2024年浙江省九年級開學摸底數(shù)學測評卷（解析版）

九年級開學摸底數(shù)學測評卷

（測試范圍：八下全冊，九上第1、2章）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+x=0B.2%3—%=0C.xy-1=0D.或+x=2

【答案】A

【分析】判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個

未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是L

【詳解】解：A.x2+x=0,符合一元二次方程的定義，故符合題意；

B.2/_%=0,方程最高次數(shù)是3,不符合一元二次方程定義，故不符合題意；

C.xy-1^0,含有兩個未知數(shù)，不符合一元二次方程的定義，故不符合題意；

D.?x=2不是整式方程，不符合一元二次方程的定義，故不符合題意?

故選：A.

【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù).

2.下列圖標是軸對稱圖形的是（）

A.B."C.D.、

【答案】C

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，理解定義："將圖形沿某一條直線對折，直線兩邊的圖形能完全重

合的圖形是軸對稱圖形.”是解題的關鍵.

【詳解】解：A.不符合軸對稱圖形定義，故此項不符合題意；

B.不符合軸對稱圖形定義，故此項不符合題意;

C.符合軸對稱圖形定義，故此項符合題意；

D.不符合軸對稱圖形定義，故不此項符合題意;

故選：C.

3.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有()

①y=3一百/；②y=*③丫=久(3—5x)；@y=(1+2x)(1—2x)+4x2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的定義.把關系式整理成一般形式,

根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可解答.

【詳解】①y=3—6x2,是二次函數(shù)；

②丫=堞，分母中含有字母，不是二次函數(shù)；

③y=x(3-5x)=—5x2+3x;是二次函數(shù)；

@y=(1+2x)(1-2x)+4x2=1-4x2+4x2=1,不是二次函數(shù).

則二次函數(shù)共2個，

故選：B

4.淘氣統(tǒng)計一組數(shù)據(jù)142,140,143,136,149,139,得到它們的方差為名.奇思將這組數(shù)據(jù)中的每一個

數(shù)都減去140,得到一組新數(shù)據(jù)2,0,3,-4,9,-1,計算得出這組新數(shù)據(jù)的方差為守.則需與名的關系

為()

A.SQ>SiB.SQ<SiC.SQ=sfD.SQ+sf=1

【答案】C

【分析】分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差進行比較即可.

142+140+143+136+149+139

【詳解】解：142,140,143,136,149,139的平均數(shù)為:=141.5,

6

(142-141.5)2+(140-141.5)2+(143-141.5)2+(136-141.5)2+(149-141.5)2+(139-141.5)2

方差為：SQ=*11.208；

6

2,0,3,-4,9,—1的平均數(shù)為：2+0+3+(-4)+9+(-1)=1.5,

6

(2-1.5)2+(0-1.5)2+(3-1.5)2+(-4-1.5)2+(9-1.5)2+(-1-1.5)2

方差為:?11.208;

S36

；高=S3

故選：C.

【點睛】題目主要考查平均數(shù)及方差的求法，熟練掌握方差的計算方法是解題關鍵.

5.現(xiàn)有兩根長度分別為3cm和5cm的小棒，再從5根長度分別為2cm,3cm,4cm,5cm,8cm小棒中隨

機選擇一根，以所選的三根小棒為邊，能圍成三角形的概率是()

【答案】c

【分析】根據(jù)三角形的三邊關系得出第三根木棒的長度的取值范圍，再根據(jù)概率公式即可得出答案，

本題考查了，三角形三邊關系，概率公式，解題的關鍵是：熟練掌握概率公式的應用.

【詳解】解：..?兩根小棒棒的長分別是3cm和5cm,

.,.第三根小棒的長度大于2cm，小于8cm,

能圍成三角形的是：3cm,4cm,5cm的小棒，

能圍成三角形的概率為，

故答案為：

6.如圖，在高3米，寬5米的矩形墻面上有一塊長方形裝飾板(圖中陰影部分)，裝飾板的上面和左右兩

邊都留有寬度相同為x米的空白墻面.若矩形裝飾板的面積為4.5平方米，則以下方程正確的是()

5

x

3

xx

A.(3-x)(5-%)=4.5B.(3-x)(5-2x)=4.5

C.(3-2x)(5-x)=4.5D.(3-2x)(5-2x)=4.5

【答案】B

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)長方形裝飾板的面積為4.5m2,列一元二次方程

即可，理解題意是解題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，得(3—x)(5—2x)=4.5,

故選：B.

7.反比例函數(shù)y=:的圖象上有兩點4(無1，為)，B(x2,y2)>若久1>%2，比〉。，則yi-%的的值是()

A.正數(shù)B.0C.負數(shù)D.非負數(shù)

【答案】C

【分析】由X1X2>0可知點A,B在同一象限，然后根據(jù)反比例函數(shù)的圖像和性質可得yi-y2的符號.

【詳解】解：反比例函數(shù)y=|的圖象位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

Vxrx2>0,

，Xi，X2同號,即點A,B在同一象限，

*.*xt>x2,

?'-y2>y「

yt—y2V0，

故選c.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像和性質，根據(jù)題意得到點A,B在同一象限是解題關鍵.

8.如圖，AABC中，乙4=60。,4。>4B>2,點分別在邊力B,力C上，且BD=CE=2,連接DE,點M

是DE的中點，點N是BC的中點，則MN的長為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【分析】由“SAS”可證ADNB三AFNC,可得BD=CF=2,NB=NDFC,由等腰三角形的性質和直角三角形

的性質可求EF的長，由三角形中位線定理可求解.

【詳解】解：如圖，連接DN并延長至F,使得FN=DN,連接CF,EF,作CJ1EF于J.

???點N是BC的中點，

???BN=CN,

FN=DN,ZBND=乙CNF,

DNB=△FNC(SAS),

???BD=CF=2,ZB=ZDFC,

AB||CF,

???NA+ZACF=180°,ZA=60°,

ZECF=120°,

???CJ1EF,

ZCFE=ZCEF=30°,

CJ=|CE=1,EJ=JF=VCE2-CJ2=V3CJ=百EC,

???EF=2EJ=2V3,

???DM=ME,DN=NH,

MN=-EF=V3.

2

故選：c

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，勾股定理等知識,

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

9.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）圖像的一部分,對稱軸為直線％=1,則下列結論中正確的是（

A.8a+c<0

B.abc>0

C.當—1<x<2時，y>0

D.若（一2,%），G，%），（3,%）在該函數(shù)圖像上，則乃<為<為

【答案】B

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，然后根據(jù)對稱軸x=1判定b=—2a>0；根據(jù)當x=-2時,

y<0,即y=4a-2b+c=8a+c<0,然后由函數(shù)圖象對稱性可得，當x=-l與x=3時，函數(shù)值相同,

根據(jù)圖象即可判斷CD.

【詳解】解：如圖：根據(jù)拋物線對稱性補全圖象得：

二?拋物線開口方向向下，交y軸于正半軸，

a<0,c>0,

又.??對稱軸為直線x=1,即x=—?=1,

2a

/.b=-2a>0,

.'.abc<0,故B錯誤，不符合題意；

由函數(shù)圖象可得，當x=-2時，y<0,即y=4a-2b+c=8a+cV0,故A正確，符合題意;

???由函數(shù)圖象可得當當一1VXV2時，有可能y<0,C錯誤，不合題意；

由函數(shù)圖象對稱性可得，當x=—l與x=3時，函數(shù)值相同，

1

V-2<-1<-,

2

...由函數(shù)的增減性可得：yi<y3<y2,D錯誤，不合題意;

故選A.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是熟練掌握①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方

向，當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定

對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸

右.（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0,c）.

10.在正方形4BCD中，點E為8c邊的中點，點夕與點2關于力E對稱，夕B與4E交于點凡連接4次，DB',

FC.下列結論：①4B'=4D；②AFCB'為直角三角形；③NADB'=75。；?^CB'D=135%其中正確的是

B.①②④C.③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)正方形的性質結合軸對稱得性質可得AB，=AD,可判斷①正確；可得EF為△BCB，的中位線，

即有EF||B'C,可得ZBB'C=NBFE=90。,可判斷②正確；利用AAS可證明△ABF=△BCB',即可證明BF=B'C,

進而可得B'F=B'C,進而有NCFB'=ZFCB,=45°,可得NBFC=135°,再證明△BFCSACB'D,可得/CB'D=

ZBFC=135°,可判斷④正確；根據(jù)周角的定義可得NFB'D=135°,由BE=|AB可得NAEB豐60。，根據(jù)等

腰三角形的性質及角的和差關系可得Z_AB，B=NAEB力60。，進而可得NAB①力75。，根據(jù)等腰三角形的性

質可得NADB，=NAB，D475。，可判斷③錯誤；綜上即可得答案.

【詳解】解：:四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=AD,

?.?點E為BC邊的中點，點B，與點B關于AE對稱，

.?.AB=AB',FB=FB',AF1BB',

；.AB'=AD,故①正確；

：FB=FB，，點E為BC邊的中點，

；.EF為ABCB'的中位線，

/.EF||B'C,

.?.NBB'C=NBFE=90。，即△FCB，是直角三角形，故②正確;

?."B'BC+ZABF=90°,zBAF+zABF=90°,

."BAF=NB'BC,

ZAFB=NBB'C=90°

在△ABF和△BCB，中，NBAF=4B，BC，

AB=BC

/.△ABF=△BCB',

；.BF=BC

.?.B'F=B'C,即AFCB'是等腰直角三角形，

.".ZCFB,=Z.FCB,=45°,

AZBFC=135°,

Z.FBC+ZFCB=45°,ZFCB+ZDCB,=45°,

/.ZFBC=NDCB',

'BF=B'C

在△BFC和△CB'D中，zFBC=ZDCB7.

、BC=CD

ABFCSACB'D,

.'.NCB'D=NBFC=135°,故④正確，

."BB'D=360°-NFB'C-NCB'D=135°,即NAB'B+NAB'D=135°,

?.2BAE+NAEB=90。，NBAE+NABF=90。，

."ABF=NAEB,

?."ABF=NAB'B,

AzAEB=NAB'B,

VBE=-AB,

2

ZAEB*60°,

."AB'D*75°,

；AD=AB',

...NADB'=NAB'D片75°,故③錯誤；

綜上所述：正確的結論有①②④，

故選：B.

【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線的性質及平行線的性質，熟練

掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵.

第n卷

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）

11.已知二次函數(shù)y=3/+2x,當-1SW0時，函數(shù)值y的取值范圍是.

【答案】-gyWl

【分析】利用配方法轉化二次函數(shù)求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解.

【詳解】’；y=3x2+2x=3（x+|）2-

.?.函數(shù)的對稱軸為x=，，

,當-IWXWO時，函數(shù)有最小值當x=-1時，有最大值1,

：.y的取值范圍是-^<y<l,

故答案為-^<y<l.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質、一般式和頂點式之間的轉化，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質.

12.某種樹苗移植的成活情況記錄如下：估計該樹苗移植成活的概率為（結果精確到0.01）.

移植數(shù)量（棵）20401002004001000

移植成活的數(shù)量（棵）153378158321801

移植成活的頻率0.7500.8250.7800.7900.8010.801

【答案】0.80

【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，

并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近

似值就是這個事件的概率.利用頻率估計概率求解即可.

【詳解】解：由表知，估計該樹苗移植成活的概率為0.80,

故答案為：0.80.

13.當久=1時，二次根式V7-3久的值是.

【答案】2

【分析】將x=1代入原式即可求出答案.

【詳解】解：當x=l時，

V7-3x

=V7-3x1

=V4

=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查求二次根式的值，二次根式的性質.解題的關鍵是掌握二次根式的性質.

14.在數(shù)據(jù)2,0,-1,4,6中插入一個數(shù)據(jù)尤，使這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3,則x的值是.

【答案】x=4

【分析】先把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，然后根據(jù)中位數(shù)為3求解.

【詳解】這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：-1、0、2、4、6,

中位數(shù)為3,

；.x在2和4之間，即-1、0、2、X、4、6,

則(2+x)+2=3,

解得：x=4.

故答案為4.

【點睛】本題考查了中位數(shù)的知識，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個

數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

15.已知二次函數(shù)y=a久2+已久+c(a>0),圖象上有四點4(一1,%),8(3,%)，C(2,〉2)，。(一2,乃)，則%.，

了2,出的大小關系是-

【答案】y2<yi<y3

【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，二次函數(shù)圖象的性質，先根據(jù)解析式得到二次函數(shù)圖象

開口向上，離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，再由對稱性求出對稱軸為直線x=U^=l,據(jù)此求出A、C、D

三點到對稱軸的距離即可得到答案.

【詳解】解：?.,二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c(a>0),

???二次函數(shù)圖象開口向上，

???離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，

???A(-l,yi),B(3,%)都在二次函數(shù)圖象上，

???對稱軸為直線*=等=1,

A(-l,yi),B(3,yJ,C(2,y2),D(-2,y3)都在二次函數(shù)圖象上，且1一(一2)>1-(一1)>2-1,

???y2<yi<y3>

故答案為：y2<yi<y3.

16.如圖，點4、C為反比例函數(shù)為=一:上的動點，點8、D為反比例函數(shù)%=(上的動點，若四邊形4BCD為

菱形，則該菱形邊長的最小值為.

【答案】4

【分析】連接AC、BD,則ACLBD.設A(a,-》，D(m,貝UB(-m,-根據(jù)兩點的距離公式可

分別求出AD、AB、OA、OD的長.再根據(jù)菱形的性質即得出AD=AB,即可求出a和m的關系.最后在

及△AOD中，利用勾股定理即可求出AD的最小值.

【詳解】如圖，連接AC、BD,貝UAC1BD.

根據(jù)題意可設A(a,-：)，D(m,$,貝ljB(—m,-

[AD=J(m—a)2+『(一§『,AB=J(-m-a)2+[-^-(-;)]2，0A=Ja2+(-^)2,OD=

%+0.

VAD=AB,

???J(m—a)2+1—(一?『=J(—m—a)2+[.—(一》『

整理得：a2m2=12,即a2=高

在Rt△AOD中，AD=VOA2+OD2,即AD=J(Ja2+(-|)2)2+(Jm2+

整理得：AD=k+/+m2+3,

7azmz

將M=奈代入上式得：AD=2Jin2+*=2~)2+4.

V2+4>4,

AAD>4.

...該菱形邊長的最小值為4.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象和性質，菱形的性質，兩點的距離公式以及勾股定理，數(shù)據(jù)處理難度大,

較難.作出輔助線是解答本題的關鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，共66分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.計算：

(1)(-1)2021-2(TT+1)°+V27-|1-V2|

(2)(3+V2)2(l+V2)(l-V2).

【答案】(1)一迎+1；(2)-11-6V2.

【分析】(1)先計算乘方，零指數(shù)嘉，立方根，絕對值化簡，再計算加減法即可；

(2)先利完全平方公式與平方差公式計算，合并化簡即可.

[詳解]解：(1)(_1)2°21_25+1)°+舊_|1_e|,

=-1—2x1+3——1),

=—1—2+3—V2+1,

--y/2+1；

(2)(3+V2)2(l+72)(1-V2),

=(9+6夜+2)(1-2),

=(11+6A/2)X(-1),

=-ll-6V2.

【點睛】本題主要考查實數(shù)混合運算以及二次根式計算，掌握基本知識是解題關鍵.

18.已知關于x的一元二次方程/-(fc+2)x+/c-1=0.

(1)求證：無論左取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)己知5是此方程——(k+2)x+k—1=0的一個根，求k的值和這個方程的另一個根

【答案】(1)證明見解析

(2)k=方程的另一根為：

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系.一元二次方程ax?+bx+c=0(a力0)的根與系數(shù)的關系為：X1+x2-

-；,X1.x2也考查了根的判別式.

(1)根據(jù)根的判別式，即可得出乙=k2+8>0,由此可證出不論k取何值，方程必有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)把x=5代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根.

【詳解】(1)證明：la=l,b=-(k+2),c=k-1,

...△=b2—4ac=[—(k+2)]2—4x1x(k-1)=k2+8,

無論k取何值，k2>0,

則k2+8>0,

???不論k取何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)解：把x=5代入方程可得25-5(k+2)+k-1=0,

解得：k=g

當k=g時，原方程為X2-孩X+[=O,

解得X]=|,x2=5,

即方程的另一根為a

19.某校田徑隊為了調動隊員體育訓練的積極性，計劃根據(jù)成績情況對隊員進行獎勵.為確定一個適當?shù)?/p>

成績目標，進行了體育成績測試，統(tǒng)計了每個隊員的成績，數(shù)據(jù)如下：

收集數(shù)據(jù)77787672847591857879

82787679919176747585

75918077757587857677

整理、描述數(shù)據(jù)

成績/分72747576777879808284858791

人數(shù)/人11a433b111314

分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表:

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

80C78

解決問題

(1)表格中的口=；b=；c=；

(2)分析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個數(shù)據(jù)，如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，你認為成績目標

應定為分，如果想確定一個較高的成績目標，這個成績目標應定為分；

(3)學校要從91分的A,B,C,。四名隊員中，隨機抽取兩名隊員去市里參加系統(tǒng)培訓.請利用畫樹狀圖法

或列表法，求A,B兩名隊員恰好同時被選中的概率.

【答案】(1)5；2；75

(2)78；80

(3)A,B兩名隊員恰好同時被選中的概率為

6

【分析】本題主要考查畫樹狀圖或列表法求隨機事件的概率，統(tǒng)計表，眾數(shù)和中位數(shù)的意義.

(1)根據(jù)統(tǒng)計表直接寫出a和b的值，根據(jù)眾數(shù)的意義可求解c的值；

(2)根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的意義即可求解；

(3)畫樹狀圖或列表法把所有等可能結果表示出來，再運用概率公式即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)知a=5；b=2；

出現(xiàn)最多的是75分，有5人，眾數(shù)為75分，貝卜=75；

故答案為：5；2；75；

(2)解：?.?由統(tǒng)計圖可知中位數(shù)為78分，

/.如果想讓一半左右的隊員都能達到成績目標，成績目標應定為78分，

如果想確定一個較高的目標，成績目標應定為80分，

因為在樣本的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)中，平均數(shù)最大，

可以估計，如果成績目標定為80分，努力一下都能達到成績目標.

故答案為：78；80；

(3)解：畫樹狀圖表示所有等可能結果如圖所示，

共有12種等可能結果，A,B兩名隊員恰好同時被選中的情況有2種，

:.A,B兩名隊員恰好同時被選中的概率為=g

126

答：兩名隊員恰好同時被選中的概率為

A,BO

20.如圖，在平行四邊形4BCD中，BE14C于點E,OF14C于點F,連結DE,BF.

(1)求證：4EBF=4EDF；

(2)若AB=13,BC=20,AC=21,求四邊形BEDF的面積.

【答案】(1)見解析

(2)132

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點，是解題的

關鍵：

(1)證明四邊形BEDF是平行四邊形，即可得出結論；

(2)設AE=x,則：CE=(21-x),勾股定理求出x的值，進而求出BE,EF的長，進而求出四邊形BEDF的

面積即可.

【詳解】(1)解：?.?平行四邊形ABCD,

：.AB||CD,AB=CD,

."BAE=ZDCF,

；BE1AC于點E,DF1AC^^F,

ABE||DF,ZBEA=ZDFC=90°,

/.△AEB=△CFD,

ABE=DF,

VBE||DF,

，四邊形BEDF是平行四邊形，

AzEBF=ZEDF；

（2）由（1）知：AAEBSACFD,

/.AE=CF,

設AE=x,貝l|：CE=（21-x）,

由勾股定理，得：BE2=AB2-AE2=BC2-CE2,

A132-x2=202-（21-x）2,

解得：x=5,

；.AE=CF=5,

ABE=V132-52=12,EF=AC-AE-CF=11,

?*.SABEF=IX11x12=66,

"/四邊形BEDF是平行四邊形，

/.四邊形BEDF的面積=2SABEF=132.

21.萬達廣場以每件10元購進一種商品，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種商品的銷售價不

得高于20元/件，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數(shù)，且銷售價與銷售

量的關系如下表：

銷售價（久元）10151820

銷售量（y件）30252220

求商場每天的銷售利潤w（元）與每件的銷售價x（元）的函數(shù)關系式，如果商場要想獲得最大利潤，每件

商品的銷售價定為多少為最合適？最大銷售利潤為多少？

【答案】每件銷售價為20元時最合適，每天的銷售利潤最大，最大銷售利潤是200元.

【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，熟練掌握二次函數(shù)的增減性

是解題的關鍵.設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b（k片0）,把（10,30）,（15,25）代入求出k和b的值即可

得出函數(shù)關系式，根據(jù)“總利潤=每件的利潤x銷售量”可得函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質進一步求解可

得.

【詳解】（1）解：設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b（k不0）,

把（10,30）,（15,25）代入得：

C30=10k+b

125=15k+b'

解得:｛屋小

；.y與x之間的函數(shù)關系式為y=-x+40,

???銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種商品的銷售價不高于20元/件，

.".10<x<20；

根據(jù)題意可得：

w=(x-10)y

=(x-10)(-x+40)

=-x2+5Ox-400

=-(x-25尸+225

Va=-1<0,

二當x<25時，w隨x的增大而增大，

V10<x<20,

.?.當x=20時，w取最大值，此時卬=一(20-25)2+225=200,

二每件銷售價為20元時最合適，每天的銷售利潤最大，最大銷售利潤是200元.

22.如圖，頂點M(0,-1)的拋物線與直線y=x+l相交于A,2兩點，且點A在無軸上，連接AM,BM.

(1)求點A的坐標和這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；

(2)求點B的坐標.

【答案】(1)點A的坐標是(一1,0),y=x2-1

(2)點B的坐標為(2,3)

【分析】本題考查了一次函數(shù)與拋物線的交點問題，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖像上

點的坐標問題，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征等知識點，能求出點A的坐標是解此題的關鍵.

(1)先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點A的坐標，設頂點為(0,-1)的拋物線的解析式為y=ax2-l,把點A

的坐標代入求出a即可；

(2)解兩函數(shù)解析式組成的方程組，即可求出點B的坐標.

【詳解】(1)由y=x+l,

得當y=0時，x=-1,

所以點A的坐標是(一1,0),

設頂點為(0,-1)的拋物線的解析式為y=ax2-1,

一點A(-1,0)在拋物線y=ax2-1上，.?.0=a-1,

解得：a=1,

.拋物線的解析式為y=x2—i；

⑵聯(lián)立HU，

徂fxl=_](x2=2

侍Ty1=o=3，

一點A的坐標是(-1,0),

二點B的坐標為(2,3).

23.已知，等腰RtAZDM中，^AMD=90°,AM=MD,EMBCD的邊8c經(jīng)過點M,點E是線段DM上一動

點，連接

(1)如圖1,若點E是。M的中點，乙48c=60。，AE=V10,求的長；

(2)如圖2,連接CE,當4E1AB時，求證：CD+CE=AE；

(3)如圖3,等腰RtAAEF中NB4E=90。，AF=AE,連接FM,若CM=2,AB=V10,當點E在運動過程

中，請直接寫出AAFM周長的最小值.

【答案】⑴2+言

(2)見詳解

(3)3&+3V10

【分析】(1)過點M作MN1AD于點N,過點A作AK1BC于點K,設AM=MD=2a,則AD=2應a,根據(jù)

等腰直角三角形的性質可得AN=DN=&a,MN=V2a,在RtAAME中，由勾股定理列式可解得2=夜，

易得AN=MN=V2a=2,再證明四邊形AKMN為矩形，進而可得MK=AN=2,AK=MN=2,在RtAABK

中，由勾股定理可解得BK=言，即可獲得答案；

(2)延長AM、DC,交于點F,分別證明△AME三△DMF,△CME三△CMF,結合全等三角形的性質，即可

證明結論；

(3)過點F作FR||AM,交DA的延長線于點R,過A作SA1AD交FR于點S,證明△FASSAEAD,可得FS=ED,

即點F在直線RS上運動，作點A關于RS的對稱點Q,交RS于點0,連接QM,交RS于點N,連接QF,當點Q、F、M

在同一直線上時，AAFM周長取最小值，且CAAFM=AM+QM,過點C作CH1DM于點H,求得AM,QM的

值，即可獲得答案.

【詳解】(1)解：如下圖，過點M作MN1AD于點N,過點A作AK1BC于點K,

B，KMC

AND

?等腰RtAADM中，/AMD=90。，AM=MD,

設AM--MD-2a,則AD=2近a,

.*.AN=DN=工AD=V2a,MN=工AD=V2a,

22

?.?點E是DM的中點，AE=V10,

.?.ME=|MD=a,

.?.在RtAAME中，可有AM?+ME2=AE2,

即(2a)2+a2=(V10),整理可得a?=2,

解得a=魚或a=-V2(舍去)，

.*.AN=MN=V2a=2,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

ABC||AD,

VMN1AD,AKIBC,

AZAKM=ZANM=90°,

AzKMN=180°-Z.ANM=90°,

???四邊形AKMN為矩形，

AMK=AN=2,AK=MN=2,

VZ.ABC=60°,

AzBAK=90°-4ABC=30°,

AAB=2BK,

???在RtzkABK中，可有AK2+BK2=AB2,

即22+BK2=(2BK)2,整理可得BK2=(

解得BK=當，

.?.BM=BK+KM=2+季

(2)延長AM、DC,交于點F,如下圖,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

AZ.BAD=ZBCD,BC||AD,AB=CD,

'."AMD=90。，AM=MD,

AzMDA=ZMAD=45°,

VAE1AB,

AZ.BAD=ZBCD=90°+zDAE,

AZ.MDC=180°-(90°+zDAE)-45°=45°-zDAE,

VzAMD=90°,即AMIDM,

AzF=90°-Z.MDC=45°+zDAE,

VZAEM=乙ADM+ZDAE=45°+zDAE,

AzF=ZAEM,

在△人乂￡和4DMF中，

'ZF=ZAEM

ZFMD=ZEMA=90°,

MD=MA

???△AME=△DMF(AAS),

AAE=DF=DC+CF=AB+CF,ME=MF,

VBC||AD,ZMDA=45°,

:?△EMC=ZMDA=45°,

VAM1DM,

AzFMC=90°-ZEMC=45°=zEMC,

在ACME和ACMF中，

ME=MF

乙EMC=ZFMC,

、MC=MC

△CME=△CMF(SAS),

ACE=CF,

AAB+CE=CD+CF=DF=AE；

(3)如下圖，過點F作FRIIAM,交DA的延長線于點R,過A作SA1AD交FR于點S,

VZ.AMD=90°,AM=MD,

AzASF=ZSAM=ZMAD=zMDA=45°,

VzFAE=90°,AF=AE,

AzFAS+ZSAE=ZEAD+zSAE=90°,

:?△FAS=READ,

在4FAS和4EAD中，

ZEAD=ZFAS

△EDA=ZFSA，

、AE=AF

.,.△FAS=AEAD(AAS),

AFS=ED,

，點F在直線RS上運動，

如圖，作點A關于RS的對稱點Q,交RS于點0,連接QM,交RS于點N,連接QF,

當點Q、F、M在同一直線上時，

則JAFM=AM+AF+MF=AM+QF+FM=AM+QM,此時△AFM周長取最小值,

過點C作CH1DM于點H,

VBC||AD,ZMDA=45°,

AZHMC=ZMDA=45°,

VCM=2,CD=AB=V10,

AHM=CH=^=V2,HD=VCD2-CH2=J(V10)2-(V2)2=2VL

.*.AM=DM=HM+HD=3VLAD=V2AM=6,

AAR=AS=AD=6,△ARO為等腰直角三角形，

A2OA2=AR2,即20A2=62,

解得OA=3VLAQ=2OA=6vL

VFR||AM,

AzQAM=90°,

.__________I22

AQM=JAQ2+AM2=J（6魚）+（3/）=3vli5,

JAFM=AM+QM=3>/2+3A/10;

△AFM周長的最小值為3四+3V10.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質、平行四邊形的性質、矩形的判定與性質、含30度角的直

角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、軸對稱的性質等知識，綜合性強，難度較大，正

確作出輔助線，熟練運用相關知識是解題關鍵.

24.我們定義：如果一個矩形A周長和面積都是8矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形8的完全N倍

體.

【概念辮析】

（1）若矩形A是邊長為1的正方形，是否存在一個正方形2是正方形A的