二次函數(shù)講義-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)原卷版

考點12.二次函數(shù)（精講）

【命題趨勢】

二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)考點最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學(xué)中最重要

的考點，年年都會考查，總分值為15-20分。而對于二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，也主要集中在二次函數(shù)的

圖象、圖象與系數(shù)的關(guān)系、與方程及不等式的關(guān)系、圖象上點的坐標(biāo)特征等幾大方面。題型變化較多，考

生復(fù)習(xí)時需要熟練掌握相關(guān)知識，熟悉相關(guān)題型，認真對待該考點的復(fù)習(xí)。

【知識清單】

1：二次函數(shù)的相關(guān)概念（☆☆）

1）二次函數(shù)的概念：一般地，形如jN+bx+c（〃，b,c是常數(shù)，。加）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

2）二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：y=aN+bx+c（〃，b,。為常數(shù)，存0）.

（2）頂點式：尸〃（%-/?）2+k（mh,k為常數(shù),存0）,頂點坐標(biāo)是（h,k）?

（3）交點式：產(chǎn)〃（%—Xl）（XT2），其中為，工2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，存0.

2：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（☆☆☆）

解析式二次函數(shù)（a,b,c是常數(shù)，〃加）

b

對稱軸

la

/b4ac-b2、

頂點（—，）

2a4。

。的符號a>0a<0

y

圖象!r\

/'

開口方向開口向上開口向下

*b4ac-b2*b4ac-b2

最值當(dāng)Ht,y最小值一。當(dāng)x二一二時,y最大值二。

2a4a2a4a

最點拋物線有最低點拋物線有最高點

bb

當(dāng)龍〈-一時，y隨尤的增大而減小;當(dāng)X<-—時，y隨尤的增大而增大;

2a2a

增減性

bb

當(dāng)￡>-丁時，y隨力的增大而增大當(dāng)x>----時，y隨X的增大而減小

2a2a

（1）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)

拋物線y=a（x-h）2+k）繞頂點旋轉(zhuǎn)180。變?yōu)椋簓=-a（x-/iA+k繞原點旋轉(zhuǎn)180。變?yōu)椋簓=-a（x+h￥-k；

沿?zé)o軸翻折變?yōu)椋簓=-a（x-li）2k；沿y軸翻折變?yōu)椋簓=a（x+〃）2+左;

（2）二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則;二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)

頂點之間的平移求出變化后的解析式.

町優(yōu)>。）［或卜依。）】平移身個單位

y=ax2

向右8>0）向右（〃>0）

［或左仇<0）1［或左（力<0）］

率移㈤個單位平移I川個單位

ww

y=a（x-h）2ay=a（x-7z）2+i

向上（A>0）［或下（kO）］平移冏個單位----------

3：二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關(guān)系（☆☆☆）

1）拋物線開口的方向可確定。的符號：

拋物線開口向上，a>0；拋物線開口向下，a<0

2）對稱軸可確定方的符號（需結(jié)合。的符號）：

對稱軸在x軸負半軸，則x=-2包，即仍>0；對稱軸在無軸正半軸，貝Ux=_2*_,即必<o

2a2a

3）與y軸交點可確定c的符號：與y軸交點坐標(biāo)為（0,c）,

交于y軸負半軸，則區(qū)^；交于y軸正半軸，則c>0

4）特殊函數(shù)值符號（以x=l的函數(shù)值為例）：

若當(dāng)x=l時，若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的上方，則a+b+c〉O；若對應(yīng)的函數(shù)值y在無軸上方，則a+b+c、=O；

若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的下方，則a+6+c<0；

5）其他輔助判定條件：

1）頂點坐標(biāo)2）若與x軸交點A（網(wǎng),0）,8伍,0）,則可確定對稱軸為：x=土產(chǎn)；

b

再+“2=--

3）韋達定理：一°具體要考慮哪些量，需要視圖形告知的條件而定。

C

XX=—

x2a

4：二次函數(shù)與方程、不等式（☆☆）

1）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

（1）二次函數(shù)y=〃x2+bx+c（〃加），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（〃加）。

（2）ax2+bx+c=0（〃加）的解是拋物線產(chǎn)"2+bx+c（存0）的圖象與％軸交點的橫坐標(biāo)。

（3）①/TaoOO方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點;

②/-4"=0今方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點;

③62_4ac<0C方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點。

2）二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以。>0為例）：

b2-4ac廬4。。>0b2-4ac=0/?2-4tzc<0

圖象

捻nu

O-----?-------

與X軸交點2_個交點L個交點Q_個交點

b

aj^+bx+c>0的解集情況X<X\或X>X2xw-----取任意實數(shù)

2a

qf+bx+cvO的解集情況X[<X<X2無解無解

【易錯點歸納】

1.二次函數(shù)的辨別中切記保證存0,而6,c可以為任意實數(shù)（即可為0）；

2.拋物線的增減性問題，由。的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大（或減?。┦?/p>

不對的，必須附加一定的自變量x取值范圍；

3.拋物線在平移的過程中，。的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關(guān)。

【核心考點】

核心考點1.二次函數(shù)的相關(guān)概念

例1:（2023?山東濟寧?校聯(lián)考三模）以下函數(shù)式二次函數(shù)的是（）

A.y=ax2+bx+cB.y=（2x-l）2-4x2C.>=彳+。+0（〃00）D.=（x-l）（x-2）

變式1.（2023?山東濟南?模擬預(yù)測）若y=（療+時-是二次函數(shù)，則加的值等于（）

A.-IB.0C.2D.-1或2

例2：（2023上?浙江溫州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）己知某種產(chǎn)品的成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),

該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價無（元/千克）有如下關(guān)系：y=-2尤+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售

利潤為w（元），則w與尤之間的函數(shù)表達式為（）

A.w=（x-30）（-2%+80）B.w=x（-2x+80）C.w=30（-2x+80）D.w=x（-2x+50）

變式1.（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）函數(shù)y與自變量尤的部分對應(yīng)值如表所示，則下列函數(shù)表達

式中，符合表中對應(yīng)關(guān)系的可能是（）

「I；

A.y=ax+b（a<0）B.j=—（a<0）C.y=ax2+bx+c（a>0）D.y=ax2+bx+c（a<0）

x

變式2.（2023?北京?統(tǒng)考二模）如圖，某小區(qū)有一塊三角形綠地ABC,其中N氏90。，AB^BC.計劃在綠地

上建造一個矩形的休閑書吧PMBN,使點P,M,N分別在邊AC,BC,AB上.記PM=xm，PN=ym,圖

中陰影部分的面積為Sn?.當(dāng)尤在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x,S與x滿足的

函數(shù)關(guān)系分別是（）

/:

CMB

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

C.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

核心考點2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例3：（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）如圖，二次函數(shù)丁=依2+尤-6的圖象與x軸交于4-3,0）,5兩

點，下列說法正確的是（）

A.拋物線的對稱軸為直線x=lB.拋物線的頂點坐標(biāo)為

C.A,5兩點之間的距離為5D.當(dāng)x<-l時，》的值隨x值的增大而增大

變式1.（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線>=依2-5x-3經(jīng)過點則下列結(jié)論正確的

是（）（多選題）

A.拋物線的開口向下B.拋物線的對稱軸是x=9

4

49

C.拋物線與X軸有兩個交點D.當(dāng)丁時，關(guān)于X的一元二次方程依2-5X-3T=0有實根

8

91

變式2.（2023年江蘇省揚州市中考數(shù)學(xué)真題）已知二次函數(shù)y=?r-2x+/Q為常數(shù)，且a>0）,下列

結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x<0時，y隨x

的增大而減??；④當(dāng)X>0時，y隨x的增大而增大.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

例4：（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）二次函數(shù)y=-（x+l）2+2圖象的頂點所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式1.（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）一個二次函數(shù)、=依2+公+。的頂點在>軸正半軸上，且其對稱軸

左側(cè)的部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是.

變式2.（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）拋物線y=2（x+9y-3的頂點坐標(biāo)是（）

A.（9,-3）B.（-9,-3）C.（9,3）D.（-9,3）

變式3.（2024上?北京海淀?九年級?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)的圖象時，列出了下面的

表格：

X....-2-10123....

y....50-3-4-3m....

那么m的值為（）

A.-3B.-4C.0D.5

例5：（2022?山東泰安?中考真題）如圖，函數(shù)y=ax2-2x+l和y=ar-a（a是常數(shù)，且awO）在同一平面直角坐

標(biāo)系的圖象可能是（）

h

變式1.（2022?廣西?中考真題）已知反比例函數(shù)y=—SwO）的圖象如圖所示，貝!J一次函數(shù)丁=5-，（cwO）和

x

二次函數(shù),=依2+以+°3。0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

例6：（2023年山東省日照市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線,="2+笈（〃工0）,滿足

13〃+Z?>0

,八，已知點（-3,%），（2〃），（4/）在該拋物線上，則如〃，/的大小關(guān)系為（）

[a+b<Q

A.t<n<mB.m<t<nc.n<t<mD.n<m<t

變式1.（2023?四川樂山?統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)y=a（x-a）（。為常數(shù)，且a/0）.

（1）若點（0,%）,（3,%）在函數(shù)圖像上，則％%（填"（"或

（2）當(dāng)0<x<3時，y<2,貝"的取值范圍是.

變式2.（2023年福建省中考真題數(shù)學(xué)試題）已知拋物線>=以2-26+伙。>0）經(jīng)過4（2a+3,乂）,3（〃-1,%）

兩點，若AB分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且％〈%，貝"的取值范圍是.

例7：（2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=（x+iy+3的圖象向右平

移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（）

A.y=（x+3）2+2B.y=（x-l）2+2C.y=（x—I）2+4D.y=（x+3）2+4

變式1.（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）將拋物線y=（尤+3）2向下平移1個單位長度，再向右平

移個單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點.

變式2.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）若點尸（"%”）在拋物線>=依2（。*0）上，則下列各點在拋物線

y=a（x+l）2上的是（）

A.+B.（772+1,77）C.D.（m-1,ll）

變式3.（2022?四川瀘州,統(tǒng)考中考真題）拋物線y=-g/+x+l經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（）

A.y=—x~+xB.y=—x"-4C.y=—x?+202lx—2022D.y——x~+x+1

,222

例8：（2021?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Y一4x+5與y軸交于點C,則該拋

物線關(guān)于點C成中心對稱的拋物線的表達式為（）

A.y=-x2-4.x+5B.y=x?+4x+5C.y=-x2+4x-5D.j=-x2-4.r-5

變式1.（2023上?山東臨沂?九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的解析式為y=or2+fox+c（awO）,則下列說法中

正確的是（）

A.將圖象沿y軸平移，則a,b的值不變B.將圖象沿x軸平移，則。的值不變

C.將圖象沿y軸翻折，則a,c的值不變D.將圖象沿x軸翻折，則6的值不變

變式2.（2023?陜西??？级＃┮阎獟佄锞€I]:y=如？-2/溫+5（7”/0）的頂點為A,拋物線人與拋物線乙關(guān)

于點3（2,0）成中心對稱，若拋物線右經(jīng)過點4則m的值為（）

「55

A.-5B.—2C.-D.—

32

例9：（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）二次函數(shù)y=-Y—3x+4的最大值是.

變式1.（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）己知拋物線y=*-2x-l,則當(dāng)04xV3時，函數(shù)的最大值

為（）

A.-2B.-1C.0D.2

變式2.（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=f+g+m2一機（加為

常數(shù)）的圖像經(jīng)過點（。，6）,其對稱軸在，軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

B-最大武D.最小若

A.最大值5C.最小值5

例10：（2023?浙江?校聯(lián)考統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)〉=-3尤2+云+6（Z;<1）的圖象交X

軸于點A,8（點A在B的左側(cè)），當(dāng)-LKXK3時，函數(shù)的最大值為8,則匕的值為（）

35

A.-1B.——C.-2D.——

22

變式L（2022上?浙江杭州?九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)）=〃冗2+4%+1（。為實數(shù)，且。<0）,對于滿足

04%（根的任意一個次的值，都有-2WyW2,則機的最大值為（）

123

A.—B.—C.2D.—

變式2.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）已知二次函數(shù)y=-（x-1）2+10,當(dāng)相力斗，且機時，y的最小值

為2m,y的最大值為2幾，則機+〃的值為（）

53

A.3B.-C.2D.-

22

核心考點3.二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關(guān)系

例11：（2022?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設(shè)m=a-b+c,

則m的取值范圍是.

變式L（2023湖南省株洲市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，直線/為二次函數(shù)丁=改2+云+°（〃。0）的圖像的對

稱軸，則下列說法正確的是（）

A.b恒大于0B.a,b同號C.a,匕異號D.以上說法都不對

變式2.（2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，拋物線丁=辦2+法+。與x軸交于點（3,0）,則下列結(jié)

論中正確的是（）（多選題）

C.b1-4ac<0D.9a+3Z?+c=0

例12：（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）已知二次函數(shù)^=加+法+c（aw0）的部分圖象如圖所示，圖

象經(jīng)過點（。,2）,其對稱軸為直線x=-1.下列結(jié)論：①3a+c＞0；②若點（T，X）,（3,%）均在二次函數(shù)

圖象上，則%＞必;③關(guān)于龍的一元二次方程加+6x+c=-l有兩個相等的實數(shù)根；④滿足加+版+。＞2

的x的取值范圍為-2〈尤＜0.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）.

C.3個D.4個

變式1.（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）拋物線'=以2+法+。（。涉,。是常數(shù)，。＜0）經(jīng)過（1,1）,（私0）,（〃,0）

三點，且讓3.下列四個結(jié)論：①》＜0；②③當(dāng)w=3時，若點（2,。在該拋物線上，則cl；

④若關(guān)于尤的一元二次方程依2+bx+c=x有兩個相等的實數(shù)根，則。＜根.其中正確的是_（填寫序號）.

變式2.（2023年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，二次函數(shù)y=++6無+c的圖象與天軸交于A（-2,0）,

B兩點,對稱軸是直線x=2,下列結(jié)論中，①。>0；②點8的坐標(biāo)為（6,0）；③c=36；④對于任意實數(shù)

m,都有4a++加7,所有正確結(jié)論的序號為（）

A.①②B.②③C.②③④D.③④

核心考點4.二次函數(shù)與方程、不等式

例13：（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題）已知機>〃>0,若關(guān)于尤的方程f+2x—3=0的解為

xl,x2（x1<x2）.關(guān)于尤的方程f+2X-3-77=0的解為三,三（不<X4）.則下列結(jié)論正確的是（）

A.工3<再<工2<匕B.x1<x3<x4<x2C.尤］<尤2<尤3<戈4D.斗<彳4<苞<X2

變式1.（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）二次函數(shù)y=/+3x+〃的圖像與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，

則n的值可以是（填一個值即可）

變式2.（2023?湖南長沙?模擬預(yù)測）拋物線y=a/+6x+c的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元

二次方程依2+fox+c=0的兩根為.

J▲I

■7°lI'--------?

變式3.（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）拋物線了=-爐+履+左-與x軸的一個交點為4九°），若

4

則實數(shù)上的取值范圍是（）

212199

A.——<k<lB.k<——或左C.-5<k<-D.kM—5或kN—

4488

例14：（2023?湖北武漢??？家荒＃┓匠蘓+3x=i的根可視為函數(shù)y=x+3的圖象與函數(shù)y=l的圖象交點

X

的橫坐標(biāo)，那么用此方法可推斷出方程％3—2/+兄=3的實數(shù)根%所在的范圍是（）

A.l<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4Vx<5

變式1.（2023?湖北??？寄M預(yù)測）如圖，拋物線>與直線y="+c的兩個交點坐標(biāo)分別為人