專題02 不等式性質(zhì)與均值不等式的應(yīng)用-學(xué)霸養(yǎng)成.2024年新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)特色專題練（解析版）

專題02不等式的性質(zhì)及均值不等式的應(yīng)用一、單選題1.（2024屆遼寧省大連市高三上學(xué)期期初考試）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，，則A錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，則B錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，則C錯(cuò)誤.由，得，則D正確.故選D.2．（2023屆四川省鹽亭中學(xué)高三第三次模擬）若?，則下列不等式中正確的是（

）A．?B．?C．?D．?【答案】D【解析】由于，所以，則.所以即，AB錯(cuò)誤.由于，所以，則，?C錯(cuò)誤.由于，所以則，?D正確.故選D3．（2023屆陜西省鎮(zhèn)安中學(xué)高三模擬）若，，且，則下列不等式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），A正確；對(duì)于B，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，B正確；對(duì)于C，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），C正確；對(duì)于D，，，，，；，，D錯(cuò)誤.故選D.4．（2024屆廣東省深圳市南頭中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）已知，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.，不等式兩邊同時(shí)乘以，得，故A正確；B.，則，所以，故B錯(cuò)誤；C.，不等式兩邊同時(shí)除以，得，故C正確；D.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確.故選B5．（2024屆廣東省中山市華僑中學(xué)高三上學(xué)期一次模擬）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的最小值為4 B．的最大值為C．的最大值為2 D．的最小值為【答案】C【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選C.6．（2024屆遼寧省十校聯(lián)合體高三上學(xué)期八月調(diào)研）已知平面單位向量滿足，若，則的最小值是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以，所以，得，得，同理可得，，設(shè)，則，由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由于，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是，故選C7．（2024屆安徽省六校教育爭辯會(huì)高三上學(xué)期入學(xué)素養(yǎng)測試）若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】C【解析】由已知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，無最小值(m范圍為開區(qū)間).故選C8．（2024屆四川省巴中市高三上學(xué)期“零診”考試）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】由題意得，，令，則，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，也即，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9，故選B9．（2024屆】黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期開學(xué)測試）已知函數(shù)的最大值為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，依題意，，即，當(dāng)時(shí)，，若，則當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意，若，則當(dāng)時(shí)，，解得，沖突，所以實(shí)數(shù)的值為.故選A10．（2023屆北京市育英學(xué)校高三6月統(tǒng)一練習(xí)）已知橢圓.過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn).將表示為的函數(shù)，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意知，，當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，同理可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)切線方程為，由得，設(shè)，兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則，，又由于圓相切，得，即，∴，由于當(dāng)時(shí)，，∴，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，∴的最大值為2．故選B.11．（2023屆貴州省貴陽市高三333高考備考診斷性聯(lián)考）已知正實(shí)數(shù)分別滿足，，，其中是自然常數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，，，，，又，；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，即，，即；且，即，，即；綜上所述：.故選A.12．（2023屆江蘇省無錫市輔仁高級(jí)中學(xué)高三高考前適應(yīng)性練習(xí)）從古至今，中國人始終追求著對(duì)稱美學(xué)．世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)——故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢白玉的階，琉璃瓦的頂……沿著一條子午線對(duì)稱分布，壯麗有序，和諧莊重，襯托著藍(lán)天白云，猶如東方仙境．再往遠(yuǎn)眺，一線貫穿的對(duì)稱風(fēng)格，撐起了整座北京城．某建筑物的外形輪廓部分可用函數(shù)的圖像來刻畫，滿足關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且（其中），則的值為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，所以關(guān)于對(duì)稱，所以的根應(yīng)成對(duì)消滅，又由于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且，所以該方程的一個(gè)根是，得，且，所以，由得，當(dāng)，即，即時(shí)，，①則，②由①②得，解得，所以；當(dāng)，即，即時(shí)，，③，④由③④得，即，解得，此時(shí)，不合題意，舍去，綜上，.故選B.二、多選題13．（2024屆云南省昆明市云南高三上學(xué)期期初）若、、，則下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若，則C．若且，則D．【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若且，取，，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若且，則，則，故，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，D對(duì).故選BD.14．（2023屆吉林省白山市高三一模）若正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由于，，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；由于，所以，則，同理可得，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則B正確；由于，所以，所以，所以，則C錯(cuò)誤；由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確．故選BD15．（2024屆遼寧省沈陽市第一二〇中學(xué)高三上學(xué)期其次次質(zhì)量檢測）若正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為4 B．的最大值為4C．的最小值為 D．的最大值為8【答案】ABC【解析】由題意，正實(shí)數(shù)滿足，對(duì)于A中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C正確；對(duì)于D中，由，由于，所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，所以D錯(cuò)誤.故選ABC.16．（2024屆湖南省株洲市其次中學(xué)教育集團(tuán)高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，邊上的中線，則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．的最大值為30°【答案】ACD【解析】由于，故A正確；由于，所以，即，所以，故B錯(cuò)誤；由余弦定理及基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），由A選項(xiàng)知，所以，解得，由于，所以，故C正確；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），由于，所以，所以，故D正確.故選ACD.17．（2024屆貴州省貴陽市第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由題意，即，而在定義域上遞增，故，所以，即，A對(duì)，C錯(cuò)；由，，故零點(diǎn)，所以，B對(duì)；由，則，而，明顯，則，故，綜上，，D對(duì).故選ABD三、填空題18．（2024屆湖南省株洲市第三中學(xué)高三上學(xué)期8月月考）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】【解析】由，可知，因此，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值．19．（2024屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為【答案】【解析】由于，則，若，則，不符合題意，若，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.20．（2024屆廣東省佛山市南海區(qū)高三上學(xué)期8月摸底）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為，當(dāng)該圓錐體積取最小值時(shí)，該圓錐的表面積為．【答案】.【解析】設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為，可得，解得，再設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，高為，如圖所示，由，可得，即，解得，所以圓錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，母線長為，此時(shí)圓錐的表面積為.

21．（2024屆黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校高三上學(xué)期第一次驗(yàn)收）關(guān)于的不等式的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答