2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.3.1-分類變量與列聯(lián)表【課件】

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)8.3.1分類變量與列聯(lián)表

第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析1|分類變量與列聯(lián)表1.分類變量為了表述方便,我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這

類隨機(jī)變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示.2.列聯(lián)表假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列聯(lián)表為XY合計(jì)y1y2x1aba+bx2cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).3.兩個(gè)分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析方法(1)頻率分析法:通過對(duì)樣本的每個(gè)分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻率大小進(jìn)行

比較來分析分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系.通常通過列聯(lián)表列出兩個(gè)分類變量的

頻數(shù)表來進(jìn)行分析.(2)圖形分析法:與表格相比,圖形更能直觀地反映兩個(gè)分類變量間是否互相影響,常

用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析2|獨(dú)立性檢驗(yàn)1.假定通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表,如表所示.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d則χ2=①

.2.利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否②

獨(dú)立

的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),讀作

“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”,簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析3.χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

1.分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念.

(

?)變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量,有時(shí)可

以把分類變量的不同取值用數(shù)字表示,但這時(shí)的數(shù)字除了分類以外沒有其他含義,

而函數(shù)中的變量分為自變量與因變量,都是數(shù)的集合,有它們各自的意義.2.2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù).

(√)3.事件A和B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān),即兩個(gè)事件互不影響.

(

?)4.χ2的大小是判斷事件A和B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量.

(√)5.若計(jì)算得χ2=7.197,則認(rèn)為兩個(gè)變量間有關(guān)系的出錯(cuò)概率不超過0.01.

(√)6.在2×2列聯(lián)表中,若|ad-bc|越小,則說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng).

(

?)判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析1|由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)“人機(jī)大戰(zhàn),柯潔哭了,機(jī)器贏了”,2017年5月27日,19歲的世界圍棋第一人柯潔0∶

3不敵人工智能系統(tǒng)AlphaGo,落淚離席.許多人認(rèn)為這場(chǎng)比賽是人類的勝利,也有許

多人持反對(duì)意見,有網(wǎng)友為此進(jìn)行了調(diào)查.在參與調(diào)查的2600名男性中,有1560人

持反對(duì)意見,2400名女性中,有1118人持反對(duì)意見.第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析1.在運(yùn)用這些數(shù)據(jù)判斷“性別”與“人機(jī)大戰(zhàn)是不是人類的勝利”的關(guān)系時(shí),應(yīng)采

用哪種統(tǒng)計(jì)方法?提示:判斷“性別”與“人機(jī)大戰(zhàn)是不是人類的勝利”這兩個(gè)變量的關(guān)系,符合獨(dú)

立性檢驗(yàn)的基本思想.2.如何根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)對(duì)分類變量作出分析?提示:列出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2,將求得的χ2與臨界值比較,即可得相應(yīng)結(jié)論.第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié):(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立,并給出在問題中的解釋;(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值xα比較;(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論;(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)

律.注意,上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整.例如,在有些時(shí)候,分類變量

的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.

第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析手機(jī)給人們的生活帶來便捷,但同時(shí)也對(duì)中學(xué)生的生活和學(xué)習(xí)造成了嚴(yán)重的影響,

某校高一幾個(gè)學(xué)生成立研究性學(xué)習(xí)小組,就使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)的影響隨機(jī)抽取

了該校100名學(xué)生的期末考試成績(jī)并制成如下的表格,則下列說法正確的是()單位:人

成績(jī)優(yōu)秀成績(jī)不優(yōu)秀合計(jì)不使用手機(jī)401050使用手機(jī)54550合計(jì)4555100第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績(jī)無關(guān)C.有99.5%的把握認(rèn)為使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)沒有影響D.沒有99%的把握認(rèn)為使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響解析

由題中表格得,χ2=

≈49.495>10.828=x0.001,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為使用手機(jī)與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān).故選A.答案

A第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析2|獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)、概率的綜合應(yīng)用

通過頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)功能完善2×2列聯(lián)表,從而對(duì)事件進(jìn)行獨(dú)立性檢

驗(yàn),準(zhǔn)確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù),進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)是解題的關(guān)鍵.解決獨(dú)立性檢

驗(yàn)的問題要注意明確兩類主體,明確研究的兩類問題,再就是準(zhǔn)確列出2×2列聯(lián)表,

準(zhǔn)確計(jì)算χ2.在寫出2×2列聯(lián)表中a,b,c,d的值時(shí),注意一定要按順序.

第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

隨著智能手機(jī)的普及,手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來,這類軟件能自動(dòng)記載每個(gè)人每

日健步走的步數(shù),從而為科學(xué)健身提供一定的幫助.某市工會(huì)為了解該市市民每日

健步走的情況,從本市市民中隨機(jī)抽取了2000名(其中不超過40歲的市民恰好有10

00名),利用手機(jī)計(jì)步軟件統(tǒng)計(jì)了他們某天健步走的步數(shù)(單位:千步),并將樣本數(shù)據(jù)

分為[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九組,將抽取的不超過40歲的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,將40歲以上的市民的樣本數(shù)據(jù)

繪制成頻數(shù)分布表,并利用該樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布.第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析分組(單

位:千

步)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]頻數(shù)1020203040020020010020第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析(1)現(xiàn)規(guī)定,日健步走步數(shù)不低于13000步的為“健步達(dá)人”,填寫下面列聯(lián)表,

依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析是不是“健步達(dá)人”是否與年齡有關(guān);單位:人

健步達(dá)人非健步達(dá)人合計(jì)40歲以上的市民

不超過40歲的市民

合計(jì)

第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析(2)(i)利用樣本平均數(shù)和中位數(shù)估計(jì)該市不超過40歲的市民日健步走步數(shù)(單

位:千步)的平均數(shù)和中位數(shù);(ii)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,不超過40歲的市民日健步走步數(shù)Z(單位:千步)近似

地服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)

(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值),σ的值已求出約為3.64.現(xiàn)從該市不超過40歲的市民中隨機(jī)抽取5人,記其中日健步走步

數(shù)Z位于[4.88,15.8]的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.參考公式:χ2=

,其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù):α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545.第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析解析

(1)列聯(lián)表為單位:人

健步達(dá)人非健步達(dá)人合計(jì)40歲以上的市民5204801000不超過40歲的市民4006001000合計(jì)92010802000第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析零假設(shè)為H0:是不是“健步達(dá)人”與年齡無關(guān).計(jì)算可得χ2=

≈28.986>10.828=x0.001,依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為是不是“健步達(dá)人”與年齡有關(guān).(2)(i)樣本平均數(shù)為

=4×0.04+6×0.06+8×0.10+10×0.10+12×0.30+14×0.20+16×0.10+18×0.08+20×0.02=12.16.由前4組的頻率之和為0.04+0.06+0.10+0.10=0.30,前5組的頻率之和為0.30+0.30=0.

6,知樣本中位數(shù)落在第5組,設(shè)樣本中位數(shù)為t,則(t-11)×0.15=0.5-0.3,所以t=

.故可以估計(jì)該市不超過40歲的市民日健步走步數(shù)的平均數(shù)為12.16,中位數(shù)為

.(ii)[μ-2σ,μ+σ]=[4.88,15.8],而P(μ-2σ≤Z≤μ+σ)=

P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)+

P(μ-σ≤Z