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PAGE18-黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文(含解析)考試說明:(1)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.考試時間為120分鐘;(2)第Ⅰ卷,第Ⅱ卷試題答案均答在答題卡上,交卷時只交答題卡.第Ⅰ卷(選擇題)一、選擇題:本大題共12小題,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知圓的方程為,則圓心坐標(biāo)為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化成標(biāo)準(zhǔn)式,即得圓心坐標(biāo).【詳解】因此圓心坐標(biāo)為.故選:A【點睛】本題考查圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本分析求解實力,屬基礎(chǔ)題.2.若,且為第四象限角,則的值等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】∵sina=,且a為第四象限角,∴,則,故選D.3.四張卡片上分別寫有數(shù)字,若從這四張卡片中隨機抽取兩張,則抽取的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定從這四張卡片中隨機抽取兩張總事務(wù)數(shù),再確定抽取的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的事務(wù)數(shù),最終依據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】因為從這四張卡片中隨機抽取兩張共有6種基本領(lǐng)件,取的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)有(1,2),(3,2),(5,2)三種基本領(lǐng)件,因此所求概率為.故選:C點睛】本題考查古典概型概率公式,考查基本分析求解實力,屬基礎(chǔ)題.4.已知橢圓E:與雙曲線C:()有相同焦點,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓與雙曲線有相同的焦點,所以得,得,從而可得到雙曲線方程,進而可得其漸近線方程.【詳解】解:因為橢圓E:與雙曲線C:()有相同的焦點,所以,解得,所以雙曲線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為故選:B【點睛】此題考查橢圓和雙曲線的焦點,雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.5.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)k,使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線與圓相交,可知圓心到直線的距離小于半徑,從而可求出k的取值范圍,然后利用幾何概型求概率的方法可得答案.【詳解】解:因為直線與圓相交,所以,解得,所以所求概率為故選:C【點睛】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于基礎(chǔ)題.6.已知均為銳角,,()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和余弦公式求解.【詳解】因為均為銳角,所以因為,所以,因此故選:A【點睛】本題考查兩角和余弦公式,考查基本分析求解實力,屬基礎(chǔ)題.7.中國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說:“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不行割,則與圓周合體,而無所失矣”.意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增多的時候,它的周長的極限是圓的周長,它的面積的極限是圓的面積”,如圖,若在圓內(nèi)任取一點,則此點取自其內(nèi)接正六邊形的概率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分別求圓面積以及內(nèi)接正六邊形的面積,再依據(jù)幾何概型概率公式求解.【詳解】設(shè)圓半徑為1,則圓面積以及內(nèi)接正六邊形的面積分別為,所以所求概率為.故選:A【點睛】本題考查幾何概型概率公式,考查基本分析求解實力,屬基礎(chǔ)題.8.已知角的終邊上的一點,則的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)誘導(dǎo)公式以及弦化切進行化簡,再依據(jù)三角函數(shù)定義得值,最終代入求解.【詳解】又因為角的終邊上的一點,所以,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)定義以及弦化切,考查基本分析求解實力,屬中檔題.9.某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.右圖是依據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是().A.90 B.75 C.60 D.45【答案】A【解析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050+0.100)×2=0.3,頻數(shù)為36,∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)為120×0.75=90.考點:頻率分布直方圖.10.在滿意不等式組的平面內(nèi)隨機取一點,設(shè)事務(wù)A=“”,那么事務(wù)A發(fā)生的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合幾何概型的計算方法,求出對應(yīng)面積之比即為所求概率.【詳解】如下圖,作出不等式組表示的平面區(qū)域(陰影部分),易知,,,該區(qū)域面積為.事務(wù)A=“”,表示的區(qū)域為陰影部分AOC,其面積為.所以事務(wù)A發(fā)生的概率是.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算,考查不等式組表示的平面區(qū)域,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)(,),滿意,將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象,若的圖象關(guān)于直線對稱,則的取值可以為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由,求得,進而得,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),求得,,即可求解.【詳解】因為,即,所以,又因為,所以,所以,函數(shù)的圖象向右平移個單位得到,的圖象關(guān)于直線對稱,,,即,,令,得.故選:B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算實力,屬于基礎(chǔ)題.12.已知圓(圓心為點)與拋物線交于兩點,若此拋物線的焦點為,且兩點都在以為直徑的圓上,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)條件得,再與拋物線方程聯(lián)立求坐標(biāo),最終解三角形得結(jié)果.【詳解】因為兩點都在以為直徑的圓上,所以,設(shè),則,,所以(舍負),因此故選:C【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系,考查基本分析求解實力,屬中檔題.第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題:本大題共4小題,將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.13.已知一個扇形的圓心角為3弧度,半徑為4,則這個扇形的面積等于__________.【答案】24【解析】【分析】依據(jù)扇形面積公式求解.【詳解】扇形的面積為.故答案為:24【點睛】本題考查扇形面積公式,考查基本分析求解實力,屬基礎(chǔ)題.14.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的方程為,則曲線上的點到直線的距離的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)點到直線距離公式列等量關(guān)系,再依據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.【詳解】曲線上的點到直線的距離為故答案為:【點睛】本題考查點到直線距離公式以及三角函數(shù)有界性,考查基本分析求解實力,屬中檔題.15.現(xiàn)采納隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次,至少擊中3次的概率:先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1表示沒有擊中目標(biāo),2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),以4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計擊中目標(biāo)的次數(shù),再用古典概型概率公式求解.【詳解】由數(shù)據(jù)得射擊4次至少擊中3次的次數(shù)有15,所以射擊4次至少擊中3次的概率為.故答案為:【點睛】本題考查古典概型概率公式,考查基本分析求解實力,屬基礎(chǔ)題.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為,是雙曲線右支上的一點,射線平分交軸于點,過原點的直線平行于直線交于點,若,則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】在軸上取點,使得,過作直線平行于直線交于點,利用正弦定理證明,再依據(jù)雙曲線定義解得,即得,代入條件解得離心率.【詳解】在軸上取點,使得,過作直線平行于直線交于點,如圖,因為為中點,所以,因為,所以,因此故答案為:【點睛】本題考查雙曲線離心率,考查綜合分析求解實力,屬較難題.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線(為參數(shù))與拋物線交于兩點,設(shè)點.(1)求直線的一般方程和極坐標(biāo)方程;(2)求和.【答案】(1),;(2),.【解析】【分析】(1)依據(jù)加減消元得直線的一般方程,再依據(jù)得極坐標(biāo)方程;(2)將直線參數(shù)方程代入拋物線方程,依據(jù)參數(shù)幾何意義以及韋達定理求結(jié)果.【詳解】(1)因此極坐標(biāo)方程為(2)代入得所以,【點睛】本題考查參數(shù)方程化一般方程、直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程以及直線參數(shù)方程應(yīng)用,考查基本分析求解實力,屬中檔題.18.設(shè)甲、乙、丙三個羽毛球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為18,9,18,先采納分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取5名運動員參與競賽.(1)求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數(shù);(2)將抽取的5名運動員進行編號,編號分別為,從這5名運動員中隨機抽取2名參與雙打競賽.設(shè)“編號為的兩名運動員至少有一人被抽到”為事務(wù)A,求事務(wù)A發(fā)生的概率.【答案】(1)2,1,2;(2).【解析】【分析】(1)依據(jù)分層抽樣方法確定抽取人數(shù);(2)先確定從這5名運動員中隨機抽取2名參與雙打競賽總事務(wù)數(shù),再確定事務(wù)A所包含事務(wù)數(shù),最終依據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【詳解】(1)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數(shù)分別為即2,1,2;(2)從這5名運動員中隨機抽取2名參與雙打競賽共有10種基本領(lǐng)件,其中編號為的兩名運動員都不選的事務(wù)有3個,因此事務(wù)A所包含事務(wù)數(shù)為7,從而所求概率為.【點睛】本題考查分層抽樣方法以及古典概型概率公式,考查基本分析求解實力,屬基礎(chǔ)題.19.如圖所示,“8”是在極坐標(biāo)系Ox中分別以和為圓心,外切于點O的兩個圓.過O作兩條夾角為的射線分別交⊙C1于O、A兩點,交⊙C2于O、B兩點.(1)寫出⊙C1與⊙C2的極坐標(biāo)方程;(2)求△OAB面積最大值.【答案】(1);;(2)【解析】【分析】(1)干脆由條件求出與極坐標(biāo)方程即可;(2)由(1)得,,,代入三角形面積公式,再利用三角函數(shù)求出△OAB面積的最大值.【詳解】解:(1)因為在極坐標(biāo)系中圓和圓的圓心分別為和,所以圓和圓的極坐標(biāo)方程分別為和.(2)由(1)得,,,則.所以當(dāng)時,面積最大值為.【點睛】本題考查簡潔曲線的極坐標(biāo)方程、三角形的面積公式和三角函數(shù)求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想,屬中檔題.20.某校為了診斷高三學(xué)生在市“一?!笨荚囍形目茢?shù)學(xué)備考的狀況,隨機抽取了50名學(xué)生的市“一?!睌?shù)學(xué)成果進行分析,將這些成果分為九組,第一組[60,70),其次組[70,80),……,第九組[140,150],并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試求出的值并估計該校文科數(shù)學(xué)成果的眾數(shù)和中位數(shù);(2)現(xiàn)從成果在[120,150]的同學(xué)中隨機抽取2人進行談話,那么抽取的2人中恰好有一人的成果在[130,140)中的概率是多少?【答案】(1)a=0.014,眾數(shù)95,中位數(shù);(2).【解析】【分析】(1)依據(jù)全部頻率和為1求的值,依據(jù)組中值以及頻率確定眾數(shù),依據(jù)頻率為0.5求中位數(shù);(2)先確定成果在[120,150]的同學(xué)人數(shù)以及成果在[130,140)中人數(shù),再利用古典概型概率公式求解.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得區(qū)間對應(yīng)人數(shù)最多,所以眾數(shù)為95,設(shè)中位數(shù)為,則所以中位數(shù)為;(2)成果在[120,150]的同學(xué)人數(shù)有,成果在[130,140)中人數(shù),從6人抽取2人共有15種方法,其中抽取2人中恰好有一人的成果在[130,140)中的抽法有種,因此所求概率為.【點睛】本題考查頻率分布直方圖以及古典概型概率概率公式,考查基本分析求解實力,屬基礎(chǔ)題.21.已知函數(shù).(1)求函數(shù)最小正周期并用五點作圖法畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象;(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的解析式,并求當(dāng)時,函數(shù)的最小值及此時的值.【答案】(1),圖象見解析;(2),最小值,時取到.【解析】【分析】(1)先依據(jù)二倍角公式以及協(xié)助角公式化簡函數(shù)解析式,再依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期,最終依據(jù)五點作圖法畫出圖象;(2)依據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律得,再依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】(1)所以周期為,列表如下:作圖如下:(2)函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到,因此當(dāng)時,取最小值為【點睛】本題考查五點作圖法、正弦函數(shù)性質(zhì)、二倍角公式以及協(xié)助角公式,考查綜合分析求解實力,屬中檔題.22.已知橢圓
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