基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

5.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、內(nèi)容解析本節(jié)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，主要包括幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則．由于求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)都涉及極限的運(yùn)算，而極限的具體知識(shí)對(duì)高中生是不作要求的，所以教科書對(duì)上述內(nèi)容并沒有進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，而是先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解了幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在此基礎(chǔ)上直接給出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表；然后采用從特殊到一般的方法，先以具體函數(shù)的求導(dǎo)使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則有直觀的感覺，然后給出導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．由于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)涉及對(duì)復(fù)合函數(shù)的自變量、中間變量、因變量的結(jié)構(gòu)分析，需要兩次求導(dǎo)的過程，所以求簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)將得以提升．本節(jié)引言闡明本節(jié)研究思路的同時(shí)，也指出了研究的必要性：很多復(fù)雜的函數(shù)都是由基本初等函數(shù)通過加、減、乘、除等運(yùn)算得到的，由此自然想到要計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是否可以先求出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后研究出導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，這樣就可以利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則來求較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)了．通過節(jié)引言的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以快速地了解本節(jié)的緣起、研究路徑和方法，教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意節(jié)引言中對(duì)研究方法的引導(dǎo)．5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、教學(xué)內(nèi)容：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、教學(xué)目標(biāo)：1、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.2、學(xué)會(huì)利用公式求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及公式的推導(dǎo)過程.難點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及公式推導(dǎo)過程及應(yīng)用.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：引導(dǎo)語：我們通過對(duì)幾個(gè)常用函數(shù)求導(dǎo)，可以進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一種借助極限的運(yùn)算，從而進(jìn)一步體會(huì)極限思想．極限是人們從微觀層面認(rèn)識(shí)世界變化規(guī)律的重要工具，導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，蘊(yùn)含著極限的思想，理解導(dǎo)數(shù)的定義，對(duì)于發(fā)展同學(xué)們的數(shù)學(xué)抽象思想和正確的世界觀有著重要的作用.導(dǎo)數(shù)的幾何意義表明，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處切線的斜率，對(duì)于幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的定義，提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，有重要的作用.【復(fù)習(xí)引入】問題1求函數(shù)y fx在x x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟是什么？師生活動(dòng)：第一步，計(jì)算yfx0xfx0，并化簡；xx第二步，若limy存在，求limy；xxx0x0第三步，得到f'x0 lim y.x 0 x設(shè)計(jì)意圖：回憶導(dǎo)數(shù)的概念，引入本節(jié)課題.問題2 函數(shù)y fx在x x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？師生活動(dòng)：函數(shù)y fx在x x0處的導(dǎo)數(shù)f'x0就是曲線y fx在x x0處的切線的斜率k0，即k0 limfx0 xxfx0 f'x0.x 0設(shè)計(jì)意圖：導(dǎo)數(shù)的幾何意義表明，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處切線的斜率，對(duì)于幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的定義，提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，有重要的作用.問題3 求函數(shù)y fx的導(dǎo)數(shù)的步驟是什么？yf(x+Dx-fx)師生活動(dòng)：第一步，計(jì)算D=)(，并化簡；DxDx第二步，若limy存在，求limy；xxx0x0第三步，得到f'(x)=y'=limDy.Dx?0Dx設(shè)計(jì)意圖：依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，區(qū)別f'x0、f'(x).【探究新知】探究一 函數(shù)y=f(x)=c的導(dǎo)數(shù)yf(x+Dx-fx)c-c因?yàn)镈=)(==0,DxDxDx所以limDy=lim0=0.所以y'=limDy=0.Dx?0DxDx?0Dx?0Dx思考 若y=c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=0的物理意義是什么？如圖，若y=c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即一直處于靜止?fàn)顟B(tài).探究二 函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù)Df()-f()(x+Dx)-x因?yàn)閥=x+Dxx==1,DxDxDx所以limDy=lim1=1.Dx?0Dx Dx?0所以y'=limDy=1.Dx?0Dx思考 若y=x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=1的物理意義是什么？如圖，若y=x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速直線運(yùn)動(dòng).探究三 函數(shù)y=f(x)=x2的導(dǎo)數(shù)因?yàn)镈(x+Dx)-f()()y=fx=x+Dx2-x2DxDxDx()=x2+2x×Dx+Dx2-x2Dx=2x+Dx,所以limDy=lim(2x+Dx)=2x.Dx?0Dx Dx?0所以y'=limDy=2x.Dx?0Dx思考y'=2x的幾何意義是什么？如圖，y'=2x表示函數(shù)y=x2的圖象上點(diǎn)(x,y)處切線的斜率為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化.另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來看，y'=2x表明：當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增加，y'越來越小，y=x2減少得越來越慢；當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的增加，y'越來越大，y=x2增加得越來越快.思考 若y=x2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=2x的物理意義是什么？y=x2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=2x可以解釋為某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為2x.探究四 函數(shù)y=f(x)=x3的導(dǎo)數(shù)因?yàn)镈()-f()()y=fx+Dxx=x+Dx3-x3DxDxDxx3+3x2×Dx+3x×D(x)2+(Dx)3-x3Dx=3x2+3x×Dx+Dx2,所以Dyé22ù2lim=lim3x+3x×Dx+Dx)=3x.DxDx?0Dx?0?(?所以y'=limDy=3x2.Dx?0Dx思考 y'=3x2的幾何意義是什么？如圖，y'=3x2表示函數(shù)y=x3的圖象上點(diǎn)(x,y)處切線的斜率為3x2，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化，且恒為非負(fù)數(shù).探究五 函數(shù)y=f(x)=1x的導(dǎo)數(shù)yf(x+Dx-fx)1-1x+Dxx==因?yàn)镈xDxDx=x-(x+Dx)=-1,x(x+DxDxx2+x×Dx)Dy?1?1所以lim=lim?-÷=-.Dx2+x×Dxx2Dx?0Dx?0èx?所以y'=limDy=-1.DxDx?0x2函數(shù)y=f(x)=的導(dǎo)數(shù)探究六x因?yàn)閥f(x+Dx-fx)xxx==DxDxDx=(x+Dx-x)(x+Dx+x)Dx(x+Dx+x)1=x+Dx+x,所以limDy=lim1=1.Dx?0DxDx?0x+Dx+x2x所以y'=limDy=1.Dx?0Dx2x【知識(shí)梳理】6個(gè)函數(shù)中，除第1個(gè)是常函數(shù)外，其余5個(gè)都是哪一類基本初等函數(shù)？都是冪函數(shù).思考你能發(fā)現(xiàn)它們的導(dǎo)數(shù)f'(x)與函數(shù)f(x)之間的關(guān)系嗎？f(x)=xa(a?Q,且a10),則f'(x)=axa-1.還有哪些基本初等函數(shù)？它們的導(dǎo)數(shù)又是什么？指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù).實(shí)際上，對(duì)于其它的基本初等函數(shù)，我們確實(shí)可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求其導(dǎo)數(shù)的，但是由于我們目前的知識(shí)結(jié)構(gòu)還不夠完善，求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算過程還有些困難，因此這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們直接給出，今后可以直接使用.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式若f(x)=c(c為常數(shù))，則f￠(x)=0；若f(x)=xa(a?Q，且a10)，則f￠(x)=axa-1；若f(x)=sinx，則f￠(x)=cosx；若f(x)=cosx，則f￠(x)=-sinx；若f(x)=ax(a>0，且a11)，則f￠(x)=axlna；特別地，若f(x)=ex，則f￠(x)=ex；若f(x)=logax(a>0，且a11)，則f￠(x)=xln1a；特別地，若f(x)=lnx，則f￠(x)=1x；【典例分析】例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2（2）ylog2x.（1）yx3；分析：分辨函數(shù)的類型，直接應(yīng)用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù).'2'22121''1解：（1）yx3x;(2)33xln2例2假設(shè)某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%，物價(jià)p(單位：元)與時(shí)間t(單位：年)之間的關(guān)系為p(t)=po(1+5%)t其中p0為t=0時(shí)的物價(jià).假定某種商品的p0 1，那么在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少(精確到0.01元/年)？分析：由函數(shù)的解析式可以看出，這是一個(gè)指數(shù)型函數(shù)，底是1.05，因此p(t)是一個(gè)增函數(shù)，所以價(jià)格隨著時(shí)間的增長而上漲.所以價(jià)格上漲的速度就是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值.因此，本題需要先求出p(t)的導(dǎo)函數(shù)，再求出t=10時(shí)的導(dǎo)數(shù)值.解：根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表，有p't 1.05tln1.05.所以p'10 1.0510ln1.05 0.08.所以，在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約以0.08元/年的速度上漲.【課堂練習(xí)】1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：x(1)y＝x(x＞0)；(2)y＝sin(π－x)；(3)y＝log1x3解:(1)∵y＝x＝x(x＞0)，∴y′＝(x)′＝1.x2x(2)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx.1 1(3)y′＝(log1x)′＝ 1＝－xln3.3 xln32.畫出函數(shù)y=1的圖象.根據(jù)函數(shù)y=1的圖象，描述它的變化情況.求出曲線xx=1x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.如圖,結(jié)合函數(shù)圖象及其導(dǎo)數(shù)y'=-x12發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)y=1減少得越來越快；當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)y=1減少得越xx來越慢.1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)y=x在x=1處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率.因?yàn)閥'=-x12，所以函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)y'x=1=-112=-1，所以曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為-1，在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為x+y-2=0.【課堂小結(jié)】1.對(duì)于基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式需要注意以下幾點(diǎn)（1）若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解．（2）對(duì)于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運(yùn)算失誤．1（3）要特別注意“x與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù).2.本節(jié)課的地位和作用（1）本節(jié)課鞏固了用定義求導(dǎo)數(shù)的方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)；（2）本節(jié)課與導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生背景相呼應(yīng)，鞏固了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，更深刻地認(rèn)識(shí)了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，逐漸養(yǎng)成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的習(xí)慣；（3）提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).【布置作業(yè)】1.教材75頁2、3、4.已知曲線y=lnx，點(diǎn)P(e，1)是曲線上一點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)P處的切線方程．求曲線y=x2過點(diǎn)P(3,5)的切線方程.【目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)】一、選擇題111．已知函數(shù)f(x)=，則f￠?÷=（）x2è2?A．-1B．-1C．-8D．-16482．已知f(x)=cos30o，則f￠(x)的值為（）11A．-B．C．-3D．02223．已知函數(shù)f(x)=x3，f￠(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f￠(x0)=12，則x0=（）B．-2±±A．2C．2D．4.曲線f(x)=1在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為3