圓錐曲線的方程（九）講義-2025屆高三數(shù)學一輪復習

人教A版數(shù)學一圓錐曲線的方程專題九

知識點一根據(jù)a、b、c求雙曲線的標準方程，求雙曲線中的最值問題,雙曲線中的直線過定點問題

典例1、已知雙曲線C：3d一丁=3.

(1)求雙曲線的兩條漸近線的夾角的大?。?/p>

(2)設定點A(a,0)(a〉0),求雙曲線上的動點夕到A的距離d的最小值.

隨堂練習：已知雙曲線C：「一<=1("0方>0)過點(20,1),漸近線方程為y=土;x,直線/是雙曲線

C右支的一條切線，且與C的漸近線交于8兩點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設點48的中點為弘求點〃到y(tǒng)軸的距離的最小值.

22

典例2、已知雙曲線十￡=1(°>0,>>。)的左、右焦點分別為K,工，點尸在雙曲線的右支上，附

|PgI的最小值犯，機2，且滿足叫利2=3/.

(1)求雙曲線的離心率；

(2)若”2,過點月的直線交雙曲線于A,8兩點，線段的垂直平分線交y軸于點。(異于坐標原

AB,-

點。)，求萬萬的取=小值?

隨堂練習：已知點R(0,-2),2(0,2),雙曲線。上除頂點外任一點M(x,y)滿足直線砌與翻的斜率之

積為4.

(1)求。的方程；

(2)若直線/過。上的一點尸，且與。的漸近線相交于4,8兩點，點48分別位于第一、第二象限,

AP=2PB,求AP.P3的最小值.

22_

典例3、與橢圓三+q=1有公共焦點的雙曲線C過點加（6，遙），過點“（2,0）作直線/交雙曲線的右支

于A3兩點，連接A。并延長交雙曲線左支于點尸（。為坐標原點）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求二R1B的面積的最小值.

22

隨堂練習：已知雙曲線八鼻-3=1,（。>0*>0）經過點P（2,1）,且其中一焦點尸到一條漸近線的距離

cib

為1.

（1）求雙曲線廠的方程；

（2）過點尸作兩條相互垂直的直線⑸，以分別交雙曲線廠于48兩點，求點夕到直線N8距離的最

大值.

知識點二拋物線的焦半徑公式，根據(jù)拋物線上的點求標準方程，拋物線中的參數(shù)范圍問題，拋物線中的

定值問題

典例4、已知拋物線T：y2=2px(p>0),點尸為其焦點，且點尸到其準線1的距離為4.

(1)求拋物線T的方程；

(2)設/與x軸的交點為N,過x軸上的一個定點(1,0)的直線力與拋物線T交于8,。兩點.記直線

AB,NC的斜率分別為匕，k2,若勺+&=；,求直線力的方程.

隨堂練習：已知拋物線。：,=2px(p>0)的焦點為尸，點〃在第一象限且為拋物線。上一點，點N

(5,0)在點尸右側，且△必正恰為等邊三角形.

(1)求。的方程；

(2)若直線/：x=Ay+R與。交于48兩點，ZAOB=12Q°(其中。為坐標原點)，求實數(shù)〃的取

值范圍.

典例5、已知拋物線T：y2=2px(p>0),點尸為其焦點，點M、N在拋物線上，且直線過點^oj,

\FM\^2\FN\^6.

(1)求拋物線T的方程；

(2)過焦點/作互相垂直的兩條直線，與拋物線T分別相交于點A、8和C、，點尸、。分別為A3、

。的中點，求△尸尸。面積的最小值.

隨堂練習：已知拋物線。：f=2點(。>0),戶為拋物線。的焦點，河(％,1)是拋物線。上點，且阿司=2；

(1)求拋物線。的方程；

(2)過平面上一動點P(北機-2)作拋物線。的兩條切線⑸，陽(其中48為切點)，求俞+向的

最大值.

典例6、設點尸(L0),動圓經過點尸且和直線x=-l相切，記動圓的圓心月的軌跡為曲線反

(1)求曲線￡的方程；

(2)過點尸的直線交曲線￡于48兩點，另一條與直線A3平行的直線交x軸于點四交y軸于點兒

若△的是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，求點〃的橫坐標.

隨堂練習：已知拋物線C：V=2抄(。＞0)的焦點為小拋物線上一點4卜曰(相＜0)到月點的距離為1

(1)求拋物線的方程及點A的坐標；

(2)設斜率為％的直線/過點8(2,0)且與拋物線交于不同的兩點V、N,若=且求

斜率左的取值范圍.

人教A版數(shù)學一圓錐曲線的方程專題九答案

|a-l|,0＜tz＜4

典例1、答案：（1）g；（2）汗*=國可

3-----------,。＞4

I2

解：（1）雙曲線C的兩條漸近線方程是＞=±氐，則它們的夾角是會

（2）設P（x,y）為雙曲線上任意一點，則3/-y、=3

d=|A,="（x_a）?+y-=A/4X^—26zx+ci~—3,

/.d=.4(x--)2+———3,xe(^>o,-l]u[l,+oo)

V44

二次函數(shù)丁=4/-2辦+/-3的對稱軸x=（＞0,定義域為（一8,-1]

當（41,即0＜aV4時，當x=l時，

當%I，即…時，當尤=（寸，〃…忖一3

|?-l|,0<ti<4

綜上所述"min=<，3〃2一12.

------------,a>4

I2

隨堂練習：答案：（1）＜-/=!（2）2

⑴由題設可知’解得言

解:則C：=1.

4

、a2

（2）設點〃的橫坐標為如＞。

當直線/斜率不存在時，則直線/：＞2易知點聞到，軸的距離為X”=2;

當直線/斜率存在時，設/：y=爪+加A(X],yJ,B(x2,y2),

《_2=1

聯(lián)立(41一，整理得(442—1)爐+8初a+4〃/+4=0,

y=kx+m

A=64k2m--16(4A:2-l)(m2+l)=0,整理得4k2=m2+1

If

人__2_口

聯(lián)立（不一，=,整理得（4左2-1卜2+8幻妝+4病=0,

y=kx+m

8km8km8kr/x.+x94k

則%+%2=--------5-=——廠獲，則%=一----->0,即初z<0

124k2-1m2m

則后=電9=4+之＞4,即與＞2I.此時點M到了軸的距離大于2；

mm

綜上所述，點版到y(tǒng)軸的最小距離為2.

3

典例2、答案：（1）2（2）y.

222

解：（1）由題意知耳（-G。），鳥（G。）.由雙曲線的性質知叫=c+。，m2=c-a,=c-a=3a,

：.c^2a,故雙曲線的離心率e=￡=2.

a

（2）當a=2時，c=4,b2=c2-a2=12.，雙曲線的方程為工-q=1,耳（＜。）.

412

由題知直線A3的斜率存在，設為％,則kw土石，直線A3的方程為丁=左（％+4）.

__/—］

聯(lián)立412"消去y并整理，得（3-左2卜2-8左2%-16左2—12=0.

y=左（工+4）

1-16公-12

設B（x2,y2）,貝）&+々=丁區(qū)

j-k3—廿

12（1+F）

|AB\=&+左25（%+巧）2_40/=Jl+l_4?2

8k224k

又?二％+%=左（玉+4）+左（％2+4）=左（玉+12）+8左=左x-----+8^=

3—K3—左2

（4k212”）

???線段A8的中點的坐標為鼻，鼻，

（3一化J—K）

12"1（4七21

線段A3的垂直平分線的方程為y-與=-：x一心■.

3-k3-kJ

令x=0,得,=普，???，點的坐標為10，既］，；」。q=符，

n（i+k2）

.一一3一燈3（1+用$1］、3

OD16kl4網閔卜5，

\3~k2\

AJ50

當且僅當網=1,即仁±1時等號成立，??.萬萬的最小值為;.

2

隨堂練習：答案：⑴『X』（2）1

解：（1）由題意得9-匕2=4,即匕1=4,整理得2一/=1,

XXx4

2

因為雙曲線的頂點坐標滿足上式，所以。的方程為二-/=1.

4

（2）由（1）可知，曲線。的漸近線方程為y=±2x,

設點尸（4，幾）,A（&2石）,B（X2,-2X2）,外>0,x2<0,

由AP=2PB,得（為一不，%—2%）=2優(yōu)一的一2々一%）,

整理得小=土守，%=么?旦①,

、3Q

把①代入斗-尤;=1,整理得玉②，

4o

因為）尸=（/一%，白―2%）=]-2%1；2%2,-4%；4々）,尸5=（/一%0，—2%2_%）=（用

所以APP5=，（10%；+10X；+12%I?％2）.由玉%2=-2，得玉=一9，

9'O”工2

\2

則APPB=1（10x2+10考+12石-x）=1,9（927、

2iof--+10x2-12x|10x2x----=1,

-II82J

當且僅當％=一當時等號成立，所以AP%的最小值是1.

2

典例3、答案：（1）*-（=1；（2）12.

22

解：⑴設雙曲線方程為，-夫=1（a>0為>0）,

由題知：C=2得至U/+/=4,又=一盤=1得至U3一二=1，

aba4一。

2

得至U。4-13。2+12=0,所以"=12（舍）或/=1=>4=1,則雙曲線的C的方程為/-（=1；

（2）顯然直線/與>軸不垂直，設/：x=my+2,A（x1,y1）,8（々，%），

由雙曲線的對稱性知AP的中點為。，故S^PAB=2sAOAB

-12m

3m-1

聯(lián)立—l^_y2+12m_y+9=0故A=36（小+i）,<

9

13m2-11

-4

m（y+y）+4=,>0

%+馬〉0l23m-1

由于4B均在雙曲線右支，故o<

x-X>0

x22c/xA—3機2—4

m必%+2加（X+%）+4=0”1>0

3m-1

解得04后<g,S

APAB=2S&OAB=2x|x|OE|x（|y1-y2|）=2“％+-4%%，

代入韋達定理得S-二差]。，療

4/、

易知7-3/隨/的增大而減小，則當"1時，（s△即L=12,

綜上：，己鉆的面積的最小值為12.

2

隨堂練習：答案：（1）y-y2=l（2）4拒

behe

解：（1）不妨設F（c,o）,到雙曲線的一條漸近線1-@=0的距離為J/+T=7…1.

雙曲線4-尸=1過p（2,l）,所以二_1=1,/=2,4=應，

aa

2

所以雙曲線方程為r

（2）當直線AB的斜率不存在時,設A（x0,%）（%>0）,則5（不，-%），

9=(七一2,%—1),P3=(x()-2,_%—1),

依題意9?尸8=(毛_2,%_1>(%_2,_%_1)=0,

2

(XO-2)-(^-1)=O,即片一4無。_乂+5=0,

片-4%-y：+5=0

與馬解得?%=6

由，（舍去），

Jo=后

所以A（6,行）,網6,-炳），此時P到直線A3的距離為6-2=4.

當直線A3的斜率存在時，設A（&yJ,B（電,%）,

設直線AB的方程為、=丘+〃7.

y=kx+m

由在［消去》并化簡得：（2/-1卜2+4而優(yōu)+2.+2=0,

工

A=16k2rrr-A(2k2-1)(2m2+2)=-16k2+8m2+8>0,m2-2^2+l>0@,

-4km2m2+2

Xi+Xy—~,XiXQ—，

1-2k2-1122k1

依題意"?尸3=(玉_2,%一1)(%2-2,為_1)=0,

所以(%—2)(%2—2)+(%—1)(%—1)=(%—2)—2)+(Ax]+TH—1)(Ax2+m—1)

=(女之+1)石電+(加一左一2)(再+%2)+加2—2m+5

/,2m2+2/,，八—4km2c〃八

=\k92+1)--------\-(km-k-2\-------Fm2-2m+5=0,

'72k2-1V)2k2-1

整理得為「+8協(xié)2+12左2+2m-3=0,

即（根+2左一1）（m+6左+3）=0,由于尸任直線AB,1^2k+m,

所以〃z+6左+3=0,〃z=-6k-3,

函數(shù)y=（—6左一3）2—2左2+1=34左2—36左+10的開口向上，

判別式為（-36）2-4x34x10=1296-1360=-64<0,故①成立.

所以直線AB的方程為丫=取一6左-3,即Ax-y-6左-3=0,

亡廣?kijLf,ni-|2fc—1—6A^—3|4年+1]pYF+l+2^_t|2k

所以P至的星巨禺”二^7uje+\+F+i

收+1JS+1

r2kt1--'---Id-----Kid---,—

T

當心。時，1+F7T<1；當%>。時〃+1,+126

kVk

當且僅當左=*=1時等號成立.所以⑶、2,乙0,小40.

kI4J4

綜上所述，點P到直線A3的距離的最大值為4TL

4

典例4、答案：(1)y2=8x(2)y--(^-l)

解：（1）因為點尸到其準線/的距離為4,所以。=4,所以拋物線T的方程為V=8x；

（2）若直線BC的斜率不存在時則匕+&=0與題意不符,

故直線BC的斜率必存在，不妨設直線BC的方程為y=/x-l）,

221

將直線和拋物線聯(lián)立P=產丁）nkx-（2k+8）x+『=0,x+x=^l,xx=i,

[y=8xk

川?左+左二%?%二』七一1）（%+2）+左（工2-1）（再+2）=1

2

人J~~x}+2X2+2~（一+2）（九2+2）一

$16-r24+9=0=左=4：所以直線r的方程為>=4白尤-1）.

kk33

4

隨堂練習：答案：（1）V=4x；（2）（0,1].

解：⑴由題意知廝=；（5+9=>（,IN尸1=5喘，由拋物線的定義可知I板I=XM+§

則由|加|=|MF|,得p=2,所以拋物線C的方程為丁=4尤.

(2)設A(X1,%),B(X2,y2),

Y?=4%（y+y=4k

由，，得>2-46-4根=0,A=16左2+16機>0,貝"1之,

x=ky+mm

22

22

所以%+%=%（X+y2）+2m=4k+2m,x{x2==m,

因為ZAO5=120。，

//cnOAOB刀X修+yg

所以cosZAOB=---------------=,12J1J2=12JU2-----

,\OA\-\OB\J（片+4.）（君+4—）J-LXiW+4（.+/）+16]

m2—4m1

|m|yjm2+16^2+8m+162

所以蘇-4機<0且4（m—4）2=m2+16k2+8m+16,

所以[：<7：：2>n，解得0<,〃4即根的取值范圍為（03.

[3m-40m+48=16K>033

典例5、答案：（1）V=8x；（2）16.

解：（1）過點M、N分別作拋物線T的準線/的垂線，垂足分別為?,

易知|MWj=|MF|,|MVb|N同，

因為|加|=2|印|,則|肱^|=2|那|,則點N為MG的中點，

連接ON,則ON為△FGM的中位線，所以，|9|=2|ON|=2|NF|,貝”。時=|版|,

所以，點N在線段OF的垂直平分線上，則點N的橫坐標為?，

.■.\FN\=^+^=3,解得。=4,所以，拋物線T的標準方程為產=8兀

(2)因為尸(2,0),若直線AB、CD分別與兩坐標軸垂直，

則直線AB、CD中有一條與拋物線只有一個交點，不合乎題意.

4

所以，直線AB、CD的斜率均存在且不為0,

設直線AB的斜率為Mb0）,則直線AB的方程為y=%（》-2）,

y2—8x

聯(lián)立"z川，得62_8y—16%=0,貝l」A=64+64〃>0,

y=k^x-2）

8

設4（%，%）、5（肛％）,則乂+%=不，

K

設P（冷，為），則％=+貝1Jx.=申+2=尚+2,所以尸（,+2,￡|,

同理可得縱4k。+2,-44）,故\QF\=^4k2+2-2）2+（-4k）2=y/16k4+16k2=4.（1+k2）,

|依|=J與+與=生更三,因為PFLQF,

11\k4k2k1

所以S々0=g|尸斗|Q司=gx4jF（l+k）x豈?-=（網）=8x閔+J>8x2^|-j1|=16,

當且僅當網=百，即公±1時等號成立，故△尸R2面積的最小值為16.

隨堂練習：答案：（1）x'4y；⑵g

解：（1）依題意得：|MF|=l+^=2p=2,2p=4,

所求拋物線G的方程為無2=4y；

（2）拋物線C2的方程為尤2=今，即y=0.?./=J,

42

設A（XQJ,8億,為），“八根-2）則切線⑸，陽的斜率分別為

所以切線⑸：y-兀=?（x-xj,

y=~x—~+y\f又尤|2=4%,2y—jc1x+2y1=0,

同理可得切線陽的方程為2y-龍2-》+2%=。,

因為切線44,即均過點尸（私加一2）,所以2%-小1+2m-4=0,2%+2m-4=0,

所以（孫K），（町％）為方程2y-皿+2徵-4=0的兩組解.

所以直線N8的方程為2y-mx+27〃-4=0.

聯(lián)立方程廣一72r；4=°，消去x整理得戶（加一2根+4）y+（m一2）2=。，

:?△=（加之一2機+4）一4（加一2）2=（m2_4m+8）機220,:?meR.

22

/.yi+y2=m-2m+4,=（m-2）

、.1I,11\AF\+\BF\

由拋物線定義可知網=X+1,|防=%+1,所以西+西=宣福，

,.[AF]忸同=（%+1）（%+1）=,%+（%+%）+1=2m2-6m+9,

3

1.11_|AF|+|BF|_m2-2m+6_1m+2

|AF||5?[-|AF||BF|-2m2-6m+9~22m2-6m+9

3_j_tI1y11.5+正

=+=++=

令m???^^12?2_12?+4512?+45_12'^i6^-12—>

22t

即原式的最大值2t

6

典例6、答案：（1）y2=4x（2）一3。+百）

2

解：（1）由題意，點P到點尸的距離等于到直線4-1的距離，

所以點P的軌跡是以尸（1，。）為焦點，直線x=-l為準線的拋物線，p=2,

故曲線￡的方程是V=