等比數(shù)列的前n項和公式 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

1【解】由an＋1＝2an2，a1＝2可知an>0(n∈N*)，兩邊同時取以2為底的對數(shù)得log2an＋1＝log2(2an2)＝log22＋log2an2＝1＋2log2an.令bn＝log2an，則bn＋1＝2bn＋1.令bn＋1＋t＝2(bn＋t)，則bn＋1＝2bn＋t，則t＝1.∴bn＋1＋1＝2(bn＋1)，∴{bn＋1}為等比數(shù)列，且首項為b1＋1＝log2a1＋1＝2，公比為2，∴bn＋1＝2·2n－1＝2n，即bn＝2n－1，∴l(xiāng)og2an＝2n－1，∴an＝.微專題

求數(shù)列通項公式的方法（3）構(gòu)造法④對數(shù)型：anp＝man－1q(其中m，p，q為常數(shù))

已知數(shù)列{an}的首項a1＝2，且滿足an＋1＝2an2，求數(shù)列{an}的通項公式．2⑤倒數(shù)型：an＝(其中k，b為常數(shù))[天津紅橋區(qū)2019期中]已知正項數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝

，則a5的值為__________．微專題

求數(shù)列通項公式的方法（3）構(gòu)造法【解析】由遞推關(guān)系可得anan＋1＋2an＋1＝2an，即anan＋1＝2an－2an＋1，據(jù)此有

－

＝

，又

＝1，故數(shù)列

是首項為1，公差為

的等差數(shù)列，則

＝1＋×(5－1)＝3，故a5＝.4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式

第一課時等比數(shù)列的前n項和公式1．掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其應(yīng)用．(重點)2．會用錯位相減法求數(shù)列的和．(重點)3．能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題．學(xué)習(xí)目標(biāo)情境導(dǎo)入國際象棋起源于古印度，相傳國王要賞賜國際象棋的發(fā)明者，問問他想要什么？宰相開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8粒……依次，每一個格子里都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的兩倍，直到最后一個格子第64格。“好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了宰相的這個謙卑的請求。這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？問題1

若等比數(shù)列{an}的首項是a1，公比是q，如何求該等比數(shù)列的前n項的和？提示思路一：因為Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，則有，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，乘q有，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，兩式相減可得Sn－qSn＝a1－a1qn，上述等比數(shù)列求前n項和的方法,稱為“錯位相減法”.思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，?Sn＝a1＋q(Sn－an)?(1－q)Sn＝a1－anq，已知量首項、公比與項數(shù)首項、公比與末項求和公式公式一Sn＝________________公式二Sn＝________________一、等比數(shù)列的前n項和公式

問題2

你能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項和公式Sn的函數(shù)特征嗎？1.當(dāng)公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝

，Sn是n的正比例函數(shù).2.當(dāng)公比q≠1時，設(shè)A＝

，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn＝

.即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).注意點：等比數(shù)列前n項和公式的結(jié)構(gòu)特點即qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).A(qn－1)na1試一試1.數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項和為Sn＝3n＋1－2k，則實數(shù)k＝____.解析∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}為等比數(shù)列，已知量首項、公比與項數(shù)首項、公比與末項求和公式公式一Sn＝________________公式二Sn＝________________一、等比數(shù)列的前n項和公式

公式三例1

例1

錯位相減法等差等比二、錯位相減法

本課小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了：1.數(shù)列的前n項和公式；2.利用等比數(shù)列前n項和公式判斷等比數(shù)列；3.錯位相減法.問題2

同學(xué)們，現(xiàn)在你能幫國王算一下他需要付出多少顆麥粒嗎？如果他無法實現(xiàn)他的諾言，你能幫他解決嗎？

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