浙江省諸暨市2024屆高三適應性考試（三模）數(shù)學試題含答案

諸暨市2024年5月高三適應性考試

數(shù)學

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

I.已知拋物線C"2=y,則其焦點到準線的距離為

A.-B.-C.ID.4

42

2.若關于x的不等式卜2+蛆+"卜0的解集為且x*2},則

A./w=3?n=2B.m=-3,n=2C.m=3,n=-2D.=-3,n=-2

3.有一組樣本數(shù)據(jù)：2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.則關于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為

A.第75百分位數(shù)B.平均數(shù)C.極差D.眾數(shù)

4.在(x+l)(x+2)(x+3)(x+o)(x+b)的展開式中，含丁項的系數(shù)是10,則k)g2(a+b)=

A.0B.1C.2D.4

5.若非零向量d,5滿足同=W=k+5|，則G+2b在5方向上的投影向量為

-3--1-

A.2bB.-bC.bD.-b

22

6.已知片，巴為曲線。：上+以=1(m工4)的焦點，則下列說法錯誤的是

4/w

A.若m=l,則曲線C的離心率e=^

2

B,若加=-1,則曲線C的離心率e=^

2

C.若曲線C上恰有兩個不同的點P,使得/公尸片=90。，則,”=2

D.若”;<0,則曲線C上存在四個不同的點P,使得/與尸外=90。

7.已知函數(shù)/(x)滿足；對任意實數(shù)x,y,都有/(/(x+?)=/(x)+/(y)成立，且/(0)=1,則

A./(x+1)為奇函數(shù)B./(x)+l為奇函數(shù)

C.+為偶函數(shù)D.為偶函數(shù)

8.設04qva2V…，已知%+123%(14〃499),若max{4+]-4}2恒成立，則小的取值

范圍為

1124

A.m<—B.4一C.m4—D.4—

9339

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9,若空山空=1,則

2sinx-cosx

2J544

A.tanx=2B.sinx=---C.tan2A:=—D.sin2x=—

555

10.已知M,N為圓、2+y2=4上的兩個動點，點且PMJ.PN,貝IJ

A.\PM\max=2+y/2

B.1MN藐=2忘正

C.△PMN外接圓圓心的軌跡方程為+=|

△PA"重心的軌跡方程為(x+

D.

6

11.已知函數(shù)/(x)="(e、+a)-x有兩個零點X2,則下列說法正確的是

A.a的值可以取上B。的值可以取,

42

C.歸-引的值關于a單調遞減D./'(*)+/”2)>0

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若復數(shù)二滿足：-+=-i=2,則復數(shù)二的虛部為.

/

13.記7；為正項數(shù)列｛4｝的前〃項積，已知?；,=_%_,則《=；T20U=.

14.若正四面體/BCO的棱長為1,以三個側面為底面向外作三個正四面體々/SC,P2ABD,P3ACD,則

△656外接圓的半徑是.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知函數(shù)/(x)=J?sin〃x+cos乃x(xeR)的所有正零點構成遞增數(shù)列

(1)求函數(shù)/(x)的周期和最大值：

(2)求數(shù)列｛q｝的通項公式凡及前〃項和S”.

16.(15分)如圖，在三棱錐/1-BC。中，△/比?是正三角形，平面48cl平面BCD,BD1CD,點E是

BC的中點，~AO=2OE.

(1)求證：。為三棱錐/-BCO外接球的球心：

(2)求直線4。與平面88所成角的正弦值：

(3)若NJ3CO=60。，~BG=ZBD,求平面4EG與平面4CO所成銳二面角

的余弦值最大時久的值.

17.(15分)已知雙曲線I'M-己=1與直線/:y=x+l交于力、8兩點(力在8左側)，過點/的兩條關

4

于/對稱的直線，2分別交雙曲線「于c、。兩點(C在右支，。在左支).

(1)設直線/1的斜率為A1,直線4的斜率為&，求瓦的值：

(2)若直線CD與雙曲線「在點B處的切線交于點P,求△ZB尸的面積.

18.(17分)如圖是一個各棱長均為I米的正四棱錐S-/BC。，現(xiàn)有一只電子蝴蛾在棱上爬行，每次從一

個頂點開始，等可能地沿棱爬到相鄰頂點,已知電子岫蝴初始從頂點S出發(fā),

再次回到頂點S時停止爬行。

(1)求電子蛾蛾爬行2米后恰好回到頂點S的概率：

(2)在電子蛾喊停止爬行時爬行長度不超過4米的條件下，記爬行長度

為求J的分布列及其數(shù)學期望E(J)：

(3)設電子蛾蝴爬行〃("22)米后恰好停止爬行(首次回到頂點S)的

概率記為2,求力(用〃表示)。

19.(17分)若函數(shù)/(x)在區(qū)間/上有定義，且Vxe/,/(x)e/,則稱/是/?(、)的一個“封閉區(qū)間”.

(1)己知函數(shù)/(x)=x+sinx,區(qū)間/=[0,r](r>0)且〃x)的一個“封閉區(qū)間”，求r的取值集合：

(2)已知函數(shù)g(x)=ln(x+l)+/f,設集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合尸中元素的個數(shù)；

(ii)用6-a表示區(qū)間[a,句(a<b)的長度，設m為集合P中的最大元素.

證明：存在唯一長度為，”的閉區(qū)間。，使得。是g(x)的一個“封閉區(qū)間”

諸暨市2024年5月高三適應性考試

數(shù)學參考答案

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

題號12345678

答案BBACBCDC

二、多項選擇題（每小題6分，共18分；部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

題號91011

答案ADABCACD

三、填空題（每小題5分，13題2分+3分；共15分）

,,5G

12.113.2；202514.---

9

三、解答題（共77分；13分+15分+15分+17分+17分）

15.(13分)解:

(1)由題可得/(x)=J^sin;rx+cos;r;r=2sin2分

因此函數(shù)/（x）的周期T=—=2,,4分

7t

最大值〃X）a=2.6分

（2）由/（x）=0得;rx+菅=A］（AeN"）,

因此函數(shù)/（x）的所有正零點為x=Z-q（%eN'）,

8分

.'.a,=7'因此應｝是首項為:，公差為1的等差數(shù)列;

66

11分

+q)1

+—M13分

23

16.(15分)解:

1

(1)、/后為a/^^:的中線，且而=2瓦，則。為正△ZBC的中心,

.-.OA=OB=0C...........2分

又QR/VBCD中，ED=EC,

OD2=0E2+ED2=OE1+EC2=OC2...........3分

OA=OB=OC=OD,即。為三棱錐Z-SCO外接球的球心.....4分

(2)???△NBC是正三角形，點E是8C的中點，.?.ZEL8C.

又?.?平面4BC_1_平面BCD,平面/BCD平面BCD=BC,NEu平面力8C,

平面BCD...........5分

.?./)。與為直線2。與平面8。所成的角.....6分

又Q4E=@BC,ED=-BC，:.tanZADE=線=-Ji

22ED

即直線4。與平面BCQ所成角的正弦值為且_.....8分

2/

;A

BG/D

6GDr

X

(3)坐標法：

在平面BCD中，過點E作EH_LBD,EF工CD垂足為H,F,

設8C=4,則。尸=FC=1EA=2^3,EF=y/3.建立如圖所示的空間直角坐標系E-乎，

則E(0,0,0),4。，0,26)，C(-l,V3,0),/0),...........9分

設G(l,%0),則應=(0,0,2V3),而=(1,百二2百)，麗=(2,0,0),￡G=(1,^,0).

設平面物的法向量為酒=(司，兇，=1),

小何.應=0組上任小

由＜一---,得，令必一1,故〃1一(乂1,0),...........11分

巧?EG=o/1+yy\—U

設平面ACD的法向量為%=(x2,y2,z2),

2

噓X.-c利5=0即k[2x2=倔o.2岳L0,令馬"貝加_=（°2>………13分

設平面40J與平面ZC。所成銳二面角的平面角為。，

.?.cos。=卜os<[，a—=+J~~7，當歹=。時，cos，=^￡,此時最大，

1'V5-V/+1V5-V/+15

即當；1=；時，平面施G與平面48所成銳二面角的余弦值最大......15分

（3）幾何法：

銳二面角要最小，由最大角定理可知，ZE與面力CD所成線面角為平面血與平面NCO所成銳

二面角時，銳二面角最小（3分）；而NE4F為線面角（F為CO的中點），當NEZ廠要為面面角時

（2分），由垂面法求面面角知，面在G1面板，即幾=；（2分）.（實質上：本小題條件NBCD=60°

是多余的；用傳統(tǒng)法求解給相應步驟分）

17.(15分)解:

（1）由題意知直線/斜率為1,.?.直線/的傾斜角a=衛(wèi)，.....1分

4

設直線八4的傾斜角分別為“、。2佃、026（0/）），

直線小，2關于直線/對稱，???4+2=2a=],..........3分

sin?一⑷

_sinq

.??2]?&=tang?tan%=tanq?tan——Z--------=1...........5分

cos4cos或)

（2）聯(lián)立可得.?.雙曲線「在點8處的切線方程為申x-|y=l...........7分

不妨設直線CZ)為加(/+1)+〃7=1,C(x”yJ,

、T=i得.4(x+l-l)2-y2-4=0

聯(lián)立<

陽(x+l)+〃y=1

〃7(X+1)+沙=1

=>4(x+l)2-8(x+l)阿x+l)+叨=0

整理得3,+8〃?上+8m一4=0,將等式看作關于上的方程:9分

(X+1)X+lX+1

3

兩根之和———?———=—8〃，兩根之積——----——=8加—4,

玉+1%+1%+1%+1

而其中匕?&=kAc-kAD——----——=8w—4,由（1）得％],e=1,?,.加=2.....11分

玉+1看+18

二直線CD為|■（x+l）+〃y=l,過定點

8

又?.?雙曲線r在點B處的切線方程為|x—g7=i,過點（|,o）,.?.尸［|,0

13分

■'-SMBP-\'\AB\'dP-AB=~>/25-~.....15分

ZZ3721D

18.（17分）解:

（1）記事件4="電子蝴岫爬行的第i米終點為A"，耳=“電子岫蛾爬行的第i米終點為B”,

G="電子蝴蛾爬行的第，米終點為C"，2=“電子蜘1蛔爬行的第，米終點為?！?，

S產“電子蝴醐爬行的第，米終點為S"，4="電子蝴始爬行i米后恰好停止爬行”，

則P（&）=P（4S2）+P（4S2）+P（CS）+尸35）=；g4=；.....4分

（2）記事件〃="電子蝴蝴停止爬行時，爬行長度不超過4米”

p（4）=P（4%S3）+尸（4。2s3）+尸（與4$3）+P（8CS3）+P（G2S3）+P（C&2s3）

+P（DiA2S3）+P（DiC2S3）=^.....5分

P（&）=P（AiB2A}S4）+P（4〈C3s4）+尸（4。24s4）+尸（4。2c3s4）+

P（44&S4）+P（542S4）+P（4GB3s4）+P（BGAS4）+

P（G82gs4）+尸（GB24s4）+P（G2Gs4）+P（a。24s4）+

4

P（〃42S4）+P（A483s4）+P（AG。3s4）+P（〃c253s4）=萬.....6分

12419

.?.P（M）=P（￡2）4-P（^3）+P（￡4）=-4--4--=—.....7分

J的可能取值為2,3,4,根據(jù)條件概率的知識，可得J的分布列為

雄=2）=31〃）=簫檢……8分

27

4

2

9

9分

尸(J=3)=P(Z阿)=簫=-6

1-9-

247149

--

27

P(EJ19O分

尸修=4)=P(E4M=1-9-

P(M)27

用表格表示J的分布列為:

4234

964

P

191919

96452

/.￡(^)=2x—+3x—+4x—=—...........12分

19191919

(3)￡,=?1-耳一6-……_匕)仍=0,"22)①..........14分

2+1=；。-6-2-.......一2)②

2

②一①得：P^=~Pn..........16分

M=1"，=時(》)?…??…17分

19.(17分)解：

(1)由題意，Vxe[0,r],f(x)e[0,r],

???f\x)=1+cosxN0恒成立，??.在[0向上單調遞增，.??/a)的值域為[0,+sin”，

因此只需[0,r+sinr]q[0,r],..........2分

/.7-+sinr<r,EPsin/-<0(r>0),

則r的取值集合為[(2*-1)肛2說]SeN').4分(缺少女￡N?扣1分)

3

(2)(i)記函數(shù)入*)=8(、)一不二上(不+1)+^^一式3＞一1),

19214+9f(x+l)-4(x+l)9x2(x+l)-4xx(3x+4)(3x-1)

則〃口)=-----1—x-1=-------------------------------=---------------------=-----------------------(x>T)，

x+144(x+l)43+1)4(3+1)

由力(x)>0得一1<x<0或x>"；由"(3)<0得Ovxvg；

所以函數(shù)〃(x)在(-1