黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)6月階段性測試試題A卷含解析

PAGE24-黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)6月階段性測試試題（A卷）（含解析）考試說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試時間120分鐘．（1）答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清晰；（2）選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂，非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，字跡清晰；（3）請依據(jù)題號依次在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效；（4）保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)運(yùn)用涂改液、刮紙刀．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（共12小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知向量，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面對量垂直坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，解?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于簡潔題.2.某圓臺上、下底面面積分別是、，母線長為2，則這個圓臺的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】先依據(jù)圓臺上、下底面面積分別是、，求出圓臺上、下底面的半徑，再由公式求圓臺的側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓臺上、下底面的半徑分別為，由圓臺上、下底面面積分別是、，則所以所以這個圓臺的側(cè)面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查求圓臺的側(cè)面積，干脆利用公式，屬于基礎(chǔ)題.3.已知等比數(shù)列滿意，且，，成等差數(shù)列，則的值為（）A. B.8 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先利用，，成等差數(shù)列列出關(guān)于等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比的關(guān)系式，解出公比，再將化簡求值.【詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，即，解得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用，是數(shù)列部分的基礎(chǔ)運(yùn)算題，敏捷運(yùn)用通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.4.設(shè)，表示直線，，，表示平面，則下列四個命題中正確的個數(shù)是（）①若，，則；②若，，且，則；③若，，則；④若，，則．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】依據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系依次推斷即可得到答案.【詳解】對①，若，，則或，故①錯誤.對②，如圖所示：滿意，，且，此時與相交，故②錯誤.對③，如圖所示：因?yàn)?，在平面?nèi)存在直線，使得.又因?yàn)?，，所以，從而得到，故③正確.對④，如圖所示：滿意，，此時，故④錯誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查線線、線面和面面的位置關(guān)系，同時考查學(xué)生分析問題的實(shí)力，屬于簡潔題.5.在正方體中，、、分別是的中點(diǎn)，則正方體過、、的截面是（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【答案】D【解析】【分析】依據(jù)兩相交線，兩平行線共面，以及平面無限延長，將過三點(diǎn)的截面延長，作出與各個面的交線，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖，延長分別與交于，取的中點(diǎn)，連接，則，連接分別與交于，連接，多邊形是六邊形.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體截面，考查作圖實(shí)力以及空間想象實(shí)力，屬于中檔題.6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】由三視圖還原出原幾何體，再由體積公式得出結(jié)論．【詳解】由三視圖可得到如圖所求的三棱錐，它可以看作是由長方體切割得到的，尺寸見三視圖，其體積為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體的體積，解題關(guān)鍵是由三視圖還原出原幾何體，本題考查了空間想象實(shí)力，運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題．7.中，，，當(dāng)取最大值時，的面積為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由化簡后應(yīng)用余弦定理得出的關(guān)系，然后求出，應(yīng)用基本不等式求出最小值即的最大值，及此時的值，從而可得三角形面積．【詳解】在，，化簡得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時角最大且，由得，即，所以，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，三角形面積公式，考查基本不等式求最值，解題關(guān)鍵是利用余弦定理化角為邊后，應(yīng)用基本不等式求得最值，然后可解三角形．8.在四棱錐中，平面，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解．【詳解】∵平面，，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知得，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法計算，考查了運(yùn)算求解實(shí)力．9.給出下列四個命題，①若，則；②若，則；③當(dāng)時，若，則；④當(dāng)時，若，則．其中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】對①，利用特值法即可推斷①錯誤；對②，利用函數(shù)在上為增函數(shù)即可推斷②正確；對③，利用平方差公式即可推斷③正確；對④，利用立方差公式即可推斷④正確.【詳解】對①，若，，滿意，則，故①錯誤.對②，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，若，則，故②正確.對③，因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，即，故③正確.對④，因，所以，即因?yàn)?，所以，故，即，故④正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，同時考查了平方差和立方差公式，屬于簡潔題.10.在四棱錐中，是平行四邊形，平面，，，則二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，連接，證明出平面，可得出二面角的平面角為，計算出、，由此可得出二面角的余弦值.【詳解】設(shè)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，連接，如下圖所示：平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角為，中，，，，則，平面，平面，，由勾股定理得，.因此，二面角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二面角余弦值的計算，考查二面角定義的應(yīng)用，考查計算實(shí)力，屬于中等題.11.四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用幾何法找出外接球的球心，計算出外接球的半徑，然后得出表面積；【詳解】如圖所示：由已知可得與為直角三角形，所以該幾何體的外接球球心為的中點(diǎn)O，因?yàn)?且,所以,所以,所以四面體的外接球半徑,則表面積.故答案選：C【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球問題，難度一般，解答時找準(zhǔn)球心，計算得出半徑是關(guān)鍵.12.中角，，所對的邊分別為，，，，，成等差數(shù)列，且，若邊上的中線，則繞旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，成等差數(shù)列，可得借助已知條件及二倍角公式化簡可得，進(jìn)而求得利用正弦定理可知，在中，利用余弦定理可求得，依據(jù)旋轉(zhuǎn)體的特征求出半徑，計算可得體積.【詳解】中角，，所對的邊分別為，，成等差數(shù)列，∴正弦定理可得,，則為銳角，∴即即解得(舍去).所以則,令，由余弦定理可得，解得，所以，過點(diǎn)作于點(diǎn),則,所以繞旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形問題，考查三角恒等變換在化簡中的應(yīng)用，考查旋轉(zhuǎn)體體積的求法，屬于綜合題，難度較難.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（共4小題，將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上．）13.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取最小值時，正整數(shù)的值是______．【答案】9【解析】【分析】由題意可得，當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最小值時，可得,，結(jié)合解得即可.【詳解】,,且數(shù)列單調(diào)遞增，依據(jù)題意，當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最小值時，即將數(shù)列{an}中的全部非正項(xiàng)加起來，得,,即,.解得.∵,則∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和，嫻熟駕馭數(shù)列的基本性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)正數(shù)，滿意，則最小值為______．【答案】5【解析】【分析】由已知得出，代入后應(yīng)用基本不等式可求得最小值．留意求出的取值范圍．【詳解】∵，所以，又，∴，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查用基本不等式求最值，解題方法是用代入法化二元函數(shù)為一元函數(shù)，然后再確定用基本不等式求最值還是用函數(shù)的性質(zhì)求最值．15.已知，是單位圓（為圓心）上兩點(diǎn)，，是線段上動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），是圓的一條直徑，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，再利用向量的線性運(yùn)算得到，從而得到的取值范圍.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，，所以到直線的距離為，故..因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積運(yùn)算，同時考查了向量減法的幾何意義，屬于中檔題.16.如圖，矩形中，，，為中點(diǎn)，，分別在線段，上運(yùn)動，且，沿將折起，得到三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時，直線與平面所成角的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】要使得三棱錐體積最大，首先有平面平面，然后再設(shè)，用表示出三棱錐的體積，求得最大值及此時值，作出與平面所成的角，在三角形中解之即可．【詳解】要使得三棱錐體積最大，首先有平面平面，這樣到平面的距離才能最大，如圖，取中點(diǎn)，連接，在原平面圖形中，由于是中點(diǎn)，，所以，∴且，∴平面，所以是直線與平面所成角，因?yàn)槭瞧矫?，，設(shè)，則，，，所以時，取得最大值3，此時，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求直線與平面所成的角，解題關(guān)鍵是確定的位置，利用三棱錐體積最大，首先有平面平面，然后引入，把體積用表示后得出最大值，確定出位置，從而求解．留意還必需證明直線與平面所成的角．三、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中點(diǎn).(1)求證：DE＝DA；(2)求證：平面BDM⊥平面ECA；【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）證線段相等，實(shí)質(zhì)證垂直：AE⊥DM,取AC的中點(diǎn)N，易得四邊形DBNM為平行四邊形,而由線面垂直判定定理可得BN⊥平面ECA.因此DM⊥平面ECA.即AE⊥DM,（2）由（1）得DM⊥平面ECA，所以依據(jù)面面垂直判定定理得平面BDM⊥平面ECA試題解析:(1)取EC的中點(diǎn)F，連接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)取AC的中點(diǎn)N，連接MN、BN，則MN//CF.∵BD//CF，∴MN//BD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.18.已知等差數(shù)列滿意，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先依據(jù)已知條件求出，，再寫出即可.（2）依據(jù)題意得到，再利用裂項(xiàng)求和求出即可.【詳解】（1）由題知：，解得.則，解得，，.（2）.【點(diǎn)睛】本題第一問考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其次問考查裂項(xiàng)求和，屬于簡潔題.19.已知三棱柱中，側(cè)棱平面，是中點(diǎn)，，，．（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)交于，由中位線定理可得，從而得證線面平行；（2）作于，取中點(diǎn)，作交于，連接，證明直線與平面所成角等于直線與平面所成角．是直線與平面所成角，然后在三角形中計算正弦值即可．【詳解】（1）如圖，連接交于，連接，∵是矩形，所以是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，∴，又平面，，∴直線平面；（2）如圖，作于，取中點(diǎn)，作交于，連接，，∵．，∴是平行四邊形，∴，∴直線與平面所成角等于直線與平面所成角．由平面，平面平面，知平面，∴，又，平面，平面，所以平面，∴平面，∴是直線與平面所成角．，在直棱柱中，由，，．得，，，，∴直線與平面所成角的正弦值是．【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行，考查求直線與平面所成的角，駕馭線面平行的判定定理是證線面平行的常用方法，而要求線面角，一般可依據(jù)定義作出這個角，為此須要有平面的垂線，才會有斜線在平面內(nèi)的射影，從而得角．本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．20.已知銳角的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用余弦定理變形已知等式后可求得角；（2）結(jié)合（1），利用正弦定理把用角表示，利用兩角和與差的正弦公式、二倍角公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）∵，所以，又是銳角三角形，∴，∴，∴；（2）由正弦定理得，，，∴，又，∴，因?yàn)槭卿J角三角形，，所以，所以，，所以．即的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理．正弦函數(shù)的性質(zhì)，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的正弦公式、二倍角公式等等，嫻熟駕馭三角公式，駕馭正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．21.如圖，在等腰梯形中，，且，是的中點(diǎn)．將沿折起到的位置．（1）若為棱上動點(diǎn)，問在棱上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，說明理由．（2）若平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）存在，；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)為中點(diǎn)時，首先利用已知條件易證，，從而得到平面，又因?yàn)?，得到平面，從而得到，?（2）首先利用面面垂直的性質(zhì)得到平面，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求二面角即可.【詳解】（1）當(dāng)為中點(diǎn)時，，證明如