)增減性y隨x的增大而增大，即：當(dāng)x1>y隨x的增大而減小即：當(dāng)x1>3、截距定義直線y=kx+b與y軸相交于（0，b）,b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，簡(jiǎn)稱截距舉例直線y=?2x?3的截距是?3【題型6判斷一次函數(shù)的圖象】【例6】（2023春·湖南懷化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=kx?k（k為常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y=?kx的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分k>0、k<0兩種情況找出函數(shù)y=?kx及函數(shù)y=kx?k的圖象經(jīng)過(guò)的象限，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)k>0時(shí)，正比例函數(shù)y=?kx的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，一次函數(shù)y=kx?k的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；當(dāng)k<0時(shí)，正比例函數(shù)y=?kx的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，一次函數(shù)y=kx?k的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象，分k>0、k<0兩種情況找出兩函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·重慶榮昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=kx的圖象如圖所示，那么函數(shù)y=kx?k的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限可判斷出k的符號(hào)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，∴k<0，∴?k>0，∴一次函數(shù)y=kx?k的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，先根據(jù)題意判斷出k的符號(hào)是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)k,b在第四象限內(nèi)，則一次函數(shù)y=?kx+b的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件“點(diǎn)(k,b)為第四象限內(nèi)的點(diǎn)”推知k、b的符號(hào)，由它們的符號(hào)可以得到一次函數(shù)y=?kx+b的圖象所經(jīng)過(guò)的象限．【詳解】解：∵點(diǎn)(k,b)為第四象限內(nèi)的點(diǎn)，∴k>0，b<0，∴?k<0，∴一次函數(shù)y=?kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，觀察選項(xiàng)，A選項(xiàng)符合題意，B、C、D選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線y=kx+b所在的位置與k、b的符號(hào)有直接的關(guān)系．k>0時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)一、三象限；k<0時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)二、四象限；b>0時(shí)，直線與y軸正半軸相交；b=0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)；b<0時(shí)，直線與y軸負(fù)半軸相交．【變式6-3】（2023春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax?b和y=bx+a的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，先確定一個(gè)解析式所對(duì)應(yīng)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系確定a、b的符號(hào)，然后根據(jù)此符號(hào)看另一個(gè)函數(shù)圖象的位置是否正確.【詳解】解：A、若函數(shù)y=ax?b圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則a>0，b>0，此時(shí)函數(shù)y=bx+a的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；若函數(shù)y=ax?b圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限時(shí)，則a<0，b<0時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=bx+a的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；B、若函數(shù)y=ax?b圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限時(shí)，則a<0，b<0時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=bx+a的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；C、若函數(shù)y=ax?b圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則a>0，b<0，此時(shí)函數(shù)y=bx+a的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；若函數(shù)y=ax?b圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限時(shí)，則a<0，b>0時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=bx+a的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；D、若函數(shù)y=ax?b圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則a>0，b<0，此時(shí)函數(shù)y=bx+a的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；若函數(shù)y=ax?b圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限時(shí)，則a>0，b>0時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=bx+a的圖象應(yīng)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，故選項(xiàng)D正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確記憶一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)象限與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.【題型7判斷一次函數(shù)的增減性或經(jīng)過(guò)的象限】【例7】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=kx+bk≠0中，y隨x的增大而減小，b<0，則這個(gè)函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第【答案】一【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出k的符號(hào)，再由一次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+b中y隨x增大而減小∴k＜0∵b＜0∴此函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限故答案為：一.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.【變式7-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于一次函數(shù)y=?3x?2，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,?2B．函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限C．函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸D．y的值隨x的值的增大而增大【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：令x=0，則y=?2，∴函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,?2，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；令y=0，則x=?2∴函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(?2∵k=?3<0，∴y的值隨x的值的增大而減小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)期末）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－2，－1）且y隨著x的增大而減小，則該圖像不經(jīng)過(guò)的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)題意分別求得k<0和b<0，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?2,?1)，∴?1=?2k+b，∴b=2k?1，∵一次函數(shù)y=kx+b中y隨著x的增大而減小，∴k<0，∴b=2k?1＜∵k<0，b＜∴該圖像不經(jīng)過(guò)的象限是第一象限，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的問(wèn)題，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于一次函數(shù)y=(k?1)x+1?k，下列說(shuō)法：①當(dāng)k>1時(shí)，圖象從左向右上升，y隨x的增大而增大；②當(dāng)k<1時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限；③函數(shù)圖象一定過(guò)點(diǎn)(1,0)．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性質(zhì)可對(duì)①作出判斷；根據(jù)k－1及1－k的符號(hào)即可對(duì)②作出判斷；計(jì)算當(dāng)x=1時(shí)的函數(shù)值即可對(duì)③作出判斷，從而可對(duì)結(jié)果作出判斷．【詳解】當(dāng)k>1時(shí)，k－1>0，從而一次函數(shù)的圖象從左往右上升，且y隨x的增大而增大，故①正確；當(dāng)k<1時(shí)，k－1<0，圖象必過(guò)第二、四象限；又1－k>0，圖象必過(guò)第一象限，所以圖象過(guò)第一、二、四象限，故②錯(cuò)誤；當(dāng)x=1時(shí)，y=k－1+1－k=0，所以函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，故③正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系等知識(shí)，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．【題型8根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的范圍】【例8】（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)y=(m+2)x+(m?3)，若y隨x的增大而增大，且此函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，則m的取值范圍是．【答案】?2<m<3【分析】先利用一次函數(shù)的性質(zhì)得m+2>0，再利用一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)得到m?3<0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．【詳解】∵一次函數(shù)y=m+2x+m?3，y∴m+2>0，∵函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴m?3<0，則：m+2>0m?3<0解得：?2<m<3，故答案為：?2<m<3．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的應(yīng)用．【變式8-1】（2023春·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若一次函數(shù)y=kx?4的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則k的值可能是（

）A．3 B．-12 C．-4 D．0【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，若y隨x的增大而增大，則比例系數(shù)大于0．【詳解】解：∵y=kx?4的函數(shù)值y隨x的增大而增大，∴.k>0，而四個(gè)選項(xiàng)中，只有A符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，要知道，在直線y=kx+b中，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減?。咀兪?-2】（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A(x1,y1)，B(x2,【答案】a<1【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出y1?y2與【詳解】解：∵y1∴y1?∴在一次函數(shù)y=(a?1)x+1中，y隨x的增大而減小，∴a?1<0，解得a<1，故答案為：a<1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤酎c(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）是一次函數(shù)y＝ax+2圖象上不同的兩點(diǎn)，記m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），當(dāng)m＜0時(shí)，a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)＞1【答案】B【分析】根據(jù)題意m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得x1﹣x2與y1﹣y2異號(hào)，即可得出a的取值范圍．【詳解】解：∵點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）是一次函數(shù)y＝ax+2圖象上不同的兩點(diǎn)，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴x1﹣x2與y1﹣y2異號(hào)，∴該圖象是y隨x的增大而減小，∴a＜0．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)圖像，解題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的增減性．【題型9根據(jù)一次函數(shù)的增減性求自變量的變化情況】【例9】（2023春·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A2，y1和點(diǎn)Ba，yA．?3 B．?2 C．1 D．3【答案】D【分析】函數(shù)解析式y(tǒng)=?x+3知k<0，可得y隨x的增大而減小，求出a的取值范圍即可求解．【詳解】解：由y=?x+3知k<0，∴y隨x的增大而減小，∵y1∴a>2，∴a的值可能是3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)x1,?5x2,2都在直線y=?2x+b上，則xA．x1>x2 B．x1【答案】A【分析】由k=?2<0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出y隨x的增大而減小，再結(jié)合?5<2，即可得出x1【詳解】解：∵k=?2<0，∴y隨x的增大而減小，又∵點(diǎn)x1,?5x2,2∴x故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Ax1,22，點(diǎn)Bx2,1A．x1>x2 B．x1<【答案】A【分析】根據(jù)直線y=kx+bk>0，判定y隨著自變量x的增大而增大，自變量x也會(huì)隨y【詳解】解：∵直線y=kx+bk<0∴y隨著自變量x的增大而增大，∴自變量x也隨y的增大而增大，∵22∴x1故選A．【點(diǎn)睛】本考查了一次函數(shù)的增減性質(zhì)，正確判斷一次函數(shù)的增減性并靈活運(yùn)用，熟練掌握y隨x變化或x隨y變化，性質(zhì)是一致的，這是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·湖北恩施·八