高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型講解+訓(xùn)練：等差數(shù)列（原卷版+解析）

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練

專題31等差數(shù)列

等差數(shù)列的性質(zhì)

通

等

定

S若｛斯｝為等若S,為等差

義n

項(xiàng)

差數(shù)列｛”“｝的

n(ai+a?)差數(shù)列，且左

公

中前n項(xiàng)和，

+Z=m+

式

項(xiàng)

則數(shù)列Sm,

n(k,I,m,

S2nl—S,”，

〃￡N*),則Sim—

ak+ai=amSim,…也是

等差數(shù)列.

+an.

練布考明方向

1.（2023?新高考H卷T3）中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑

物的剖面圖，D，,CG，B”⑨是舉，。2，?！?。旦,幽是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

號(hào)=°5號(hào)=配第=%2，蝎=&，若匕,是公差為0.1的等差數(shù)歹!J,且直線OA的斜率為0.725,

（JU]1JC]C￡））bAy

則％3=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

2.（2023?全國(guó)乙（文）T13）記5〃為等差數(shù)列｛〃/的前〃項(xiàng)和.若2s3=3SZ+6,則公差d=.

2s

3.（2023?全國(guó)甲（文T18）（理T17）記S”為數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和.己知一^-+n=2an+l.

n

（1）證明：｛4｝是等差數(shù)列；（2）若&，%，成等比數(shù)列，求5“的最小值.

fv11

4.（2023?新高考I卷T17）記5〃為數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，已知。1=1,是公差為3的等差數(shù)列.

[anJ3

,、111c

（1）求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：一+—++一<2.

dyci?

5.（2023?浙江卷120）己知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為=-1,公差d>l.記｛4,｝的前〃項(xiàng)和為S“（〃wN*）.

（1）若S4-2。2。3+6=。，求S〃；

（2）若對(duì)于每個(gè)〃￡N*，存在實(shí)數(shù)使4+g,%+i+4g,Q“+2+15%成等比數(shù)列，求d的取值范圍.

21

6.（2023年高考全國(guó)乙卷理科）記5.為數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列｛S“｝的前"項(xiàng)積，已知9+廠=2.

（1）證明：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列;（2）求｛??｝的通項(xiàng)公式.

7.（2023年高考全國(guó)甲卷理科）已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S,,為｛%｝的前。項(xiàng)和，從下面①②③中

選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛店｝是等差數(shù)列；③%=3。-

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

8.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有

一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一

層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中

層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

()

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

9.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科）記工為等差數(shù)列｛3｝的前w項(xiàng)和，%W0,g=3q,則乎=

35

10、【2019年|W]考北樂(lè)卷】設(shè)｛外｝是等差數(shù)列，ai=-10,且。2+10,03+8,cu+6成等比數(shù)列.

（I）求｛為｝的通項(xiàng)公式；

（II）記｛a〃｝的前"項(xiàng)和為5",求S"的最小值.

11.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））記S”為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，3s3=62+54,4=2.則%=

（）

A.-12B.-10C.10D.12

12.[2018年全國(guó)卷II理】記Sn為等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，已知a1=-7,S3=-15.

（1）求｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值.

13.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科）等差數(shù)列｛叫的前n項(xiàng)和為S0，%=3,'=10,則=_____-

k=l

14.（2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科）記S“為等差數(shù)列｛%,｝的前幾項(xiàng)和.若%+%=24,=48,則

｛4｝的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

15.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，

紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相

鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

16.（2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）（本題滿分12分）S,為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，且q=L4=28.記

bn=\lgan],其中國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，$n[0.9]=0,[lg99]=l.

⑴求辦bu,偽01；（II）求數(shù)歹U｛〃｝的前1000項(xiàng)和.

17.（2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）已知等差數(shù)列｛/｝前9項(xiàng)的和為27,q0=8,則“⑼二（）

（A）100（B）99（C）98（D）97

18.（2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科）已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S”，q=1,。，尸0,=45”一1,其中4為

常數(shù).

（1）證明：4+2-?！?/；

（2）是否存在X,使得｛%｝為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.

19.（2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）設(shè)等差數(shù)列｛?！ǎ那皀項(xiàng)和為S”Sm_^~2,S,“=0,Sm+1=3,則加

=（）

A.3B.4C.5D.6

神典的備為考

類型一、等差數(shù)列的判斷與證明

基礎(chǔ)知識(shí)：

1、定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等

差數(shù)列，即。"+i—斯=或"6"，d為常數(shù)）

2、通項(xiàng)公式：設(shè)｛an｝是首項(xiàng)為al,公差為d的等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式斯="i+（"—l）d

3、等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的等

差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b

4、（1）已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是+g（其中p,q為常數(shù)），則數(shù)列｛為｝一定是等差數(shù)列，且公差為p.

（2）數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列，且公差不為0<=>S“=A，+即（A,2為常數(shù)）.

（3）用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，要注意定義中的三個(gè)關(guān)鍵詞：“從第2項(xiàng)起”“每一

項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”“同一個(gè)常數(shù)”.

基本題型：

1.（多選題）已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.an+｝=an+d（d為常數(shù)）B.數(shù)列｛-?！埃堑炔顢?shù)列

C.數(shù)列是等差數(shù)列D.。向是與與%+2的等差中項(xiàng)

2.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a4,3m前〃項(xiàng)和為%,且&=110.

⑴求。及左的值；

(2)已知數(shù)列｛兒｝滿足勿=4,證明數(shù)列｛勿｝是等差數(shù)列，并求其前w項(xiàng)和

1+

3.已知數(shù)列｛。/兩足0〃+1=/—m回N*),且01=0.

3一%

(1)求。2，。3的值；

(2)是否存在一個(gè)實(shí)常數(shù)4,使得數(shù)列為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由.

基本方法:

等差數(shù)列的判定與證明方法

1、定義法：斯一。〃-1(〃22,〃￡N")為同一常數(shù)是等差數(shù)列

2、等差中項(xiàng)法：2斯一1=斯+〃”一2("23,〃￡N*)成立=｛斯｝是等差數(shù)列

3、通項(xiàng)公式法：an=pn+q(p,q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)〃都成立臺(tái)｛斯｝是等差數(shù)列

4、前幾項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證S〃=A/+8"(A,8為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)及都成立O｛斯｝是等差數(shù)列

類型二、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

基礎(chǔ)知識(shí)：

(1)若｛〃“｝為等差數(shù)列，且％+/=m+九(％,I,m,〃￡N*),則〃%+。/=即+。〃.

(2)若｛斯｝是等差數(shù)列，Sm,S2m,S3”分別為｛“〃｝的前機(jī)項(xiàng)，前2根項(xiàng)，前3根項(xiàng)的和，則Sn,S2m-Sm,

S3m—S2m也成等差數(shù)列.

(3)兩個(gè)等差數(shù)列｛詼｝,｛b｝的前w項(xiàng)和S〃，G之間的關(guān)系為野=黑］

12n~l

(4)在等差數(shù)列｛斯｝中，若m>0,d<0,則當(dāng)存在最大值；若的<0,J>0,則&存在最小值.

(5)如=〃1+("一l)d可化為〃八=血+勿一d的形式.當(dāng)dWO時(shí)，斯是關(guān)于"的一次函數(shù)；當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)

列為遞增數(shù)列；當(dāng)代0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列.

(6)an=am-\-(n—m)d9S2“T=(2"T)而mCN*).

基本題型:

1.已知｛。〃｝,｛b〃｝是兩個(gè)等差數(shù)列，其中。i=3,bi=-3,且。20—岳0=6,那么So—bio的值為()

A.-6B.6C.0D.10

2.(多選)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃.若S3=0,如=8,貝女)

2=2

A.Sn=2n—6nB.Snn—3n

C.斯=4〃8D.斯=2〃

3.在等差數(shù)列｛?！ǎ?，q+3%+%3=120,貝!J3%—。於的值為()

A.6B.12

C.24D.48

4.設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若甌=4,SN，5加+2=14(機(jī)22,且加￡N*),則〃2020的值為()

A.2020B.4034

C.5041D.3019

5.(多選)設(shè)d,分別為等差數(shù)列｛斯｝的公差與前〃項(xiàng)和，若Sio=S2o,則下列論斷中正確的有()

A.當(dāng)〃=15時(shí)，斗取最大值B.當(dāng)〃=30時(shí)，Sn=0

C.當(dāng)d>0時(shí)，〃IO+〃22>OD.當(dāng)d<0時(shí)，\aio\>\a22\

6.記等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為已知S5=5,515=21,則Sio=

7.一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)。，b,c成等差數(shù)列，面積為12,則它的周長(zhǎng)是.

8、設(shè)S”，。分別是等差數(shù)列｛斯｝，阿的前〃項(xiàng)和，已知*黑!(心*),則謂力=.

9.已知等差數(shù)列｛?,｝,其前“項(xiàng)和為S”若邑=$25,的+痣=32,則ai=；邑6=.

基本方法：

等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)求公差d或項(xiàng)數(shù)n.在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想.

(2)求通項(xiàng).由和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素.

(3)求特定項(xiàng).利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

(4)求前n項(xiàng)和.利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解.

類型三、等差數(shù)列前n項(xiàng)和中的最值問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)：

等差數(shù)列與二次型的關(guān)系：

1n

(1)若an=ai+(n—l)d,則Sn=na\+^2d=^ri-\-^a\~^)-①

事實(shí)上，記4=多B=ai~^,則S"=4〃2+珈.

S,是｛④｝的前〃項(xiàng)和，對(duì)于S,=A^+即+C,當(dāng)且僅當(dāng)C=0時(shí)，｛斯｝是等差數(shù)列.

(2)若斯=。1+(”-l)d,則S"=±^+%”+也務(wù)④(4W0).②

利用上述①式和②式構(gòu)造關(guān)系可以快速解決有關(guān)等差數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和關(guān)系的題目.

基本題型：

1.(多選)記等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為若02=10,55=52,則()

A.$3=S4B.“6=10

C.的最大值為30D.斯的最大值為15

2、已知等差數(shù)列｛g｝的公差d<0,若?！福?24,。2+。8=10,則該數(shù)列的前“項(xiàng)和S”的最大值為()

A.50B.40C.45D.35

3.已知等差數(shù)列｛aQ的前n項(xiàng)和為Sn，a6+a8=6,S9-S6=3,則使Sn取得最大值時(shí)n的值為（）

A.5B.6C.7D.8

4、等差數(shù)列｛?！ǎ氖醉?xiàng)ai>0,設(shè)其前。項(xiàng)和為S”且S5=Si2，則當(dāng)“為何值時(shí)，S”有最大值？

5、在等差數(shù)列｛詼｝中，已知刃=13,3°2=11。6，則數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和S”的最大值為.

基本方法：

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的方法：

（1）二次函數(shù)法：將S“看成關(guān)于n的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法，借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合思想，

使問(wèn)題得到解決，注意項(xiàng)數(shù)"是正整數(shù)這一條件.

（2）通項(xiàng)公式法：若｛4｝是等差數(shù)列，求前〃項(xiàng)和的最值時(shí)，

①若4>0，d<0,且滿足<,C，則前”項(xiàng)和最大；

[4+1<0

%v0

②若%<0,d>6,且滿足〈、八，則前〃項(xiàng)和工最小.

凡+120

s>S

（3）不等式法：借助S“取最大值時(shí)，有；一；T（"N2,〃eN*）,解此不等式組確定n的范圍，進(jìn)

S”>Su

而確定n的值和對(duì)應(yīng)S“的值（即為的最值）.

新翌例破龍考

1、在等差數(shù)列｛4｝中，已知,+%0=0,且公差d>0.則其前〃項(xiàng)和取最小值時(shí)的”的值為（)

A.6B.7或8C.8D.9

2、設(shè)｛斯｝，｛為｝都是等差數(shù)列，且見(jiàn)=25,仇=75,〃2+力2=1。0，則〃73+。37=()

A.0B.37

C.100D.-37

3.已知等差數(shù)列｛念｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290,則該數(shù)列的中間

項(xiàng)為（）

A.28B.29C.30D.31

4.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中一個(gè)問(wèn)題為〃今有竹九節(jié)，

下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問(wèn)中間二節(jié)欲均容各多少？〃其中"欲均容〃的意思是：使容量變化均勻,

即由下往上均勻變細(xì).該問(wèn)題中由上往下數(shù)的第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（）

17力7力113.109力

A.丁升B.不升C.——升D.▼升

626633

5.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S”，已知q=—11,%+%=-6,當(dāng)S〃取得最小值是，〃=（）

A.5B.6C.7D.8

6.數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，若8<-1,且它的前n項(xiàng)和S“有最大值,那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n等于（）

A.17B.16C.15D.14

7.（多選）等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和記為S〃，若見(jiàn)>0,Sio=S2o，貝！!（）

A.d<0B.〃16<0

C.aWS15D.當(dāng)且僅當(dāng)斗<0時(shí)“232

8.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，若4+%+%o=17,4+。5+/++q+%=77,則公差”=（）

12

A.1B.—C.-D.一

233

9.（多選）朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算

學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問(wèn)題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問(wèn)題.現(xiàn)有100根相同的

圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問(wèn)題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2,且

從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）

A.4B.5

C.7D.8

10.設(shè)等差數(shù)列｛4｝滿足。3=5，4。=-9；則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和中使得S”取的最大值的序號(hào)〃為

（）

A.4B.5C.6D.7

11、己知數(shù)列｛%,｝是等差數(shù)列，4=8,。4=4,則前〃項(xiàng)和s“中最大的是（）

S5S6

A.53B.S4或C.臬或D.S6

12.數(shù)列｛斯｝滿足勾=1,即+尸rS+電?N*,rdR且￥0）,則“r=l”是“數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

13.已知數(shù)列｛為｝滿足*2=+4,且。i=l,an>0,則。"=.

14.若等差數(shù)列｛4｝滿足%+4+。9〉°，。7+%0<0，則當(dāng)“=時(shí)，｛4｝的前〃項(xiàng)和最大.

15.已知S,是等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，若的=-2014,褊一輸=6,則$2021=.

3

16.已知數(shù)列｛4｝中，〃4+1=(〃+1)%+〃(〃+1),則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為.

17.已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S“,?i=l,即+斯+i=2〃+1(〃eN*),則°20的值為，S2i的值為

311

eN

18、已知數(shù)列｛斯｝中，〃1=《，an=2----(〃三2,〃￡N*),數(shù)列｛々｝滿足瓦=——(^*)-

(1)求證：數(shù)列｛6〃｝為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式.

19.已知公差大于零的等差數(shù)列｛〃八｝的前幾項(xiàng)和為S",且滿足〃2〃4=65,。1+〃5=18.

(1)求數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

(2)是否存在常數(shù)左，使得數(shù)列｛的而｝為等差數(shù)列？若存在，求出常數(shù)%若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練

專題31等差數(shù)列

的等差數(shù)列，且直線Q4的斜率為0.725,則收=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

答案：D

分析：設(shè)。2=。。］=。片=3=1,則可得關(guān)于質(zhì)的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)=。。1=°用=3=1,則CG==左2,AA=左3，依題意，有

DD、+C*G+BB[+?L41

k—0.2=k,k—0.1=k,且=0.725所以

3132ODy+Z)G+CB]+BA]

0.5+3，—0.3=0725,故占=0.9,

2.（2023?全國(guó)乙（文）T13）記S“為等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3$2+6,則公差4=

答案：2

分析：轉(zhuǎn)化條件為2（%+%）=26+2+6,即可得解.

【詳解】由2s3=3S,+6可得2（q+a,+4）=3（q+4）+6,化簡(jiǎn)得2%=囚+g+6,

即2（%+2<7）=2%+d+6,解得d=2.

2s

3.（2023?全國(guó)甲（文T18）（理T17）記S”為數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和.已知一^+n=2an+l.

n

（1）證明：｛%｝是等差數(shù)列；（2）若為，%，為成等比數(shù)列，求S”的最小值.

答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）-78.

分析：⑴依題意可得2S"+"2=2"4+〃，根據(jù)a“=〈1°…作差即可得到

⑸-S,T，心2

4-1=1，從而得證；

（2）由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出火,即可得到｛%｝的通項(xiàng)公式與前九項(xiàng)和，再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

2S

【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橐?+n=2an+1,即2s“+”2=2"a“+〃①，

n

當(dāng)2時(shí)，2s+（“-1）2=2（〃一1）4_1+（“一1）②，

①-②得，2Sn+/-2S“_1-（“-I?=2叫,+“-2（“-1）-,

即2a“+2n—1=2.min—2（〃一+1,即2（〃一1）a”一2（“一1）=2（/一1）,

所以且〃eN*,所以｛a“｝是以1為公差的等差數(shù)列.

【小問(wèn)2詳解】由（1）可得。4=%+3,%=。1+6，%=%+8,又應(yīng)，?7>“9成等

比數(shù)列，所以由之二%.%,

即(q+6)2=(?1+3).(?1+8),解得q=-12,

(H-1)125125

所以所以s〃=—12”+—-------=—n2------n——n——

2222

所以，當(dāng)”=12或〃=13時(shí)(Sa)1nhi=—78.

S,1

4.（2023?新高考I卷T17）記S,,為數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和，己知弓="二｝是公差為一的等

a”J

差數(shù)列.

,、111c

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；⑵證明：一+—++—<2

答案：（1）a—△——;（2）見(jiàn)解析

n2

分析：（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a=1+：（"-1）=手，得到s=5+2”"

433"3

〃+2)%「而得,

利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，a=S-S_

nnn｛3

a〃+1VI\V!-4-1j

-T，利用累乘法求得2=），檢驗(yàn)對(duì)于〃=1也成立，得到｛4｝的通項(xiàng)公

an-\〃一1;

〃(幾+1)

2

111工1

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到一+—++—=21-,進(jìn)而證得.

n+1

sS1

【小問(wèn)1詳解】?；q=l,.?.Si=q=l,.?.j=1,又j｝是公差為彳的等差數(shù)列,

3

]1z77+2n+2\a

S"”)=『?.?rt

s“——5，.?.當(dāng)時(shí)，Sn.

an33

("+2)%(〃+1)%

a——，整理得：（〃-1）4=（〃+l）%T，即

33

a“一+l

an-i〃T'

&a,7、，01、,冊(cè)134nn+l丁顯然對(duì)于

an=arx-x^-X…XX—lx—x—X...X------X------

an-2an-\23n-2n-l

〃=1也成立,

：?｛4｝的通項(xiàng)公式an="

1--—<2

n+1

5.(2023?浙江卷丁20)已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=-1,公差2>1.記｛4｝的前〃項(xiàng)和

為S"("eN)

(1)若邑—2a2a3+6=0,求S“；

⑵若對(duì)于每個(gè)acN*，存在實(shí)數(shù)c“，使4+。.,4+1+4%,。,+2+15。"成等比數(shù)列，求d

的取值范圍.

3”？一5n

答案：(1)Sn=~2-(neN*)(2)l<d<2

分析：(1)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出d,再求S,；

(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求d的范圍.

【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?4-2。2。3+6=0，。1=一1,所以

-4+6d-2(-l+d)(-l+2d)+6=0,

所以3d=0,又d>l，所以2=3,所以4=3〃-4,所以s=(4+4)"=3'—5〃

22

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?+%，4+1+4?！?，4+2+15?！俺傻缺葦?shù)列，所以

(4+1+4g丫=(??+c?)(??+2+15c?)，

(nd—1+4c")-=(—1+nd—d+c“)(—1+nd+d+15c”)，

c：+(14d—8nd+8)cn+d~=0,

由已知方程c；+(14d—8加7+8)?！?筋=o的判別式大于等于0,所以

^=(14d-8nd+8)2-4^2>0,

所以(16d—8成+8)(122—8次Z+8"0對(duì)于任意的〃eN*恒成立，

所以■〃—2)d—3)d—2]20對(duì)于任意的〃eN*恒成立，

當(dāng)〃=1時(shí)，]("—2)d—l][(2〃—3)d—2]=(d+l)(d+2”0,

當(dāng)〃=2時(shí)，由（2d-2d-1）（42-3d-2）20,可得dW2

當(dāng)時(shí)，［（〃—2）d—3）d—2］〉（〃—3）（2〃—5）?0,又d>l,所以l<dW2

6.（2023年高考全國(guó)乙卷理科）記為數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列｛"｝的前n項(xiàng)積,

21°

己知丁+丁=2.

E,bn

⑴證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列;⑵求｛4｝的通項(xiàng)公式.

r3.

—,n=l

2

答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）4=J

〃（幾+1）

212b13

解析：（1）由已知丁+1=2得且』“5,取i由2得

S〃bn

,（、242bz2b

由于“為數(shù)列｛s“｝的前n項(xiàng)積，所以2%=b“,

2612b2薩%二2+一所以仔、b

所以=鏟，由于2+1/0

2^-12b,-12%T2%「1

21即加一"三，其中"N*

所以不----?=廠

2g-1b.

Q1

所以數(shù)列｛2｝是以4=：為首項(xiàng)，以d=—為公差等差數(shù)列;

22

Q1

（2）由（1）可得，數(shù)列｛a｝是以々=：為首項(xiàng)，以d=彳為公差的等差數(shù)列,

乙/

,3(八11〃c2b2+n

:也=2+(n-l)x-=l+-.s=n

722n2b「11+〃'

3

當(dāng)n=l時(shí)，％=E=萬(wàn)

2+〃1+〃I

當(dāng)n?2時(shí)，4=S“-Si

1+〃n而包,顯然對(duì)于〃=1不成立，

3,

—,n=v

2

???%=1

7.（2023年高考全國(guó)甲卷理科）已知數(shù)列｛%,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛4｝的前"項(xiàng)和,

從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛、寓｝是等差數(shù)列；③%=3%.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

答案：答案見(jiàn)解析

解析：選①②作條件證明③：

設(shè)=an+b（a>0）,則S“=（an+b）2,

當(dāng)〃=1時(shí)，％=h=（〃+/?『；

當(dāng)"之2時(shí)，an=Sn—Sn_x=（即+人）2-（a〃-a+b）2=。（2an-a+2b）；因?yàn)椋?｝

也是等差數(shù)列，所以（〃+6）2=〃（2〃—〃+2與，解得匕=0；所以為二片（2〃—1）,

所以%=3囚.

選①③作條件證明②：

因?yàn)椤?=3%,｛%｝是等差數(shù)列，所以公差』=。2-4=2%,

所以=nax+〃（；1）、=幾2%,即,

因?yàn)?:—E=4（〃+i）—廊=1,所以｛折｝是等差數(shù)列?

選②③作條件證明①：

設(shè)《^/^=〃〃+5（〃>0）,則S〃=（〃〃+/?）2,當(dāng)〃=1時(shí)，%=S]=（。+》）2；

當(dāng)〃之2時(shí)，an=Sn-=（〃〃+人）2-（〃〃一々+人）2—a（2an—a+2b^；

一?4〃

因?yàn)?=3q,所以a（3a+2人）=3（a+Z?）,解得Z?=0或人=一-—；

當(dāng)￡）=0時(shí)，=a~,an=a~（2ra-l）,當(dāng)〃N2時(shí)，a0-%一]=21滿足等差數(shù)列的定

義，此時(shí)｛a”｝為等差數(shù)列；當(dāng)6=—I時(shí)，JS”=an+b=an—§a,J^"=—§<0

不合題意，舍去.

綜上可知｛?！埃秊榈炔顢?shù)列.

8.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三

層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石）,環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，

向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也

增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含

天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

答案：C

解析：設(shè)第。環(huán)天石心塊數(shù)為4,第一層共有“環(huán)，則｛4｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等

差數(shù)列，4=9+5—1）x9=9”,設(shè)S”為｛q｝的前。項(xiàng)和，則第一層、第二層、

第三層的塊數(shù)分

別為3,52〃—S“，S3”一§2〃，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以其“一邑”=S2n-Sn+729,

即3，（9+27，）_2〃（9+18，）=2躍9+18，）/（9+9，）+729,即川=729,解得

2222

〃=9,

訴內(nèi)_e_27（9+9x27）_

//T以一327———34U2.

9.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科）記S“為等差數(shù)列｛處｝的前〃項(xiàng)和，qWO,%=3%,

答案：4.

s10x9,

S1H------d]QQ

【解析】因a、=3%,所以q+d=36，即2al=d,所以詈=-------------=-----=4.

§55^+—J25%

X2

10、【2019年高考北京卷】設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，ai--10,且。2+10,03+8,。4+6成等比數(shù)列.

（I）求｛為｝的通項(xiàng)公式；

（II）記｛。/的前n項(xiàng)和為5",求S的最小值.

答案：（1）4=2〃-12；（H）當(dāng)〃=5或者”=6時(shí)，S,取到最小值—30.

【解析】（I）設(shè)｛??｝的公差為d.因?yàn)椋?-10,所以

a?=—10+d,ci^——10+2d,%=—10+3d.

因?yàn)椤?+10,%+8,%+6成等比數(shù)列，所以3+8)2=(4+10)(%+6).

所以(―2+2dy=d(—4+3d).解得d=2.所以%=囚+(“-1)d=2“—12.

(II)由(I)知，=2/7-12.所以，當(dāng)“之7時(shí)，??>0；當(dāng)〃W6時(shí)，??<0.

所以S,的最小值為§6=—30.

11.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））記S”為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，3邑=邑+$4,

q=2.貝"％=（）

A.-12B.-10C.10D.12

答案：B

解析：“為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，3s3=S?+S4，q=2,

(3x24x3\

3x3。］H-------d=。］+。］+d+4%H--------d,把%=2,代入得d=-3

a5=2+4x（-3）=—10.

12.[2018年全國(guó)卷II理】記Sn為等差數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15.

（1）求｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值.

答案：（1）a〃=2A-9,（2）S=/-8〃，最小值為-16.

【解析】（1）設(shè)｛2｝的公差為必由題意得34+3廬-15.由4=-7得廬2.所以｛&｝的通

項(xiàng)公式為a=2〃-9.

（2）由（1）得S=3-8爐（77-4）2-16.所以當(dāng)爐4時(shí)，S取得最小值，最小值為

-16.

13.（2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）等差數(shù)列｛q,｝的前幾項(xiàng)和為S.，%=3，乂=10,

n1

則______-

k=\。女

_.In

答案：一-

n+1

ax+2d=3

ax—\

【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為外，公差為d,由題意有：＜4x3，解得《