利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題 原卷版-2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練

專題07利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題

(典型題型歸類訓練)

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：判斷(討論)零點(根)個數(shù)問題...........................2

題型二：證明唯一零點問題.........................................3

題型三：根據(jù)零點(根)的個數(shù)求參數(shù)...............................4

三、專項訓練........................................................6

一、必備秘籍

1、函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=/(x),把使/(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

(2)三個等價關(guān)系

方程/(x)=0有實數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點的橫坐標=函數(shù)y=/(x)有零點.

2、函數(shù)零點的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［。,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/伍)?/(〃)<0,那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(。))內(nèi)有零點，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是/(x)=0的根.我們把

這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理.

注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點

3、利用導數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法

(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問題(畫草

圖時注意有時候需使用極限).

(2)利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極

值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).

4、利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍的方法

(1)分離參數(shù)(a=g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線歹=。與V=g(x)的

圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；

(2)利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建不等式求解；

(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

二、典型題型

題型一：判斷(討論)零點(根)個數(shù)問題

1.(2023?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/■(x)=lnx+(a-2)尤+a.

⑴若a=l,求曲線>=f(x)在點(ej(e))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(尤)的零點個數(shù).

2.(2023?陜西渭南??？寄M預測)已知函數(shù)/(x)=e'-ax-l,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間：

(2)討論函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上零點的個數(shù).

3.(2023上廣東中山?高三校考階段練習)設(shè)函數(shù)=-機In尤，g(x)=x2-(m+l)x,m>0.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當加21時，討論“X)與g(x)圖象的交點個數(shù).

4.(2023上?上海虹口?高三校考期中)函數(shù)/(x)=sinx+cosx,g(尤)=lnx

(1)求函數(shù)V=f(x)在點(0,1)的切線方程；

(2)函數(shù)y=3+2g(x),(加eR,加RO),是否存在極值點，若存在求出極值點，若不存在，請說明理由;

X

⑶若加CR,請討論關(guān)于X的方程幽=/一2ex+加解的個數(shù)情況.

5.(2023上廣東揭陽?高三統(tǒng)考期中)給定函數(shù)/(x)=(x+2)e?.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并求出“X)的極值；

(2)討論方程/'(x)=a(?eR)解的個數(shù).

題型二：證明唯一零點問題

1.(2023上廣東珠海?高三?？茧A段練習)已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx-x,了=/，(%)為了=/(x)的導

數(shù).

(1)求曲線V=/(x)在處的切線方程:

(2)證明:y=/'(尤)在區(qū)間(0,Ji)存在唯一零點;

2.(2023上?黑龍江?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)=x+lnx,g(x)=e1nx+a,且函數(shù)/(x)的零

點是函數(shù)g(x)的零點.

⑴求實數(shù)。的值；

(2)證明:V=g(x)有唯一零點.

3.(2023下?河南?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)=ax-lnx,fleR.

⑴過坐標原點作的切線，求該切線的方程；

(2)證明：當”<0時，/(x)+a/=0只有一個實數(shù)根.

題型三：根據(jù)零點(根)的個數(shù)求參數(shù)

1.(2023上?北京?高三景山學校?？计谥?已知函數(shù)〃x)=ln(ax)-gx3(aw0).

(1)當。=2時，求曲線y=〃x)在點處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

⑶當。=1時，設(shè)g(x)=〃x)+f,若g(x)有兩個不同的零點，求參數(shù)t的取值范圍.

2.(2023?陜西咸陽??？寄M預測)已知函數(shù)/(x)=xe，-丘2,左eR.

⑴當左=0時，求函數(shù)/⑺在卜2,2］上的值域;

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+“)上僅有兩個零點，求實數(shù)上的取值范圍.

3.(2023上?重慶涪陵?高三重慶市涪陵高級中學校?？奸_學考試)已知函數(shù)/(x)=；V+ax,g(x)=-x2-o(aeR).

⑴若函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x)在xe口,口)上單調(diào)遞增，求a的最小值；

(2)若函數(shù)G(x)=/(x)+g(x)的圖象與V="有且只有一個交點，求。的取值范圍.

2

4.(2023下?湖南衡陽?高二校考階段練習)已知函數(shù)"X)=-xi-{k+^x1+2kx,g(x)=2日+1(其中kwR).

⑴討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性；

(2)若方程/(x)=g(x)有三個根，求左的取值范圍.

5.(2023下?浙江衢州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=5

⑴若過點(0,加)作函數(shù)/(x)的切線有且僅有兩條，求〃z的值；

(2)若對于任意k6(-叫0),直線y="+6與曲線＞=/⑺(xe(0,+8))都有唯一交點,求實數(shù)b的取值范圍.

三、專項訓練

一、單選題

1.(2024上?廣東江門?高三統(tǒng)考階段練習)直線x+y=O與函數(shù)y=lnx--的圖象公共點的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2.(2023上?河北?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/'@)=d-"-欣-。有兩個零點，則。的取值范圍為()

A.(1,+<?)B.(e,+oo)C.[1,+co)D.[e,+co)

3.(2023下?廣東陽江?高二?？计谥?若函數(shù)/(x)=--3x-左在R上只有一個零點，則常數(shù)左的取值范圍

是()

A.(-oo,-l)B.(2,+oo)

C.(-co,-l)u(l,+oo)D.(-co,-2)U(2,+oo)

二、填空題

InX

4.(2023上?江蘇常州?高三統(tǒng)考期中)若關(guān)于x的方程弋,有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)，的取值范

x-2

圍是.

x+1x<o

5.(2023?貴州遵義?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)〃力=/"一,若關(guān)于x的不等式/2(x)+4(x)<0恰

x2-x,x>0

有一個整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍為.

6.(2023下?重慶江北?高二重慶十八中?？计谥?己知函數(shù)/(同=弁的圖象與函數(shù)g(x)=ax+ahu的圖

象有兩個交點，則實數(shù)。的取值范圍是.

三、問答題

7.(2023上?山東?高三濟南一中校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(x)=;?+2/-ax+2(aeR).

⑴若函數(shù)V=/(%)在xe[1,+切上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象與>=。(1-x)有且只有一個交點，求。的取值范圍.

8.(2023上?吉林長春?高一吉林省實驗?？计谥?已知函數(shù)/(x)=--(a+2)x+alnx,(aeR)

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點；

(2)若a=4,方程/(x)-機=0有三個不同的根，求加的取值范圍.

9.(2023上?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)=x2-x-siiu-cosx.

⑴若曲線y=/(x)在點(x°J(%))處的切線與X軸平行，求該切線方程；

(2)討論曲線了=/(無)與直線＞=a的交點個數(shù).

10.(2023下?山東荷澤?高二?？茧A段練習)給定函數(shù)/(x)=(x+3)e，

⑴判斷〃x)的單調(diào)性并求極值；

(2)討論f(x)=m(meR)解的個數(shù).

11.(2023上?廣東深圳?高三紅