勾股定理的應(yīng)用十種最?？碱愋停ń馕霭妫?八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練

專題05勾股定理的應(yīng)用十種最常考類型（解析版）類型一大樹折斷問題【典例1】（2023春?德慶縣期末）如圖，一棵高為16m的大樹被臺(tái)風(fēng)刮斷，若樹在離地面6m處折斷，樹頂端剛好落在地面上，此處離樹底部8m處．【思路引領(lǐng)】首先設(shè)樹頂端落在離樹底部x米處，根據(jù)勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．【解答】解：設(shè)樹頂端落在離樹底部x米處，由題意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合題意舍去）．故答案為：8．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【變式訓(xùn)練】1．（2023?南寧模擬）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【思路引領(lǐng)】畫出圖形，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．類型二水杯中的筷子問題及類似問題【典例2】（2023春?陜州區(qū)期中）如圖是一個(gè)飲料罐，下底面半徑是5，上底面半徑是8，高是12，上底面蓋子的中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）的取值范圍是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13【思路引領(lǐng)】如圖，過A作AB⊥BC于B，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，過A作AB⊥BC于B，∵下底面半徑是5，高是12，∴AB＝12，BC＝5，∴AC=A∴a的長(zhǎng)度的取值范圍是12≤a≤13，故選A．【總結(jié)提升】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春?鹽山縣期末）如圖，有一個(gè)水池，水面是一邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（）尺．A．10 B．12 C．13 D．14【思路引領(lǐng)】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【解答】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：蘆葦長(zhǎng)13尺．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．2．（2022秋?安陽(yáng)縣期末）從前有一個(gè)人拿著竹竿進(jìn)城，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比城門寬43m，豎著比城門高23m，另一個(gè)人告訴他沿著城門的兩對(duì)角斜著拿竿，這個(gè)人一試，不多不少剛好進(jìn)去了，則竹竿的長(zhǎng)度為【思路引領(lǐng)】設(shè)竹竿的長(zhǎng)為x米，根據(jù)門框的邊長(zhǎng)的平方和等于竹竿的長(zhǎng)的平方列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：設(shè)竹竿的長(zhǎng)為x米，由題意得：(x?4解得：x1=10故答案為：103【總結(jié)提升】本題考查一元二次方程的應(yīng)用；得到門框的邊長(zhǎng)和竹竿長(zhǎng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．類型三梯子滑動(dòng)問題【典例3】（2020春?硚口區(qū)期中）如圖，一個(gè)梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，測(cè)得AO＝8米．若梯子的頂端沿墻面向下滑動(dòng)2米，這時(shí)梯子的底端在水平的地面也恰好向外移動(dòng)2米，則梯子AB的長(zhǎng)度為（）A．10米 B．6米 C．7米 D．8米【思路引領(lǐng)】首先設(shè)BO＝x米，則DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO長(zhǎng)，然后再利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)．【解答】解：由題意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，設(shè)BO＝x米，則DO＝（x+2）米，由題意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=8故選：A．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?新泰市期中）如圖，一架梯子若靠墻直立時(shí)比窗戶的下沿高1m．若斜靠在墻上，當(dāng)梯子的下端離墻5m時(shí)，梯子的上端恰好與窗戶的下沿對(duì)齊．則梯子的長(zhǎng)度為（）A．13m B．12m C．15m D．17【思路引領(lǐng)】設(shè)梯子的長(zhǎng)度為xm，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)梯子的長(zhǎng)度為xm，根據(jù)勾股定理得，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，答：梯子的長(zhǎng)度為13m，故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?北京期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，已知小巷的寬度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墻時(shí)，梯子頂端A與地面點(diǎn)C距離是2.4米．如果保持梯子底端B位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端D與地面點(diǎn)E距離是2米．求此時(shí)梯子底端B到右墻角點(diǎn)E的距離是多少米．【思路引領(lǐng)】設(shè)此時(shí)梯子底端B到右墻角點(diǎn)E的距離是x米，則BC為（2.2﹣x）米，在Rt△ABC和Rt△DBE中，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)此時(shí)梯子底端B到右墻角點(diǎn)E的距離是x米，則BC為（2.2﹣x）米，由題意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，∴BC2+AC2＝BE2+DE2，即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，解得：x＝1.5，答：此時(shí)梯子底端B到右墻角點(diǎn)E的距離是1.5米．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?寶豐縣期末）如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端P不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB．（1）當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對(duì)面墻上，頂端剛好落在對(duì)面墻角B處，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，則甲房間的寬度AB＝3.2米．（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房間的寬AB；（3）當(dāng)他在丙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度數(shù)；②求丙房間的寬AB．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）證明△AMP≌△BPN，從而得到MA＝PB＝2.4米，PA＝NB＝0.7米，即可求出AB＝PA+PB；（3）①根據(jù)平角的定義即可求出∠MPN＝60°；②根據(jù)PM＝PN以及∠MPN的度數(shù)可得到△PMN為等邊三角形．利用相應(yīng)的三角函數(shù)表示出MN，MP的長(zhǎng)，可得到房間寬AB和AM長(zhǎng)相等．【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM=A∵PB＝PM＝2，∴甲房間的寬度AB＝AP+PB＝3.2米，故答案為：3.2；（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM+∠BPN＝90°，∵∠APM+∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN．在△AMP與△BPN中，∠AMP=∠BPN∠MAP=∠PBN=90°∴△AMP≌△BPN，∴MA＝PB＝2.4，∵PA=P∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1；（3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；②過N點(diǎn)作MA垂線，垂足點(diǎn)D，連接NM．設(shè)AB＝x，且AB＝ND＝x．∵梯子的傾斜角∠BPN為45°，∴△BNP為等腰直角三角形，△PNM為等邊三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子長(zhǎng)度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°．∴∠DNM＝∠AMP，∵△PNM為等邊三角形，∴NM＝PM．∴△AMP≌△DNM（AAS），∴AM＝DN，∴AB＝DN＝AM＝2.8米，即丙房間的寬AB是2.8米．【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)PM＝PN以及∠MPN的度數(shù)得到△PMN為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．類型四立體圖形中的最短距離問題【典例4】（2021春?饒平縣期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)均為3cm，高為5cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈達(dá)到點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要13cm．【思路引領(lǐng)】把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形解決即可．【解答】解：將長(zhǎng)方體展開，連接AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=52+1故答案為：13【總結(jié)提升】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，本題就是把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，用勾股定理解決．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?沙坪壩區(qū)期中）如圖，圓柱形容器中，高為12cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在容器內(nèi)壁離容器底部2cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿2cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為20cm．（容器厚度忽略不計(jì)）【思路引領(lǐng)】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．【解答】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交EC于F，則A′B即為最短距離．∵高為12cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在容器內(nèi)壁離容器底部2cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿2cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，∴A′D＝16cm，BD＝12cm，∴在直角△A′DB中，A′B=162故答案為：20．【總結(jié)提升】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．2．（2022春?樺甸市期末）如圖，是一塊長(zhǎng)，寬，高分別為6cm，4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的外表面，到長(zhǎng)方體的另一個(gè)頂點(diǎn)B處吃食物，則它需要爬行的最短路徑長(zhǎng)是85cm．【思路引領(lǐng)】把這個(gè)長(zhǎng)方體中螞蟻所走的路線放到一個(gè)平面內(nèi)，在平面內(nèi)線段最短，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算．【解答】解：第一種情況：把我們所看到的左面和上面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是9和4，則所走的最短線段是AB=92+第二種情況：把我們看到的前面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是7和6，所以走的最短線段是AB=72+第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10和3，所以走的最短線段是AB=102∴它需要爬行的最短路徑是85cm．故答案為：85cm．【總結(jié)提升】本題主要考查的是平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解決此題的關(guān)鍵是明確線段最短這一知識(shí)點(diǎn)，然后把長(zhǎng)方體的一些面展開到一個(gè)平面內(nèi)，求出最短的線段．3．（荊州中考）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（）A．42dm B．22dm C．25dm D．45dm【思路引領(lǐng)】要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC的長(zhǎng)度．∵圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm，圓柱高為2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝4+4＝8，∴AC＝22dm，∴這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC＝42dm．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．類型五選址滿足條件問題【典例5】（2023春?永善縣期中）如圖，河CD的同側(cè)有A、B兩個(gè)村，且AB=213km，A、B兩村到河的距離分別為AC＝2km，BD＝6km．現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠分別向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米需2000元．請(qǐng)你在河岸CD上選擇水廠位置0，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用w【思路引領(lǐng)】作A點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)為A'，連接A'B交CD于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)A'作A'E⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，分別利用勾股定理求出AF和A'B的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖所示，作A點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)為A'，連接A'B交CD于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)A'作A'E⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，此時(shí)AO+BO最小，∵AC＝2km，BD＝6km，∴BF＝4km，DE＝2km，∵AB＝213km，∴AF=(213)在Rt△BA'E中，由勾股定理得：A'B=A′E2∴AO+BO＝10（km），∴鋪設(shè)水管的總費(fèi)用W＝10×2000＝20000（元）．【總結(jié)提升】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春?紅塔區(qū)期中）如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距20km，C、D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求AE＝13.3km．【思路引領(lǐng)】設(shè)AE＝xkm，即可得到EB＝（20﹣x）km，結(jié)合DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于B根據(jù)勾股定理列式求解即可得到答案．【解答】解：設(shè)AE＝xkm，則EB＝（20﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，DA＝8km，CB＝14km，∴DE2＝x2+82＝x2+64，DE2＝（20﹣x）2+142＝x2﹣40x+596，∵C、D兩村到E站的距離相等，∴x2﹣40x+596＝x2+64，解得：x＝13.3，故答案為：13.3．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相等列等式求解．類型六航海問題【典例6】（2023春?黃陂區(qū)期中）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里．它們離開港口一小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距20海里．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿北偏東50°方向航行，你能判斷“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？請(qǐng)說明理由．【思路引領(lǐng)】利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．【解答】解：由題意可得：RP＝12海里，PQ＝16海里，QR＝20海里，∵162+122＝202，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“遠(yuǎn)航”號(hào)沿北偏東50°方向航行，∴∠RPN＝40°，∴“海天”號(hào)沿北偏西40°方向航行．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的應(yīng)用，正確得出各線段長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?泰山區(qū)期末）如圖，南北向MN為我國(guó)領(lǐng)海線，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海，上午9時(shí)30分，我國(guó)反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C以8海里/時(shí)的速度偷偷向我領(lǐng)海駛來，便立即通知正在MN線上巡邏的我國(guó)反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距離是20海里，A、B兩艇的距離是12海里；反走私艇B測(cè)得距離C艇16海里，若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)候進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？【思路引領(lǐng)】由勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，再由三角形面積求出BE=485海里，然后由勾股定理得CE【解答】解：由題意可知，∠BEC＝90°，∵AB2+BC2＝122+162＝202＝AC2，∴△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，∵M(jìn)N⊥AC，∴走私艇C進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的最短距離是CE，∵S△ABC=12AB?BC=12∴BE=AB?BC∴CE=B∴645÷8∴9時(shí)30分+96分＝11時(shí)6分．答：走私艇C最早在11時(shí)6分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．類型七受臺(tái)風(fēng)或噪聲影響問題【典例7】（2022秋?清水縣月考）如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城的正西方300千米處，以每小時(shí)107千米的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米的范圍內(nèi)是受這次臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．（1）問A城是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？【思路引領(lǐng)】（1）作AC⊥BF，則距點(diǎn)A最近的點(diǎn)即為C點(diǎn)，計(jì)算AC的長(zhǎng)，若AC＞200千米，則不受影響，反之，則受影響．（2）求出A城所受影響的距離DE，又有臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度，即可求解出其影響的時(shí)間．【解答】解：（1）A城市受影響．如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BF，則距離點(diǎn)C最近的距離為AC，∵AB＝300，∠ABC＝30°，∴AC=12所以A城會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響；（2）如圖，∵距臺(tái)風(fēng)中心200千米的范圍內(nèi)是受這次臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域，則AD＝AE＝200，即DE為A城遭受這次臺(tái)風(fēng)的距離，CD=AD2?∴DE＝1007，則t=s故A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間10小時(shí)．【總結(jié)提升】本題主要考查了方向角問題以及解直角三角形的簡(jiǎn)單運(yùn)用，能夠熟練掌握．【變式訓(xùn)練】1．（2022春?紫云縣期末）如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離O點(diǎn)80米處有一所學(xué)校A，當(dāng)重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON的方向行駛時(shí)，以P為圓心，50米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大，若重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為5米/秒．（1）求卡車P對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)，卡車P與學(xué)校A的距離；（2）求卡車P沿道路ON方向行駛一次，它給學(xué)校A帶來噪聲影響的總時(shí)間．【思路引領(lǐng)】（1）過點(diǎn)A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案；（2）當(dāng)AC＝AN＝50米時(shí)，則卡車在CD段對(duì)學(xué)校A有影響，利用勾股定理求出CH的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD的長(zhǎng)，從而求出時(shí)間．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，∴AH=12∴卡車P對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)，卡車P與學(xué)校A的距離為40米；（2）當(dāng)AC＝AN＝50米時(shí)，則卡車在CD段對(duì)學(xué)校A有影響，由（1）知AH＝40米，∴CH=A∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡車P沿道路ON方向行駛一次，它給學(xué)校A帶來噪聲影響的總時(shí)間為12秒．【總結(jié)提升】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，根據(jù)題意，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．類型八求旗桿（大樹）高度問題【典例8】（2023秋?開封期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）（）A．14m B．15m C．16m D．17m【思路引領(lǐng)】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：設(shè)旗桿高度為xm，過點(diǎn)C作CB⊥AD于B，則AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗桿的高度為17米．故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．【變式訓(xùn)練】1．（2023春?岳陽(yáng)樓區(qū)期末）小華和小僑合作，用一塊含30°的直角三角板，旗桿頂端垂到地面的繩子，測(cè)量長(zhǎng)度的工具，測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖，測(cè)得AD＝0.5米，繩子部分長(zhǎng)CD＝6米，則學(xué)校旗桿AB的高度為（）A．6.5米 B．(63+0.5)C．12.5米 D．(65【思路引領(lǐng)】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出2DC＝BC，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【解答】解：由題意知∠ABC＝30°，CD⊥AB，∴BC＝2CD＝12米，BD=63∵AD＝0.5米，∴AB=(63故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?岱岳區(qū)期中）學(xué)習(xí)完《勾股定理》后，張老師要求數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面并多出了一段，但這條繩子的長(zhǎng)度未知．如圖，經(jīng)測(cè)量，繩子多出的部分長(zhǎng)度為2米，將繩子拉直，且繩子底端與地面接觸，此時(shí)繩子端點(diǎn)距離旗桿底端5米，則旗桿的高度為214【思路引領(lǐng)】在Rt△ABC中，由勾股定理得出關(guān)于AB的方程求解即可．【解答】解：如圖，由題意可知，BD＝2米，BC＝5米，AC＝AB+BD＝（AB+2）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，即AB2+52＝（AB+2）2，解得AB=21∴旗桿的高度為214故答案為：214【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?秦安縣期末）如圖，在一棵樹的10米高B處，有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘A處，另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹的高度為15米．【思路引領(lǐng)】根據(jù)兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，將兩只猴子所走的路程表示出來，根據(jù)勾股定理列出方程求解．【解答】解：如圖，設(shè)樹的高度為x米，因兩只猴子所經(jīng)過的距離相等都為30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故這棵樹高15m．【總結(jié)提升】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理解決．類型九小鳥飛行距離問題【典例9】（2022秋?嵩縣期末）如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12【思路引領(lǐng)】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【解答】解：兩棵樹的高度差為8﹣2＝6m，間距為8m，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離=82+故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問題建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?青羊區(qū)期中）如圖，一只小鳥旋停在空中A點(diǎn)，A點(diǎn)到地面的高度AB＝20米，A點(diǎn)到地面C點(diǎn)（B，C兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離AC＝25米．（1）求出BC的長(zhǎng)度；（2）若小鳥豎直下降到達(dá)D點(diǎn)（D點(diǎn)在線段AB上），此時(shí)小鳥到地面C點(diǎn)的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．【思路引領(lǐng)】（1）在直角三角形中運(yùn)用勾股定理即可求解；（2）在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：（1）由題意知∠B＝90°，∵AB＝20米，AC＝25米．∴BC=2（2）設(shè)AD＝x，則CD＝x，BD＝20﹣x，在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，∴x2＝（20﹣x）2+152，解得x=125∴小鳥下降的距離為1258【總結(jié)提升】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．類型十利用勾股定理表示無理數(shù)【典例10】（2022春?武昌區(qū)期末）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣4，2）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（）A．