高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題：用放縮法處理數(shù)列和不等問題(含答案)

用放縮法處理數(shù)列和不等問題（教師版）一．先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理）例1．正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：解：（1）由已知得，時(shí)，，作差得：，所以，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以真題演練1：(06全國(guó)1卷理科22題)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和,，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，，證明：.解:(Ⅰ)由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…將①和②相減得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而數(shù)列{an+2n}是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)將an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－)<eq\f(3,2)二．先放縮再求和1．放縮后成等比數(shù)列，再求和例2．等比數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和為，且成等差數(shù)列．設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和為，證明：．解：∵，，，∴公比．∴．．（利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的模擬公式猜想）∴．真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列滿足 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：. （I）解： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 即 （II）證法一： ① ② ②－①，得 即 ③－④，得 即是等差數(shù)列 （III）證明：2．放縮后為“差比”數(shù)列，再求和例3．已知數(shù)列滿足：，．求證：證明：因?yàn)椋耘c同號(hào)，又因?yàn)?，所以，即，即．所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：．令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．3．放縮后成等差數(shù)列，再求和例4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求證：；(2)求證：解：（1）在條件中，令，得，，又由條件有，上述兩式相減，注意到得∴所以，，所以（2）因?yàn)?，所以，所以；練?xí)：1.（08南京一模22題）設(shè)函數(shù)，已知不論為何實(shí)數(shù)，恒有且.對(duì)于正數(shù)列，其前n項(xiàng)和，.(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試比較和的大小并證明之.解：(Ⅰ)（利用函數(shù)值域夾逼性）；（II）；（Ⅲ）∵，∴2.（04全國(guó)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，（1）寫出數(shù)列的前三項(xiàng)，，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：（n>1）化簡(jiǎn)得：,故數(shù)列{}是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.故∴∴數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：.⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知：，，因此，可將保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對(duì)進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，所以對(duì)任意整數(shù)，有。本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。3.（07武漢市模擬）定義數(shù)列如下：求證：（1）對(duì)于恒有成立；（2）當(dāng)，有成立；（3）分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。（2）由得：……以上各式兩邊分別相乘得：，又（3）要證不等式，可先設(shè)法求和：，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。又原不等式得證。本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。用放縮法處理數(shù)列和不等問題（學(xué)生版）一．先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理）例1．正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：真題演練1：(06全國(guó)1卷理科22題)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和,，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，，證明：.二．先放縮再求和1．放縮后成等比數(shù)列，再求和例2．等比數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和為，且成等差數(shù)列．設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和為，證明：．真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列滿足 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：.2．放縮后為“差比”數(shù)列，再求和例3．已知數(shù)列滿足：，．求證：3．放縮后成等差數(shù)列，再求和例4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求證：；(2)求證：練習(xí)：1.（08南京一模22題）設(shè)函數(shù)，已知不論為何實(shí)數(shù)，恒有且.對(duì)于正數(shù)列，其前n項(xiàng)和，.(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若，且數(shù)列的前n