2021年中考數(shù)學一輪復習易錯題：三角形解析版

易錯點04三角形

1.點、線、角

2.關(guān)于三角形的一些概念（角平分線、中線、高）

3.三角形邊關(guān)系，角關(guān)系（三角形內(nèi)角和、三角形的外角）

4.全等三角形性質(zhì)、判定

5.等腰三角形性質(zhì)、判定

6.勾股定理

7.解直角三角形

8.相似三角形

9.三角形中位線

三角形的概念以及三角形的角平分線，中線，高

線的特征與區(qū)別。

1.（2020?白云區(qū)模擬）如圖，點。在線段2c上，ACLBC,AB=8cm,AD6cm,AC=

4cm,則在中，5D邊上的高是cm.

【答案】4

【解析】解:如圖，???/€?J_8C,

：.BD邊上的高為線段NC.

^'：AC=4cm,

BD邊上的圖是4cm.

故答案是：4.

支式練習

1.（2020?恩施市校級模擬）如圖，已知/￡是△NBC的邊3c上的中線，若/5=8cm,△

ACE的周長比△NE8的周長多2cm,則AC=cm.

【答案】10

【解析】解：是△48C的邊3C上的中線，

：.CE=BE,

又,：AE=AE,/XACE的周長比△/班的周長多2cm,

.,.AC-AB=2cm,

即/C-8=2c機，

.".AC=10cm,

故答案為：10;

2.（2019?張店區(qū)二模）如圖，在線段NO,AE,4F中，△A8C的高是線段.

【答案】AF.

【解析】解：：/尸，8c于尸,

尸是△/BC的高線，

故答案為：AF.

3.（2020秋?安徽期中）如圖，在△ABC中（AC>AB）,AC=2BC,3C邊上的中線4D把

AABC的周長分成60cm和40cm兩部分，則邊/C的長為.

【答案】48cm.

【解析】解：二【。是BC邊上的中線，AC=2BC,

：.BD=CD,

設(shè)BD=CD=x,AB=y,則ZC=4x,

"：AC>AB,

：.AC+CD=(>Q,AB+BD=40,

即4x+x=60,x+y=40,

解得：x=12,y=28,

BPAC=4x=4Scm,AB=28cm.

故答案為：48cm.

三角形三邊之間的不等關(guān)系，注意其中的“任何

兩邊”。求最短距離的方法。

1.（2020?蒙山縣模擬）用下列長度的三條線段能組成一個三角形的是（）

A.2cm,3cm,4cmB.2cm,3cm,5cm

C.3cm,5cm,10cmD.8cm,4cm,4cm

【答案】A

【解析】解：A選項，2+3>4,滿足任何一邊大于其他兩邊之差，任意兩邊之和大于第

三邊，故可組成三角形；

8選項，2+3=5,兩邊之和不大于第三邊，故不可組成三角形；

C選項，3+5<10,兩邊之和不大于第三邊，故不可組成三角形；

。選項，4+4=8,兩邊之和不大于第三邊，故不可組成三角形，

故選：A.

支式揀可

1.（2020?金溪縣一模）小賢同學將12c機，14c機，18c"?,24c機的四根木棒首尾相接，組成

一個凸四邊形，若凸四邊形對角線長為整數(shù)，則對角線最長為（）

A.30cmB.31cmC.36cmD.38cm

【答案】B

【解析】解：如圖，設(shè)/D=12c"?,AB=l4cm,BC=l8cm,CD=24cm,

由三角形/3C和△/CD可知/C<12+24=36且/C<14+18=32,

所以/C<32,

由三角形和△BCD可知12+14=26且NC<18+24=42,

所以3。<26,

???凸四邊形對角線長為整數(shù)，

???對角線最長為31.

故選:B.

C

2.（2020?唐山一模）已知三角形的三邊長為3,x,5.如果x是整數(shù)，則x的值不可能是

（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】解：???三角形的三邊長分別為3,無，5,

.?.第三邊的取值范圍為：2cx<8

為整數(shù)，

Ax的值不可能是8.

故選：D.

3.（2020?廣東模擬）三角形的兩邊分別為5,10,則第三邊的長可能等于（）

A.3B.5C.9D.15

【答案】C

【解析】解：設(shè)第三邊的長為x,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：

10-5cx<10+5,

即5cx<15.

故選：C.

易播題03三角形的內(nèi)角和，三角形的分類與三角形內(nèi)外角性

質(zhì)，特別關(guān)注外角性質(zhì)中的“不相鄰”。

1.（2020?東坡區(qū)校級模擬）如圖所示，是△48C的角平分線，DE〃BC交AB于點、E,

ZA=45°,ZBDC=60°,則/C的度數(shù)是（

A.100°B.105°C.110°D.115°

【答案】B

【解析】解：?.?N4=45°,ZBDC=60

：?NABD=/BDC-NA=150.

?：BD是△45C的角平分線，

AZABC=2ZABD=30°,

AZC=180°-ZABC-Z^=180°-30°-45°=105°.

故選：B.

支式練習P）

1.（2020?三水區(qū)校級二模）一副三角板按如圖所示放置則NC4E的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【解析】解：解法一、??ZB〃C。，

AZBAC=ZACD=30°,

VZAED=45°，

AZAEC=\35°,

VZCAE+ZAEC+ZACE=180°,

，/E/C=180°-AAEC-Zy4C￡,=180°-30°-135°=15°,

解法二、"JAB//CD,

：.ZBAC=ZACD=30°,

VZAED=45°,ZEAC=ZAED-ZACD=15°,

故選：B.

2.（2020?和平區(qū)二模）將一副三角板如圖疊放，則圖中/a余角的度數(shù)為（）

A.15°B.75°C.85°D.165°

【答案】B

【解析】解：由三角形的外角的性質(zhì)可知，Za=60°-45°=15°,

所以a的余角為75°,

故選：B.

3.（2020?碑林區(qū)校級一模）如圖，已知在△48。中，ZC=90°,BE平分N4BC,且5E

//AD,ZBAD=20°,則//即的度數(shù)為（）

D

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【解析】解：,:BE〃幺D,

：.ZABE=ZBAD=20°,

:BE平分N4BC,

：.ZEBC=ZABE=20°,

VZC=90°,

：.ZAEB=ZC+ZCBE=900+20°=110

故選：B.

全等形，全等三角形及其性質(zhì)，三角形全等判定。

著重學會論證三角形全等。

1.（2020?瀘西縣模擬）如圖，已知DE〃/2,ADAE=ZB,DE=2,AE=4,C為/￡的

中點.

求證：△ABC咨AE4D.

【答案】證明：：C為4E的中點，4E=4,DE=2,

：.AC=-AE=2=DE,

2

又，：DE〃AB,

：.ZBAC=/E,

"ZB=ZDAE

在△43C和△￡/￡>中，，ZBAC=ZE-

,AC=DE

（AAS）.

【解析】根據(jù)中點的定義，再根據(jù)44s證明△NBC四△"￡>答案即可.

支式練習

1.（2020?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在四邊形N8CZ）中，ND〃8C,點M為對角線/C上一

點，連接3M,若AC=BC,ZAMB=ZBCD,求證：△ADgACMB.

【答案】證明：：40〃3。,

ZDAC=ZMCB,

■:NAMB=/BCD,ZCBM+ZACB=ZAMB,/ACB+NACD=/BCD,

：.NCBM=/ACD,

在△/DC和△CW中，

<ZACD=ZCBM

>AC=BC,

kZDAC=ZMCB

：./\ADC^：/\CMB(ASA).

【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/D4C=NMCS,求出NC8M=N/C。，根據(jù)全等三角

形的判定定理求出即可.

2.（2020?懷柔區(qū)模擬）已知：點、A,D,C在同一條直線上，AB//CE,AC=CE,ZACB

=ZE,求證：AABC沿ACDE.

【答案】證明：：/臺〃。自

二ZA^ZECD.

?.,在△4BC和△(?￡)￡■中，

rZA=ZECD

<AC=CE，

LZACB=ZE

A/\ABC^/\CDE(ASA).

【解析】先根據(jù)平行的性質(zhì)得到//=/EC。，然后根據(jù)/“即可證明

3.（2020?西山區(qū)模擬）如圖，已知等邊三角形48C,延長8/至點。，延長NC至點E,使

AD=CE,連接CD,BE.求證：4ACD義ACBE.

【答案】證明：是等邊三角形，

：.AC=BC,ZCAB=ZACB=60°,

/.ZDAC=ZBCE^\20°,

'：AD=CE,

.?.△ACD-CBECSAS）.

【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

兩個角相等和平行經(jīng)常是相似的基本構(gòu)成要素，以

及相似三角形對應高之比等于相似比，對應線段成比例，面積之比等

于相似比的平方。

1.（2020?三水區(qū)一模）在△/8C中，點。、E分別為邊力8、NC的中點，則△NDE與△NBC

的周長之比為（）

A.—B.—C.—D.—

2346

【答案】A

【解析】解：如圖,

?.?點。，E分別為△NBC的邊N8,4c上的中點,

：.AD=BD,AE=EC,

.?.OE是△N8C的中位線，

J.DE//BC,1.DE=—BC,

：./\ADE^/\ABC,

,:DE：BC=1：2,

.?.△ADE與/、/臺。的周長比為1：2,

故選：A.

支為練習

1.（2020?西城區(qū)校級模擬）如圖，在△N8C中，DE//BC,分別交NC于點。，E.若

4D=1,DB=3,則△//）￡■的面積與△48C的面積的比等于（）

【答案】D

【解析】解：DB=3,

：.AB=4,

'JDE//BC,

：./\ADE^^ABC,

.SAADE_

（仙）2=_1.

SAABCAB16

故選：D.

2.（2020?錫山區(qū)校級模擬）在矩形中，AB=4,BC=2,E為3c中點，H,G分別

是邊N3,CZ）上的動點，且始終保持GH,NE,則最小值為（）

3^

2

【答案】B

【解析】解：如圖所示，過G作GNJ_48于N,則N4VG=90°,GN=AD=2,

"：GHLAE,

：.ZANG=ZAFG=90°,

ZBAE=ZNGH,

:.△ABEs^GNH,

,AE=AB

,?而一而‘

=22=

RtAABE中,、E=JAB2+BE2^4+lV17-

.V17_4

??,

GH2

??\jri,

2

如圖所示，以NG,4E為鄰邊作平行四邊形ZENG,則4G=ME;GM=AE=yJH,Z

HGM=/AFG=90°,

：.AG+HE=ME+HE,

當H,E,"在同一直線上時，ZG+HE的最小值等于H〃的長，

此時，RtZiGHM中，77M=A/HG2^M2=^(XAL)2+CA/17產(chǎn)f，

：.EH+AG的最小值為

2

故選：B.

NNH3

3.(2020?閩侯縣模擬)如圖，在△NBC中，AC=3,BC=6,D為BC邊上的一點，且/

BAC=ZADC.若△4DC的面積為a,則△/BC的面積為()

A

BDC

7R

A.4QB.C.^―(2D.2a

22

【答案】A

【解析】解：?：/ACD=/BCA,ZBAC=ZADC.

:.ACADsACBA,

?,.S2kABC—(AC)2=(-§-)2=4,

^AADC93

^^ABC=^a'

故選：A.

易錯題PH等腰（等邊）三角形的定義以及等腰（等邊）三角

形的判定與性質(zhì)，運用等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)解決有關(guān)計

算與證明問題，這里需注意分類討論思想的滲入。

1.（2020??？谌＃┤鐖D，在△45。中，/B=4C=8,點。是3。邊上一點，KDF//AB,

DE//AC,則四邊形。E4尸的周長為.

【答案】16

【解析】解：?.Z8=ZC,

???/B=/C,

■:DE//AB,

???/B=NCDF,

：.ZCDF=ZC,

：.DF=CF

Z.CE=DE,

同理可得8E=￡?E,

四邊形DEAF^]^^z=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC,

"：AB=AC=8,

...四邊形?！?F的周長=8+8=16.

故答案為：16.

支式練習

2.（2020?瀘西縣模擬）在△N8C中，AB=AC=S,NC邊上的高與的夾角為30°,則

2C邊上的高的長為—.

【答案】4愿或4.

【解析】解：設(shè)4C邊上的高為3。，3C邊上的高為4E.

當△43C為銳角三角形時，如圖1所示

ZABD=30°,NBDA=9Q°,

：.ZBAD=180°-/ABD-NBDA=18O°-30°-90°=60°,

又,：AB=AC,

：.AABC為等邊三角形，

.'.AE=^-^-AB=4yJ~2；

當△NBC為鈍角三角形時，如圖2所示.

VZABD=30°,NBDA=90°,

AZBAD=1SO0-Z.ABD-Z5D^=180°-30°-90°=60°,

9：AB=AC,

：,NABC=NACB,

又???ZBAD=ZABC+ZACB,

：.ZABC=—ZBAD=30°.

2

在中，AB=8,ZABE=30°,ZAEB=90°,

：.AE=—AB=4.

2

故答案為：4?或4.

2.（2020?肥城市四模）如圖，直線a〃b,Zl=30°,Z2=40",且NZ）=NC,則/3的

度數(shù)是.

【答案】400

【解析】解：如圖,

/

VZ4=Z1+Z2=7O°,

'：AD=AC,

.\Z5=180°-2/4=40°,

?..直線a〃b,

.?.Z3=Z5=40°,

故答案為：40°.

3.（2020?松北區(qū)二模）如圖，四邊形/BCD,對角線NC,BD交于點、E,AC=BD,ZAEB

=60°,ZABD+ZACD^180°,AB=3,AC=7,則線段CD的長為.

【答案】5

【解析】解：過點C作48的平行線，過點8作/C的平行線，兩平行線交于點R連接

DF,

,:BF〃AC,AB//CF,

???四邊形45。廠為平行四邊形，

：.AC=BF,

又?：AC=BD,

:?BD=BF,

*：AC〃BF,

：.ZAEB=ZFBD=60°,

為等邊三角形,

：.DF=BF=BD=7,

設(shè)NBAE=x,貝UN力5E=120°-x,

VZABD+ZACD=1SO°,

AZACD=60°+x,

■:AB〃CF,

AZBAC+ZACF=1SO°,

AZ^CF=180°-x,

???NZ)C尸=360°-ZACF-ZACD=UO

：.ZGCD=60°,

設(shè)CG=〃，則CZ>=2Q,Z)G=%，

?:GF^DG2=D盛,

???(a+3)2+(V3a)2=72^

解得。=互或。=-4（舍去）.

2

：.CD=5.

故答案為：5.

運用勾股定理及其逆定理計算線段的長'證明線段

的數(shù)量關(guān)系，解決與面積有關(guān)的問題以及簡單的實際問題。

1.（2020?清鎮(zhèn)市校級模擬）如圖，每個空油桶的直徑是50c機，將15個空油桶堆在一起，

若要給它們蓋一個遮雨棚，這個遮雨棚高至少為cm.

IT***

【答案】223.21.

【解析】解：如圖，于。，

,.,^5=4X50=200,8c=4X50=200,/C=4X50=200,

:.AABC為等邊三角形，

哼3C=

油桶的最高點到地面的距離=25+100A/§+25-223.21（CM）.

答：遮雨棚起碼要223.21c?高.

故答案為：223.21.

支式揀習

1.（2020?長春模擬）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學著作之一.其中記載了一道“折竹

抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？譯為：如圖所示，

△ABC中，NACB=90°,AC+AB=IO,BC=3,求/C的長.在這個問題中，可求得

AC的長為.

【答案】4.55.

【解析】解：設(shè)NC=x,

\'AC+AB=IO,

.,.AB=10-x.

在RtZ\4BC中，ZACB^90°,

：.4。+8。=旃,即N+32=(io-x)2.

解得：x=4.55,

即/C=4.55.

故答案為：4.55.

2.（2020?南崗區(qū)模擬）如圖，為估算某河的寬度，在河對岸選定一個目標點）,在岸邊順

次取點8,E,C,使得月BLBC,過點C作CDL8C交NE延長線于點D,若測得8￡=

20m,CE=10m,CD=20m,則河的寬度為m.

B八

D

【答案】40

【解析】解：'：AB±BC,CDLBC,

:.△BAEsACDE,

?.A?BB一E，

CDCE

?:BE=20m,CE=10m,CD=20m,

?膽=型

"2010

解得：48=40,

故答案為：40.

3.（2020?新都區(qū)模擬）四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較長直

角邊的中點作垂線，圍成面積為4的小正方形EFGX,已知/〃為的較長直角

邊，AM=\[7EF,則正方形/BCD的面積為.

【答案】32

【解析】解：設(shè)AM=2a,BM=b,則正方形ABCD的面積=4a2+b^,

由題意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2。-b-2a+2b=b,

'：正方形EFGH的面積為4,

抉=4,

■:AM=\[jEF,

2a=\[^b,

二?正方形4SCZ）的面積=442+62=862=32,

故答案為：32.

中點，中線，中位線，一半定理的歸納以及各自的

性質(zhì)。

1.（2020?邵東縣模擬）如圖，要測量池塘兩岸相對的月，8兩點間的距離，可以在池塘外

選一點C,連接NC,BC,分別取/C,8c的中點。，E,測得DE=48〃?，則N2的長是

m.

CEB

【答案】96

【解析】解：：點。，￡分別是/C,3c的中點，

是的中位線，

:.AB=2DE=96(m),

故答案為：96.

變式練習

1.(2020?銅山區(qū)二模)在△4BC中，點D、E分別是48、/C的中點,2C=6,貝!]

【答案】3

【解析】解:如圖，

?.?在△NBC中，點。、￡分別是48、/C的中點，

：.DE^—BC,

2

'：BC=6,

：.DE=3,

故答案為：3.

2.（2020?豐臺區(qū)三模）如圖，D,E分別是△N8C的邊NC的中點，若的面積

為1,則四邊形。8CE的面積等于.

【答案】3

【解析】解：E分別是△4BC的邊N8,ZC的中點,

是的中位線,

J.DE//BC,DE=—BC,

2

：./\ADE^/\ABC,

.SAADE_zDE>,2」

ABCBC4

?.?△4DE的面積為1,

AABC的面積為4,

.?.四邊形。8CE的面積等于3,

故答案為：3.

3.（2020?無錫模擬）如圖，在中，NACB=90°,點。、E、尸分別為AC、

8c的中點，若CD=6,則防的長為

A

【答案】6

【解析】解：是直角三角形，CD是斜邊的中線,

：.CD=—AB,

2

又：EF是4ABC的中位線，

：.AB=2CD=2X6=U,

：.EF=-X\2^6.

2

故答案為：6.

解直角三角形的實際應用

1.（2020?陽新縣模擬）杭瑞高速陽新段修建過程中需要經(jīng)過一座小山.如圖，施工方計

劃沿ZC方向開挖隧道，為了加快施工速度，要在小山的另一側(cè)。（/、C、。共線）處

同時施工.測得/C42=30°,AB=4km,ZABD^105°,求4D的長.

【答案】解：過點3作8EL4D于點E,如圖所示.

在RtZX/BE中，AB=4km,ZCAB=30°,ZAEB=90°,

：.BE=^AB=2km,AE=yj=2\[3km,ZABE=1SO°-30°-90°=60°,

：.ZDBE=ZABD-ZABE=45°.

在RtZXBDE1中，ZBED=90°,NDBE=45°,

:.DE=BE?tanZDBE=2km,

：.AD=AE+DE=(2A/3+2)km.

【解析】過點B作BELAD于點E,在RtA4BE中，通過解直角三角形可求出BE,AE

的長及//BE的度數(shù)，結(jié)合/N2Z)=105°可求出/D3E的度數(shù)，在Rt/YBAE中，通過

解直角三角形可求出DE的長，再結(jié)合4D=/E+OE即可求出結(jié)論.

支式練習

2.（2020?陜西模擬）如圖，四邊形鋼板是某機器的零部件，工程人員在設(shè)計時慮到飛行的

穩(wěn)定性和其他保密性原則，使得邊沿的長度是邊沿8C長度的三倍，且它們所在的直線

互相平行，檢測員王剛參與了前期零件的基礎(chǔ)設(shè)計，知道N/BC=45°,邊沿CD所在直線

與邊沿2C所在直線相交后所成的銳角為30。（即P在8c的延長線上，ZDCP=30°）,

經(jīng)測量BC的長度為7米，求零件的邊沿CD的長.（結(jié)果保留根號）

【答案】解：如圖，過點3作的交。/的延長線于點過點。作。NL8C,

交BC的延長線于點N,

\'BC//AD,

：.ZABC=ZMAB=45°,

又-/ABC=45°,

:.MA=MB=DN,

又.：AD=3BC,BC=1,

：.AD=21,

在RtZXCZW中，NDCN=30°,

：.CD=2DN,CN=yf^DN,

由得，ZW+21=7+V^W,

解得，DNS7,

/.CD=2W=14V3+14（米）

【解析】通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，用DN表示CN,

MA,再根據(jù)矩形的性質(zhì)，求出DV的長，進而求出答案.

2.（2020?安徽一模）某旅游區(qū)的平面圖如圖所示,分別從景點4,5測得視角NB4c=120。，

ZABC=25°,景點C相距800米，求景點N,8之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin25°

心0.45,cos25°心0.9,tan25°?0.5,畬心1.73；精確到1米）

交BA的延長線于點D,

在RtA4CD中，ZCAD=60°,

由sinZC4r?=—,可得：CD=^C-sinZG4D=800X^=400V3.

AC2

由cos/C4D=嶇，可得：AD=AC'cosZCAD=?,00X^-=4Q0,

AC2

在中，由tan/8=CD可得：0,5=,

BDBD

解得：8。=800/§,

：.AB=BD-^D=80（h/3-400^984（米）,

答：景點48之間的距離約為9