2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第1章 空間向量與立體幾何 1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示 1.3.2 空間運(yùn)算的坐標(biāo)表示教案 新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.2空間運(yùn)算的坐標(biāo)表示教案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.2空間運(yùn)算的坐標(biāo)表示教案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)課程基本信息1.課程名稱：空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中一年級(jí)7班

3.授課時(shí)間：2024年10月10日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

二、教學(xué)目標(biāo)

1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)表示方法。

2.掌握空間向量的線性運(yùn)算，包括加法、減法、數(shù)乘和點(diǎn)乘。

3.能夠運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算解決簡(jiǎn)單立體幾何問題。

三、教學(xué)內(nèi)容

1.空間向量的概念和坐標(biāo)表示方法。

2.空間向量的線性運(yùn)算：加法、減法、數(shù)乘和點(diǎn)乘。

3.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算在立體幾何中的應(yīng)用。

四、教學(xué)步驟

1.導(dǎo)入：通過簡(jiǎn)單的實(shí)例引入空間向量的概念，引導(dǎo)學(xué)生思考空間向量的坐標(biāo)表示方法。

2.新課講解：講解空間向量的坐標(biāo)表示方法，并通過示例進(jìn)行解釋。

3.課堂練習(xí)：讓學(xué)生通過練習(xí)題的方式，鞏固空間向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算。

4.應(yīng)用拓展：通過解決簡(jiǎn)單的立體幾何問題，讓學(xué)生了解空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課堂練習(xí)：檢查學(xué)生對(duì)空間向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算的掌握情況。

2.課后作業(yè)：布置有關(guān)空間向量運(yùn)算的應(yīng)用題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

六、教學(xué)資源

1.教案：詳細(xì)記錄教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)步驟和教學(xué)評(píng)價(jià)。

2.PPT：用于展示空間向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算示例。

3.練習(xí)題：用于鞏固學(xué)生對(duì)空間向量運(yùn)算的理解和應(yīng)用。

4.立體幾何問題：用于讓學(xué)生應(yīng)用空間向量運(yùn)算解決實(shí)際問題。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：通過講解和練習(xí)，使學(xué)生能夠運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算方法，推理出立體幾何中線線、線面、面面間的位置關(guān)系。

2.直觀想象：培養(yǎng)學(xué)生能夠借助空間向量的坐標(biāo)表示，想象出立體幾何圖形，并能夠進(jìn)行合理的空間想象。

3.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決實(shí)際立體幾何問題的能力，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

4.數(shù)學(xué)抽象：通過空間向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何的相關(guān)知識(shí)，對(duì)圖形的性質(zhì)和運(yùn)算有一定的了解。同時(shí)，學(xué)生也學(xué)習(xí)了直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)、二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，對(duì)坐標(biāo)表示和運(yùn)算有一定的基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生對(duì)于空間幾何的學(xué)習(xí)興趣較高，尤其是與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的問題。學(xué)生在空間想象能力方面較強(qiáng)，但對(duì)于空間向量的抽象表示和運(yùn)算可能存在一定的困難。學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格多樣，有的喜歡通過直觀示例理解概念，有的喜歡通過練習(xí)題鞏固知識(shí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在理解空間向量的概念和坐標(biāo)表示方法時(shí)，可能對(duì)抽象的向量運(yùn)算和坐標(biāo)表示存在困惑。同時(shí)，學(xué)生在將空間向量的運(yùn)算應(yīng)用到立體幾何問題中時(shí)，可能存在理解上的困難和操作上的挑戰(zhàn)。此外，學(xué)生對(duì)于空間幾何的直觀想象能力也需要進(jìn)一步培養(yǎng)。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

（1）講授法：通過講解空間向量的概念、坐標(biāo)表示方法和運(yùn)算規(guī)則，讓學(xué)生掌握基本知識(shí)。

（2）討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享對(duì)空間向量運(yùn)算的理解和應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作。

（3）實(shí)踐操作法：讓學(xué)生通過實(shí)際操作，例如使用坐標(biāo)紙進(jìn)行向量運(yùn)算的繪圖，增強(qiáng)對(duì)空間向量運(yùn)算的理解和直觀感受。

2.教學(xué)手段：

（1）多媒體設(shè)備：利用PPT或教學(xué)軟件展示空間向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算示例，通過動(dòng)畫和圖片等形式，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象能力。

（2）教學(xué)軟件：使用幾何畫板等教學(xué)軟件，讓學(xué)生直觀地觀察空間向量的運(yùn)算過程，提高教學(xué)效果。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：利用網(wǎng)絡(luò)資源，如數(shù)學(xué)教育平臺(tái)和在線題庫(kù)，提供豐富的練習(xí)題和應(yīng)用問題，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)和拓展應(yīng)用能力。

（4）教具模型：使用立體模型或教具，讓學(xué)生直觀地感受空間向量的運(yùn)算和立體幾何的關(guān)系，提高學(xué)生的空間想象能力。

（5）互動(dòng)平臺(tái)：利用互動(dòng)平臺(tái)，如在線問答和討論區(qū)，讓學(xué)生提問、解答問題和分享學(xué)習(xí)心得，促進(jìn)學(xué)生與教師之間的互動(dòng)和交流。教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索：

教師活動(dòng)：布置預(yù)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生閱讀教材中關(guān)于空間向量的概念和坐標(biāo)表示方法的相關(guān)內(nèi)容。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀教材，理解空間向量的基本概念和坐標(biāo)表示方法。

教學(xué)方法：自主學(xué)習(xí)法

教學(xué)手段：教材、預(yù)習(xí)任務(wù)單

作用和目的：培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，提前了解空間向量的基本概念和坐標(biāo)表示方法，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.課中強(qiáng)化技能：

（1）導(dǎo)入新課：

教師活動(dòng)：利用PPT展示空間向量的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生思考空間向量的坐標(biāo)表示方法。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生觀察實(shí)例，思考并討論空間向量的坐標(biāo)表示方法。

教學(xué)方法：講授法、討論法

教學(xué)手段：PPT、實(shí)例

作用和目的：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考空間向量的坐標(biāo)表示方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（2）新課講解：

教師活動(dòng)：講解空間向量的坐標(biāo)表示方法，并通過示例進(jìn)行解釋。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生傾聽講解，跟隨示例進(jìn)行操作和思考。

教學(xué)方法：講授法、實(shí)踐操作法

教學(xué)手段：PPT、示例、坐標(biāo)紙

作用和目的：讓學(xué)生掌握空間向量的坐標(biāo)表示方法，并通過實(shí)踐操作加深理解。

（3）課堂練習(xí)：

教師活動(dòng)：布置練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算方法解決問題。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

教學(xué)方法：實(shí)踐操作法、討論法

教學(xué)手段：練習(xí)題、坐標(biāo)紙

作用和目的：鞏固學(xué)生對(duì)空間向量運(yùn)算的理解和應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的解決問題能力。

3.課后拓展應(yīng)用：

教師活動(dòng)：布置課后作業(yè)，要求學(xué)生運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決實(shí)際立體幾何問題。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成課后作業(yè)，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中。

教學(xué)方法：數(shù)學(xué)建模、實(shí)踐操作法

教學(xué)手段：課后作業(yè)、立體幾何問題

作用和目的：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用空間向量運(yùn)算解決實(shí)際問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

《空間向量與立體幾何應(yīng)用案例》：介紹空間向量在建筑設(shè)計(jì)、機(jī)械制造等領(lǐng)域的應(yīng)用案例，讓學(xué)生了解空間向量在實(shí)際生活中的重要性。

《空間向量的坐標(biāo)表示方法探析》：深入探討空間向量的坐標(biāo)表示方法，包括坐標(biāo)變換和坐標(biāo)運(yùn)算的原理，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

《立體幾何問題解決策略》：介紹解決立體幾何問題的方法和技巧，包括使用空間向量運(yùn)算、幾何直覺和邏輯推理等。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

（1）探究空間向量的其他表示方法，如向量圖和球面坐標(biāo)等，并比較它們的優(yōu)缺點(diǎn)。

（2）研究空間向量的運(yùn)算規(guī)律，探索空間向量的線性運(yùn)算與平面幾何運(yùn)算之間的聯(lián)系。

（3）運(yùn)用空間向量運(yùn)算解決復(fù)雜的立體幾何問題，如立體圖形的面積和體積計(jì)算等。

（4）查閱相關(guān)文獻(xiàn)和研究，了解空間向量在工程和科學(xué)研究中的應(yīng)用前景。

（5）與同學(xué)進(jìn)行討論和交流，分享對(duì)空間向量運(yùn)算的理解和應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，相互學(xué)習(xí)和提高。板書設(shè)計(jì)1.空間向量的概念：

①向量：具有大小和方向的量。

②空間向量：存在于三維空間中的向量。

③坐標(biāo)表示：用有序數(shù)對(duì)(x,y,z)表示空間向量的位置。

2.空間向量的運(yùn)算：

①加法：兩個(gè)向量相加，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加。

②減法：一個(gè)向量減去另一個(gè)向量，相當(dāng)于加上相反向量。

③數(shù)乘：一個(gè)向量乘以一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘以該數(shù)。

④點(diǎn)乘：兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相乘，再求和。

⑤叉乘：兩個(gè)向量的坐標(biāo)交叉相乘，結(jié)果為新的向量。

3.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：

①線線關(guān)系：用向量表示兩條線的方向和距離。

②線面關(guān)系：用向量表示直線與平面的交點(diǎn)。

③面面關(guān)系：用向量表示兩個(gè)平面的法向量和夾角。

板書設(shè)計(jì)要求：

1.突出空間向量的概念、運(yùn)算和應(yīng)用。

2.使用簡(jiǎn)潔明了的語言和符號(hào)，易于學(xué)生理解和記憶。

3.通過圖形、箭頭和顏色等元素，增加板書的直觀性和趣味性。

4.留有足夠的空白，方便學(xué)生做筆記和復(fù)習(xí)。典型例題講解八、典型例題講解

1.空間向量的坐標(biāo)表示

例題1：已知空間兩個(gè)向量\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)和\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的和、差、數(shù)乘和點(diǎn)乘。

解答：

和：\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\)

差：\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\)

數(shù)乘：\(k\vec{a}=(kx_1,ky_1,kz_1)\)

點(diǎn)乘：\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)

例題2：已知空間向量\(\vec{a}=(2,3,4)\)和\(\vec=(-1,2,-1)\)，求\(\vec{a}\)和\(\vec\)的叉乘。

解答：

叉乘：\(\vec{a}\times\vec=(3\cdot(-1)-4\cdot2,4\cdot(-1)-2\cdot(-1),2\cdot2-3\cdot(-1))=(-11,-6,7)\)

2.空間向量的線性運(yùn)算

例題3：已知空間向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)和\(\vec=(4,5,6)\)，求\(\vec{a}\)和\(\vec\)的和、差、數(shù)乘和點(diǎn)乘。

解答：

和：\(\vec{a}+\vec=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)\)

差：\(\vec{a}-\vec=(1-4,2-5,3-6)=(-3,-3,-3)\)

數(shù)乘：\(2\vec{a}=(2\cdot1,2\cdot2,2\cdot3)=(2,4,6)\)

點(diǎn)乘：\(\vec{a}\cdot\vec=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=4+10+18=32\)

3.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

例題4：已知空間直線\(l\)上一點(diǎn)\(A(1,2,3)\)和向量\(\vec{n}=(1,0,-1)\)，求直線\(l\)上任意一點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)表示。

解答：

設(shè)\(P\)的坐標(biāo)為\(P(x,y,z)\)，則向量\(\vec{AP}\)為\((x-1,y-2,z-3)\)。

因?yàn)閈(\vec{AP}\)與向量\(\vec{n}\)垂直，所以它們的點(diǎn)乘為0：

\[(x-1,y-2,z-3)\cdot(1,0,-1)=0\]

解得：\(x-1+z-3=0\)，即\(x+z=4\)。

所以，直線\(l\)上任意一點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)可以表示為\(P(4-z,y,z)\)。

例題5：已知空間平行六面體\(ABCD-A'B'C'D'\)中，向量\(\vec{AB}=(1,2,3)\)，\(\vec{AD}=(4,5,6)\)，\(\vec{AA'}=(7,8,9)\)，求平行六面體的體積。

解答：

平行六面體的體積可以通過底面積乘以高得到。

底面\(ABCD\)的面積為向量\(\vec{AB}\)和\(\vec{AD}\)的叉乘的模長(zhǎng)：

\[S_{\text{底面}}=\left|\vec{AB}\times\vec{AD}\right|=\left|(1\cdot6-2\cdot5,2\cdot4-3\cdot1,3\cdot5-1\cdot6)\right|=\left|(-4,11,9)\right|=\sqrt{(-4)^2+11^2+9^2}=\sqrt{161}\]

平行六面體的高\(yùn)(h\)為向量\(\vec{AA'}\)的模長(zhǎng)：

\[h=\left|\vec{AA'}\right|=\sqrt{7^2+8^2+9^2}=\sqrt{193}\]

所以，平行六面體的體積\(V\)為：

\[V=S_{\text{底面}}\cdoth=\sqrt{161}\cdot\sqrt{193}=\sqrt{31233}\]教學(xué)反思與總結(jié)這節(jié)課的主題是“空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示”，通過教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)自己在教學(xué)方法、策略、管理等方面取得了一些成果，但也存在一些不足。

在教學(xué)方法上，我采用了講授法、討論法和實(shí)踐操作法，通過結(jié)合多種教學(xué)方法，使學(xué)生在不同的學(xué)習(xí)方式中掌握知識(shí)。例如，通過講授法，讓學(xué)生了解空間向量的概念和坐標(biāo)表示方法；通過討論法，讓學(xué)生分享對(duì)空間向量運(yùn)算的理解和應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作；通過實(shí)踐操作法，讓學(xué)生通過實(shí)際操作，例如使用坐標(biāo)紙進(jìn)行向量運(yùn)算的繪圖，增強(qiáng)對(duì)空間向量運(yùn)算的理解和直觀感受。

在教學(xué)策略上，我注重啟發(fā)式教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考和探索。例如，在講解空間向量的坐標(biāo)表示方法時(shí)，我通過提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考空間向量的坐標(biāo)表示方法