福建聯(lián)盟校2024屆高三2月大聯(lián)考數(shù)學試題 含答案

保密★啟用前

試卷類型：A

準考證號姓名

（在此卷上答題無效）

名校聯(lián)盟全國優(yōu)質(zhì)校2024屆高三大聯(lián)考

數(shù)學試題

2024.2

本試卷共4頁，考試時間120分鐘，總分150分。

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合/={xRx?-5x+2<o},8={x,〉1},則/Pl8=（）

1-i

2.已知i為虛數(shù)單位，-----=（）

l-2i

C.@D.叵

2

3.已知用B是兩個單位向量，若卜-q=百，則之與B的夾角為（)

71兀2兀5兀

A.B.一C.——D.

6336

4.設(shè)直線x—3歹+冽=0（加力0）與雙曲線§—方=1（?！?〉0）分別交于43兩點，若線段48的中

4

點橫坐標是一加，則該雙曲線的離心率是（）

5

yJ~5y/lr-

A.--B.---C.2D.-\j2

22

（x-//）2

5.一般來說，輸出信號功率用高斯函數(shù)來描述，定義為/（x）=/°鼠石h，其中/0為輸出信號功率最大值

（單位：mW）,x為頻率（單位：Hz）,〃為輸出信號功率的數(shù)學期望，為輸出信號的方差，3dB帶

寬是光通信中一個常用的指標，是指當輸出信號功率下降至最大值一半時，信號的頻率范圍，即對應函數(shù)

（%-2）2

圖像的寬度?，F(xiàn)已知輸出信號功率為/（x）=/°e2（如圖所示），則其3dB帶寬為（）

A.Vln2B.4Vln2C.3Vln2D.2丁21n2

6.已知外,a3M4,生成等比數(shù)列，且2和8為其中的兩項，則處的最小值為（）

?,11

A.—32B.-16C.—D.—

3216

7.如圖，在三棱錐尸—48。中，AB=BC=42,BA±BC,PA=PB=PC=2,點M是棱6c上一動

點，則9+M4的取值范圍是（）

A.&+2近,4B.[2+72,4]

C,「巫巫/D,「巫巫,2+目

2J[2

((2014兀2丫|

8.方程2cos2xcos2x-cos------=cos4x—l所有正根的和為()

A.810兀B.100871C.108071D.1800兀

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A.若43兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為弓=0.97,7=-0.99,則/組數(shù)據(jù)比8組數(shù)據(jù)的相關(guān)性

較強

B.若樣本數(shù)據(jù)看,》2,…,4的方差為2，貝!I數(shù)據(jù)2占—1,2%—1,…,24—1的方差為8

C.已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原

樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)

D.某人解答5個問題，答對題數(shù)為X,若丫~8（5,0.6）,則E（X）=3

10.對于函數(shù)/（x）=—些,下列說法正確的是（）

A./（x）在x=e處取得極大值:

B.7（x）有兩個不同的零點

C-/（4）＜/（^）＜/（3）

D./＜￥

2

11.已知Mn是圓。“：/+y~-2nx-2ny+n=Q^neN*）上任意一點，過點Pn向圓。,引斜率

為勺代＞0）的切線小切點為點4（3〃,〃），則下列說法正確的是（）

,,r~〃+1

A.〃=1時，kx—v3B.yn-----------1-n

n+\

C仔五＜0sinp^]D.+“闈的最小值是￡+1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)，是數(shù)列｛4｝的前〃項和，一一^=1,%=5,則g024=____.

77+1n

13.設(shè)函數(shù)/（x）=sin（s+。卜。＞0）在區(qū)間（0,萬）上恰有兩個零點，則①的取值范圍是..

14.如圖，在aSBE中，SE=BE=1,在直角梯形8EDC中，BE±DE,CD//BE,CD=2,DE=73

OELSE,記二面角S-OE-B的大小為。，若,則直線SC與平面SQE所成角的正弦值

33

的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

若數(shù)列｛%｝的前n項和Sn滿足Sn=2an+n-4.

（1）證明：數(shù)列｛%-1｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)勿=log2（%+「l）,求數(shù)列也（%,-1）｝的前〃項和

16.（15分）

在三棱柱48。一4片。］中，24=13,在底面△4BC中，^ABLBC,且48=8,80=6,點。為等

12

腰三角形8/C的底邊/C的中點，在△A8Q中，有cosNBB、D=—.

（1）求證：BC1B.D；

（2）求直線481與平面片8。所成角的正弦值.

17.（15分）

甲、乙兩俱樂部進行羽毛球團體賽，比賽依次按照男子雙打、女子雙打、混合雙打、男子單打、女子單打

共五個項目進行，規(guī)定每個項目均采取三局兩勝制，且在上述五項中率先贏下三項的俱樂部獲勝(后續(xù)項

目不再進行比賽).已知在男雙項目、女雙項目、男單項目這三項的每局中，甲俱樂部獲勝的概率均為0.7；

在混雙項目、女單項目這兩項的每局中，乙俱樂部獲勝的概率均為0.8,假設(shè)每局比賽之間互不影響.(注:

比賽沒有平局，且所有結(jié)果均保留「位小數(shù).)

(1)求甲俱樂部在男子雙打項目中獲勝的概率；

(2)記比賽結(jié)束時所完成的比賽項目數(shù)量為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望.

18.(17分)

V221

已知橢圓E的方程為J+二V=1(。〉b〉0),Z為E的左頂點，8為E的上頂點，E的離心率為一,AABO

ab2

的面積為

(1)求E的方程；

(2)過點尸的直線交E于M、N兩點，點M且垂直于x軸的直線交直線/N于點笈，證明：線

段的中點在定直線上.

19.(17分)

已知函數(shù)/(x)=lnx--.

(1)當a=-l時，求/(x)的極值；

(2)若存在實數(shù)0</<<,滿足=求/(/)的取值范圍.

保密★啟用前試卷類型：A

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數(shù)學試題答案及評分參考

一、單項選擇題

題號12345678

答案DBCADBAC

二、多項選擇題

題號91011

答案BCDACBCD

三、填空題

12.404713.(|,1]14.V3-1

四、解答題

15.(13分)

(1)證明：由0=24+〃—4,當〃=1時，可得q=3：.......1分

當〃之2時，(〃-5)，所以見=22_]一1(〃之2)，.......3分

二〃N2時，％-1=2(41一1),.......4分

數(shù)列｛4,—1｝是以4-1=2為首項，q=2為公比的等比數(shù)列：........5分

aK—1=2",/.=I+2"........6分

1

(2)證明：由(I)知，an^=1+2"",Abn=log,(d?tl-1)=/?+1,.......7分

...“(4一1)=(〃+1>2",.......8分

A7；=2x21+3x22+-+(M+l)x2n,

27；=2x22+3x23+---+(/7+l)x2n+1.......Il分

-7；=2x2,+(22+23-+2n)-(/j+l)2n+1.......12分

所以........13分

16.（15分）

（I）因為點。為等腰三角形B、AC的底邊4。的中點,所以BtD±AC.1分

12\32+B,D2-5212

又因以右乙叫。=石.由余弦定理，cosNBBQ=3分

2x13x3］。13

解得8Q=12.4分

因為BD?+BQ?=BB；,由勾股定理知，BD1BtD.5分

又因為8on/c=。，所以J.平面為8c.6分

因為8Cu平面力BC,所以BC1BQ.7分

（2）過點。作0x_LZC,以。為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖,8分

9分

10分

設(shè)平面B.BC的一個法向所為m=（x,必:）,

2418

----x+—y=0A

m-BC=055

則《一，即《11分

而印=0247

—x+—y-12r=0

令x=9,解得平面用8c的一個法向髭為何=（9,12,5）.13分

設(shè)力耳與面8/C的夾角為8,

則sing=|cos（函,m）卜號=心叵

14分

13,81+144+2565

所以AB.與面B.BC的夾角的正弦值坦叵

15分

1165

17.(15分)

(1)記事件48,C為男雙比賽第一，二，三局甲俱樂部獲勝，........I分

則所求概率為P=P(AB+ABC+ABC),因為AB,ABC,ABC互斥........2分

&P=P(JB)+P(ABC)+P(ABC),又因為4民。獨立........3分

所求為p=P(4B)+P(ABC)+P(A就)=0.7x0.7+0.3x0.7x0.7+0.7x0.3x0.7=0.784*0.8

........6分

(2)由(1)知，甲俱樂部男雙，女雙，男單獲勝的概率均為08

乙俱樂部混雙獲勝的椽率尸=0.8x0.8+0.2x0.8x0.8+0.8x0.2x0.8=0.896x0.9

........8分

故甲俱樂部混雙，女單的概率均為0.1,故

P(X=3)=0.8X0.8X0.1+0.2x0.2x0.9=0.1........10分

P(X=4)=(0.2x0.8x0.1+0.8x0.2x0.1+0.8x0.8x0.9)x0.8+[3分

(0.8x0.2x0.9+0.2x0.8x0.9+0.2x0.2x0.1)x0.2?0.5

=5)=1-(0.1+0.5)=0.4

X的分布列如下表

X345

P(X)0.10.50.4

........14分

所以E(X)=3x0.1+4x0.5+5x0.4=4.3.........15分

18.(17分)

1c1

(1)因為橢圓離心率為一，得一=一，........1分

2a2

從而a=2c,b=Wc,........2分

S^BO=6=三處=瓜:，,........3分

得c=l,a=2,b=道,........5分

22

即橢圓的方程土-+匕=1........6分

43

(2)由題意，過點尸(-2,1)的直線斜率存在，設(shè)為去-歹一(攵+2)=0.........7分

設(shè)”(XQWW，%)

kx-y+2k+\=0

聯(lián)立《V2,得(4%2+3)必+8"(2々+1口+8(2公+2左一1)=0,........9分

—+—=1

43

8A(2A+1)

為+*=TT；~

4%-+3

可得《10分

8(2/+2A-l)

xx,=--------；---------

-4A-+3

6(22+1)-24A

“+%=訴晨-乂=E(*)

直線4N：y=S_(x+2)和x=X1聯(lián)立,

4+2

得HQ,必(司；2)),丁(；卬+皿苧])........11分

Xi+22x?+2

令x=&e[-2,2],y=；[K+為(M+2)EN+由必+2(y+%)

1

X2+22(±+2)

此時2y_3%+*2必+2(弘+必)

x+2(三+2乂*+2)

化簡得至=-%+三必+2(乂+%)

.............14分

x+2xxx2+2(Xj+X2)+4

將。代入上式得名=8(2如+”；：：藍窘3(%+3)

化簡得鳥=3,即『所在的定直線為弘-2產(chǎn)6=。??…?…17分

19.(17分)

(1)因為。=-1,所以/(x)=Inx+L/0)='-1=芝?........2分

XxXX'

令/'(x)=0,解得x=l..............3分

當xe(0,1),/。)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當》€(wěn)(1,+8),/。：)>0,/(*)單調(diào)遞增，........5分

所以/(x)只有極小值/。)=-1,沒有極大值.........6分

X：

⑵令項="0，X,=,0.

■l-x0

當0<X]<:時，0<工2<玉<：

則原命題等價于存在實數(shù)芭＞三＞0,滿足/(%)=/(X,).8分

易知，a<0,因為/（為）=/（、2）得In*