高等數(shù)學(xué)（5-8章）全冊(cè)配套完整課件

高等數(shù)學(xué)（5-8章）全冊(cè)配套完整課件第五章積分學(xué)不定積分定積分定積分第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的概念及性質(zhì)

第五章一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束矩形面積梯形面積解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束n

個(gè)小段過(guò)的路程為3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分定義(P225)任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注注目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束[注]

利用得兩端分別相加,得即例2.

用定積分表示下列極限:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6.

若在[a,b]上則證:推論1.

若在[a,b]上則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論2.證:即7.

設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

積分中值定理對(duì)因例4.

計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計(jì)算思考與練習(xí)1.

用定積分表示下述極限:解:或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.P233題33.P233題8(2),(4)題8(4)解:設(shè)則即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)

P2332(2),46(3),(4);7(3);8(1),(5)

第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束微積分的基本公式

第五章一、引例在變速直線運(yùn)動(dòng)中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.

若說(shuō)明:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導(dǎo):同時(shí)為通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分開(kāi)辟了道路.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

求解:原式說(shuō)明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.確定常數(shù)a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得例3.

證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理2.函數(shù),則例4.

計(jì)算解:例5.

計(jì)算正弦曲線的面積.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

汽車以每小時(shí)36

km的速度行駛,速停車,解:

設(shè)開(kāi)始剎車時(shí)刻為則此時(shí)刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),即得故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問(wèn)從開(kāi)始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束車到停車走了多少距離?內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導(dǎo)公式公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P2403;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);12備用題解：1.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),則故應(yīng)用積分法定此常數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.求解：的遞推公式(n為正整數(shù)).由于因此所以其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分的分部積分法第三節(jié)不定積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和分部積分法

第五章一、定積分的換元法

定理1.

設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上證:

所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,且它們的原函數(shù)也存在.是的原函數(shù),因此有則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則說(shuō)明:1)當(dāng)

<

,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必?fù)Q限

,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過(guò)來(lái)使用,即或配元配元不換限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

計(jì)算解:

令則∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且例2.

計(jì)算解:

令則∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分的分部積分法

定理2.

則證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

計(jì)算解:原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

證明證:令

n

為偶數(shù)

n

為奇數(shù)則令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)

基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.提示:

令則2.

設(shè)解法1解法2對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),思考:若改題為提示:兩邊求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束得3.

設(shè)求解:(分部積分)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P2491(4),(10),(16);6;11(4),(9),(10)習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題1.

證明證：是以

為周期的函數(shù).是以

為周期的周期函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解：2.右端試證分部積分積分再次分部積分=左端機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、無(wú)界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無(wú)窮限的反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束反常積分(廣義積分)反常積分

第五章一、無(wú)窮限的反常積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為

f(x)的無(wú)窮限反常積分,記作這時(shí)稱反常積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散

.類似地,若則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說(shuō)明:

上述定義中若出現(xiàn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束它表明該反常積分發(fā)散.引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

計(jì)算反常積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.例2.

證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1

時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1

時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1

時(shí),反常積分發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

計(jì)算反常積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、無(wú)界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義2.

設(shè)而在點(diǎn)a

的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在,這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則稱此極限為函若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類說(shuō)明:而在點(diǎn)

c

的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)).例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束間斷點(diǎn),而不是反常積分.則本質(zhì)上是常義積分,則定義注意:

若瑕點(diǎn)的計(jì)算表達(dá)式:則也有類似牛–萊公式的若

b

為瑕點(diǎn),則若a

為瑕點(diǎn),則若a,b

都為瑕點(diǎn),則則可相消嗎?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.

計(jì)算反常積分解:

顯然瑕點(diǎn)為

a,所以原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

討論反常積分的收斂性.解:所以反常積分發(fā)散.例6.證明反常積分證:當(dāng)

q=1時(shí),當(dāng)

q<1時(shí)收斂;q≥1時(shí)發(fā)散.當(dāng)

q≠1時(shí)所以當(dāng)

q<1

時(shí),該廣義積分收斂,其值為當(dāng)

q

≥1

時(shí),該廣義積分發(fā)散

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.解：求的無(wú)窮間斷點(diǎn),故I為反常積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限2.兩個(gè)重要的反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:(1)

有時(shí)通過(guò)換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,(2)

當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.

(3)

有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分.其定義為P256題1(1),(2),(7),(8)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束常積分收斂.注意:

主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反思考與練習(xí)P2561(4),(5),(6),(9),(10);2;3第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:P256題2求其最大值.作業(yè)備用題

試證,并求其值.解:令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法第五節(jié)反常積分無(wú)窮限的反常積分無(wú)界函數(shù)的反常積分一、無(wú)窮限反常積分的審斂法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束反常積分的審斂法

函數(shù)

第五章一、無(wú)窮限反常積分的審斂法定理1.若函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知存在,定理2.

(比較審斂原理)且對(duì)充,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:

不失一般性,因此單調(diào)遞增有上界函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

已知得下列比較審斂法.極限存在,定理3.(比較審斂法1)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

判別反常積分解:的斂散性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由比較審斂法1可知原積分收斂.思考題:

討論反常積分的斂散性.提示:

當(dāng)x≥1時(shí),利用可知原積分發(fā)散.定理4.(極限審斂法1)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有:1)當(dāng)2)當(dāng)證:根據(jù)極限定義,對(duì)取定的當(dāng)x

充分大時(shí),必有,即滿足當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束可取必有即注意:此極限的大小刻畫(huà)了例2.

判別反常積分的斂散性.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)極限審斂法1,該積分收斂.例3.

判別反常積分的斂散性.

解:根據(jù)極限審斂法1,該積分發(fā)散.定理5.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證：則而定義.

設(shè)反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則稱絕對(duì)收斂;則稱條件收斂.例4.

判斷反常積分的斂散性.解:根據(jù)比較審斂原理知故由定理5知所給積分收斂(絕對(duì)收斂).無(wú)界函數(shù)的反常積分可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮限的反常積分.二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由定義例如因此無(wú)窮限反常積分的審斂法完全可平移到無(wú)界函數(shù)的反常積分中來(lái).定理6.(比較審斂法2)定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束瑕點(diǎn),有有利用有類似定理3與定理4的如下審斂法.使對(duì)一切充分接近a的

x(x>a).定理7.(極限審斂法2)定理4目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有:1)當(dāng)2)當(dāng)例5.判別反常積分解:利用洛必達(dá)法則得根據(jù)極限審斂法2,所給積分發(fā)散.例6.判定橢圓積分定理4目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束散性.解:由于的斂根據(jù)極限審斂法2,橢圓積分收斂.類似定理5,有下列結(jié)論:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.

判別反常積分的斂散性.解:稱為絕對(duì)收斂.故對(duì)充分小從而據(jù)比較審斂法2,所給積分絕對(duì)收斂.則反常積分三、函數(shù)1.定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下面證明這個(gè)特殊函數(shù)在內(nèi)收斂.令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束綜上所述,2.性質(zhì)(1)遞推公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:(分部積分)注意到:(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:(3)余元公式:(證明略)(4)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束得應(yīng)用中常見(jiàn)的積分這表明左端的積分可用函數(shù)來(lái)計(jì)算.例如,內(nèi)容小結(jié)1.兩類反常積分的比較審斂法和極限審斂法

.2.若在同一積分式中出現(xiàn)兩類反常積分,習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束可通過(guò)分項(xiàng)使每一項(xiàng)只含一種類型的反常積分,只有各項(xiàng)都收斂時(shí),才可保證給定的積分收斂.3.

函數(shù)的定義及性質(zhì).思考與練習(xí)P263題1(1),(2),(6),(7)P264題5(1),(2)作業(yè)P2631(3),(4),(5),(8)2;3習(xí)題課一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法定積分及其相關(guān)問(wèn)題

第五章一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問(wèn)題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求解:

因?yàn)闀r(shí),所以利用夾逼準(zhǔn)則得因?yàn)橐蕾囉谇?)思考例1下列做法對(duì)嗎?利用積分中值定理原式不對(duì)!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:2)

此類問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng).

如,P265題4解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和：已知利用夾逼準(zhǔn)則可知(考研98)例2.

求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:提示:由上題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故練習(xí):

1.求極限解：原式2.

求極限提示：原式左邊=右邊機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.估計(jì)下列積分值解:

因?yàn)椤嗉礄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

證明證:

令則令得故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時(shí),故所給不等式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束明對(duì)于任何例6.解：且由方程確定y

是x

的函數(shù),求方程兩端對(duì)x求導(dǎo),得令x=1,得再對(duì)y求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故例7.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足解:

等式兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得不妨設(shè)f(x)≠0,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意f(0)=0,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

求多項(xiàng)式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見(jiàn)f(x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束再求導(dǎo):二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1.熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法2.注意特殊形式定積分的計(jì)算3.利用各種積分技巧計(jì)算定積分4.有關(guān)定積分命題的證明方法思考:

下列作法是否正確?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例11.

選擇一個(gè)常數(shù)

c,使解:

令則因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使即可使原式為0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例12.

設(shè)解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.若解:

令試證:則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因?yàn)閷?duì)右端第二個(gè)積分令綜上所述機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例14.

證明恒等式證:

令則因此又故所證等式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例15.試證使分析:要證即故作輔助函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束至少存在一點(diǎn)證明:

令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號(hào),因此故所證等式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故由羅爾定理知,存在一點(diǎn)思考:

本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?要證:提示:設(shè)輔助函數(shù)例15目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例16.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi)

f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)

,使

(3)在(a,b)內(nèi)存在與

相異的點(diǎn)

,

使(03考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此(2)

設(shè)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得因此得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例17.設(shè)證:

設(shè)且試證:則故

F(x)單調(diào)不減,即②成立.②機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)(總習(xí)題五)P2642(3),(5);4;5(1);7(2),(5);10第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六章利用元素法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的元素法一、什么問(wèn)題可以用定積分解決?二、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題?

第六章表示為一、什么問(wèn)題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關(guān)的2)U

對(duì)區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過(guò)“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一個(gè)整體量;二、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無(wú)限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法成為元素法

(或微元分析法)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補(bǔ)充)三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積第二節(jié)一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長(zhǎng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

第六章一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)

從0變例5.計(jì)算阿基米德螺線解:點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束到2

所圍圖形面積.例6.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱性)心形線目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束心形線(外擺線的一種)即點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停

尖點(diǎn):

面積:

弧長(zhǎng):參數(shù)的幾何意義例7.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對(duì)稱性,所求面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對(duì)稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束答案:二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)→0時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長(zhǎng),即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則稱(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)(P168)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長(zhǎng).解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下垂懸鏈線方程為例10.

求連續(xù)曲線段解:的弧長(zhǎng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例11.

計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng).解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例12.

求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤

≤2

一段的弧長(zhǎng).解:(P349公式39)小結(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上連續(xù),特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例14.

計(jì)算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x

軸,y

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:

繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束繞

y

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限!注注目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束分部積分注(利用“偶倍奇零”)柱殼體積說(shuō)明:

柱面面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偶函數(shù)奇函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例15.

設(shè)在

x≥0時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且形繞直線x＝t

旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故例16.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:

可否選擇y

作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束垂直x

軸的截面是橢圓例17.

計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當(dāng)

a=b=c

時(shí)就是球體體積.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的體積.例18.

求曲線與x

軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94考研)解:

利用對(duì)稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

(補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束側(cè)面積元素的線性主部.若光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積△S的機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:側(cè)面積為例19.

計(jì)算圓x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積S.解:

對(duì)曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺(tái)高h(yuǎn)＝2R

時(shí),得球的表面積公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例20.

求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.解:

利用對(duì)稱性繞

x

軸旋轉(zhuǎn)星形線目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束星形線星形線是內(nèi)擺線的一種.點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停大圓半徑

R＝a小圓半徑參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí),小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞

x

軸:4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下ds的表達(dá)式)繞

y

軸:(柱殼法)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A

及邊界長(zhǎng)s.提示:

交點(diǎn)為弧線段部分直線段部分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束以x

為積分變量,則要分兩段積分,故以

y為積分變量.2.試用定積分求圓繞x

軸上半圓為下求體積:提示:方法1

利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積

V

及表面積S.方法2

用柱殼法說(shuō)明:上式可變形為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上半圓為下此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).求側(cè)面積:利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上式也可寫(xiě)成上半圓為下它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.作業(yè)P2792(1),(3);3;4;5(2),(3);8(2);9;10;

22;

25;27;30第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束面積及弧長(zhǎng)部分：

體積及表面積部分：P27913;14;15(1),(4);17;18補(bǔ)充題:

設(shè)有曲線過(guò)原點(diǎn)作其切線,求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.備用題解：1.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其它.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又故在區(qū)域分析曲線特點(diǎn)2.

解:與x

軸所圍面積由圖形的對(duì)稱性,也合于所求.

為何值才能使與x

軸圍成的面積等機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故3.求曲線圖形的公共部分的面積.解：與所圍成得所圍區(qū)域的面積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)平面圖形A

由與所確定,求圖形A繞直線x＝2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.提示：選x為積分變量.旋轉(zhuǎn)體的體積為4.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若選y為積分變量,則第三節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問(wèn)題四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(補(bǔ)充)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用

第六章一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動(dòng)到力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.一個(gè)單求電場(chǎng)力所作的功.解:當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)r

時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為則功的元素為所求功為說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷

a

處移動(dòng)到b處(a<b),在一個(gè)帶+q電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,例2.體,求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個(gè)面積為S的活塞從點(diǎn)a

處移動(dòng)到點(diǎn)b

處(如圖),作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強(qiáng)

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣例3.試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標(biāo)系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為

深為h

處的壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平板一側(cè)所受的壓力為??小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例4.

的液體,

求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對(duì)稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為說(shuō)明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)(P350公式67)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、引力問(wèn)題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn),相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,則需用積分解決.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)有一長(zhǎng)度為l,線密度為

的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)

M,該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故垂直分力元素為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在試計(jì)算利用對(duì)稱性棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為說(shuō)明:2)

若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿y

軸從a

處1)

當(dāng)細(xì)棒很長(zhǎng)時(shí),可視

l

為無(wú)窮大,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒.移到b

(a<b)處時(shí)克服引力作的功,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有引力大小為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意正負(fù)號(hào)3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時(shí),四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(補(bǔ)充)質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的質(zhì)點(diǎn)系若考慮物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,則需用積分解決.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例6.⑴

求圓盤(pán)對(duì)通過(guò)中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;⑵

求圓盤(pán)對(duì)直徑所在軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:

⑴建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)圓盤(pán)面密度為

.小圓環(huán)質(zhì)量對(duì)應(yīng)于的小圓環(huán)對(duì)軸l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為故圓盤(pán)對(duì)軸l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)有一個(gè)半徑為R,質(zhì)量為M

的均勻圓盤(pán),平行y軸的細(xì)條關(guān)于y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為細(xì)條質(zhì)量:故圓盤(pán)對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束⑵取旋轉(zhuǎn)軸為

y

軸,建立坐標(biāo)系如圖.內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來(lái)表示整體量

Q,并計(jì)算之.1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功,側(cè)壓力,引力,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束條、段、環(huán)、帶、(99考研)思考與練習(xí)提示:

作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過(guò)程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問(wèn)克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束抓起污x

提升dx

所作的功為米重50N,提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m∕s,污泥以20N∕s的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至x

處所需時(shí)間:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束克服抓斗自重:2.設(shè)星形線上每一點(diǎn)處線密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的立方,提示:

如圖.在點(diǎn)O處有一單位質(zhì)點(diǎn),求星形線在第一象限的弧段對(duì)這質(zhì)點(diǎn)的引力.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同理故星形線在第一象限的弧段對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引力大小為作業(yè):

P2872,3,5,9,12銳角

取多大時(shí),薄板所受的壓力P

最大.備用題斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板,垂直放置于解:

選取坐標(biāo)系如圖.設(shè)斜邊長(zhǎng)為l,水中,并使一直角邊與水面相齊,則其方程為問(wèn)斜邊與水面交成的機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故得唯一駐點(diǎn)故此唯一駐點(diǎn)即為所求.由實(shí)際意義可知最大值存在,即習(xí)題課1.定積分的應(yīng)用幾何方面:面積、體積、弧長(zhǎng)、表面積.物理方面:質(zhì)量、作功、側(cè)壓力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形狀:條、段、帶、片、扇、環(huán)、殼等.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的應(yīng)用

第六章例1.

求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解:

設(shè)拋物線上切點(diǎn)為則該點(diǎn)處的切線方程為它與x,y

軸的交點(diǎn)分別為所指面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且為最小點(diǎn).故所求切線為得[0,1]上的唯一駐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

設(shè)非負(fù)函數(shù)曲線與直線及坐標(biāo)軸所圍圖形(1)求函數(shù)(2)

a

為何值時(shí),所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解:(1)由方程得面積為2,體積最小?即故得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又(2)旋轉(zhuǎn)體體積又為唯一極小點(diǎn),因此時(shí)V

取最小值.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

證明曲邊扇形繞極軸證:

先求上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積體積微元故旋轉(zhuǎn)而成的體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故所求旋轉(zhuǎn)體體積為例4.求由與所圍區(qū)域繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.解:

曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為曲線上任一點(diǎn)到直線的距離為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

半徑為R,密度為的球沉入深為H(H>2R)的水池底,

水的密度多少功?解:建立坐標(biāo)系如圖.則對(duì)應(yīng)上球的薄片提到水面上的微功為提出水面后的微功為現(xiàn)將其從水池中取出,需做微元體積所受重力上升高度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此微功元素為球從水中提出所做的功為“偶倍奇零”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

設(shè)有半徑為R

的半球形容器如圖.(1)以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深為為h(0<h<R)時(shí)水面上升的速度.(2)設(shè)容器中已注滿水,求將其全部抽出所做的功最少應(yīng)為多少?

解:

過(guò)球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖.則半圓方程為設(shè)經(jīng)過(guò)t

秒容器內(nèi)水深為h,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)求由題設(shè),經(jīng)過(guò)t

秒后容器內(nèi)的水量為而高為

h

的球缺的體積為半球可看作半圓繞y

軸旋轉(zhuǎn)而成體積元素:故有兩邊對(duì)t

求導(dǎo),得at

(升)

,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)將滿池水全部抽出所做的最少功為將全部水提對(duì)應(yīng)于微元體積:微元的重力:薄層所需的功元素故所求功為到池沿高度所需的功.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P2882;3;6;7;9機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)量關(guān)系

—第七章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—

點(diǎn),

線,

面基本方法

—

坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向量及其線性運(yùn)算

第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面

.記作－a;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.向量與數(shù)的乘法

是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)

與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(

為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)

的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b

同向時(shí)則b

與

a

同向,設(shè)又有b＝

a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束“”則例1.

設(shè)M

為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Ⅰ向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)

M

的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)

M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量

r

的坐標(biāo)分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:

設(shè)M

的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

在z

軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.已知兩點(diǎn)和解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱

=∠AOB(0≤

≤

)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,

,

為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方向余弦的性質(zhì):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.設(shè)點(diǎn)A

位于第一卦限,解:已知作業(yè)

P3003,5,13,14,15,18,19角依次為求點(diǎn)A

的坐標(biāo).則因點(diǎn)A

在第一卦限,故于是故點(diǎn)A

的坐標(biāo)為向徑OA

與x

軸y軸的夾第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題解:

因1.

設(shè)求向量在x

軸上的投影及在y軸上的分向量.在y

軸上的分向量為故在x

軸上的投影為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)求以向量行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度.該平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度各為

對(duì)角線的長(zhǎng)為解：為邊的平機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)量積向量積*混合積

第七章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為

,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

證明三角形余弦定理證:則如圖.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

已知三點(diǎn)

AMB.解:則求故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為

).求單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過(guò)一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)的體積的夾角為且為單位向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F