現(xiàn)代控制理論 第2章傳遞函數(shù)矩陣的MFD

2.1數(shù)學(xué)根底2.2矩陣分式描述2.3有理分式陣的互質(zhì)分解2.4史密斯-麥克米倫形第2章傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述1單模矩陣方多項(xiàng)式矩陣Q(s)，假設(shè)detQ(s)是獨(dú)立于s的一個(gè)非零常數(shù)，那么稱其為單模矩陣。性質(zhì)：(1)Q(s)為單模陣Q(s)的逆也是多項(xiàng)式矩陣；(2)Q(s)為單模陣Q(s)非奇異；(3)單模矩陣的逆陣也是單模矩陣；(4)單模矩陣的乘積也是單模矩陣。2.1數(shù)學(xué)根底2初等變換：(1)行〔列〕交換；(2)用一非零實(shí)或復(fù)數(shù)乘以某行或列；(3)用某行(列)乘以一個(gè)多項(xiàng)式加到另一行(列)上。注意：〔1〕初等行〔列〕變換初變換的矩陣Q(s)左乘〔右乘〕初等矩陣；〔2〕初等矩陣都是單模矩陣；〔3〕對(duì)Q(s)進(jìn)行一系列初等變換，相當(dāng)于Q(s)左乘和〔或〕右乘單模矩陣；〔4〕單模矩陣可以分解成同維的初等矩陣的乘積，反之，初等矩陣的乘積為同維的單模矩陣。3公因子和最大公因子公因子的定義相同列數(shù)的兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣間可以定義右公因子(是多項(xiàng)式矩陣).假定N(s)和D(s)列數(shù)相同,假設(shè)那么R(s)稱為N(s)和D(s)的右公因子.相同行數(shù)的兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣間可以定義左公因子(是多項(xiàng)式矩陣).假定B(s)和A(s)行數(shù)相同,假設(shè)

那么Q(s)稱為B(s)和A(s)的左公因子.gcd(最大公因子)的定義gcrd:(1)R(s)是N(s)和D(s)的一個(gè)右公因子;(2)R(s)是N(s)和D(s)的任一個(gè)其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s)那么稱R(s)是N(s)和D(s)的gcrd.gcld:(1)Q(s)是B(s)和A(s)的一個(gè)左公因子;(2)Q(s)是B(s)和A(s)的任一個(gè)其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s)那么稱Q(s)是B(s)和A(s)的gcld.Gcd的性質(zhì)以gcrd為例(1)gcrd不唯一.假設(shè)R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是單模矩陣,那么W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd.Why:(2)D(s),N(s)的所有g(shù)crd在非奇異性和單模性上相同,即假設(shè)R1(s)是D(s),N(s)的一個(gè)gcrdR2(s)也是D(s),N(s)的一個(gè)gcrd那么R1(s)非奇異R2(s)非奇異R1(s)單模R2(s)單模(3)(4)gcrdR(s)可表示為R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)(5)gcrd的多項(xiàng)式元的次數(shù)可以高于D(s),N(s)元多項(xiàng)式的次數(shù).4互質(zhì)性右互質(zhì)和左互質(zhì)D(s)和N(s)列數(shù)相同,可以定義gcrd.假設(shè)gcrd為單模陣,那么稱D(s)和N(s)右互質(zhì).A(s)和B(s)行數(shù)相同,可以定義gcld.假設(shè)gcld為單模陣,那么稱A(s)和B(s)左互質(zhì).右互質(zhì)判據(jù)判據(jù)1:貝佐特等式判據(jù)D(s),N(s)右互質(zhì)存在X(s),Y(s)多項(xiàng)式矩陣使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I判據(jù)2：秩判據(jù)判據(jù)3：非右互質(zhì)判據(jù)Gcrd構(gòu)造關(guān)系式的一個(gè)性質(zhì)5列次數(shù)和行次數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式向量的次數(shù)：所有元多項(xiàng)式中，s的最高冪次。多項(xiàng)式矩陣中，有列次數(shù)〔列向量的次數(shù)〕和行次數(shù)〔行向量的次數(shù)〕之分。如

多項(xiàng)式矩陣的列次表示式上例中的M(s)可表示為一般地，多項(xiàng)式矩陣的行次表示式6既約性此處是對(duì)非奇異多項(xiàng)式矩陣定義的，方陣M(s)列既約：M(s)行既約：注：列既約和行既約之間無必然的聯(lián)系；M(s)為對(duì)角陣時(shí)，列既約等價(jià)于行既約。7Smith形特征：2.2矩陣分式描述一.G(s)的表示形式

MFD的幾點(diǎn)說明：1MFD的次數(shù)MFD的次數(shù)定義為其“分母矩陣〞的行列式的次數(shù)。

右MFD左MFD2MFD描述的不唯一性一個(gè)的G(s)，其MFD表達(dá)不唯一，其次數(shù)也不唯一。假設(shè)定義那么且當(dāng)W(s)為單模陣時(shí)(其行列式為一常數(shù))

3G(s)的所有MFD中，次數(shù)最小的MFD稱為最小階MFD，它也不唯一。4左MFD與右MFD存在對(duì)偶性，因此對(duì)右MFD得出的屬性也適用于左MFD。

二矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性1.真性和嚴(yán)真性判據(jù)D(s)為列既約G(s)為嚴(yán)格真G(s)為真注：D(s)為列既約是該判據(jù)一個(gè)不可缺少的條件。D(s)為非列既約引入單模陣W(s)，使

那么：G(s)為嚴(yán)格真G(s)為真三.非真有理分式陣的分解1存在性和唯一性

非真，那么一定唯一地存在兩個(gè)q×p的多項(xiàng)式矩陣Q(s)和R(s)，使成立其中：嚴(yán)真，假設(shè)D(s)列既約，那么2分解算法

對(duì)G(s)中所有非真元做多項(xiàng)式除法，得到求出非真由組成Q(s)，由組成求解結(jié)果，其中計(jì)算為非真的嚴(yán)真局部。2.3有理分式陣的互質(zhì)分解一.不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述1定義

右互質(zhì)MFD:N(s)和D(s)是右互質(zhì)的。左互質(zhì)MFD:A(s)和B(s)是左互質(zhì)的。

不可簡(jiǎn)約MFD:G(s)的右互質(zhì)和左互質(zhì)MFD,統(tǒng)稱為G(s)的不可簡(jiǎn)約MFD.2不可簡(jiǎn)約MFD根本屬性性質(zhì)1不可簡(jiǎn)約MFD不唯一。所有左〔或右〕不可簡(jiǎn)約MFD之間通過單模矩陣聯(lián)系。在這個(gè)意義上，亦稱其為廣義唯一的。

性質(zhì)2:不可簡(jiǎn)約MFD和可簡(jiǎn)約MFD關(guān)系所有的可簡(jiǎn)約MFD,如都可通過不可簡(jiǎn)約的MFD如得到。即總有非奇異多項(xiàng)式矩陣T(s)〔未必是單模矩陣〕,使

說明：可簡(jiǎn)約，其最大公因子R(s)不是單模矩陣，但非奇異。提出并約去R(s)，可得不可簡(jiǎn)約的MFD。這樣得到的不可簡(jiǎn)約的MFD很可能不同于給定，但其只差一個(gè)單模矩陣U(s)，由此單模矩陣和R(s)即可構(gòu)造出T(s)=U(s)R(s).對(duì)G(s)的所有的不可簡(jiǎn)約MFD，

性質(zhì)3:在中,假設(shè)N(s),D(s)是右互質(zhì)的,那么它是最小階的.反之亦成立.假設(shè)N(s),D(s)非互質(zhì),消去最大公因子,可得最小階MFD.

性質(zhì)4:二求不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述算法1：由一個(gè)可簡(jiǎn)約的MFD求不可簡(jiǎn)約的MFD

依據(jù)：算法2：由一個(gè)可簡(jiǎn)約的MFD求不可簡(jiǎn)約的MFD

依據(jù)：算法3：由一個(gè)可簡(jiǎn)約的右MFD求不可簡(jiǎn)約的左MFD2.4史密斯-麥克米倫形一.史密斯-麥克米倫形定義

將多項(xiàng)式矩陣的smith形推廣應(yīng)用到有理分式矩陣G(s)，得到Smith-McMillan形左上角為r*r對(duì)角陣，其余為