專題19 圓的有關(guān)位置關(guān)系（16題）2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（解析版）

第第頁(yè)專題19圓的有關(guān)位置關(guān)系（16題）一、單選題1．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，分別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”可得，．根據(jù)三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．本題主要考查了“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”和三角形外角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形是的內(nèi)接四邊形我∴，，，，，，，，解得，，．故選：C2．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)，分別在，邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，交于點(diǎn)，且始終滿足，則下列結(jié)論：①；②；③面積的最大值是；④的最小值是．其中正確的是（

）

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷②；在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，根據(jù)定弦定角得出在的上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)時(shí)，面積的最大，根據(jù)三角形的面積公式求解，即可判斷③，當(dāng)在上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是等腰直角三角形，，，∴，∵，∴∴又∵∴，∴，故①正確；∵，∴，∴即在中，即∵是等腰直角三角形，∴平分∴∴∴，∴，故②正確，如圖所示，

在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，且∴，∵∴∴在的上運(yùn)動(dòng)，∴，連接交于點(diǎn)，則，∴當(dāng)時(shí)，結(jié)合垂徑定理，最小，∵是半徑不變∴此時(shí)最大則面積的最大，∴，故③正確；如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴的最小值是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求圓外一點(diǎn)到圓上的距離最值問(wèn)題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形．若，則的度數(shù)是．【答案】130°【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠A=180°，又∠A=50°，∴∠BCD=180°-50°=130°．故答案為：130°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．4．（2024·山東濱州·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形AOCD是菱形，∠B的度數(shù)是．【答案】60°/60度【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠B+∠D=180°，根據(jù)菱形的性質(zhì)，圓周角定理列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵四邊形OACD是菱形，∴∠AOC=∠D，由圓周角定理得，∠B=∠AOC，∴∠B+2∠B=180°，解得，∠B=60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2024·四川自貢·中考真題）在中，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．(1)圖1中三組相等的線段分別是，________，________；若，，則半徑長(zhǎng)為_(kāi)_______；(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N．求證：是的切線．【答案】(1)；；1(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，，代入求解即可得到答案；（2）證明，推出，，，求得，，根據(jù)，列式求得，根據(jù)切線的判定定理，即可得到是的切線．【詳解】（1）解：連接，設(shè)半徑為，∵是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴，，；在四邊形中，，四邊形為矩形，又因?yàn)椋倪呅螢檎叫危畡t，則，，在中，由勾股定理得，∴，即，解得，故答案為：；；1；（2）證明：連接，，，作于點(diǎn)，設(shè)半徑為，∵，∴，∵，，∴，∴，，，∵是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴，∴，同理，∴，∴，∵，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓及勾股定理，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至E，使得．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，易得，圓周角定理得到，進(jìn)而得到，證明，推出，進(jìn)而得到，即可得證；（2）等角的三角函數(shù)相等，得到，證明，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：連接，則：，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，由（1）知：，∴，由（1）知：，又∵，∴，∴，∴，，∴，即：，解得：（舍去）或，∴【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．7．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，已知是的直徑，是的弦，點(diǎn)在外，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為6，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角和對(duì)頂角相等可推出，，結(jié)合和三角形內(nèi)角和，從而推出，得證；（2）由（1）可知，可證，推出，再由勾股定理可得，利用點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得，從而得到，從而得到，即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，，，，，，又，，，，是的切線；（2）解：如（1）圖，，又，，，，的半徑為6，，，，即，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，為的內(nèi)接三角形，為的直徑，將沿直線翻折到，點(diǎn)在上．連接，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，，兩線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，．求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)折疊可得，根據(jù)切線的定義可得，即可得證；（2）根據(jù)題意證明，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；（3）根據(jù)，設(shè)，則，得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，則，進(jìn)而求得，根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】（1）證明：∵將沿直線翻折到，∴，∵為的直徑，是切線，∴，∴；（2）解：∵是切線，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵由折疊可得，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴，即；（3）解：∵，設(shè)，則，∴，∴，∵由折疊可得，∴，∵在中，，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，折疊問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，求證：；(3)若于D，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）首先由直徑得到，然后利用等邊對(duì)等角得到，等量代換得到，進(jìn)而證明即可；（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形兩銳角互余得到，進(jìn)而求解即可；（3）設(shè)，證明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）證明：∵，∴，∴，由（1）知，∴，∴，∴，∴；（3）設(shè)，在中，，∴∴∵∴∴∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得，（舍去），故．【點(diǎn)睛】此題考查了直徑的性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．10．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線．(2)求證：．(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）如圖，連接，證明，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論；（2）證明，，結(jié)合，，再進(jìn)一步可得結(jié)論；（3）如圖，連接，證明，再證明，可得，結(jié)合，從而可得答案；【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，且OD是的半徑，∴DF是的切線；（2）證明：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）解：如圖，連接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，而，∴，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，∴，而，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.11．（2024·吉林·中考真題）圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A，B，C，D，E，O均在格點(diǎn)上．圖①中已畫(huà)出四邊形，圖②中已畫(huà)出以為半徑的，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．(1)在圖①中，面出四邊形的一條對(duì)稱軸．(2)在圖②中，畫(huà)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的的切線．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，切線的判定，畫(huà)對(duì)稱軸等等：（1）如圖所示，取格點(diǎn)E、F，作直線，則直線即為所求；（2）如圖所示，取格點(diǎn)，作直線，則直線即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，取格點(diǎn)E、F，作直線，則直線即為所求；易證明四邊形是矩形，且E、F分別為的中點(diǎn)；（2）解：如圖所示，取格點(diǎn)，作直線，則直線即為所求；易證明四邊形是正方形，點(diǎn)E為正方形的中心，則．12．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，是的直徑．四邊形內(nèi)接于．連接，且，以為邊作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，導(dǎo)角可證明，進(jìn)而得到，據(jù)此即可證明是的切線；（2）延長(zhǎng)交于H，延長(zhǎng)交于G，連接，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，證明，得到，接著證明，得到，進(jìn)一步證明，得到，設(shè)，則，，進(jìn)而得到，則，由勾股定理得到，，則，進(jìn)一步可得．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)交于H，延長(zhǎng)交于G，連接，∵是的直徑，∴，即，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求角的余弦值，直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：是的切線；(2)點(diǎn)是半徑上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)14【分析】（1）連接，由圓周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，據(jù)此即可證明是的切線；（2）利用三角函數(shù)的定義求得，在中，利用勾股定理求得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：連接，，，，，而是的直徑，，，，是的切線；（2）解：設(shè)，，，，，在中，，，，又，，，設(shè)，，，，，則，解得：經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理．正確證明是解決本題的關(guān)鍵．14．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，內(nèi)接于，D是上一點(diǎn)，．E是外一點(diǎn)，，連接．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)求證：是的切線．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)可得，然后證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案；（2）連接，首先證明，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理求出，然后計(jì)算出即可．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，由（1）得：，∴，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，切線的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，內(nèi)接于，，過(guò)點(diǎn)A作，交的直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求和的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，．【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，，，，繼而可得是的角平分線，根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，繼而根據(jù)切線判定定理即可求證結(jié)論；（2）連接，先求得，利用圓周角定理結(jié)合勾股定理求得直徑的長(zhǎng)，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求得，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可求得．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，∵，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，即是的角平分線，∵，∴，且平分線段，∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：連接，∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，由（1）得，，設(shè)，∴，∴，解得，即，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵是的切線，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，即，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．16．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上，使得，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)P是圖形W的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，例如：如圖1，是線段外一點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，且，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段上，所以點(diǎn)P是線段的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．(1)如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”；(2)如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，求b的最小值：(3)如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點(diǎn)的等腰直角三角