山東省菏澤市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題A含解析

PAGE24-山東省菏澤市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（A）（含解析）第I卷選擇題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式與指數(shù)不等式的解法求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，，．故選：．2.已知為虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再依據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)即可列式求解.【詳解】，又是純虛數(shù)，，解得.故選：C.3.在中，角、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由結(jié)合正弦定理求得，進(jìn)而推斷可得出結(jié)論.【詳解】若，由正弦定理可得，所以，，即，，，可得，所以，，.由可知，.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：推斷充分條件和必要條件，一般有以下幾種方法：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.4.假如向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度為，假如，，，則（）A. B.8 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】利用平面對(duì)量數(shù)量定義求出夾角的余弦值，進(jìn)而可得其正弦值，再依據(jù)向量積的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值,進(jìn)而求出其正弦值是解題關(guān)鍵.5.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是聞名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽視不計(jì)，依據(jù)香農(nóng)公式，若不變更帶寬，而將信噪比從1000提升至5000，則大約增加了（）附：A.20% B.23% C.28% D.50%【答案】B【解析】【分析】由題意可得的增加比率為，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【詳解】將信噪比從1000提升至5000時(shí)，增加比率為．故選：．6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則此函數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)圖象可得是奇函數(shù)，且當(dāng)從右趨近于0時(shí)，，依次推斷每個(gè)函數(shù)即可得出.【詳解】由函數(shù)圖象可得是奇函數(shù)，且當(dāng)從右趨近于0時(shí)，，對(duì)于A，當(dāng)從右趨近于0時(shí)，，，故，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，是偶函數(shù)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，是偶函數(shù)，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，是奇函數(shù)，當(dāng)從右趨近于0時(shí)，，，，符合題意，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的變更趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖象.7.已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為3，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，的最大值是（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】由已知分別寫出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)列的前項(xiàng)和，驗(yàn)證得答案．【詳解】解：由題意得：，，，………，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和求出數(shù)列的前項(xiàng)和.8.已知函數(shù)（且），若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)有最小值可得出函數(shù)的單調(diào)性，然后對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行分類探討，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上不為增函數(shù)，可得.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)無最小值；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，①若函數(shù)在上為增函數(shù)，則，且有，即，解得，此時(shí)；②若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，且，所以，，即，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用分段函數(shù)的最值求參數(shù)，解題時(shí)要依據(jù)題意分析出兩支函數(shù)在各自定義域上的單調(diào)性，并分析出間斷點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，本題易錯(cuò)的地方在于忽視函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，忽視這一條件的分析，進(jìn)而導(dǎo)致求解出錯(cuò).二、多項(xiàng)選擇題9.若正實(shí)數(shù)，滿意，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.有最大值 B.有最小值C.有最小值4 D.有最小值【答案】C【解析】【分析】由基本不等式知，結(jié)合特別值法即可推斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故A錯(cuò)誤；B中，若，有，即最小值不為，錯(cuò)誤；C中，，正確；D中，若，有，即最小值不，錯(cuò)誤；故選：C10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線與是平行直線 B.直線與是異面直線C.直線與所成的角為60° D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)異面直線的定義干脆推斷AB選項(xiàng)，依據(jù)，轉(zhuǎn)化求異面直線所成的角，利用確定平面的依據(jù)，作出平面截正方體所得的截面，并求面積.【詳解】A.直線與是異面直線，故A不正確；B.直線與是異面直線，故B正確；C.由條件可知，所以異面直線與所成的角為，是等邊三角形，所以，故C正確；D.如圖，延長(zhǎng)，并分別與和交于，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形即為平面截正方體所得的截面，由對(duì)稱性可知，四邊形是等腰梯形，，，則梯形的高是，所以梯形的面積，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查以正方體為載體，推斷異面直線，截面問題，本題關(guān)鍵選項(xiàng)是D，首先要作出平面與正方體的截面，即關(guān)鍵作出平面.11.高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，，則下列敘述正確的是（）A.是偶函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.的值域是 D.的值域是【答案】B【解析】【分析】計(jì)算得出推斷選項(xiàng)A不正確；通過分別常數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得出在R上是增函數(shù)，推斷選項(xiàng)B正確；由的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出，進(jìn)而推斷選項(xiàng)CD不正確，即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，依據(jù)題意知，.∵，，，∴函數(shù)不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在上是增函數(shù)，則在上是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，，，即的值域是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的值域是，則的值域是，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題要留意對(duì)函數(shù)的新定義的理解，探討函數(shù)的單調(diào)性和值域常用分別常數(shù)，屬于較難題.12.已知函數(shù)滿意，且在上有最大值，無最小值，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則C.的最小正周期為4 D.在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為1010個(gè)【答案】AC【解析】【分析】解：對(duì)A，依據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可推斷；對(duì)B，令代入，以及，即可求出，進(jìn)而求得；對(duì)C，依據(jù)，即可求出最小正周期；對(duì)D，由可得函數(shù)在區(qū)間上的長(zhǎng)度恰好為個(gè)周期，令，即可推斷．【詳解】解：對(duì)A，的區(qū)間中點(diǎn)為，依據(jù)正弦曲線的對(duì)稱性知，故A正確；對(duì)B，若，則，在上有最大值，無最小值，，則，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，又在上有最大值，無最小值，，(其中)，解得：，，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，區(qū)間長(zhǎng)度恰好為個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在開區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多為個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)關(guān)于三角函數(shù)命題的真假問題，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用特別值法以及三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第II卷非選擇題三、填空題13.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)定義求出、的值，由此可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，.故答案為：.14.已知曲線的一條切線的斜率為，則該切線的方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率為即可求出切點(diǎn)，進(jìn)而求出切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，，解得（舍去）或，，故切線方程為，即.故答案為：.15.已知定義在上的奇函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】1【解析】【分析】由抽象形式的變形得到函數(shù)的周期為6，并依據(jù)條件求出，最終代入函數(shù)解析式求.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的周期為6，，即，，而，解得：.故答案為：1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是依據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，有，結(jié)合條件，得到函數(shù)的周期為6.16.如圖，正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，則該正四面體的內(nèi)切球半徑為______；平面截該內(nèi)切球所得截面的面積為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】計(jì)算出正四面體的體積以及表面積，可求得該正四面體的內(nèi)切球半徑為，找出球心的位置，計(jì)算出球心到截面的距離，利用勾股定理可求得平面截該內(nèi)切球所得截面圓的半徑為，進(jìn)而可求得截面圓的面積.【詳解】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則正四面體的球心在上，等邊的外接圓半徑為，所以，，所以，正四面體的體積為，正四面體的表面積為，設(shè)該正四面體的內(nèi)切球半徑為，則，可得，設(shè)，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面，平面，，為的中點(diǎn)，且為等邊三角形，所以，，、分別是棱、的中點(diǎn)，則，，，平面，平面，，，，平面，為的一條中位線，且，則為的中點(diǎn)，所以，，，平面，平面，，，，由，可得，易知，平面截正四面體內(nèi)切球的截面為圓，且該圓的半徑為，因此，截面圓的面積為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：表面積為，體積為的棱錐的內(nèi)切球的半徑為.四、解答題17.已知，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，由余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求的值．（2）由已知利用三角形的面積公式可求的值，進(jìn)而利用余弦定理可求的值．【詳解】（1）由，依據(jù)正弦定理可得，即，由余弦定理，得，由于，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，因?yàn)?，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)留意用哪一個(gè)定理更便利、簡(jiǎn)捷．假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.18.新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬箱，需另投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足萬箱時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于萬箱時(shí)，，若每箱口罩售價(jià)元，通過市場(chǎng)分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.（1）求口罩銷售利潤(rùn)（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？【答案】（1）；（2）萬箱.【解析】【分析】（1）分和兩種狀況分析，利用利潤(rùn)等于銷售收入減去成本可得出口罩銷售利潤(rùn)（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（2）分和兩種狀況分析，利用二次函數(shù)和基本不等式求出口罩銷售利潤(rùn)的最大值及其對(duì)應(yīng)的值，綜合可得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為萬元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，最大值為萬元.綜上，當(dāng)產(chǎn)量為萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；其次步：建?！獙⑽淖终Z(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)學(xué)問建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義；第五步：反思回顧——對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必需驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問題的合理性．19.等比數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且，，中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列其次列第三列第一行2310其次行9414第三行81827（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）284.【解析】【分析】（1）由題可得等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為3，即可得出通項(xiàng)公式；（2）依據(jù)題意得出當(dāng)時(shí)，，再分組求和即可求出.【詳解】（1）由題意結(jié)合表中數(shù)據(jù)可得，，，所以等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為3，所以的通項(xiàng)公式為；（2）由題設(shè)及（1）知，且當(dāng)時(shí)，.所以.【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵：由題得出，且當(dāng)時(shí)，是解題的關(guān)鍵，再利用分組求和即可.20.已知函數(shù)只能同時(shí)滿意下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為；②函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到；③若對(duì)隨意，恒成立，且的最小值為.（1）請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件序號(hào)，并求出的解析式；（2）求方程在區(qū)間上全部解的和.【答案】（1）①③，；（2）.【解析】【分析】（1）由題意分析出①②沖突，可知③滿意題意，由③可得出函數(shù)的最小正周期為，可求得，可說明②不符合條件，進(jìn)而可知符號(hào)題意的條件序號(hào)為①③，可得出，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）由可得，解得或，再由可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)滿意的條件為①③；理由如下：由題意可知條件①②相互沖突，故③為函數(shù)滿意的條件之一，由③可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，故②不合題意，所以函數(shù)滿意的條件為①③；由①可知，所以（2）因?yàn)?，所以，所以或，所以或又因?yàn)椋缘娜≈禐?、、、、，所以方程在區(qū)間上全部的解的和為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：依據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特別點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.21.如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于，），已知，，四邊形為矩形，平面平面.設(shè)平面與平面的交線為.

（1）證明：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先利用已知條件證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理證明，即證平面；（2）先利用基本不等式探究時(shí)三棱錐體積最大，再建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系（如圖），計(jì)算平面與平面的法向量所成的夾角的余弦值，其肯定值計(jì)算對(duì)應(yīng)平面的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，因?yàn)槭且詾橹睆降膱A上的圓周角，所以，因，，平面，所以平面