2024-2025學年新教材高中數(shù)學模塊素養(yǎng)檢測二含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE模塊素養(yǎng)檢測(二)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求的)1.已知f(x)的定義域為R,f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖像如圖所示,則 ()A.f(x)在x=1處取得微小值B.f(x)在x=1處取得極大值C.f(x)是R上的增函數(shù)D.f(x)是(-∞,1)上的減函數(shù),(1,+∞)上的增函數(shù)【解析】選C.由導函數(shù)f′(x)的圖像知,在R上f′(x)≥0恒成立,故f(x)是R上的增函數(shù).2.等比數(shù)列{an}的通項公式為an=2·3n-1,現(xiàn)把每相鄰兩項之間都插入兩個數(shù),構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn},那么162是新數(shù)列{bn}的 ()A.第5項 B.第12項C.第13項 D.第6項【解析】選C.162是數(shù)列{an}的第5項,則它是新數(shù)列{bn}的第5+(5-1)×2=13項.3.在如圖的表格中,假如每格填上一個數(shù)后,每一橫行成等差數(shù)列,每一縱列成等比數(shù)列,那么x+y+z的值為 ()2412xyzA.1 B.2 C.3 【解析】選B.由表格知,第三列為首項為4,公比為QUOTE的等比數(shù)列,所以x=1.依據(jù)每行成等差數(shù)列得第四列前兩個數(shù)字分別為5,QUOTE,故第四列所成的等比數(shù)列的公比為QUOTE,所以y=5×QUOTE=QUOTE,同理z=6×QUOTE=QUOTE,所以x+y+z=2.4.已知函數(shù)fQUOTE的導函數(shù)f′QUOTE的圖像如圖,則下列敘述正確的是 ()A.函數(shù)fQUOTE在QUOTE上單調(diào)遞減B.函數(shù)fQUOTE在x=-1處取得極大值C.函數(shù)fQUOTE在x=-4處取得極值D.函數(shù)fQUOTE只有一個極值點【解析】選D.由導函數(shù)的圖像可得,當x<2時,f′QUOTE≥0,函數(shù)fQUOTE單調(diào)遞增;當x>2時,f′QUOTE<0,函數(shù)fQUOTE單調(diào)遞減.對于選項A,由于函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為QUOTE,所以A不正確;對于選項B,由題意可得函數(shù)當x=2時取得極大值,所以B不正確;對于選項C,由題意當x=-4時函數(shù)無極值,所以C不正確;對于選項D,由題意可得只有當x=2時函數(shù)取得極大值,所以D正確.5.若a>2,則方程QUOTEx3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有 ()A.0個根 B.1個根C.2個根 D.3個根【解析】選B.設(shè)f(x)=QUOTEx3-ax2+1,則f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),當x∈(0,2)時,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上為減函數(shù),又f(0)f(2)=1×QUOTE=QUOTE-4a<0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有一個根.6.已知數(shù)列{an}的通項公式an=-n2+10n-21,前n項和為Sn,若m>n,則Sm-Sn的最大值是 ()A.5 B.10 C.15 【解析】選B.依題意,Sm-Sn=an+1+an+2+…+am,所以要使Sm-Sn的值最大,則an+1+an+2+…+am包含全部的正項,令an=-n2+10n-21>0,得4≤n≤6,代入得Sm-Sn=a4+a5+a6=3+4+3=10.7.已知數(shù)列{an}滿意an+1+(-1)nan=2n-1,Sn為其前n項和,則S60= ()A.3690 B.1830C.1845 D.3660【解析】選B.因為an+1+(-1)nan=2n-1,所以a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,所以a1+a2+a3+a4=10.同理a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,所以a5+a6+a7+a8=26,同理可得a9+a10+a11+a12=42.由此可知,S4,S8-S4,S12-S8,…成等差數(shù)列,首項為10,公差為16,所以S60=15×10+QUOTE×16=1830.8.已知函數(shù)f(x)=QUOTE把方程f(x)=x的根按從小到大的依次排列成一個數(shù)列{an},則該數(shù)列的通項公式為 ()A.an=QUOTE(n∈N*)B.an=n(n-1)(n∈N*)C.an=n-1(n∈N*)D.an=n-2(n∈N*)【解析】選C.令2x-1=x(x≤0),易得x=0.當0<x≤1時,由已知得f(x-1)+1=x,即2x-1-1+1=2x-1=x,則x=1.當1<x≤2時,由已知得f(x)=x,即f(x-1)+1=x,即f(x-2)+1+1=x,故2x-2+1=x,則x=2.因此,a1=0,a2=1,a3=2,結(jié)合各選項可知該數(shù)列的通項公式為an=n-1(n∈N*).二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE…,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,…,以下運算和結(jié)論正確的是()A.a24=QUOTEB.數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比數(shù)列C.數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n項和為Tn=QUOTED.若存在正整數(shù)k,使Sk<10,Sk+1≥10,則ak=QUOTE【解析】選ACD.以2到7為分母的數(shù)共有1+2+3+…+6=21個,故a22=QUOTE,a23=QUOTE,a24=QUOTE,故A正確;QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE=QUOTE為等差數(shù)列,B錯誤;數(shù)列QUOTE的前n項和為Tn=QUOTE,C正確;可得T6=QUOTE=10.5,即S21=10.5>10;S20=QUOTE-QUOTE<10,此時a20=QUOTE,D正確.10.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x對x∈(0,+∞)恒成立.下列結(jié)論正確的是 ()A.2f(2)-3f(1)>5B.若f(1)=2,x>1,則f(x)>x2+QUOTEx+QUOTEC.f(3)-2f(1)<7D.若f(1)=2,0<x<1,則f(x)>x2+QUOTEx+QUOTE【解析】選CD.設(shè)函數(shù)g(x)=QUOTE,則g′(x)=QUOTE=QUOTE,因為(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x,所以g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,從而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)-3f(1)<5,f(3)-2f(1)<7,故A錯誤,C正確.當0<x<1時,若f(1)=2,因為g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)>g(1)=QUOTE,即QUOTE>QUOTE,即f(x)>x2+QUOTEx+QUOTE.故D正確,從而B不正確.11.將n2個數(shù)排成n行n列的一個數(shù)陣,如圖:a11a12a13……a21a22a23……a31a32a33…………an1an2an3……ann該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,每一行的n個數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,記這n2個數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有 ()A.m=3B.a67=17×37C.aij=3(i-1)×3j-1D.S=QUOTEn(3n+1)(3n-1)【解析】選ACD.由題意,該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,每一行的n個數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列,且a11=2,a13=a61+1,可得a13=a11m2=2m2,a61=a11所以2m2=2+5m解得m=3或m=-QUOTE(舍去),所以選項A是正確的;又由a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36又由aij=ai1mj-1=[(a11+(i-1)×m]×mj-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以選項C是正確的;又由這n2個數(shù)的和為S,則S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+a2n)+…+(an1+an2+…+ann)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE(3n-1)·QUOTE=QUOTEn(3n+1)(3n-1),所以選項D是正確的.12.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE,則下列說法正確的是 ()A.f(x)定義域是(0,+∞)B.x∈(0,1)時,f(x)圖像位于x軸下方C.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間D.f(x)在區(qū)間(1,2)上有最大值【解析】選BC.由題意,函數(shù)f(x)=QUOTE滿意QUOTE解得x>0且x≠1,所以函數(shù)f(x)=QUOTE的定義域為(0,1)∪(1,+∞),所以A不正確;因為f(x)=QUOTE,當x∈(0,1)時,lnx<0,所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的圖像都在x軸的下方,所以B正確;因為f′(x)=QUOTE,所以f′(x)>0在定義域上有解,所以函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,所以C是正確的;由g(x)=lnx-QUOTE,得g′(x)=QUOTE+QUOTE(x>0),所以g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,且g(1)=-1<0,g(2)=ln2-QUOTE>0,所以函數(shù)f(x)在(1,2)上先減后增,沒有最大值,所以D不正確.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知函數(shù)y=xf′(x)的圖像如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)),給出以下說法:①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù);②函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上無單調(diào)性;③函數(shù)f(x)在x=-QUOTE處取得極大值;④函數(shù)f(x)在x=1處取得微小值.其中正確的說法有________.

【解析】由題圖知,當x∈(1,+∞)時,xf′(x)>0,于是f′(x)>0,故f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),故①正確;當x∈(-1,1)時,f′(x)≤0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù),②錯誤,③也錯誤;f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),而在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在x=1處取得微小值,故④正確.答案:①④14.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,則log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值為________.

【解析】因為y′|x=1=n+1,所以切線方程為y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-QUOTE=QUOTE,即xn=QUOTE.所以log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015(x1·x2·…·x2014)=log2015QUOTE=log2015QUOTE=-1.答案:-115.在數(shù)表中,已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列,那么位于表中的第n行第n+1列的數(shù)是________.

第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………【解析】由題中數(shù)表,知第n行中的項分別為n,2n,3n,…,組成一等差數(shù)列,設(shè)為{an},則a1=n,d=2n-n=n,所以an+1=n+n·n=n2+n,即第n行第n+1列的數(shù)是n2+n.答案:n2+n16.函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,QUOTE)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1,其中k∈N*.若a1=16,則a1+a3+a5的值是________.

【解析】因為y′=2x,所以過點(ak,QUOTE)處的切線方程為y-QUOTE=2ak(x-ak),又該切線與x軸的交點為(ak+1,0),所以ak+1=QUOTEak,即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列,首項a1=16,其公比q=QUOTE,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21四、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知{an}是公差為d的無窮等差數(shù)列,其前n項和為Sn.又______,且S5=40,是否存在大于1的正整數(shù)k,使得Sk=S1?若存在,求k的值;若不存在,說明理由.

從①a1=4;②d=-2這兩個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.【解析】若選①,a1=4,因為{an}是等差數(shù)列,所以S5=5×4+10d=40,故d=2,Sk=4k+QUOTEk(k-1)×2=k2+3k,S1=a1=4,由Sk=S1可得k2+3k=4,可得k=1或k=-4(舍),故不存在k>1使得Sk=S1.若選②,d=-2,因為{an}是等差數(shù)列,由S5=5a1+10×(-2)=40,可得a1=12,Sk=12k+QUOTE×(-2)=13k-k2,因為Sk=S1,所以13k-k2=12,解可得k=1或k=12,因為k=12>1,存在k>1使得Sk=S1.18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3處取得極值.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在點A(1,16)處的切線方程.【解析】(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.因為f(x)在x=3處取得極值,所以f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A點在f(x)上,由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,f′(1)=6-24+18=0,所以切線方程為y=16.19.(12分)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿意:a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=QUOTE,求非零常數(shù)c.【解析】(1){an}為等差數(shù)列,因為a3+a4=a2+a5=22,又a3·a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩個根.又公差d>0,所以a3<a4,所以a3=9,a4=13.所以QUOTE所以QUOTE所以an=4n-3.(2)由(1)知,Sn=n·1+QUOTE·4=2n2-n,所以bn=QUOTE=QUOTE,所以b1=QUOTE,b2=QUOTE,b3=QUOTE,因為{bn}是等差數(shù)列,所以2b2=b1+b3,所以2c2+c=0,所以c=-QUOTE(c=0舍去).20.(12分)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),若an+Sn=n,cn=an-1.(1)求證:數(shù)列{cn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{bn}的通項公式.【解析】(1)因為a1=S1,an+Sn=n,①所以a1+S1=1,得a1=QUOTE.又an+1+Sn+1=n+1,②由①②兩式相減得2(an+1-1)=an-1,即QUOTE=QUOTE,也即QUOTE=QUOTE,故數(shù)列{cn}是等比數(shù)列.(2)因為c1=a1-1=-QUOTE,所以cn=-QUOTE,an=cn+1=1-QUOTE,an-1=1-QUOTE.故當n≥2時,bn=an-an-1=QUOTE-QUOTE=QUOTE.又b1=a1=QUOTE,即bn=QUOTE.21.(12分)(2024·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=2lnx+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;(2)設(shè)a>0時,探討函數(shù)g(x)=QUOTE的單調(diào)性.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)≤2x+c?f(x)-2x-c≤0?2lnx+1-2x-c≤0(*),設(shè)h(x)=2lnx+1-2x-c(x>0),則有h′(x)=QUOTE-2=QUOTE,當x>1時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當0<x<1時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,所以當x=1時,函數(shù)h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln1+1-2×1-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+∞)上恒成立,只需h(x)max≤0?-1-c≤0?c≥-1.(2)g(x)=QUOTE=QUOTE(x>0且x≠a),因